考场仿真卷03-2021年高考数学（文）模拟考场仿真演练卷(新课标Ⅰ卷)

这是一份考场仿真卷03-2021年高考数学（文）模拟考场仿真演练卷(新课标Ⅰ卷)，共23页。试卷主要包含了若，则的大小关系是，已知双曲线等内容，欢迎下载使用。

绝密★启用前
2021年高考数学（文）模拟考场仿真演练卷
第三模拟
本试卷共23题（含选考题）.全卷满分150分.考试用时120分钟.
注意事项：
1．答卷前,考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.
2．回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.回答非选择题时,将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3．考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1．满足的集合的个数是（ ）
A． B． C． D．
2．已知复数，则
A． B． C． D．
3．随着互联网和物流行业的快速发展，快递业务已经成为人们日常生活当中不可或缺的重要组成部分.下图是2012-2020年我国快递业务量变化情况统计图，则关于这年的统计信息，下列说法正确的是（ ）
2012-2020年我国快递业务量变化情况

A．这年我国快递业务量有增有减
B．这年我国快递业务量同比增速的中位数为
C．这年我国快递业务量同比增速的极差未超过
D．这年我国快递业务量的平均数超过亿件
4．若实数，满足约束条件，则的最大值为（ ）
A．-1 B．-3 C．3 D．5
5．如图所示，流程图所给的程序运行结果为，那么判断框中所填入的关于的条件是（ ）

A． B．
C． D．
6.已知平面向量，，则（ ）
A． B． C． D．
7．一个长方体的平面展开图如图所示，其中，，，点为的中点，则将该长方体还原后，与所成角的余弦值为（ ）

A． B． C． D．
8.在数学发展史上，已知各除数及其对应的余数，求适合条件的被除数，这类问题统称为剩余问题.年《孙子算经》中“物不知其数”问题的解法传至欧洲，在西方的数学史上将“物不知其数”问题的解法称之为“中国剩余定理”.“物不知其数”问题后经秦九韶推广，得到了一个普遍的解法，提升了“中国剩余定理”的高度.现有一个剩余问题：在的整数中，把被除余数为，被除余数也为的数，按照由小到大的顺序排列，得到数列，则数列的项数为（ ）
A． B． C． D．
9．若，则的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
10．已知双曲线（，）的左焦点为，过点且与轴平行的直线与双曲线交于，两点，若为等腰直角三角形（为坐标原点），则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
11．已知函数的部分图象如图所示，将的图象向右平移个单位长度，得到函数，若满足，则的最小值为（ ）

A． B． C． D．
12．蹴鞠，又名“蹴球”“蹴圆”等，“蹴”有用脚蹴、踢的含义，“鞠”最早系外包皮革、内饰米糠的球，因而“蹴鞠”就是指古人以脚蹴、踢皮球的活动，类似今日的踢足球活动.如图所示，已知某“鞠”的表面上有四个点，，，满足，，则该“鞠”的表面积为（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题：本题共4小题,每小题5分,共20分.
13．已知甲、乙、丙三人恰好都去过北京、上海中的某一个城市，三人分别给出了以下说法：甲说：我去过北京，乙去过上海，丙去过北京；乙说：我去过上海，甲说的不完全对；丙说：我去过北京，乙说的对．若甲、乙、丙三人中恰好有1人说得不对，则去过北京的是_____．
14. 设是首项为的等比数列，是其前项和．若，则__________．
15.若函数与的图象有一条公共切线，且该公共切线与直线平行，则实数______.
16．抛物线()的焦点为，准线为，､是抛物线上两个动点，且满足，设线段的中点在上的投影为，则的最大值是___________.
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.
（一）必考题：共60分.
17.(12分) 如图，在四边形中，，，为锐角三角形，且，，.

（1）求的值；
（2）求的面积.
18.(12分) 如图，四棱锥中，，，，平面平面，点为的中点.

