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2021年陕西省初中学业水平考试 数学试卷（含答案）
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这是一份2021年陕西省初中学业水平考试 数学试卷（含答案），共19页。试卷主要包含了 本试卷分为第一部分和第二部分， 领到试卷和答题卡后，请用0， B 7， 解，5棵，平均数为10等内容，欢迎下载使用。
数学试卷
注意事项：
1. 本试卷分为第一部分(选择题)和第二部分(非选择题)。全卷共8页，总分120分。考试时间120分钟。
2. 领到试卷和答题卡后，请用0.5毫米黑色墨水签字笔，分别在试卷和答题卡上填写姓名和准考证号，同时用2B铅笔在答题卡上填涂对应的试卷类型信息点(A或B)。
3. 请在答题卡上各题的指定区域内作答，否则作答无效。
4. 作图时，先用铅笔作图，再用规定签字笔描黑。
5. 考试结束，本试卷和答题卡一并交回。
第一部分(选择题 共30分)
一、选择题(共10小题，每小题3分，计30分．每小题只有一个选项是符合题意的)
1．－8的立方根为
A. 2 B. －2 C. 4 D. －4
2．如图，是由两个大小不同的长方体组成的几何体，则该几何体的主视图为
3．如图，在△ABC中，∠A＝46°，∠B＝72°.若直线l∥BC，则∠1的度数为
A. 117° B. 120° C. 118° D. 128°
4．A′是点A(1, 2)关于x轴的对称点．若一个正比例函数的图象经过点A′，则该函数的表达式为
A. y＝eq \f(1,2)x B. y＝2x C. y＝－eq \f(1,2)x D. y＝－2x
5．下列计算正确的是
A. 3a4－a4＝3 B. (－5x3y2 )2＝10x6y4
C. (x＋1)(x－2)＝x2－x－2 D. (ab－1)2＝a2b2－1
6．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠C＝52°，BE为AC边上的中线，AD平分∠BAC，交BC边于点D，过点B作BF⊥AD，垂足为F，则∠EBF的度数为
A. 19° B. 33° C. 34° D. 43°
7．若直线y＝kx＋b(k≠0)经过点A(2，－3)，且与y轴的交点在x轴上方，则k的取值范围是
A. k>eq \f(3,2) B. k>－eq \f(3,2) C. k<－eq \f(3,2) D. k8．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，过矩形的对称中心O的直线EF，分别与AD、BC交于点E、F，且FC＝2.若H为OE的中点，连接BH并延长，与AD交于点G，则BG的长为
A. 8 B. eq \r(61) C. 3eq \r(5) D. 2eq \r(13)
9．如图，⊙O的半径为5，△ABC内接于⊙O，且BC＝8，AB＝AC，点D在eq \(AC,\s\up8(︵))上．若∠AOD＝∠BAC，则CD的长为
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
10．在平面直角坐标系中，将抛物线y＝x2－(a－2)x＋a2－1向右平移4个单位长度，平移后的抛物线与y轴的交点为A(0，3)，则平移后的抛物线的对称轴为
A. x＝－1 B. x＝1 C. x＝－2 D. x＝2
第二部分(非选择题 共90分)
二、填空题(共4小题，每小题3分，计12分)
11．比较大小：3eq \r(3)______________2eq \r(7)(填“>”，“＝”或“<”)．
12．如图，正五边形ABCDE的边长为1，对角线AC、BE相交于点O，则四边形OCDE的周长为__________.
13．如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的面积为4，边OA、OC分别在x轴、y轴上，一个反比例函数的图象经过点B.若该函数图象上的点P到y轴的距离是这个正方形边长的一半，则点P的坐标为______________.
14．如图，O为菱形ABCD的对称中心，AB＝4，∠BAD＝120°.若点E、F分别在AB、BC边上，连接OE、OF，则OE＋OF的最小值为______________．
三、解答题(共11小题，计78分．解答应写出过程)
15．(本题满分5分)
计算：－2×(eq \r(3))2＋|eq \r(5)－3|－(－65)0 .
16．(本题满分5分)
解方程： eq \f(5x－8,x2－9)－1＝eq \f(3－x,x＋3) .
