高中数学人教版新课标A选修1-12.1椭圆第2课时达标测试

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课时提升作业(十一)

椭圆方程及性质的应用

(25分钟　60分)

一、选择题(每小题5分，共25分)

1.已知直线l过点(3，-1)，且椭圆C：+=1，则直线l与椭圆C的公共点的个数为　(　　)

A.1   B.1或2   C.2   D.0

【解析】选C.因为直线过定点(3，-1)且+<1，所以点(3，-1)在椭圆的内部，故直线l与椭圆有2个公共点.

2.点A(a，1)在椭圆+=1的内部，则a的取值范围是　(　　)

A.-<a<       B.a<-或a>

C.-2<a<2        D.-1<a<1

【解析】选A.由题意知+<1，解得-<a<.

【拓展延伸】点与椭圆的位置关系

已知平面内点P(x0，y0)与椭圆+=1(a>b>0)，则

①点P在椭圆外⇔+>1；

②点P在椭圆上⇔+=1；

③点P在椭圆内⇔+<1.

3.(2015·马鞍山高二检测)已知椭圆C：+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，右顶点为A，上顶点为B，若椭圆C的中心到直线AB的距离为|F1F2|，则椭圆C的离心率e=　(　　)

A.   B.   C.   D.

【解析】选A.设椭圆C的焦距为2c(c<a)，

由于直线AB的方程为ay+bx-ab=0，

所以=c，

因为b2=a2-c2，所以3a4-7a2c2+2c4=0，

解得a2=2c2或3a2=c2(舍)，所以e=.

【补偿训练】椭圆的焦点为F1，F2，过F1的最短弦PQ的长为10，△PF2Q的周长为36，则此椭圆的离心率为　(　　)

A.   B.    C.    D.

【解析】选C.PQ为过F1且垂直于x轴的弦，

则Q(-c，)，△PF2Q的周长为36.

所以4a=36，a=9.

由已知=5，即=5.

又a=9，解得c=6，

解得=，即e=.

4.(2015·石家庄高二检测)若AB是过椭圆+=1(a>b>0)中心的一条弦，M是椭圆上任意一点，且AM，BM与两坐标轴均不平行，kAM，kBM分别表示直线AM，BM的斜率，则kAM·kBM=　(　　)

A.-   B.-   C.-   D.-

【解析】选B.设A(x1，y1)，M(x0，y0)，

则B(-x1，-y1)，

kAM·kBM=·=

==-.

【一题多解】(特殊值法)：因为四个选项为定值，取A(a，0)，B(-a，0)，

M(0，b)，可得kAM·kBM=-.

【补偿训练】(2015·衡水高二检测)如果AB是椭圆+=1(a>b>0)的任意一条与x轴不垂直的弦，O为椭圆的中心，e为椭圆的离心率，M为AB的中点，则kAB·kOM的值为　(　　)

A.e-1   B.1-e   C.e2-1   D.1-e2

【解析】选C.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，中点M(x0，y0)，

则+=1，+=1，两式作差得

=

所以kAB·kOM=·===e2-1.

5.AB为过椭圆+=1(a>b>0)中心的弦，F1(c，0)为椭圆的右焦点，则△AF1B面积的最大值是　(　　)

A.b2   B.ab   C.ac   D.bc

【解析】选D.如图，=+=2.

又因为|OF1|=c为定值，

所以点A与(0，b)重合时，OF1边上的高最大，

此时的面积最大为bc.

所以的最大值为bc.

二、填空题(每小题5分，共15分)

6.过椭圆+=1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为________.

【解析】将椭圆与直线方程联立：

解得交点A(0，-2)，B.设右焦点为F，

则S△OAB=·|OF|·|y1-y2|=×1×|+2|

=.

答案：

7.椭圆mx2+ny2=1与直线y=1-x交于M，N两点，原点O与线段MN的中点P连线的斜率为，则的值是________.

