人教版新课标A选修4-1第二讲 直线与圆的位置关系五 与圆有关的比例线段课后作业题

课时跟踪检测(十)  与圆有关的比例线段

一、选择题

1．在半径为12 cm的圆中，垂直平分半径的弦的长为(　　)

A．3 cm　　 B．27 cm  C．12  cm   D．6 cm

解析：选C　

法一：如图所示，OA＝12，CD为OA的垂直平分线，连接OD.

在Rt△POD中，

PD＝＝＝6，

∴CD＝2PD＝12(cm)．

法二：如图，延长AO交⊙O于M，

由相交弦定理得PA·PM＝PC·PD.

又∵CD为线段OA的垂直平分线，

∴PD2＝PA·PM.

又∵PA＝6，PM＝6＋12＝18，

∴PD2＝6×18.

∴PD＝6.

∴CD＝2PD＝12(cm)．

2．如图，CA，CD分别切圆O1于A，D两点，CB，CE分别切圆O2于B，E两点．若∠1＝60°，∠2＝65°，判断AB，CD，CE的长度，下列关系正确的是(　　)

A．AB>CE>CD　　　　   B．AB＝CE>CD

C．AB>CD>CE   D．AB＝CD＝CE

解析：选A　因为∠1＝60°，∠2＝65°，

所以∠ABC＝180°－∠1－∠2＝180°－60°－65°＝55°，

所以∠2>∠1>∠ABC，

所以AB>BC>AC.

因为CA，CD分别切圆O1于A，D两点，

CB，CE分别切圆O2于B，E两点，

所以AC＝CD，BC＝CE，

所以AB>CE>CD.

3．如图，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，以BD为直径的圆与BC交于点E，则(　　)

A．CE·CB＝AD·DB   B．CE·CB＝AD·AB

C．AD·AB＝CD2   D．CE·EB＝CD2

解析：选A　在直角三角形ABC中，根据直角三角形射影定理可得CD2＝AD·DB，再根据切割线定理可得CD2＝CE·CB，所以CE·CB＝AD·DB.

4.如图，已知PT切⊙O于点T，TC是⊙O的直径，割线PBA交TC于点D，交⊙O于B，A(B在PD上)，DA＝3，DB＝4，DC＝2，则PB等于(　　)

A．20   B．10

C．5   D．8

解析：选A　∵DA＝3，DB＝4，DC＝2，

∴由相交弦定理得DB·DA＝DC·DT，

即DT＝＝＝6.

∵TC为⊙O的直径，所以PT⊥DT.

设PB＝x，

则在Rt△PDT中，

PT2＝PD2－DT2＝(4＋x)2－36.

由切割线定理得PT2＝PB·PA＝x(x＋7)，

∴(4＋x)2－36＝x(x＋7)，

解得x＝20，即PB＝20.

二、填空题

5．AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为M，AM＝4，BM＝9，则弦CD的长为________．

解析：根据相交弦定理，AM·BM＝2，

所以＝6，CD＝12.

答案：12

6.如图所示，直线PB与圆O相切于点B，D是弦AC上的点，∠PBA＝∠DBA.若AD＝m，AC＝n，则AB＝________.

解析：因为直线PB是圆的切线，所以∠PBA＝∠C.

又因为∠PBA＝∠DBA，所以∠DBA＝∠C.

又因为∠A＝∠A，所以△ABD∽△ACB，

所以＝，所以AB＝＝.

答案：

7．如图，AB，CD是半径为a的圆O的两条弦，它们相交于AB的中点P，PD＝，∠OAP＝30°，则CP＝________.

解析：∵点P为弦AB的中点，

∴OP⊥AB.

∵∠OAP＝30°，OA＝a，

∴PA＝a，PB＝a.

由相交弦定理，得PA·PB＝PD·CP.

∴CP＝＝＝a.

答案：a

三、解答题

8.如图，已知PA，PB，DE分别切⊙O于A，B，C三点，PO＝13 cm，⊙O半径r＝5 cm.

求△PDE的周长．

解：∵PA，PB，DE分别切⊙O于A，B，C三点，

∴DA＝DC，EB＝EC.

∴△PDE的周长为

PA＋PB＝2PA.

连接OA，则OA⊥PA.

∴PA＝＝＝12(cm)．

∴△PDE的周长为24 cm.

9．如图，BC是半圆的直径，O是圆心，P是BC延长线上一点，PA切半圆于点A，AD⊥BC于点D.

(1)若∠B＝30°，AB与AP是否相等？请说明理由；

(2)求证：PD·PO＝PC·PB；

(3)若BD∶DC＝4∶1，且BC＝10，求PC的长．

解：(1)相等．

连接AO，如图所示．

∵PA是半圆的切线，

∴∠OAP＝90°.

∵OA＝OB，

∴∠B＝∠OAB.

∴∠AOD＝2∠B＝60°.

∴∠APO＝30°.

∴∠B＝∠APO.∴AB＝AP.

(2)证明：在Rt△OAP中，

∵AD⊥OP，∴PA2＝PD·PO.

∵PA是半圆的切线，

∴PA2＝PC·PB.

∴PD·PO＝PC·PB.

(3)∵BD∶DC＝4∶1，且BC＝10，

∴BD＝8，CD＝2.∴OD＝3.

∵OA2＝OD·OP，∴25＝3×OP.

∴OP＝.

∴PC＝－5＝.

10.如图，两个同心圆的圆心是O，大圆的半径为13，小圆的半径为5，AD是大圆的直径．大圆的弦AB，BE分别与小圆相切于点C，F.AD，BE相交于点G，连接BD.

(1)求BD的长；

(2)求∠ABE＋2∠D的度数；

(3)求的值．

解：(1)连接OC，因为AB是小圆的切线，C是切点，

所以OC⊥AB，

所以C是AB的中点．

因为AD是大圆的直径，

所以O是AD的中点．

所以OC是△ABD的中位线．

所以BD＝2OC＝10.

(2)连接AE.

由(1)知C是AB的中点．

同理F是BE的中点．

即AB＝2BC，BE＝2BF，

由切线长定理得BC＝BF.

所以BA＝BE.

所以∠BAE＝∠E.

因为∠E＝∠D，

所以∠ABE＋2∠D＝∠ABE＋∠E＋∠BAE＝180°.

(3)连接BO，在Rt△OCB中，

因为OB＝13，OC＝5，

所以BC＝12，AB＝24.

由(2)知∠OBG＝∠OBC＝∠OAC.

因为∠BGO＝∠AGB，

所以△BGO∽△AGB.

所以＝＝.