17．(本题满分5分)
如图，已知∠AOB，点M在边OA上．请用尺规作图法求作⊙M，使⊙M与边OB相切．(保留作图痕迹，不写作法)
18．(本题满分5分)
如图，在△ABC中，D是BC边的中点，过点D作DE∥AB，并与AC交于点E，延长DE到点F，使得EF＝DE，连接AF.
求证：AF∥BC.
19．(本题满分7分)
今年植树节，某校开展了“植树造林，从我做起”的植树活动．该校参加本次植树活动的全体学生被分成了115个植树小组，按学校要求，每个植树小组至少植树10棵．经过一天的植树活动，校团委为了了解本次植树任务的完成情况，从这115个植树小组中随机抽查了10个小组，并对这10个小组植树的棵数进行了统计，结果如下：
根据以上提供的信息，解答下列问题：
(1)求所统计的这组数据的中位数和平均数；
(2)求抽查的这10个小组中，完成本次植树任务的小组所占的百分比；
(3)请你估计在本次植树活动中，该校学生共植树多少棵.
20．(本题满分7分)
新学期，小华和小明被选为升旗手，为了更好地完成升旗任务，他俩想利用测倾器和阳光下的影子来测量学校旗杆的高度PA.如图所示，旗杆直立于旗台上的点P处，他们的测量方法是：首先，在阳光下，小华站在旗杆影子的顶端F处，此时，量得小华的影长FG＝2 m，小华身高EF＝1.6 m；然后，在旗杆影子上的点D处，安装测倾器CD，测得旗杆顶端A的仰角为49°，量得CD＝0.6 m，DF＝6 m，旗台高BP＝1.2 m．已知在测量过程中，点B、D、F、G在同一水平直线上，点A、P、B在同一条直线上，AB、CD、EF均垂直于BG.求旗杆的高度PA. (参考数据：sin49°≈0.8，cs49°≈0.7，tan49°≈1.2)
21．(本题满分7分)
在所挂物体质量不超过25 kg时，一弹簧的长度y(cm)是所挂物体质量x(kg)的一次函数，其图象如图所示．
(1)求y与x之间的函数表达式及该弹簧不挂物体时的长度；
(2)若该弹簧挂上一个物体后，弹簧长度为16 cm，求这个物体的质量．
22．(本题满分7分)
从同一副扑克牌中选出7张，分为A、B两组，其中A组是三张牌，牌面数字分别为1，2，3；B组是四张牌，牌面数字分别为5，6，7，8.
(1)将A组牌的背面都朝上，洗匀，随机抽出一张，求抽出的这张牌的牌面数字是3的概率；
(2)小亮与小涛商定了一个游戏规则：分别将A、B两组牌的背面都朝上，洗匀，再分别从A、B两组牌中各随机抽出一张，将这两张牌的牌面数字相加，若和为偶数，则小亮获胜；若和为奇数，则小涛获胜. 请用列表或画树状图的方法说明这个游戏规则对双方是否公平.
23．(本题满分8分)
如图，⊙O的半径OA＝6，过点A作⊙O的切线AP，且AP＝8，连接PO并延长，与⊙O交于点B、D，过点B作BC∥OA，并与⊙O交于点C，连接AC、CD.
(1)求证：DC∥AP；
(2)求AC的长．
24．(本题满分10分)
在平面直角坐标系中，抛物线L经过点A(－1，0), B(3，0), C(1，－2).
(1)求抛物线L的表达式；
(2)连接AC、BC.以点D(1，2)为位似中心，画△A′B′C′，使它与△ABC位似，且相似比为2，A′、B′、C′分别是点A、B、C的对应点．试判定是否存在满足条件的点A′、B′在抛物线L上？若存在，求点A′、 B′的坐标；若不存在，请说明理由．
25．(本题满分12分)
问题提出
(1)如图①，已知直线l及l外一点A，试在直线l上确定B、C两点，使∠BAC＝90°，并画出这个Rt△ABC.
