高中数学人教版新课标A选修1-13.4生活中的优化问题举例同步练习题

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课时提升作业(二十五)

生活中的优化问题举例

(25分钟　60分)

一、选择题(每小题5分,共25分)

1.以长为10的线段AB为直径作半圆,则它的内接矩形面积的最大值为　(　　)

A.10    B.15    C.25    D.50

【解析】选C.设内接矩形的长为x(0<x<10),则宽为,

所以S2=x2·=y,所以y′=50x-x3.

令y′=0得x2=50,x=0(舍去),易知当x=5时,S2最大,=625,即S=25.

2.某工厂需要建一个面积为512m2的矩形堆料场,一边可以利用原有的墙壁,则要使砌墙所用材料最省,则堆料场的长和宽各为　(　　)

A.16 m,16 m       B.32 m,16 m

C.32 m,8 m       D.16 m,8 m

【解析】选B.如图所示,设场地一边长为xm,则另一边长为m.因此新墙总长度L=2x+(x>0),L′=2-.令L′=0,得x=16或x=-16(舍去).

因为L在(0,+∞)上只有一个极值点,所以它必是最小值点.因为x=16,所以=32.故当堆料场的宽为16m,长为32m时,可使砌墙所用的材料最省.

【拓展延伸】求几何体面积或体积的最值问题的关键:

1.分析几何体的几何特征,根据题意选择适当的量建立面积或体积的函数,

2.再用导数求最值.

3.(2015·宝鸡高二检测)某产品的销售收入y1(万元)是产量x(千台)的函数:y1=17x2(x>0);生产成本y2(万元)是产量x(千台)的函数:y2=2x3-x2(x>0),为使利润最大,则应生产　(　　)

A.6千台    B.7千台    C.8千台    D.9千台

【解析】选A.设利润为y(万元),则y=y1-y2=17x2-2x3+x2=18x2-2x3(x>0),

y′=36x-6x2,令y′=0,则x=0或x=6.

故当0<x<6时,y′>0,函数为增函数,当x>6时,函数为减函数.

故当x=6时,y取最大值,故为使利润最大,则应生产6千台.

4.(2015·北京高二检测)某银行准备新设一种定期存款业务,经预算,存款量与存款利率的平方成正比,比例系数为k(k>0).已知贷款的利率为0.0486,且假设银行吸收的存款能全部放贷出去.设存款利率为x,x∈(0,0.0486),若使银行获得最大效益,则x的取值为　 (　　)

A.0.016 2   B.0.032 4   C.0.024 3   D.0.0486

【解题指南】先求出存款量、利息以及贷款收益,得出银行收益,求导依据函数的单调性即可求出最值.

【解析】选B.依题意,存款量是kx2,银行支付的利息是kx3,贷款的收益是0.0486kx2,其中x∈(0,0.0486).所以银行的收益是y=0.0486kx2-kx3

(0<x<0.0486),则y′=0.0972kx-3kx2.

令y′=0,得x=0.0324或x=0(舍去).

当0<x<0.0324时,y′>0;

当0.0324<x<0.0486时,y′<0.

所以当x=0.0324时,y取得最大值,即

当存款利率为0.0324时,银行获得最大收益.

5.要做一个圆锥形漏斗,其母线长为20cm,要使其体积最大,则其高应为

　(　　)

A.cm         B.100cm

C.20cm         D.cm

【解析】选A.设高为xcm,则底面半径为cm,

所以圆锥体积V=π·(400-x2)·x

=(cm3),V′=,

令V′=0,得x=或x=(舍去),

经判断可得x=(cm)时,V最大.

二、填空题(每小题5分,共15分)

6.汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车,若把这一过程中汽车的行驶路程s看作时间t的函数,其图象可能与下列________相对应.

【解析】加速过程、路程对时间的导数逐渐变大,图象下凸,减速过程,路程对时间的导数逐渐变小,图象上凸,与①相吻合.

答案:①

7.(2015·长春高二检测)轮船甲位于轮船乙的正东方向且距轮船乙75海里处,以每小时12海里的速度向西行驶,而轮船乙则以每小时6海里的速度向北行驶,如果两船同时起航,那么经过________小时两船相距最近.

【解析】设经过x小时两船相距y海里,y2=36x2+(75-12x)2,

(y2)′=72x-24(75-12x),令(y2)′=0,得x=5,易知当x=5时,y2取得最小值.

答案:5

8.设底面为等边三角形的直棱柱的体积为V,则其表面积最小时,底面边长为________.

【解析】设底面边长为x,则底面积S=x2,所以h==,S表=x·×3+x2×2=+x2,

S表′=x-,令S′表=0,则x=.

