高中数学人教版新课标A选修2-21.2导数的计算第2课时课后练习题

自我小测

1．已知f(x)＝ax3＋3x2＋2，若f′(－1)＝4，则a的值为(　　)

A．        B．        C．        D．

2．若曲线y＝在点(3,2)处的切线与直线ax＋y＋1＝0垂直，则a等于(　　)

A．2        B．        C．－        D．－2

3．函数y＝(ex＋e－x)的导数是(　　)

A．(ex－e－x)        B．(ex＋e－x)

C．ex－e－x          D．ex＋e－x

4．函数f(x)＝xcos x－sin x的导函数是(　　)

A．奇函数

B．偶函数

C．既是奇函数又是偶函数

D．既不是奇函数，又不是偶函数

5．曲线y＝在点(4，e2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为(　　)

A．4e2        B．2e2        C．e2        D．e2

6．已知函数f(x)＝(x－1)(x－2)(x－3)，则f′(1)＝__________.

7．已知直线y＝x＋1与曲线y＝ln(x＋a)相切，则a的值为__________．

8．已知y＝，x∈(－π，π)，当y′＝2时，x＝________.

9．已知函数f(x)＝ln(ax＋1)＋，x≥0，其中a＞0，若f′(1)＝0，求a的值．

10．若函数f(x)＝在x＝c处的导数值与函数值互为相反数，求c的值．

参考答案

1．解析：∵f′(x)＝3ax2＋6x，∴f′(－1)＝3a－6＝4.

∴a＝.

答案：B

2．解析：∵y＝＝1＋，∴y′＝－，

∴y′|x＝3＝－，

∴－a＝2，∴a＝－2.

答案：D

3．解析：设u＝e－x，v＝－x，则u′x＝(ev)′v′＝ev·(－1)＝－e－x，即y′＝(ex－e－x)．

答案：A

4．解析：∵f′(x)＝x′cos x＋x(cos x)′－cos x＝－xsin x，

∴f′(－x)＝xsin(－x)＝－xsin x＝f′(x)．

∴f′(x)为偶函数．

答案：B

5．解析：由导数的几何意义，切线的斜率

k＝y′|x＝4＝|x＝4＝e2，

所以切线方程为y－e2＝e2(x－4)，

令x＝0，得y＝－e2；令y＝0，得x＝2.

所以切线与坐标轴所围三角形的面积为

S＝×2e2＝e2.

答案：C

6．解析：方法一：∵f(x)＝(x2－3x＋2)(x－3)＝x3－6x2＋11x－6，

∴f′(x)＝3x2－12x＋11，故f′(1)＝3－12＋11＝2.

方法二：∵f′(x)＝(x－1)′·(x－2)(x－3)＋(x－1)·[(x－2)(x－3)]′，

∴f′(1)＝(1－2)(1－3)＝2.

答案：2

7．解析：设切点为(x0，y0)，则y0＝x0＋1，y0＝ln(x0＋a)，即x0＋1＝ln(x0＋a)．

∵y′＝，∴＝1，即x0＋a＝1.

∴x0＋1＝ln 1＝0，∴x0＝－1，∴a＝2.

答案：2

8．解析：y′＝

＝

＝＝

＝.

令＝2，则cos x＝－.

又x∈(－π，π)，故x＝±.

答案：±

9．解：f′(x)＝[ln(ax＋1)]′＋′

＝＋，

∴f′(1)＝－＝0.∴a＝1.

因此a的值为1.

10．解：∵f(x)＝，∴f(c)＝.

又∵f′(x)＝＝，

∴f′(c)＝.

依题意知f(c)＋f′(c)＝0，∴＋＝0.

∴2c－1＝0，得c＝.