问题探究
(2)如图②，O是边长为28的正方形ABCD的对称中心，M是BC边上的中点，连接OM. 试在正方形ABCD的边上确定点N，使线段ON和OM将正方形ABCD分割成面积之比为1∶6的两部分．求点N到点M的距离．
问题解决
(3)如图③，有一个矩形花园ABCD，AB＝30 m，BC＝40 m．根据设计要求，点E、F在对角线BD上，且∠EAF＝60°，并在四边形区域AECF内种植一种红色花卉，在矩形内其他区域均种植一种黄色花卉．已知种植这种红色花卉每平方米需210元，种植这种黄色花卉每平方米需180元．试求按设计要求，完成这两种花卉的种植至少需费用多少元？(结果保留整数．参考数据：eq \r(2)≈1.4，eq \r(3)≈1.7)
2021年陕西省初中学业水平考试数学（答案）
1. B 2. A 3. C 4. D 5. C
6. B 7. C 8. D 9. B 10. D
11. < 12. 4
13. (1，4)或(－1，－4) 14. 2eq \r(3)
15. 解：原式＝－2×3＋(3－eq \r(5))－1(3分)
＝－6＋3－eq \r(5)－1(4分)
＝－4－eq \r(5) .(5分)
16. 解：5x－8－(x2－9)＝(3－x)(x－3)(2分)
5x－8－x2＋9 ＝－x2＋6x－9(3分)
－x＝－10
x＝10 .(4分)
经检验，x＝10是原方程的根．(5分)
17. 解：如图，⊙M即为所求．
(第17题答案图)
(5分)
18. 证明：∵DE∥AB，D为BC的中点，
∴AE＝EC.(1分)
又∵EF＝DE，∠AEF＝∠CED，
∴△AEF≌△CED.(3分)
∴∠F＝∠EDC.
∴AF∥BC.(5分)
19. 解：(1)∵eq \f(10＋11,2)＝10.5(棵)； x＝eq \f(9×1＋10×4＋11×3＋12×2,10)＝10.6(棵)．
∴所统计的这组数据的中位数为10.5棵，平均数为10.6棵．(3分)
(2)∵eq \f(4＋3＋2,10)×100%＝90%.
∴在抽查的10个小组中，90%的小组完成了植树任务．(5分)
(3)∵10.6×115＝1219(棵)．
∴估计在本次植树活动中，该校学生共植树1219棵．(7分)
20. 解：过点C作CH⊥AB于点H，则CH＝BD，BH＝CD＝0.6.
第20题图
在Rt△AHC中，tan49°＝eq \f(AH,CH)，即1.2＝eq \f(AH,BD)，
∴AH＝1.2BD.
∴AB＝AH＋HB＝1.2BD＋0.6.……(3分)
连接AF、EG.由题意，可得△EFG∽△ABF.
∴eq \f(AB,EF)＝eq \f(BF,FG)，即eq \f(1.2BD＋0.6,1.6)＝eq \f(BD＋6,2).
解之，得BD＝10.5，∴AB＝13.2.…(6分)
∴PA＝AB－PB＝13.2－1.2＝12(m)．
∴旗杆的高度PA为12 m．(7分)
21. 解：(1)设y与x的函数关系式为y＝kx＋b(k≠0)．
依题意，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(10k＋b＝17，,20k＋b＝19.)) 解之，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(k＝\f(1,5)，,b＝15.))
∴y＝eq \f(1,5)x＋15.(4分)
令x＝0，得y＝15.
∴该弹簧不挂物体时的长度为15 cm.(5分)
(2)当y＝16时，16＝eq \f(1,5)x＋15.解之，得x＝5.
∴这个物体的质量为5 kg.(7分)
22. 解：(1)从A组牌中随机抽取一张，共有3种等可能结果，其中牌面数字是3的结果只有1种．
∴P(牌面数字是3)＝eq \f(1,3).(2分)
(2)列表如下：
由上表可知，共有12种等可能的结果，其中两张牌的牌面数字之和为偶数的结果有6种，和为奇数的结果有6种．(5分)
∴P(小亮获胜)＝eq \f(1,2)， P(小涛获胜)＝eq \f(1,2).
∴该游戏规则对双方是公平的．(7分)
23. (1)证明：∵AP是⊙O的切线，
∴∠OAP＝90°.(1分)
∵BD是⊙O的直径，
∴∠BCD＝90°.(2分)
∵OA∥CB，
∴∠AOP＝∠DBC，
∴∠BDC＝∠APO.
∴DC∥AP.(3分)
第23题解图
(2)解：∵AO∥BC，OD＝OB，∴延长AO交DC于点E，则AE⊥DC，OE＝eq \f(1,2)BC，CE＝eq \f(1,2)CD.