因为S表只有一个极值,故x=为最小值点.

答案:

【误区警示】解答本题易出现如下错误:一是表面积计算错误(漏掉某个平面或面积计算出错),二是求导计算错误.

三、解答题(每小题10分,共20分)

9.(2015·枣庄高二检测)用总长为14.8m的钢条制成一个长方体容器的框架,如果所制的容器的底面的长比宽多0.5m,那么高为多少时容器的容积最大?并求出它的最大容积.

【解析】设容器底面宽为xm,则长为(x+0.5)m,

高为×14.8-x-x-0.5=(3.2-2x)m.

由解得0<x<1.6,

设容器的容积为ym3,则有

y=x(x+0.5)(3.2-2x)=-2x3+2.2x2+1.6x,

所以y′=-6x2+4.4x+1.6,

令y′=0,得:-6x2+4.4x+1.6=0,

解得x=1,或x=-(舍去).

又当x∈(0,1)时,y′>0,该函数在(0,1)上为增函数,

当x∈(1,1.6)时,y′<0,该函数在(1,1.6)上为减函数.

所以当x=1时,y取得最大值为-2×13+2.2×12+1.6×1=1.8(m3).

此时容器的高为3.2-2×1=1.2(m).

答:容器高为1.2 m时,容器的容积最大,最大容积为1.8 m3.

【补偿训练】(2015·贵阳高二检测)将一段长为100cm的铁丝截成两段,一段弯成正方形,一段弯成圆,问如何截可使正方形与圆面积之和最小?

【解析】设弯成圆的一段长为xcm,另一段长为(100-x)cm,记正方形与圆的面积之和为S,

则S=π+(0<x<100),

则S′=-(100-x).

令S′=0,则x=.

由于在(0,100)内函数只有一个导数为零的点,问题中面积之和最小值显然存在,故当x=时,面积之和最小.

故当截得弯成圆的一段长为cm时,两种图形面积之和最小.

10.有甲、乙两个工厂,甲厂位于一直线河岸的岸边A处,乙厂与甲厂在河的同侧,乙厂位于离河岸40km的B处,乙厂到河岸的垂足D与A相距50km,两厂要在此岸边合建一个供水站C,从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千米3a元和5a元,问供水站C建在岸边何处才能使水管费用最省?

【解题指南】设CD的长为x,进而求出AC,BC,然后将总费用表示为变量x的函数,转化为求函数的最值问题.

【解析】如图所示,依题意,点C在直线AD上,设C点距D点xkm.因为BD=40,AD=50,所以AC=50-x.所以BC==.

又设总的水管费用为y元,则

y=3a(50-x)+5a(0<x<50).

所以y′=-3a+.

令y′=0,解得x1=30,x2=-30(舍去).

当x<30时,y′<0;当x>30时,y′>0.

所以当x=30时,取得最小值,此时AC=50-x=20(km),即供水站C建在A,D之间距甲厂20km处,可使水管费用最省.

(20分钟　40分)

一、选择题(每小题5分,共10分)

1.把一个周长为12cm的长方形围成一个圆柱,当圆柱的体积最大时,该圆柱底面周长与高的比为　(　　)

A.1∶2   B.1∶π   C.2∶1   D.2∶π

【解析】选C.设圆柱高为x,底面半径为r,则r=,圆柱体积V=π·x

=(x3-12x2+36x)(0<x<6),V′=(x-2)(x-6),当x=2时,V最大.此时底面周长为4,底面周长∶高=4∶2=2∶1.

2.(2015·昆明高二检测)某公司生产一种产品,固定成本为20000元,每生产一单位的产品,成本增加100元,若总收入R与年产量x的关系是R(x)=则当总利润最大时,每年生产产品的单位数是

　(　　)

A.150    B.200    C.250    D.300

【解析】选D.因为总利润

p(x)=

当0≤x≤390时,p′(x)=-x2+300,

令p′(x)=0,得x=±300,

当x∈(0,300)时,p′(x)>0,p(x)递增,当x∈(300,390)时,p′(x)<0,p(x)递减,

所以当x=300时,p(x)有最大值40000元,

当x>390时,p(x)=90090-100x-20000<90090-100×390-20000=31090<40000,

所以当x=300时,总利润最大.

二、填空题(每小题5分,共10分)

3.(2015·渭南高二检测)某养鸡场是一面靠墙,三面用铁丝网围成的矩形场地.如果铁丝网长40m,那么围成的场地面积最大为________.

【解析】设靠墙的一面长xm,围成的场地面积为ym2,

此时矩形的宽为>0.