（1）求证：平面；
（2）若，求四棱锥的体积.
19.(12分) 某公司对项目进行生产投资，所获得的利润有如下统计数据表：
项目投资金额（单位：百万元）





所获利润（单位：百万元）





（1）请用线性回归模型拟合与的关系，并用相关系数加以说明；
（2）该公司计划用百万元对、两个项目进行投资．若公司对项目投资百万元所获得的利润近似满足：，求、两个项目投资金额分别为多少时，获得的总利润最大？
附：①对于一组数据、、、，其回归直线方程的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：，．
②线性相关系数．一般地，相关系数的绝对值在以上（含）认为线性相关性较强；否则，线性相关性较弱．
参考数据：对项目投资的统计数据表中，，．
20.(12分) 已知椭圆的左、右焦点分别为，，为椭圆上一动点，当的面积最大时，其内切圆半径为，椭圆的左、右顶点分别为，，且．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过的直线与椭圆相交于点，（不与顶点重合），过右顶点分别作直线，与直线相交于，两点，以为直径的圆是否恒过某定点？若是，求出该定点坐标；若不是，请说明理由．
21.(12分) 已知函数.
（1）若存在极值，求的取值范围；
（2）当时，求证：.
（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分.
22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）
在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数，）.以为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，圆的极坐标方程为.
（1）若直线与相切，求的值；
（2）已知直线与圆相交于点，，记点的直角坐标为，若，求直线的普通方程.
23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）
已知，，为正数，且满足．证明：
（1）；
（2）．








绝密★启用前
2021年高考数学（文）模拟考场仿真演练卷
第三模拟
本试卷共23题（含选考题）.全卷满分150分.考试用时120分钟.
注意事项：
1．答卷前,考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.
2．回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.回答非选择题时,将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3．考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1．满足的集合的个数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】依题意得，或或或，的个数有个，
故选D
2．已知复数，则
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】，，故选A.
3．随着互联网和物流行业的快速发展，快递业务已经成为人们日常生活当中不可或缺的重要组成部分.下图是2012-2020年我国快递业务量变化情况统计图，则关于这年的统计信息，下列说法正确的是（ ）
2012-2020年我国快递业务量变化情况

A．这年我国快递业务量有增有减
B．这年我国快递业务量同比增速的中位数为
C．这年我国快递业务量同比增速的极差未超过
D．这年我国快递业务量的平均数超过亿件
【答案】D
【解析】由条形图可知，这年我国快递业务量逐年增加，故错误；将各年我国快递业务量同比增速按从小到大排列得：，，，，，，，，，
故中位数为第个数，故错误；这年我国快递业务量同比增速的极差为，故错误；由条形图可知，自2016年起，各年的快递业务量远超过亿件，故快递业务量的平均数超过亿件，正确.故选D.
4．若实数，满足约束条件，则的最大值为（ ）
A．-1 B．-3 C．3 D．5
【答案】C
【解析】由约束条件得如图所示的三角形区域，

由可得，将变形为，平移直线，由图可知当直经过点时，直线在轴上的截距最小，最大，最大值为
故选C.
5．如图所示，流程图所给的程序运行结果为，那么判断框中所填入的关于的条件是（ ）

A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由程序流程的输出结果，知：1、：执行循环，；
2、：执行循环，；
3、：执行循环，；
4、：执行循环，；
由题设输出结果为，故第5步输出结果，此时.故选B.
6.已知平面向量，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为，所以，所以，
故选A.
7．一个长方体的平面展开图如图所示，其中，，，点为的中点，则将该长方体还原后，与所成角的余弦值为（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【解析】将该长方体还原后的直观图如图所示，

取的中点，则易证得，所以（或补角）即为异面直线与所成的角，
易求得，，由余弦定理得.
故选B.
8.在数学发展史上，已知各除数及其对应的余数，求适合条件的被除数，这类问题统称为剩余问题.年《孙子算经》中“物不知其数”问题的解法传至欧洲，在西方的数学史上将“物不知其数”问题的解法称之为“中国剩余定理”.“物不知其数”问题后经秦九韶推广，得到了一个普遍的解法，提升了“中国剩余定理”的高度.现有一个剩余问题：在的整数中，把被除余数为，被除余数也为的数，按照由小到大的顺序排列，得到数列，则数列的项数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意可知，数列中的项由小到大排列依次为、、、、，
可知数列是以为首项，以为公差的等差数列，则，
由可得，解得，，则，
因此，数列的项数为.故选A.
9．若，则的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】分别画出函数的图象，如图所示，由图象，可得.
故选B.