在Rt△AOP中，OP＝eq \r(62＋82)＝10.
由(1)知，△AOP∽△CBD，
∴eq \f(DB,OP)＝eq \f(BC,OA)＝eq \f(DC,AP).
即eq \f(12,10)＝eq \f(BC,6)＝eq \f(DC,8)， ∴BC＝eq \f(36,5)，DC＝eq \f(48,5).(6分)
∴OE＝eq \f(18,5)，CE＝eq \f(24,5).
在Rt△AEC中，AC＝eq \r(（\f(48,5)）2＋（\f(24,5)）2)＝eq \f(24\r(5),5).(8分)
24. 解：(1)∵抛物线L经过点A(－1，0)，B(3，0)，
∴设L：y＝a(x＋1)(x－3) (a≠0)．(2分)
又∵C(1，－2)在L上，∴a＝eq \f(1,2).
第24题解图
∴y＝eq \f(1,2)x2－x－eq \f(3,2).(4分)
(2)如图，∵L：y＝eq \f(1,2)x2－x－eq \f(3,2)，
∴D(1，2)在L的对称轴x＝1上．
∵△A′B′C′与△ABC位似，位似中心为D(1，2)，且相似比为2.
∴①当△A′B′C′在△ABC下方时，显然，点A′、B′不会在抛物线L上(图略)；(5分)
②当△A′B′C′在△ABC上方时，易知，A′B′＝2AB＝8.
∴点A′、B′的横坐标分别为5，－3.
设对称轴x＝1分别与AB、A′B′的交点为E、E′.
由题意，可知DE＝2.∴点E的对应点E′(1，6)．
∴点A′、B′的纵坐标均为6.∴A′(5，6)，B′(－3，6)．(8分)
∵当x＝5时，y＝eq \f(1,2)×52－5－eq \f(3,2)＝6.
∴点A′(5，6)在抛物线L上．同理，可得B′(－3，6)也在抛物线L上．
∴存在点A′(5，6)，B′(－3，6)在抛物线L上．(10分)
25. 解：(1)如图①所示，Rt△ABC即为所求．(只要画出一个符合要求的Rt△ABC即可)(2分)
第25题解图①
(2)如图②，∵O是正方形ABCD的对称中心，且BM＝CM，
第25题解图②
∴S△BOM＝eq \f(1,8)×282＜eq \f(1,7)×282.
∴点N不可能在BM上，由对称性， 可知点N也不可能在MC上．显然，点N不在AD边上．(4分)
∴设点N在AB边上，连接ON.
由题意，得eq \f(1,2)(BN＋14)×14＝eq \f(1,7)×282，解之，得BN＝2.
由对称性知，当点N在CD边上时，可得CN＝2.
∴MN＝eq \r(142＋22)＝10eq \r(2).………………………(6分)
(3)如图③所示，过点A作AH⊥BD于点H，
第25题解图③
在Rt△ABD中，AB＝30，AD＝40，
∴BD＝50，AH＝24.易得S△AEF＝S△CEF.
∴S四边形AECF＝2S△AEF＝2×eq \f(1,2)×EF·AH＝24EF.
由题意可知，只有S四边形AECF最小时，按设计要求在矩形ABCD内种植红、黄两种花卉的费用最低．
要使S四边形AECF最小，就需EF最短．(8分)
∵AH⊥EF，tan∠HAD＝tan∠ABD＝eq \f(4,3)∴△AEF为锐角三角形．(9分)
作其中任一锐角△AEF的外接圆⊙O，过O作OG⊥EF于点G，连接OA、OF，则EF＝2GF，∠GOF＝∠EAF＝60°.
在Rt△OGF中，OF＝2OG，GF＝eq \r(3)OG，
∴EF＝2eq \r(3)OG，又∵OA＋OG≥AH，OA＝OF＝2OG，
∴2OG＋OG≥24，得OG≥8.
∴EF＝2eq \r(3)OG≥16eq \r(3).
∴当圆心O在AH上，即AE＝AF时，EF＝16eq \r(3).
∴EH＝8eq \r(3)＜18＝BH，FH＝8eq \r(3)<32＝HD.