所以y=x·=-x2+20x(0<x<40),

y′=-x+20,令y′=0得x=20,

当0<x<20时,y′>0.当20<x<40时,y′<0.

所以当x=20时,y最大=20×10=200.

答案:200m2

4.(2015·潍坊高二检测)某公司租地建仓库,每月土地占用费y1(万元)与仓库到车站的距离成反比,而每月库存货物的运费y2(万元)与到车站的距离成正比,如果在距离车站10千米处建仓库,y1和y2分别为2万元和8万元.那么,要使这两项费用之和最小,仓库应建在离车站________千米处.

【解析】设仓库与车站相距x千米,依题意可设每月土地占用费y1=,每月库存货物的运费y2=k2x,其中x是仓库到车站的距离,k1,k2是比例系数,于是由2=得k1=20;由8=10k2得k2=.

所以两项费用之和为y=+(x>0),

y′=-+,令y′=0,

得x=5或x=-5(舍去).

当0<x<5时,y′<0;

当x>5时,y′>0.

所以当x=5时,y取得极小值,也是最小值.

所以当仓库建在离车站5千米处时,两项费用之和最小.

答案:5

三、解答题(每小题10分,共20分)

5.某商场销售某种商品的经验表明,该商品每日的销售量y(单位:千克)与销售价格x(单位:元/千克)满足关系式y=+10(x-6)2.其中3<x<6,a为常数.已知销售价格为5元/千克时,每日可售出该商品11千克.

(1)求a的值.

(2)若该商品的成本为3元/千克,试确定销售价格x的值,使商场每日销售该商品所获得的利润最大.

【解析】(1)因为x=5时,y=11,

所以+10=11,a=2.

(2)由(1)可知,该商品每日的销售量y=+10(x-6)2,

所以商场每日销售该商品所获得的利润为

f(x)=(x-3)

=2+10(x-3)·(x-6)2,3<x<6.

从而,f′(x)=10

=30(x-4)(x-6).

于是,当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:

由上表可得,x=4是函数f(x)在区间(3,6)内的极大值点,也是最大值点.

所以,当x=4时,函数f(x)取得最大值,且最大值等于42.

答:当销售价格为4元/千克时,商场每日销售该商品所获得的利润最大.

6.(2015·成都高二检测)请您设计一个帐篷,它下部的形状是高为1m的正六棱柱,上部的形状是侧棱长为3m的正六棱锥.试问当帐篷的顶点O到底面中心O1的距离为多少时,帐篷的体积最大?最大体积是多少?

【解题指南】帐篷可看做一个正六棱锥与一个正六棱柱的组合体.

【解析】设OO1为xm,则1<x<4.

由题设可得正六棱锥底面边长为

=.

于是底面正六边形的面积为

6··()2=(8+2x-x2).

帐篷的体积为

V(x)=(8+2x-x2)

=(16+12x-x3).

求导数,得V′(x)=(12-3x2).

令V′(x)=0,解得x=-2(不合题意,舍去),x=2.

当1<x<2时,V′(x)>0,V(x)为增函数;

当2<x<4时,V′(x)<0,V(x)为减函数,

所以当x=2时,V(x)最大.

所以当OO1为2m时,帐篷的体积最大,最大体积为16m3.

【补偿训练】经济学上规定,对于某经济函数y=f(x),称为该经济函数的弹性,它表示经济变量x变动1%时,经济变量y相应变动的百分比.现有一个企业生产一种商品,年产x件的总成本为c+dx,年需求量g(p)是价格p的函数,即g(p)=a-bp(a,b,c,d>0).求:

(1)利润最大时的产量及最大利润(设生产件数x与年需求量相等).

(2)需求量对价格的弹性的绝对值为1时的价格.

(3)若企业将价格定为p=,求此时需求量对价格的弹性,并说明它的实际意义.

【解析】(1)由于生产件数与年需求量x相等,所以x=a-bp,p=.

由题意可知此时年利润l=h(x)=px-(c+dx)=x-(c+dx).h′(x)=-x+-d,

令h′(x)=0,得x=(a-bd).

当x<(a-bd)时,h′(x)>0;

当x>(a-bd)时,h′(x)<0,

所以x=(a-bd)为极大值点,即最大值点.

故x=(a-bd)时,l取得最大值(a-bd)2-c.

(2)g(p)=a-bp,则需求量对价格的弹性为==-.

令=1,得p=.

(3)若p=,则需求量对价格的弹性为=-=-=-=-.它表示价格定为p=时,价格上升1%时,需求量相应会减少33.3%.

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