【解析】由消去y，

得(m+n)x2-2nx+n-1=0.

则MN的中点P的坐标为.

所以kOP==.

答案：

8.(2015·宁波高二检测)已知F1，F2是椭圆的两个焦点，满足·=0的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是________.

【解析】由·=0，得以F1F2为直径的圆在椭圆内，于是b>c，于是a2-c2>c2，所以0<e<，故离心率的范围为.

答案：

三、解答题(每小题10分，共20分)

9.已知动点M(x，y)到直线l：x=4的距离是它到点N(1，0)的距离的2倍.

(1)求动点M的轨迹C的方程.

(2)过点P(0，3)的直线m与轨迹C交于A，B两点.若A是PB的中点，求直线m的斜率.

【解题指南】由动点M的坐标，根据已知条件列方程即可；设出直线方程与椭圆方程联立，得出k与x1，x2的关系式，利用中点坐标即可得斜率.

【解析】(1)点M(x，y)到直线x=4的距离是它到点N(1，0)的距离的2倍，则|x-4|=2⇒+=1.

所以，动点M的轨迹为椭圆，方程为+=1.

(2)P(0，3)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意知：2x1=0+x2，2y1=3+y2，椭圆的上下顶点坐标分别是(0，)和(0，-)，经检验直线m不经过这两点，即直线m斜率k存在.设直线m的方程为：y=kx+3.联立椭圆和直线方程，整理得：

(3+4k2)x2+24kx+24=0⇒x1+x2=，x1·x2=，+=+2⇒=⇒=⇒k=±，

所以直线m的斜率k=±.

10.已知椭圆C：+=1(a>b>0)的一个顶点为A(2，0)，离心率为.直线y=k(x-1)与椭圆C交于不同的两点M，N.

(1)求椭圆C的方程.

(2)当△AMN的面积为时，求k的值.

【解析】(1)由题意得解得b=.

所以椭圆C的方程为+=1.

(2)由

得(1+2k2)x2-4k2x+2k2-4=0.

Δ=24k2+16>0.

设点M，N的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，

则y1=k(x1-1)，y2=k(x2-1)，x1+x2=，

x1x2=，

所以|MN|=

=

=.

又因为点A(2，0)到直线y=k(x-1)的距离d=，

所以△AMN的面积为|MN|·d=.

由=，解得k=±1.

(20分钟　40分)

一、选择题(每小题5分，共10分)

1.已知椭圆C的方程为+=1(m>0)，如果直线y=x与椭圆的一个交点M在x轴上的射影恰好是椭圆的右焦点F，则m的值为　(　　)

A.2   B.2    C.8   D.2

【解析】选B.根据已知条件c=，则点在椭圆+=1(m>0)上，

所以+=1，可得m=2.

2.(2015·福建高考)已知椭圆E：+=1(a>b>0)的右焦点为F，短轴的一个端点为M，直线l：3x-4y=0交椭圆E于A，B两点.若|AF|+|BF|=4，点M到直线l的距离不小于，则椭圆E的离心率的取值范围是　(　　)

A.        B.

C.        D.

【解析】选A.不妨设左焦点为F2，连接AF2，BF2，由椭圆的对称性可知四边形AFBF2的对角线互相平分，所以四边形AFBF2为平行四边形，所以+=+=2a=4，所以a=2，设M(0，b)，所以d=b≥⇒b≥1，

所以e==≤=，又e∈(0，1)，所以e∈.

【补偿训练】过椭圆+y2=1右焦点且斜率为1的直线被椭圆截得的弦MN的长为　

(　　)

A.    B.   C.   D.

【解题指南】求出过椭圆+y2=1右焦点且斜率为1的直线方程，代入椭圆+y2=1，可得一元二次方程，利用弦长公式，即可求弦MN的长.