10．已知双曲线（，）的左焦点为，过点且与轴平行的直线与双曲线交于，两点，若为等腰直角三角形（为坐标原点），则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设点的坐标为，则可得直线，与联立，可得，，又因为为等腰直角三角形，所以，即，，整理得，解得或（舍），故选D.

11．已知函数的部分图象如图所示，将的图象向右平移个单位长度，得到函数，若满足，则的最小值为（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【解析】法一：由图可知，，图象过点，，，.的图象过点，，
，，
，，
由，得的图象关于直线对称，
所以，
，，又，
所以，故选.
法二：，故图象对称轴可表示为，
的图象的一条对称轴为，
当时，可知的左侧图象离最近的对称轴为，
故的最小值为，故选.
12．蹴鞠，又名“蹴球”“蹴圆”等，“蹴”有用脚蹴、踢的含义，“鞠”最早系外包皮革、内饰米糠的球，因而“蹴鞠”就是指古人以脚蹴、踢皮球的活动，类似今日的踢足球活动.如图所示，已知某“鞠”的表面上有四个点，，，满足，，则该“鞠”的表面积为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由已知得△，△均为等边三角形.如图所示，

设球心为，△的中心为，取的中点，连接，，，，，，
则，，得平面，且可求得，而，所以.在平面中过点作的垂线，与的延长线交于点，由平面，得，故平面，过点作于点，则四边形是矩形.
则，，
，.
设球的半径为，，则由，，
得，，
解得，.故三棱锥外接球的表面积.
二、填空题：本题共4小题,每小题5分,共20分.
13．已知甲、乙、丙三人恰好都去过北京、上海中的某一个城市，三人分别给出了以下说法：甲说：我去过北京，乙去过上海，丙去过北京；乙说：我去过上海，甲说的不完全对；丙说：我去过北京，乙说的对．若甲、乙、丙三人中恰好有1人说得不对，则去过北京的是_____．
【答案】丙
【解析】若甲说得不对，则乙、丙说得对，即乙一定去过上海，丙一定去过北京，甲只去过上海，
若乙或丙说得不对，则得出与”甲、乙、丙三人中恰有1人说得不对“矛盾，故去过北京的是丙．
14. 设是首项为的等比数列，是其前项和．若，则__________．
【答案】
【解析】设等比数列的公比为，则，将代入得，得，
所以.
15.若函数与的图象有一条公共切线，且该公共切线与直线平行，则实数______.
【答案】
【解析】设函数图象上切点为，因为，所以，得，所以，所以切线方程为，即，设函数的图象上的切点为，因为，所以，即，又，即，
所以，即，解得或（舍），
所以.
16．抛物线()的焦点为，准线为，､是抛物线上两个动点，且满足，设线段的中点在上的投影为，则的最大值是___________.
【答案】
【解析】过A作AQ⊥于Q，过B作BP⊥于P，设､，如图所示，根据抛物线的定义，
可知､，

在梯形中，有，在中，，
又∵，∴，
∴，故的最大值是.
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.
（一）必考题：共60分.
17.(12分) 如图，在四边形中，，，为锐角三角形，且，，.

（1）求的值；
（2）求的面积.
【解析】在锐角中，，，，
由正弦定理得，(3分)
又因为为锐角三角形
.(4分)
，
.(6分)
，
，
.(8分)
在中，，
，(10分)
，
又，
.(12分)
18.(12分) 如图，四棱锥中，，，，平面平面，点为的中点.

