2.2.2　反证法

[学习目标]

1．了解反证法是间接证明的一种基本方法．

2．理解反证法的思考过程，会用反证法证明数学问题．

[知识链接]

1．有人说反证法就是通过证明逆否命题来证明原命题，这种说法对吗？为什么？

答　这种说法是错误的，反证法是先否定命题，然后再证明命题的否定是错误的，从而肯定原命题正确，不是通过逆否命题证题．命题的否定与原命题是对立的，原命题正确，其命题的否定一定不对．

2．反证法主要适用于什么情形？

答　①要证的结论与条件之间的联系不明显，直接由条件推出结论的线索不够清晰；②如果从正面证明，需要分成多种情形进行分类讨论，而从反面进行证明，只要研究一种或很少的几种情形．

[预习导引]

1．反证法定义

假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这种证明方法叫做反证法．

2．反证法常见的矛盾类型

反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾．这个矛盾可以是与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实矛盾等．

要点一　用反证法证明“至多”“至少”型命题

例1　已知x，y>0，且x＋y>2.

求证：，中至少有一个小于2.

证明　假设，都不小于2，

即≥2，≥2.

∵x，y>0，∴1＋x≥2y,1＋y≥2x.

∴2＋x＋y≥2(x＋y)，

即x＋y≤2与已知x＋y>2矛盾．

∴，中至少有一个小于2.

规律方法　对于含有“至多”、“至少”的命题适合用反证法，对于此类问题，需仔细体会“至少有一个”、“至多有一个”等字眼的含义，弄清结论的否定是什么，避免出现证明遗漏的错误．

跟踪演练1　已知a，b，c，d∈R，且a＋b＝c＋d＝1，ac＋bd>1，求证：a，b，c，d中至少有一个是负数．

证明　假设a，b，c，d都是非负数，

∵a＋b＝c＋d＝1，

∴(a＋b)(c＋d)＝1.

又∵(a＋b)(c＋d)＝ac＋bd＋ad＋bc≥ac＋bd，

∴ac＋bd≤1.

这与已知ac＋bd>1矛盾，

∴a，b，c，d中至少有一个是负数．

要点二　用反证法证明不存在、唯一性命题

例2　求证对于直线l：y＝kx＋1，不存在这样的实数k，使得l与双曲线C：3x2－y2＝1的交点A、B关于直线y＝ax(a为常数)对称．

证明　假设存在实数k，使得A、B关于直线y＝ax对称，设A(x1，y1)、B(x2，y2)，则有(1)直线l：y＝kx＋1与直线y＝ax垂直；(2)点A、B在直线l：y＝kx＋1上；(3)线段AB的中点在直线y＝ax上，所以

由得(3－k2)x2－2kx－2＝0.④

当k2＝3时，l与双曲线仅有一个交点，不合题意．

由②、③得a(x1＋x2)＝k(x1＋x2)＋2⑤

由④知x1＋x2＝，代入⑤整理得：

ak＝3，这与①矛盾．

所以假设不成立，故不存在实数k，使得A、B关于直线y＝ax对称．

规律方法　证明“唯一性”问题的方法：“唯一性”包含“有一个”和“除了这个没有另外一个”两层意思．证明后一层意思时，采用直接证法往往会相当困难，因此一般情况下都采用间接证法，即用反证法(假设“有另外一个”，推出矛盾)或同一法(假设“有另外一个”，推出它就是“已知那一个”)证明，而用反证法有时比用同一法更方便．

跟踪演练2　求证方程2x＝3有且只有一个根．

证明　∵2x＝3，∴x＝log23，这说明方程2x＝3有根．下面用反证法证明方程2x＝3的根是唯一的：

假设方程2x＝3至少有两个根b1，b2(b1≠b2)，

则2b1＝3,2b2＝3，

两式相除得2b1－b2＝1.

若b1－b2>0，则2b1－b2>1，这与2b1－b2＝1相矛盾．

若b1－b2<0，则2b1－b2<1，这也与2b1－b2＝1相矛盾．

∴b1－b2＝0，则b1＝b2.

∴假设不成立，从而原命题得证．

要点三　用反证法证明否定性命题

例3　等差数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1＋，S3＝9＋3.

(1)求数列{an}的通项an与前n项和Sn；

(2)设bn＝(n∈N*)，求证：数列{bn}中任意不同的三项都不可能成为等比数列．

(1)解　设公差为d，由已知得

∴d＝2，故an＝2n－1＋，Sn＝n(n＋)．

(2)证明　由(1)得bn＝＝n＋.

假设数列{bn}中存在三项bp、bq、br(p、q、r互不相等)成等比数列，则b＝bpbr，

即(q＋)2＝(p＋)(r＋)，

∴(q2－pr)＋(2q－p－r)＝0.