∴当AE＝AF时，点E、F在BD上．
∴S四边形AECF的最小值为24×16eq \r(3)＝384eq \r(3).(11分)
∴384eq \r(3)×210＋(30×40－384eq \r(3))×180＝216000＋11520eq \r(3)≈235584(元)．
∴按设计要求，完成这两种花卉的种植至少需费用约为235584元．(12分)
A
B
5
6
7
8
1
6
7
8
9
2
7
8
9
10
3
8
9
10
11
数学试卷
注意事项：
1. 本试卷分为第一部分(选择题)和第二部分(非选择题)。全卷共8页，总分120分。考试时间120分钟。
2. 领到试卷和答题卡后，请用0.5毫米黑色墨水签字笔，分别在试卷和答题卡上填写姓名和准考证号，同时用2B铅笔在答题卡上填涂对应的试卷类型信息点(A或B)。
3. 请在答题卡上各题的指定区域内作答，否则作答无效。
4. 作图时，先用铅笔作图，再用规定签字笔描黑。
5. 考试结束，本试卷和答题卡一并交回。
第一部分(选择题 共30分)
一、选择题(共10小题，每小题3分，计30分．每小题只有一个选项是符合题意的)
1．－8的立方根为
A. 2 B. －2 C. 4 D. －4
2．如图，是由两个大小不同的长方体组成的几何体，则该几何体的主视图为
3．如图，在△ABC中，∠A＝46°，∠B＝72°.若直线l∥BC，则∠1的度数为
A. 117° B. 120° C. 118° D. 128°
4．A′是点A(1, 2)关于x轴的对称点．若一个正比例函数的图象经过点A′，则该函数的表达式为
A. y＝eq \f(1,2)x B. y＝2x C. y＝－eq \f(1,2)x D. y＝－2x
5．下列计算正确的是
A. 3a4－a4＝3 B. (－5x3y2 )2＝10x6y4
C. (x＋1)(x－2)＝x2－x－2 D. (ab－1)2＝a2b2－1
6．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠C＝52°，BE为AC边上的中线，AD平分∠BAC，交BC边于点D，过点B作BF⊥AD，垂足为F，则∠EBF的度数为
A. 19° B. 33° C. 34° D. 43°
7．若直线y＝kx＋b(k≠0)经过点A(2，－3)，且与y轴的交点在x轴上方，则k的取值范围是
A. k>eq \f(3,2) B. k>－eq \f(3,2) C. k<－eq \f(3,2) D. k
A. 8 B. eq \r(61) C. 3eq \r(5) D. 2eq \r(13)
9．如图，⊙O的半径为5，△ABC内接于⊙O，且BC＝8，AB＝AC，点D在eq \(AC,\s\up8(︵))上．若∠AOD＝∠BAC，则CD的长为
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
10．在平面直角坐标系中，将抛物线y＝x2－(a－2)x＋a2－1向右平移4个单位长度，平移后的抛物线与y轴的交点为A(0，3)，则平移后的抛物线的对称轴为
A. x＝－1 B. x＝1 C. x＝－2 D. x＝2
第二部分(非选择题 共90分)
二、填空题(共4小题，每小题3分，计12分)
11．比较大小：3eq \r(3)______________2eq \r(7)(填“>”，“＝”或“<”)．
12．如图，正五边形ABCDE的边长为1，对角线AC、BE相交于点O，则四边形OCDE的周长为__________.
13．如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的面积为4，边OA、OC分别在x轴、y轴上，一个反比例函数的图象经过点B.若该函数图象上的点P到y轴的距离是这个正方形边长的一半，则点P的坐标为______________.
14．如图，O为菱形ABCD的对称中心，AB＝4，∠BAD＝120°.若点E、F分别在AB、BC边上，连接OE、OF，则OE＋OF的最小值为______________．
三、解答题(共11小题，计78分．解答应写出过程)
15．(本题满分5分)
计算：－2×(eq \r(3))2＋|eq \r(5)－3|－(－65)0 .
16．(本题满分5分)
解方程： eq \f(5x－8,x2－9)－1＝eq \f(3－x,x＋3) .
17．(本题满分5分)
如图，已知∠AOB，点M在边OA上．请用尺规作图法求作⊙M，使⊙M与边OB相切．(保留作图痕迹，不写作法)
18．(本题满分5分)
如图，在△ABC中，D是BC边的中点，过点D作DE∥AB，并与AC交于点E，延长DE到点F，使得EF＝DE，连接AF.
