“超级全能生”2021届高三全国卷地区3月联考试题：文数卷及答案

“超级全能生”2021高考全国卷地区3月联考丙卷

数学文科答案及评分标准

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

选择题评分标准：选对得分，错选，多选，不选均不得分。

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

填空评分标准：按参考答案给分，结果必须化简，完全正确，写错、未化简、多写答案、少写答案均不给分。

13．x－y＋1＝0　

14．－2　

15.　

16．2　

三、解答题：共70分，解答题写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生必须作答。第22，23题为选考题，考生根据要求作答。

解答题评分标准

（1）导函数：

求单调区间过程要清楚，分类讨论各区间情况需做到无遗漏。遗漏不给分。

取值写成区间或者集合的形式，未写扣1分。

（2）选做题：

[极坐标方程]直角坐标方程转换需要过程，没有过程不得分。

[解不等式]解集要写成集合或区间，未写扣1分。

（3）具体步骤分参照答案解析，没有步骤只有答案均不给分。

（4）试题有不同解法时，解法正确即可酌情给分。

17．解：(Ⅰ)设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q，

由a1＋a2＋b1＝10，b3＝S2，

联立可得

解得d＝3，q＝3或q＝－3(舍)，(3分)

故an＝3＋3(n－1)＝3n(n∈N*)，bn＝3n－1(n∈N*)．(5分)

(Ⅱ)由(Ⅰ)得Sn＝＝，

所以＝＝，(8分)

所以Tn＝＋＋…＋＝＋＋…＋，(10分)

＝(11分)

＝.(12分)

18．解：(Ⅰ)且由表中数据可得(1分)

(3分)

∴＝1.1－0.03×6.5≈0.91，(4分)

∴所求的线性回归方程为＝0.03x＋0.91.(5分)

(Ⅱ)由(Ⅰ)知xi，yi，i对应的值如下，(8分)

由表可知从5月份至10月份销售数据满足|i－yi|＞0.07的共有3个，分别设为a，b，c，其余3个分别设为1，2，3，(9分)

从以上6个数据中任取2个，有ab，ac，a1，a2，a3，bc，b1，b2，b3，c1，c2，c3，12，13，23，共15种结果，其中抽取的2个销售数据中至少有一个是“好数据”有ab，ac，a1，a2，a3，bc，b1，b2，b3，c1，c2，c3，共12种结果，(11分)

∴所求概率P＝＝.(12分)

19．解：(Ⅰ)证明：如图，连接AC.

∵四边形ABCD是菱形，

∴AC⊥BD于点O.(1分)

∵D1O⊥平面ABCD，

∴AC⊥D1O.(2分)

又D1O∩BD＝O，

∴AC⊥平面BDD1，(3分)

∴AC⊥BD1.(4分)

又在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AC∥A1C1，(5分)

∴A1C1⊥BD1.(6分)

(Ⅱ)∵在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，C1D1∥平面ABCD.(7分)

又E是C1D1的中点，D1O⊥平面ABCD，

∴点E到平面ABCD的距离为D1O.(8分)

又四棱柱的所有棱长为4，∠BAD＝60°，(9分)

∴BD＝4，AC＝4，(10分)

∴D1O＝＝＝2，(11分)

∴VB－ACE＝VE－ABC＝D1O·S△ABC＝×2××4×2＝8.(12分)

20．解：(Ⅰ)由题意得，f′(x)＝＋4(x＞0)，(1分)

当a≥0时，f′(x)＞0恒成立，

∴函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增；(2分)

当a＜0时，令f′(x)＝＋4＝0，解得x＝－，(3分)

∴当x∈时，f′(x)＜0；

当x∈时，f′(x)＞0，

∴函数f(x)在上单调递减，在上单调递增．(5分)

综上可知，当a≥0时，函数f(x)在(0，＋∞)上内单调递增；

当a＜0时，函数f(x)在上单调递减，在上单调递增．(6分)

(Ⅱ)∵f(x)＝alnx＋4x，

∴f(x)－(a2＋4)x＋ax2>0恒成立，

即alnx－a2x＋ax2＞0恒成立，

当a＞0，x＞1时，a＜x＋恒成立．(7分)

设g(x)＝x＋，x＞1，

∴g′(x)＝.

