2022高考数学一轮复习课时规范练22简单的三角恒等变换（含解析）

这是一份2022高考数学一轮复习课时规范练22简单的三角恒等变换（含解析），共7页。试卷主要包含了函数f=的最小正周期是等内容，欢迎下载使用。

基础巩固组
1.函数f(x)=(3sin x+cs x)(3cs x-sin x)的最小正周期是( )
A.π2B.π
C.3π2D.2π
2.(2020陕西榆林一模,理7)已知α∈(0,π),2sin 2α=cs 2α-1,则sin α=( )
A.15B.55
C.-55D.255
3.已知2sin 2α=1+cs 2α,则tan 2α=( )
A.43B.-43
C.43或0D.-43或0
4.(2020山东德州二模,5)已知α终边与单位圆的交点Px,-35,且sin αcs α>0,则1-sin2α+2+2cs2α的值等于( )
A.95B.75C.65D.3
5.已知cs2π3-2θ=-79,则sinπ6+θ的值等于( )
A.13B.±13C.-19D.19
6.已知α∈0,π2,sin α-cs α=55,则tanα+π4=( )
A.-32B.-23C.-3D.-13
7.(2020皖豫名校联考一,理8)tan 195°+22cs 285°=( )
A.2B.1C.22D.12
8.(2020山东潍坊临朐模拟二,10)已知函数f(x)=sin xsinx+π3-14的定义域为[m,n](mA.5π12B.12π5C.3π4D.11π12
9.(2020山东历城二中模拟四,14)已知tanα2=52,则sinπ2+α= .
10.(2020山东济南一模,13)已知cs2α-π3=23,则12-sin2α-π6的值为 .
11.(2020山东潍坊二模,14)已知α∈0,π2,sinα-π4=55,则tan α= .
12.(2020陕西西安中学八模,文14)若α∈0,π2,且2cs 2α=sinα+π4,则sin 2α的值为 .
综合提升组
13.已知f(x)=sin2x+sin xcs x,则f(x)的最小正周期和一个单调递增区间分别为( )
A.π [0,π]B.2π -π4,3π4
C.π -π8,3π8D.2π -π4,π4
14.已知m=tan(α+β+γ)tan(α-β+γ),若sin 2(α+γ)=3sin 2β,则m=( )
A.-1B.34
C.32D.2
15.已知cs α=13,cs(α+β)=-13,且α,β∈0,π2,则cs(α-β)的值为 .
16.(2020山东泰安一模,13)已知α,β∈3π4,π,sin(α+β)=-35,sinβ-π4=1213,则csα+π4= .
创新应用组
17.(2020皖豫名校联考一,理12)函数f(x)=2sin x-3cs2x-cs x-2sin 2x+3在0,π2上的最小值为( )
A.-32B.-32
C.-54D.-1
18.(2020河北邢台模拟,理12)已知定义域为R的函数f(x)满足f12=12,f'(x)+4x>0,其中f'(x)为f(x)的导函数,则不等式f(sin x)-cs 2x≥0的解集为( )
A.-π3+2kπ,π3+2kπ,k∈Z
B.-π6+2kπ,π6+2kπ,k∈Z
C.π3+2kπ,2π3+2kπ,k∈Z
D.π6+2kπ,5π6+2kπ,k∈Z
参考答案
课时规范练22 简单的三角恒等变换
1.B f(x)=2sinx+π6×2csx+π6=2sin2x+π3,故最小正周期T=2π2=π,故选B.
2.D ∵α∈(0,π),∴sinα>0,∵2sin2α=cs2α-1,即4sinαcsα=(1-2sin2α)-1,整理得csα=-12sinα,代入sin2α+cs2α=1,解得sinα=255.故选D.
3.C 因为2sin2α=1+cs2α,所以2sin2α=2cs2α.所以2csα(2sinα-csα)=0,解得csα=0或tanα=12.若csα=0,则α=kπ+π2,k∈Z,2α=2kπ+π,k∈Z,所以tan2α=0.若tanα=12,则tan2α=2tanα1-tan2α=43.综上所述,故选C.
4.A 已知α终边与单位圆的交点Px,-35,且sinαcsα>0,∴x<0,故x=-45,∴sinα=-35,csα=x=-45.则1-sin2α+2+2cs2α=|csα-sinα|+4cs2α=15+85=95.故选A.
5.B ∵cs2π3-2θ=-79,∴csπ-π3+2θ=-csπ3+2θ
=-cs2π6+θ
=-1-2sin2π6+θ=-79,
解得sin2π6+θ=19,
∴sinπ6+θ=±13.故选B.