（1）求证：平面；
（2）若，求四棱锥的体积.
【解析】（1）证明：取的中点，连接，.

点为的中点，
，且.
又，，
，且，
四边形为平行四边形，
，(4分)
又平面，平面，
平面.(6分)
（2），
，
又，平面，
.
又平面平面，平面平面，
平面，为四棱锥的高，(9分)
，
.(12分)
19.(12分) 某公司对项目进行生产投资，所获得的利润有如下统计数据表：
项目投资金额（单位：百万元）





所获利润（单位：百万元）





（1）请用线性回归模型拟合与的关系，并用相关系数加以说明；
（2）该公司计划用百万元对、两个项目进行投资．若公司对项目投资百万元所获得的利润近似满足：，求、两个项目投资金额分别为多少时，获得的总利润最大？
附：①对于一组数据、、、，其回归直线方程的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：，．
②线性相关系数．一般地，相关系数的绝对值在以上（含）认为线性相关性较强；否则，线性相关性较弱．
参考数据：对项目投资的统计数据表中，，．
【解析】（1）对项目投资的统计数据进行计算，有，，，
所以，，
所以回归直线方程为：.
线性相关系数
，
这说明投资金额与所获利润之间的线性相关关系较强，
用线性回归方程对该组数据进行拟合合理；(6分)
（2）设对项目投资百万元，则对项目投资百万元．
所获总利润
，
当且仅当，即时取等号，
所以对、项目分别投资百万元，百万元时，获得总利润最大．(12分)
20.(12分) 已知椭圆的左、右焦点分别为，，为椭圆上一动点，当的面积最大时，其内切圆半径为，椭圆的左、右顶点分别为，，且．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过的直线与椭圆相交于点，（不与顶点重合），过右顶点分别作直线，与直线相交于，两点，以为直径的圆是否恒过某定点？若是，求出该定点坐标；若不是，请说明理由．
【解析】（1）由题意及三角形内切圆的性质可得
，化简得①
又，
所以，，，
所以椭圆的标准方程为．(4分)
（2）由（1）知，，
由题意，直线的斜率不为，
设直线的方程为，
代入椭圆的方程，
整理得．
设，，
则 ，，②(6分)
直线．
令，得，
同理可得，(8分)
所以以为直径的圆的方程为
，
即，③
由②得：

代入③得圆的方程为．(10分)
若圆过定点，则
解得或
所以以为直径的圆恒过两定点，．(12分)
21.(12分) 已知函数.
（1）若存在极值，求的取值范围；
（2）当时，求证：.
【解析】（1）函数的定义域为，
，
当时，对任意的，，
故在上单调递增，无极值；(2分)
当时，当时，，单调递增；
当时，，单调递减.
故在处取得极大值，无极小值. (4分)
综上所述，若存在极值，则的取值范围为.(5分)
（2）当时，.
设，其定义域为，
则证明即可. (6分)
，设，
则，
故函数在上单调递增. (7分)
，.
有唯一的实根，且，(9分)
.
当时，；
当时，，
故函数的最小值为.(11分)
.
.(12分)
（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分.
22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）
在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数，）.以为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，圆的极坐标方程为.
（1）若直线与相切，求的值；
（2）已知直线与圆相交于点，，记点的直角坐标为，若，求直线的普通方程.
【解析】（1）由圆的极坐标方程为，则其直角坐标方程为，
将代入，
得，（2分）
由，得，
又，所以或.（5分）
（2）记点，对应的参数分别为，，
则，，
故，同号，
所以，（8分）
所以，.
此时满足，直线与圆相交于两点，
所以直线的参数方程为（为参数），
消去参数，得直线的普通方程为或.（10分）
23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）
已知，，为正数，且满足．证明：
（1）；
（2）．
【解析】（1）∵，只需证，
即证，
即，
显然成立，
故原式得证．（5分）
（2）由（1）知：，故
，
仅当，时取等号，不等式成立. （10分）