∵p，q，r∈N*，

∴

∴2＝pr，(p－r)2＝0，

∴p＝r，这与p≠r矛盾．

所以数列{bn}中任意不同的三项都不可能成为等比数列．

规律方法　(1)当结论中含有“不”、“不是”、“不可能”、“不存在”等词语的命题，此类问题的反面比较具体，适于应用反证法．例如证明异面直线，可以假设共面，再把假设作为已知条件推导出矛盾．

(2)反证法必须从否定结论进行推理，即应把结论的反面作为条件，且必须根据这一条件进行推证，否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行推理，就不是反证法．

跟踪演练3　已知f(x)＝ax＋(a>1)，证明方程f(x)＝0没有负数根．

证明　假设x0是f(x)＝0的负数根，则x0<0且x0≠－1且ax0＝－，由0<ax0<1⇒0<－<1，

解得<x0<2，这与x0<0矛盾，所以假设不成立，

故方程f(x)＝0没有负数根．

1．证明“在△ABC中至多有一个直角或钝角”，第一步应假设(　　)

A．三角形中至少有一个直角或钝角

B．三角形中至少有两个直角或钝角

C．三角形中没有直角或钝角

D．三角形中三个角都是直角或钝角

答案　B

2．用反证法证明“三角形中至少有一个内角不小于60°”，应先假设这个三角形中(　　)

A．有一个内角小于60°  B．每一个内角都小于60°

C．有一个内角大于60°  D．每一个内角都大于60°

答案　B

3．“a<b”的反面应是(　　)

A．a≠b  B．a>b

C．a＝b  D．a＝b或a>b

答案　D

4．用反证法证明“在同一平面内，若a⊥c，b⊥c，则a∥b”时，应假设(　　)

A．a不垂直于c  B．a，b都不垂直于c

C．a⊥b  D．a与b相交

答案　D

5．已知a是整数，a2是偶数，求证a也是偶数．

证明　(反证法)假设a不是偶数，即a是奇数．

设a＝2n＋1(n∈Z)，则a2＝4n2＋4n＋1.

∵4(n2＋n)是偶数，

∴4n2＋4n＋1是奇数，这与已知a2是偶数矛盾．

由上述矛盾可知，a一定是偶数．

1．反证法证明的基本步骤

(1)假设命题结论的反面是正确的；(反设)

(2)从这个假设出发，经过逻辑推理，推出与已知条件、公理、定义、定理、反设及明显的事实矛盾；(推谬)

(3)由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论是正确的．(结论)

2．用反证法证题要把握三点：

(1)必须先否定结论，对于结论的反面出现的多种可能，要逐一论证，缺少任何一种可能，证明都是不全面的．

(2)反证法必须从否定结论进行推理，且必须根据这一条件进行论证，否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行论证，就不是反证法．

(3)反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以与已知矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实矛盾，但推导出的矛盾必须是明显的.

一、基础达标

1．反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾．这个矛盾可以是(　　)

①与已知条件矛盾　②与假设矛盾　③与定义、公理、定理矛盾　④与事实矛盾

A．①②  B．①③

C．①③④  D．①②③④

答案　D

2．已知a，b是异面直线，直线c平行于直线a，那么c与b的位置关系为(　　)

A．一定是异面直线  B．一定是相交直线

C．不可能是平行直线  D．不可能是相交直线

答案　C

解析　假设c∥b，而由c∥a，可得a∥b，这与a，b异面矛盾，故c与b不可能是平行直线．故应选C.

3．有下列叙述：①“a>b”的反面是“a<b”；②“x＝y”的反面是“x>y或x<y”；③“三角形的外心在三角形外”的反面是“三角形的外心在三角形内”；④“三角形最多有一个钝角”的反面是“三角形没有钝角”．其中正确的叙述有(　　)

A．0个  B．1个

C．2个  D．3个

答案　B

解析　①错：应为a≤b；②对；③错：应为三角形的外心在三角形内或在三角形的边上；④错：应为三角形可以有2个或2个以上的钝角．

4．用反证法证明命题：“a、b∈N，ab可被5整除，那么a，b中至少有一个能被5整除”时，假设的内容应为(　　)

A．a，b都能被5整除  B．a，b都不能被5整除

C．a，b不都能被5整除  D．a不能被5整除

答案　B

解析　“至少有一个”的否定是“一个也没有”，即“a，b都不能被5整除”．

5．用反证法证明命题：“若整系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有有理根，那么a，b，c中存在偶数”时，否定结论应为________