【解析】选A.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，

因为椭圆+y2=1右焦点坐标为(，0)，

所以过椭圆+y2=1右焦点且斜率为1的直线方程为y=x-，

代入椭圆+y2=1，可得+(x-)2=1，即5x2-8x+8=0，所以x1+x2=，x1x2=，

所以|MN|=·

=·=.

二、填空题(每小题5分，共10分)

3.(2015·济南高二检测)已知对k∈R，直线y-kx-1=0与椭圆+=1恒有公共点，则实数m的取值范围是________.

【解析】因为直线y-kx-1=0过定点(0，1)，

要使直线和椭圆恒有公共点，

则点(0，1)在椭圆上或椭圆内，即+≤1，

整理，得≤1，解得m≥1.

又方程+=1表示椭圆，所以m>0且m≠5，

综上m的取值范围为m≥1且m≠5.

答案：m≥1且m≠5

4.(2015·无锡高二检测)若倾斜角为的直线交椭圆+y2=1于A，B两点，则线段AB的中点的轨迹方程是________________.

【解析】设中点坐标为(x，y)，直线方程为y=x+b，代入椭圆方程得5x2+8bx+4(b2-1)=0，由根与系数的关系及中点的定义，可得x+4y=0，

由Δ>0，得-<b<，故-<x<.

答案：x+4y=0(-<x<)

【补偿训练】(2015·沈阳高二检测)已知椭圆：+x2=1，过点P的直线与椭圆相交于A，B两点，且弦AB被点P平分，则直线AB的方程为(　　)

A.9x-y-4=0       B.9x+y-5=0

C.2x+y-2=0       D.2x-y+2=0

【解析】选B.椭圆：+x2=1，过点P的直线与椭圆相交于A，B两点，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则+=1　(1)

+=1　(2)

由(1)(2)相减得：

+(x1+x2)(x1-x2)=0，点P是AB的中点，所以x1+x2=1，y1+y2=1，

由题知x1≠x2，所以=-9，

则直线AB的方程y-=-9，

整理得9x+y-5=0.

三、解答题(每小题10分，共20分)

5.设P是圆x2+y2=25上的动点，点D是P在x轴上的投影，M为PD上一点，且|MD|=|PD|.

(1)当P在圆上运动时，求点M的轨迹C的方程.

(2)求过点(3，0)且斜率为的直线被C所截线段的长度.

【解析】(1)设M的坐标为(x，y)，P的坐标为(xP，yP)，

由已知得

因为P在圆上，所以x2+=25，

即C的方程为+=1.

(2)过点(3，0)且斜率为的直线方程为y=(x-3)，

设直线与C的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，

将直线方程y=(x-3)代入C的方程，

得+=1，即x2-3x-8=0.

Δ=(-3)2+32=41>0

所以x1+x2=3，x1x2=-8.

所以线段AB的长度为

|AB|=

=

===.

6.(2014·陕西高考)已知椭圆+=1(a>b>0)经过点(0，)，离心率为，左、右焦点分别为F1(-c，0)，F2(c，0).

(1)求椭圆的方程.

(2)若直线l：y=-x+m与椭圆交于A，B两点，与以F1F2为直径的圆交于C，D两点，且满足=，求直线l的方程.

【解题指南】(1)先由已知得椭圆短半轴长，再由离心率及a，b，c间的关系，列方程组得解.(2)先利用直线与圆相交求得弦CD的长，再利用椭圆与直线相交得AB的长，通过解方程得m值从而得解.

【解析】(1)由题设知

解得a=2，b=，c=1，

所以椭圆的方程为+=1.

(2)由题设，以F1F2为直径的圆的方程为x2+y2=1，

所以圆心到直线的距离d=.

由d<1得|m|<.　(*)

所以|CD|=2=2=.

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

由得x2-mx+m2-3=0，

由根与系数的关系可得x1+x2=m，x1x2=m2-3.

所以|AB|=

=.

由=得=1，解得m=±，满足(*)，

所以直线l的方程为y=-x+或y=-x-.

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