数学人教版新课标A第二章 数列综合与测试测试题
展开2021年高中数学《数列求和》
大题专项复习
1.已知在等比数列{an}中,a1=1,且a2是a1和a3-1的等差中项.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若数列{bn}满足b1+2b2+3b3+…+nbn=an(n∈N*),求{bn}的通项公式bn.
2.已知数列{an}中,a1=511,4an=an-1-3(n≥2).
(1)求证:数列{an+1}为等比数列,并求数列{an}的通项公式;
(2)令bn=|log2(an+1)|,求数列{bn}的前n项和Sn.
3.已知在数列{an}中,a1=2,a2=4,且an+1=3an-2an-1(n≥2).
(1)证明:数列{an+1-an}为等比数列,并求数列{an}的通项公式;
(2)令bn=,求数列{bn}的前n项和Tn.
4.已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=2,且满足an+1=Sn+2n+1(n∈N*).
(1)证明数列{}为等差数列;
(2)求S1+S2+…+Sn.
5.设数列{an}的前n项和为Sn.已知2Sn=3n+3.
(1)求{an}的通项公式;
(2)若数列{bn}满足an·bn=log3an,求{bn}的前n项和Tn.
6.已知数列{an}前n项和为Sn,且Sn=2n2+n,n∈N+,数列{bn}满足an=4log2bn+3,n∈N+.
(1)求an和bn的通项公式;
(2)求数列{an·bn}的前n项和Tn.
7.已知{an}是公差为1的等差数列,且a1,a2,a4成等比数列.
(1)求{an}的通项公式;
(2)求数列的前n项和.
8.已知等差数列{an}满足a3=6,前7项和为S7=49.
(1)求{an}的通项公式
(2)设数列{bn}满足bn=(an-3)·3n,求{bn}的前n项和Tn.
9.设数列{an}满足a1+3a2+...+(2n-1)an=2n.
(1)求{an}通项公式;
(2)求数列 的前n项和.
10.已知数列{an}是递增的等差数列,a2=3,a1,a3-a1,a8+a1成等比数列.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若bn=,数列{bn}的前n项和为Sn,求满足Sn>的最小的n的值.
0.答案解析
1.解:
(1)由题意,得2a2=a1+a3-1,
即2a1q=a1+a1q2-1,整理得2q=q2.
又q≠0,解得q=2,所以an=2n-1.
(2)当n=1时,b1=a1=1;
当n≥2时,nbn=an-an-1=2n-2,
即bn=,所以bn=
2.解:(1)证明:由已知得,an=an-1-(n≥2),
∴an+1=(an-1+1),又a1+1=512,
∴数列{an+1}是以512为首项,为公比的等比数列.
∴an+1=512×=211-2n,an=211-2n-1.
(2)bn=|log2(an+1)|=|11-2n|,
设数列{11-2n}的前n项和为Tn,则Tn=10n-n2,
当n≤5时,Sn=Tn=10n-n2;
当n≥6时,Sn=2S5-Tn=n2-10n+50.
所以Sn=.
3.解:(1)由an+1=3an-2an-1(n≥2),
得an+1-an=2(an-an-1),
因此数列{an+1-an}是公比为2,首项为a2-a1=2的等比数列.
所以当n≥2时,an-an-1=2×2n-2=2n-1,
an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1=(2n-1+2n-2+…+2)+2=2n,
当n=1时,也符合,故an=2n.
(2)由(1)知bn=,所以Tn=+++…+ ①,
Tn=+++…+ ②,
①-②,得Tn=++++…+-
=+2-=+2×-
=+1--=-,
所以Tn=3-.
4. (1)证明:由条件可知,Sn+1-Sn=Sn+2n+1,
即Sn+1-2Sn=2n+1,整理得-=1,
所以数列{}是以1为首项,1为公差的等差数列.
(2)解:由(1)可知,=1+n-1=n,即Sn=n·2n,
令Tn=S1+S2+…+Sn=1·2+2·22+…+n·2n,①
2Tn=1·22+…+(n-1)·2n+n·2n+1,②
①-②得-Tn=2+22+…+2n-n·2n+1,
整理得Tn=2+(n-1)·2n+1.
5.解:(1)因为,所以,,故
当时,此时,即
所以,
(2)因为,所以,
当时,所以,
当时,,
所以,两式相减,得
所以,经检验,时也适合,
综上可得:.
6.解:(1)∵,∴当时,.
当时,.
∵时,满足上式,∴.
又∵,∴,解得:.
故,,.
(2)∵,,
∴①
②
由①-②得:
∴,.
7.解:(1)由题意得,,故,
所以的通项公式为.
(2)设数列的前项和为,则,
,
两式相减得,
所以.
8.解:(1)由,得
因为所以
(2)
9.解:(1)数列满足
时,
∴ ∴当时,,上式也成立
∴
(2)
∴数列的前n项和
10.解:(1)设{an}的公差为d(d>0),由条件得
所以所以an=1+2(n-1)=2n-1.
(2)bn===(-),
所以Sn=(1-+-+…+-)=.
由>得n>12.
所以满足Sn>的最小的n的值为13.
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