6.C ∵sinα-csα=55,则(sinα-csα)2=15,即1-sin2α=15,得sin2α=45,∴(sinα+csα)2=1+sin2α=1+45=95,则sinα+csα=355,又sinα-csα=55,∴sinα=255,csα=55,∴tanα=2,
∴tanα+π4=tanα+11-tanα=2+11-2=-3.
7.B tan195°+22cs285°=tan15°+22sin15°=sin15°cs15°+22sin15°
=sin15°+2sin30°cs15°
=sin15°+2sin(45°-15°)cs15°=1.
8.A f(x)=sinxsinx+π3-14
=sinx12sinx+32csx-14
=14(1-cs2x)+34sin2x-14
=1232sin2x-12cs2x
=12sin2x-π6.
作出函数f(x)的图象如图所示,在一个周期内考虑问题.
易得m=π2,5π6≤n≤7π6或π2≤m≤5π6,n=7π6
满足题意,所以n-m的值可能为区间π3,2π3上的任意实数.故选A.
9.-19 sinπ2+α=csα
=cs2α2-sin2α2
=cs2α2-sin2α2cs2α2+sin2α2=1-tan2α21+tan2α2
=1-541+54=4-54+5=-19.
10.13 ∵cs2α-π3=23,
∴12-sin2α-π6
=12-1-cs2(α-π6)2
=12cs2α-π3=12×23=13.
11.3 ∵α∈0,π2,
∴α-π4∈-π4,π4,
由sinα-π4=55,得csα-π4=255.
∴sinα=sinα-π4+π4
=sinα-π4csπ4+csα-π4sinπ4=55×22+255×22=31010,
csα=1-sin2α=1010,∴tanα=3.
12.78 由2cs2α=sinα+π4,得2cs2α=22sinα+22csα,
两边平方得4cs22α=12(1+sin2α),
即8(1-sin22α)=1+sin2α,
整理得(7-8sin2α)(1+sin2α)=0,
又α∈0,π2,所以sin2α=78或sin2α=-1(舍去).
13.C f(x)=sin2x+sinxcsx
=1-cs2x2+12sin2x
=12+2222sin2x-22cs2x
=12+22sin2x-π4,
则T=2π2=π.
又∵2kπ-π2≤2x-π4≤2kπ+π2(k∈Z),∴kπ-π8≤x≤kπ+3π8(k∈Z)为函数的单调递增区间.故选C.
14.D ∵sin2(α+γ)=3sin2β,∴sin[(α+γ+β)-(β-α-γ)]=3sin[(α+γ+β)-(α+γ-β)],∴sin(α+γ+β)cs(β-α-γ)-cs(α+γ+β)sin(β-α-γ)=3sin(α+γ+β)cs(α+γ-β)-3cs(α+γ+β)sin(α+γ-β),即-2sin(α+γ+β)cs(α+γ-β)=-4cs(α+β+γ)sin(α+β-γ),
∴12tan(α+γ+β)=tan(α+γ-β),
故m=tan(α+β+γ)tan(α-β+γ)=2,故选D.
15.2327 ∵α∈0,π2,∴2α∈(0,π).
∵csα=13,∴cs2α=2cs2α-1=-79,∴sin2α=1-cs22α=429.
∵α,β∈0,π2,∴α+β∈(0,π),
∴sin(α+β)=1-cs2(α+β)=223,∴cs(α-β)=cs[2α-(α+β)]
=cs2αcs(α+β)+sin2αsin(α+β)
=-79×-13+429×223
=2327.
16.-5665 ∵α,β∈3π4,π,∴α+β∈3π2,2π,∴cs(α+β)=1-sin2(α+β)=45.
又β-π4∈π2,3π4,sinβ-π4=1213,∴csβ-π4=-1-sin2(β-π4)
=-513.
∴csα+π4=cs(α+β)-β-π4=cs(α+β)csβ-π4+sin(α+β)sinβ-π4=45×-513+-35×1213=-5665.
17.C 依题意,f(x)=2sinx+3sin2x-csx-4sinxcsx=2sinx-csx+4sin2x-4sinxcsx+cs2x-1=(2sinx-csx)2+(2sinx-csx)-1,令2sinx-csx=t,因为x∈0,π2时,t=2sinx-csx是增函数,
所以t∈[-1,2].因为y=t2+t-1=t+122-54,所以y∈-54,5,故最小值为-54.
18.D 令g(x)=f(x)+2x2-1,g'(x)=f'(x)+4x>0,故g(x)在R上单调递增,且g12=f12+2×122-1=0,所以f(sinx)-cs2x=f(sinx)+2sin2x-1≥0,即g(sinx)≥g12,则sinx≥12,解得π6+2kπ≤x≤5π6+2kπ,k∈Z.故选D.