令h(x)＝x2－2lnx＋2，

∴h′(x)＝2x－，

∴当x∈(1，＋∞)时，h′(x)＞0，

∴函数h(x)在(1，＋∞)上单调递增，(8分)

∴h(x)＞h(1)＝3，

∴g′(x)＝＞0，

∴函数g(x)在(1，＋∞)上单调递增，

∴当x＞1时，g(x)min＞g(1)＝，

∴0＜a≤；

当a＝0时，alnx－a2x＋ax2＞0显然不成立；(10分)

当a＜0，x＞1时，a＞＋x恒成立，设g(x)＝x＋，则g(x)min>g(1)＝，显然a＞g(x)不成立，(11分)

∴实数a的取值范围为.(12分)

21．解：(Ⅰ)由题易知，点Q在直线x＝－2上，且PQ与直线x＝－2垂直，

∴|PQ|即为点P到直线x＝－2的距离．(1分)

∵点P在线段FQ的垂直平分线上，

∴点P到点F(2，0)与点Q即到直线x＝－2的距离相等，

∴点P的轨迹是以F(2，0)焦点，x＝－2为准线的抛物线，(3分)

∴＝2，

∴p＝4，(3分)

∴点P的轨迹方程为y2＝8x.(4分)

(Ⅱ)设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且直线l与x轴交于点M(－b，0)．

联立消去x得y2－8y＋8b＝0.(5分)

由Δ＞0得64－32b＞0，

∴0＜b＜2，(6分)

∴y1＋y2＝8，y1y2＝8b，(7分)

∴|MF|＝2＋b，|y1－y2|＝＝，(8分)

∴S△ABF＝|MF||y1－y2|

＝(b＋2)＝2(b＋2)

＝2·.(9分)

设f(b)＝－b3－2b2＋4b＋8，

则f′(b)＝－3b2－4b＋4，

当b∈时f′(b)＞0；

当b∈时f′(b)＜0，(10分)

∴f(b)max＝f＝－－2×＋4×＋8＝，(11分)

∴△ABF面积的最大值为2×＝.(12分)

22．解：(Ⅰ)将(t为参数)消去t得y2＝4x，(2分)

∴曲线C的普通方程为y2＝4x.(3分)

将x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入2ρcosθ－ρsinθ－2＝0得2x－y－2＝0，

∴直线l的直角坐标方程为2x－y－2＝0.(5分)

(Ⅱ)解法一：联立方程消去y得x2－3x＋1＝0，(6分)

Δ＝(－3)2－4×1×1＝5＞0.

设点M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1＋x2＝3.(7分)

由于直线l恰好过抛物线y2＝4x的焦点，

∴|MN|＝x1＋x2＋2＝5.(8分)

又∵原点O到直线l的距离d＝＝，(9分)

∴S△OMN＝|MN|×d＝×5×＝.(10分)

解法二：直线l的参数方程为(t为参数)，并代入抛物线y2＝4x得＝4，(6分)

即t2－t－5＝0.

设点M，N对应的参数分别为t1，t2，

∴t1＋t2＝，t1t2＝－5，(7分)

∴|MN|＝|t1－t2|＝＝＝5，(8分)

∴原点O到直线l的距离d＝＝，(9分)

∴S△OMN＝|MN|×d＝×5×＝.(10分)

23．解：(Ⅰ)当a＝1时，不等式g(x)－f(x)－＞0即为|x－2|－|x－1|＞，(1分)

当x≤1时，2－x－(1－x)＞，即1＞恒成立，故x≤1；(2分)

当1＜x＜2时，－(x－2)－(x－1)＞，即3－2x＞，解得1<x＜；(3分)

当x≥2时，(x－2)－(x－1)＞，－1＞不成立，不等式无解，(4分)

综上所述，不等式g(x)－f(x)－＞0的解集为.(5分)

(Ⅱ)解法一：由题意得a2＋b2＝g(4)＝|4－2|＝2，c2＋d2＝1，(6分)

∴(ac＋bd)2＝(ac)2＋2abcd＋(bd)2(7分)

≤(ac)2＋(bd)2＋(ad)2＋(bc)2

＝(a2＋b2)(c2＋d2)＝2，

∴ac＋bd≤.(8分)

∵a，b，c，d都为正数，

∴当且仅当a＝b＝1，c＝d＝时等号成立，(9分)

∴ac＋bd≤，

∴ac＋bd的最大值为.(10分)

解法二：由题意得a2＋b2＝g(4)＝|4－2|＝2，c2＋d2＝1，(6分)

由柯西不等式(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，(7分)

得2≥(ac＋bd)2.(8分)

∵a，b，c，d都为正数，

∴当且仅当a＝b＝1，c＝d＝时等号成立，(9分)

∴ac＋bd≤，

∴ac＋bd的最大值为.(10分)