求证：AF∥BC.
19．(本题满分7分)
今年植树节，某校开展了“植树造林，从我做起”的植树活动．该校参加本次植树活动的全体学生被分成了115个植树小组，按学校要求，每个植树小组至少植树10棵．经过一天的植树活动，校团委为了了解本次植树任务的完成情况，从这115个植树小组中随机抽查了10个小组，并对这10个小组植树的棵数进行了统计，结果如下：
根据以上提供的信息，解答下列问题：
(1)求所统计的这组数据的中位数和平均数；
(2)求抽查的这10个小组中，完成本次植树任务的小组所占的百分比；
(3)请你估计在本次植树活动中，该校学生共植树多少棵.
20．(本题满分7分)
新学期，小华和小明被选为升旗手，为了更好地完成升旗任务，他俩想利用测倾器和阳光下的影子来测量学校旗杆的高度PA.如图所示，旗杆直立于旗台上的点P处，他们的测量方法是：首先，在阳光下，小华站在旗杆影子的顶端F处，此时，量得小华的影长FG＝2 m，小华身高EF＝1.6 m；然后，在旗杆影子上的点D处，安装测倾器CD，测得旗杆顶端A的仰角为49°，量得CD＝0.6 m，DF＝6 m，旗台高BP＝1.2 m．已知在测量过程中，点B、D、F、G在同一水平直线上，点A、P、B在同一条直线上，AB、CD、EF均垂直于BG.求旗杆的高度PA. (参考数据：sin49°≈0.8，cs49°≈0.7，tan49°≈1.2)
21．(本题满分7分)
在所挂物体质量不超过25 kg时，一弹簧的长度y(cm)是所挂物体质量x(kg)的一次函数，其图象如图所示．
(1)求y与x之间的函数表达式及该弹簧不挂物体时的长度；
(2)若该弹簧挂上一个物体后，弹簧长度为16 cm，求这个物体的质量．
22．(本题满分7分)
从同一副扑克牌中选出7张，分为A、B两组，其中A组是三张牌，牌面数字分别为1，2，3；B组是四张牌，牌面数字分别为5，6，7，8.
(1)将A组牌的背面都朝上，洗匀，随机抽出一张，求抽出的这张牌的牌面数字是3的概率；
(2)小亮与小涛商定了一个游戏规则：分别将A、B两组牌的背面都朝上，洗匀，再分别从A、B两组牌中各随机抽出一张，将这两张牌的牌面数字相加，若和为偶数，则小亮获胜；若和为奇数，则小涛获胜. 请用列表或画树状图的方法说明这个游戏规则对双方是否公平.
23．(本题满分8分)
如图，⊙O的半径OA＝6，过点A作⊙O的切线AP，且AP＝8，连接PO并延长，与⊙O交于点B、D，过点B作BC∥OA，并与⊙O交于点C，连接AC、CD.
(1)求证：DC∥AP；
(2)求AC的长．
24．(本题满分10分)
在平面直角坐标系中，抛物线L经过点A(－1，0), B(3，0), C(1，－2).
(1)求抛物线L的表达式；
(2)连接AC、BC.以点D(1，2)为位似中心，画△A′B′C′，使它与△ABC位似，且相似比为2，A′、B′、C′分别是点A、B、C的对应点．试判定是否存在满足条件的点A′、B′在抛物线L上？若存在，求点A′、 B′的坐标；若不存在，请说明理由．
25．(本题满分12分)
问题提出
(1)如图①，已知直线l及l外一点A，试在直线l上确定B、C两点，使∠BAC＝90°，并画出这个Rt△ABC.
