江苏省扬州市2021届高三下学期5月第四次模拟考试数学试题
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数学 2021年5月
注意事项：
1．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
2．本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分．
3．答题前，务必将自己的姓名、准考证号等信息用黑色量水签字笔填写在答题卡的相应位置．
一、单项单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的）．
1．设全集，集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．若，其中，，为虚数单位，则复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．在中，，，，，则（ ）
A． B．86 C．7 D．
4．现有《诗经》、《尚书》、《礼记》、《周易》、《春秋》各一本，分给甲、乙、丙、丁、戊5名同学，每人一本，若甲乙都没有拿到《诗经》，且乙也没拿到《春秋》，则所有可能的分配方案有（ ）
A．18种 B．24种 C．36种 D．54种
5．密位制是度量角的一种方法．将周角等分为6000份，每一份叫做1密位的角．以密位作为角的度量单位，这种度量角的单位制，叫做角的密位制．在角的密位制中，采用四个数码表示角的大小，单位名称密位二字可以省去不写．密位的写法是在百位数字与十位数字之间画一条短线，如：478密位写成“4-78”，1周角等于6000密位，记作1周角．如果一个扇形的半径为2，面积为π，则其圆心角可以用密位制表示为（ ）
A．25-00 B．35-00 C．42-00 D．70-00
6．“五一”期间，甲、乙、丙三个大学生外出旅游，已知一人去北京，一人去两安，一人去云南．回来后，三人对去向作了如下陈述：
甲：“我去了北京，乙去了西安．”
乙：“甲去了西安，丙去了北京．”
丙：“甲去了云南，乙去了北京．”
事实是甲、乙、丙三人的陈述都只对了一半（关于去向的地点仅对一个）．根据以上信息，可判断下面说法中正确的是（ ）
A．甲去了西安 B．乙去了北京 C．丙去了西安 D．甲去了云南
7．已知双曲线：的右焦点为，以为圆心，为半径的圆交双曲线的右支于，两点（为坐标原点），若是等边三角形，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．2
8．已知定义在上的奇函数在上单调递减，且满足，则关于的不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）．
9．已知，且，则下列不等式一定成立的有（ ）
A． B． C． D．
10．已知函数在区间上恰能取到2次最大值，且最多有4个零点，则下列说法中正确的有（ ）
A．在上恰能取到2次最小值 B．的取值范围为
C．在上一定有极值 D．在上不单调
11．正方体中，，点在线段上运动，点在线段上运动，则下列说法中正确的有（ ）
A．三棱锥的体积为定值
B．线段长度的最小值为2
C．当为的中点时，三棱锥的外接球表面积为
D．平面截该正方体所得截面可能为三角形、四边形、五边形
12．在三角函数部分，我们研究过二倍角公式，实际上类似的还有三倍角公式，则下列说法中正确的有（ ）
A．
B．存在时，使得
C．给定正整数，若，，且，则
D．设方程的三个实数根为，，，并且，则
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）．
13．展开式中常数项为__________（用数字作答）．
14．已知点在抛物线上，点在圆上，则长度的最小值为__________．
15．根据天文学有关知识，当且仅当一颗恒星的“赤纬”数值大于，能在扬州的夜空中看到它．下表列出了10颗恒星的“赤纬”数值：
星名 | 天狼星 | 老人星 | 南门二 | 大角星 | 织女一 | 五车二 | 参宿七 | 南河三 | 水委一 | 参宿四 |
赤纬 |
现有四名学生从这10颗恒星中各随机选择1颗进行观测，其中有人能在扬州的夜空中看到观测目标，则的数学期望为__________．
16．对于有限数列，定义集合，，其中且，若，则的所有元素之和为__________．
四、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）．
17．（本小题满分10分）
已知等差数列和等比数列满足：，且，，是等比数列的连续三项．
（1）求数列，的通项公式；
（2）设，求数列的前10项和．
18．（本小题满分12分）
在中，角，，所对边分别为，，，现有下列四个条件：，，___________，
①；②；③；④．
（1）③④两个条件可以同时成立吗？请说明理由；
（2）请从上述四个条件中选三个，使得有解，并求的面积．
（注：如果选择多个组合作为条件分别解答，按第一个解答计分）
19．（本小题满分12分）
如图，四棱锥中，平面，，，，，，平面．
（1）证明：平面；
（2）若与平面所成角为，求二面角的余弦值．
20．（本小题满分12分）
已知椭圆：的左、右焦点分别为，，为椭圆上一点，线段与圆相切于该线段的中点，且的面积为2．
（1）求椭圆的方程；
（2）椭圆上是否存在三个点，，，使得直线过椭圆的左焦点，且四边形是平行四边形？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．
21．（本小题满分12分）
甲、乙两所学校之间进行排球比赛，采用五局三胜制（先赢3局的学校获胜，比赛结束），约定比赛规则如下：
先进行男生排球比赛，共比赛两局，后进行女生排球比赛．按照以往比赛经验，在男生排球此赛中，每局甲校获胜的概率为，乙校获胜的概率为，在女生排球比赛中，每局甲校获胜的概率为，乙校获胜的概率为．每局比赛结果相互独立．
（1）求甲校以3：1获胜的概率；
（2）记比赛结束时女生比赛的局数为，求的概率分布．
22．（本小题满分12分）
己知函数．
（1）若存在极值，求实数的取值范围；
（2）当时，判断函数的零点个数，并证明你的结论．
答案及其解析
一、单项单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的）．
1．【答案】C
2.【答案】B
3.【答案】A
4.【答案】D
5.【答案】B
6.【答案】D
7.【答案】A
【解析】，∴
，，在双曲线上
∴，，∴，选A.