答案　a，b，c都不是偶数

解析　a，b，c中存在偶数即至少有一个偶数，其否定为a，b，c都不是偶数．

6．“任何三角形的外角都至少有两个钝角”的否定应是________．

答案　存在一个三角形，其外角最多有一个钝角

解析　“任何三角形”的否定是“存在一个三角形”，“至少有两个”的否定是“最多有一个”．

7．设二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)中，a、b、c均为整数，且f(0)，f(1)均为奇数．求证f(x)＝0无整数根．

证明　设f(x)＝0有一个整数根k，则

ak2＋bk＝－c. ①

又∵f(0)＝c，f(1)＝a＋b＋c均为奇数，

∴a＋b为偶数，当k为偶数时，显然与①式矛盾；

当k为奇数时，设k＝2n＋1(n∈Z)，

则ak2＋bk＝(2n＋1)·(2na＋a＋b)为偶数，也与①式矛盾，故假设不成立，所以方程f(x)＝0无整数根．

二、能力提升

8．已知x1>0，x1≠1且xn＋1＝(n＝1,2，…)，试证“数列{xn}对任意的正整数n都满足xn>xn＋1”，当此题用反证法否定结论时应为(　　)

A．对任意的正整数n，有xn＝xn＋1

B．存在正整数n，使xn＝xn＋1

C．存在正整数n，使xn≥xn＋1

D．存在正整数n，使xn≤xn＋1

答案　D

解析　“任意”的反语是“存在一个”．

9．设a，b，c都是正数，则三个数a＋，b＋，c＋(　　)

A．都大于2

B．至少有一个大于2

C．至少有一个不小于2

D．至少有一个不大于2

答案　C

解析　假设a＋<2，b＋<2，c＋<2，

则＋＋<6.

又＋＋＝＋＋≥2＋2＋2＝6，这与假设得到的不等式相矛盾，从而假设不正确，所以这三个数至少有一个不小于2.

10．若下列两个方程x2＋(a－1)x＋a2＝0，x2＋2ax－2a＝0中至少有一个方程有实根，则实数a的取值范围是________．

答案　a≤－2或a≥－1

解析　若两方程均无实根，则Δ1＝(a－1)2－4a2＝(3a－1)(－a－1)<0，∴a<－1或a>.Δ2＝(2a)2＋8a＝4a(a＋2)<0，∴－2<a<0，故－2<a<－1.若两个方程至少有一个方程有实根，则a≤－2或a≥－1.

11．已知a＋b＋c>0，ab＋bc＋ca>0，abc>0，求证a>0，b>0，c>0.

证明　用反证法：

假设a，b，c不都是正数，由abc>0可知，这三个数中必有两个为负数，一个为正数，

不妨设a<0，b<0，c>0，则由a＋b＋c>0，

可得c>－(a＋b)，

又a＋b<0，∴c(a＋b)<－(a＋b)(a＋b)

ab＋c(a＋b)<－(a＋b)(a＋b)＋ab

即ab＋bc＋ca<－a2－ab－b2

∵a2>0，ab>0，b2>0，∴－a2－ab－b2＝－(a2＋ab＋b2)<0，即ab＋bc＋ca<0，

这与已知ab＋bc＋ca>0矛盾，所以假设不成立．

因此a>0，b>0，c>0成立．

12．已知a，b，c∈(0,1)，求证(1－a)b，(1－b)c，(1－c)a不可能都大于.

证明　假设三个式子同时大于，

即(1－a)b>，(1－b)c>，(1－c)a>，

三式相乘得(1－a)a·(1－b)b·(1－c)c>， ①

又因为0<a<1，所以0<a(1－a)≤2＝.

同理0<b(1－b)≤，0<c(1－c)≤，

所以(1－a)a·(1－b)b·(1－c)c≤， ②

①与②矛盾，所以假设不成立，故原命题成立．

三、探究与创新

13．已知f(x)是R上的增函数，a，b∈R.证明下面两个命题：

(1)若a＋b＞0，则f(a)＋f(b)＞f(－a)＋f(－b)；

(2)若f(a)＋f(b)＞f(－a)＋f(－b)，则a＋b＞0.

证明　(1)因为a＋b＞0，所以a＞－b，b＞－a，

又因为f(x)是R上的增函数，所以f(a)＞f(－b)，

f(b)＞f(－a)，

由不等式的性质可知f(a)＋f(b)＞f(－a)＋f(－b)．

(2)假设a＋b≤0，则a≤－b，b≤－a，

因为f(x)是R上的增函数，所以f(a)≤f(－b)，f(b)≤f(－a)，

所以f(a)＋f(b)≤f(－a)＋f(－b)，

这与已知f(a)＋f(b)＞f(－a)＋f(－b)矛盾，

所以假设不正确，所以原命题成立.