问题探究
(2)如图②，O是边长为28的正方形ABCD的对称中心，M是BC边上的中点，连接OM. 试在正方形ABCD的边上确定点N，使线段ON和OM将正方形ABCD分割成面积之比为1∶6的两部分．求点N到点M的距离．
问题解决
(3)如图③，有一个矩形花园ABCD，AB＝30 m，BC＝40 m．根据设计要求，点E、F在对角线BD上，且∠EAF＝60°，并在四边形区域AECF内种植一种红色花卉，在矩形内其他区域均种植一种黄色花卉．已知种植这种红色花卉每平方米需210元，种植这种黄色花卉每平方米需180元．试求按设计要求，完成这两种花卉的种植至少需费用多少元？(结果保留整数．参考数据：eq \r(2)≈1.4，eq \r(3)≈1.7)
2021年陕西省初中学业水平考试数学（答案）
1. B 2. A 3. C 4. D 5. C
6. B 7. C 8. D 9. B 10. D
11. < 12. 4
13. (1，4)或(－1，－4) 14. 2eq \r(3)
15. 解：原式＝－2×3＋(3－eq \r(5))－1(3分)
＝－6＋3－eq \r(5)－1(4分)
＝－4－eq \r(5) .(5分)
16. 解：5x－8－(x2－9)＝(3－x)(x－3)(2分)
5x－8－x2＋9 ＝－x2＋6x－9(3分)
－x＝－10
x＝10 .(4分)
经检验，x＝10是原方程的根．(5分)
17. 解：如图，⊙M即为所求．
(第17题答案图)
(5分)
18. 证明：∵DE∥AB，D为BC的中点，
∴AE＝EC.(1分)
又∵EF＝DE，∠AEF＝∠CED，
∴△AEF≌△CED.(3分)
∴∠F＝∠EDC.
∴AF∥BC.(5分)
19. 解：(1)∵eq \f(10＋11,2)＝10.5(棵)； x＝eq \f(9×1＋10×4＋11×3＋12×2,10)＝10.6(棵)．
∴所统计的这组数据的中位数为10.5棵，平均数为10.6棵．(3分)
(2)∵eq \f(4＋3＋2,10)×100%＝90%.
∴在抽查的10个小组中，90%的小组完成了植树任务．(5分)
(3)∵10.6×115＝1219(棵)．
∴估计在本次植树活动中，该校学生共植树1219棵．(7分)
20. 解：过点C作CH⊥AB于点H，则CH＝BD，BH＝CD＝0.6.
第20题图
在Rt△AHC中，tan49°＝eq \f(AH,CH)，即1.2＝eq \f(AH,BD)，
∴AH＝1.2BD.
∴AB＝AH＋HB＝1.2BD＋0.6.……(3分)
连接AF、EG.由题意，可得△EFG∽△ABF.
∴eq \f(AB,EF)＝eq \f(BF,FG)，即eq \f(1.2BD＋0.6,1.6)＝eq \f(BD＋6,2).
解之，得BD＝10.5，∴AB＝13.2.…(6分)
∴PA＝AB－PB＝13.2－1.2＝12(m)．
∴旗杆的高度PA为12 m．(7分)
21. 解：(1)设y与x的函数关系式为y＝kx＋b(k≠0)．
依题意，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(10k＋b＝17，,20k＋b＝19.)) 解之，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(k＝\f(1,5)，,b＝15.))
∴y＝eq \f(1,5)x＋15.(4分)
令x＝0，得y＝15.
∴该弹簧不挂物体时的长度为15 cm.(5分)
(2)当y＝16时，16＝eq \f(1,5)x＋15.解之，得x＝5.
∴这个物体的质量为5 kg.(7分)
22. 解：(1)从A组牌中随机抽取一张，共有3种等可能结果，其中牌面数字是3的结果只有1种．
∴P(牌面数字是3)＝eq \f(1,3).(2分)
(2)列表如下：
由上表可知，共有12种等可能的结果，其中两张牌的牌面数字之和为偶数的结果有6种，和为奇数的结果有6种．(5分)
∴P(小亮获胜)＝eq \f(1,2)， P(小涛获胜)＝eq \f(1,2).
∴该游戏规则对双方是公平的．(7分)
23. (1)证明：∵AP是⊙O的切线，
∴∠OAP＝90°.(1分)
∵BD是⊙O的直径，
∴∠BCD＝90°.(2分)
∵OA∥CB，
∴∠AOP＝∠DBC，
∴∠BDC＝∠APO.
∴DC∥AP.(3分)
第23题解图
(2)解：∵AO∥BC，OD＝OB，∴延长AO交DC于点E，则AE⊥DC，OE＝eq \f(1,2)BC，CE＝eq \f(1,2)CD.
在Rt△AOP中，OP＝eq \r(62＋82)＝10.
由(1)知，△AOP∽△CBD，
∴eq \f(DB,OP)＝eq \f(BC,OA)＝eq \f(DC,AP).