8.【答案】B
【解析】定义在上的奇函数，在单调减
∴在单调减，
，时，，，无解
时，，，，无解
时，，，成立
时，，，，∴
时，，∴选B.
二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）．
9.【答案】ACD
10.【答案】BD
11.【答案】AB
【解析】平面，∴上任一点到平面距离为定值
即到平面距离为定值，面积为定值
∴为定值，A对
，B对
∵底面为等腰直角三角形，且边长为2
∴外接圆半径为
∵三棱锥高为
∴设三棱锥外接球半径为，∴，
∴，C错，不可能为五边形，可以是四边形、三角形，D错
故选AB
12.【答案】ACD
【解析】
，A对
令，则，，则，B错；
令，其中 ，
，即
∴
由可得
，即，∴
∴，C对；
令，，
，即
即
∵，∴或或
令，，，，
∴的根都在，∴，，
，D对
故选ACD.
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）．
13.【答案】60
14.【答案】3
15.【答案】3.6
【解析】大于的有9个，小于的有1个
在扬州能看到的概率为，，.
16.【答案】660
【解析】
的所有元素之和为.
四、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）．
17.（本小题满分10分）
解：
（1）设公差为，由题意知
∴
，显然，∴
∴公比
∴，
（2）
∴
18.（本小题满分12分）
解：
（1）若③④同时成立，则由
∴，，由
即，，此时与三角形内角和为矛盾
故③④不能同时成立.
（2）选①②③
由，
∴，∴.
19.（本小题满分12分）
解：
（1）证明：∵平面，平面，
（2）平面平面
∴，∵，
∴，
∵，∴，，
∵，，∴
∴，∴，又∵平面，∴
∵，∴平面.
（2）∵与平面所成角为，
∴，∴
∵平面，
过作于点，连接，则即为所求二面角
的平面角，
∵，，∴
∴.
20.（本小题满分12分）
【解析】
（1）连接，由，
为的中位线
∴且，∴
，
∴，∴，
椭圆的方程为：
（2）设直线的方程为：，
，，
，
∴，
∴，由在椭圆上
，∴存在直线：符合题意.
21.（本小题满分12分）
【解析】
（1）甲校以3：1获胜，则甲校在第四局获胜，胶三局胜两局
（2）的所有可能取值为1，2，3
故的概率分布为：
1 | 2 | 3 | |
22.（本小题满分12分）
【解析】
（1）
当时，，不可能有极值，舍去；
当时，令且当时，，；
当时，，；
∴在取得极大值，符合
综上，实数的取值范围为.
（2）当时，，，
（i）当时，，单调递减，注意到，
，∴存在唯一的使
且当时，，；当时，，
注意到，，
∴在和上各有一个零点.
（ii）当时，，无零点.
（iii）当时，，无零点
综上，在和上各有一个零点，共有两个零点.
江苏省扬州市2021届高三考前调研测试数学试题 答案： 这是一份江苏省扬州市2021届高三考前调研测试数学试题 答案，共4页。
江苏省扬州市2021届高三考前调研测试数学试题： 这是一份江苏省扬州市2021届高三考前调研测试数学试题，共4页。
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