即eq \f(12,10)＝eq \f(BC,6)＝eq \f(DC,8)， ∴BC＝eq \f(36,5)，DC＝eq \f(48,5).(6分)
∴OE＝eq \f(18,5)，CE＝eq \f(24,5).
在Rt△AEC中，AC＝eq \r(（\f(48,5)）2＋（\f(24,5)）2)＝eq \f(24\r(5),5).(8分)
24. 解：(1)∵抛物线L经过点A(－1，0)，B(3，0)，
∴设L：y＝a(x＋1)(x－3) (a≠0)．(2分)
又∵C(1，－2)在L上，∴a＝eq \f(1,2).
第24题解图
∴y＝eq \f(1,2)x2－x－eq \f(3,2).(4分)
(2)如图，∵L：y＝eq \f(1,2)x2－x－eq \f(3,2)，
∴D(1，2)在L的对称轴x＝1上．
∵△A′B′C′与△ABC位似，位似中心为D(1，2)，且相似比为2.
∴①当△A′B′C′在△ABC下方时，显然，点A′、B′不会在抛物线L上(图略)；(5分)
②当△A′B′C′在△ABC上方时，易知，A′B′＝2AB＝8.
∴点A′、B′的横坐标分别为5，－3.
设对称轴x＝1分别与AB、A′B′的交点为E、E′.
由题意，可知DE＝2.∴点E的对应点E′(1，6)．
∴点A′、B′的纵坐标均为6.∴A′(5，6)，B′(－3，6)．(8分)
∵当x＝5时，y＝eq \f(1,2)×52－5－eq \f(3,2)＝6.
∴点A′(5，6)在抛物线L上．同理，可得B′(－3，6)也在抛物线L上．
∴存在点A′(5，6)，B′(－3，6)在抛物线L上．(10分)
25. 解：(1)如图①所示，Rt△ABC即为所求．(只要画出一个符合要求的Rt△ABC即可)(2分)
第25题解图①
(2)如图②，∵O是正方形ABCD的对称中心，且BM＝CM，
第25题解图②
∴S△BOM＝eq \f(1,8)×282＜eq \f(1,7)×282.
∴点N不可能在BM上，由对称性， 可知点N也不可能在MC上．显然，点N不在AD边上．(4分)
∴设点N在AB边上，连接ON.
由题意，得eq \f(1,2)(BN＋14)×14＝eq \f(1,7)×282，解之，得BN＝2.
由对称性知，当点N在CD边上时，可得CN＝2.
∴MN＝eq \r(142＋22)＝10eq \r(2).………………………(6分)
(3)如图③所示，过点A作AH⊥BD于点H，
第25题解图③
在Rt△ABD中，AB＝30，AD＝40，
∴BD＝50，AH＝24.易得S△AEF＝S△CEF.
∴S四边形AECF＝2S△AEF＝2×eq \f(1,2)×EF·AH＝24EF.
由题意可知，只有S四边形AECF最小时，按设计要求在矩形ABCD内种植红、黄两种花卉的费用最低．
要使S四边形AECF最小，就需EF最短．(8分)
∵AH⊥EF，tan∠HAD＝tan∠ABD＝eq \f(4,3)
作其中任一锐角△AEF的外接圆⊙O，过O作OG⊥EF于点G，连接OA、OF，则EF＝2GF，∠GOF＝∠EAF＝60°.
在Rt△OGF中，OF＝2OG，GF＝eq \r(3)OG，
∴EF＝2eq \r(3)OG，又∵OA＋OG≥AH，OA＝OF＝2OG，
∴2OG＋OG≥24，得OG≥8.
∴EF＝2eq \r(3)OG≥16eq \r(3).
∴当圆心O在AH上，即AE＝AF时，EF＝16eq \r(3).
∴EH＝8eq \r(3)＜18＝BH，FH＝8eq \r(3)<32＝HD.
∴当AE＝AF时，点E、F在BD上．
∴S四边形AECF的最小值为24×16eq \r(3)＝384eq \r(3).(11分)
∴384eq \r(3)×210＋(30×40－384eq \r(3))×180＝216000＋11520eq \r(3)≈235584(元)．
∴按设计要求，完成这两种花卉的种植至少需费用约为235584元．(12分)
A
B
5
6
7
8
1
6
7
8
9
2
7
8
9
10
3
8
9
10
11
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