数学必修43.1.2两角和与差的正弦当堂检测题

这是一份数学必修43.1.2两角和与差的正弦当堂检测题，共7页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．化简cs(x＋y)siny－sin(x＋y)csy的结果为( )
A．sin(x＋2y) B．－sin(x＋2y)
C．sinx D．－sinx
[答案] D
[解析] 原式＝sin[y－(x＋y)]＝sin(－x)＝－sinx.
2．若csαcsβ＝1，则sin(α＋β)等于( )
A．－1 B．0
C．1 D．±1
[答案] B
[解析] ∵csαcsβ＝1，
∴csα＝1，csβ＝1或csα＝－1，csβ＝－1，
∴sinα＝0，sinβ＝0，
∴sin(α＋β)＝sinαcsβ＋csαsinβ＝0.
3．csα－eq \r(3)sinα化简的结果可以是( )
A．2sin(eq \f(π,6)－α) B．eq \f(1,2)sin(eq \f(π,6)－α)
C．eq \f(1,2)cs(eq \f(π,3)－α) D．2cs(eq \f(π,3)－α)
[答案] A
[解析] csα－eq \r(3)sinα＝2(eq \f(1,2)csα－eq \f(\r(3),2)sinα)
＝2(sineq \f(π,6)csα－cseq \f(π,6)sinα)
＝2sin(eq \f(π,6)－α)．
4．对等式sin(α＋β)＝sinα＋sinβ的认识正确的是( )
A．对于任意的角α、β都成立
B．只对α、β取几个特殊值时成立
C．对于任意的角α、β都不成立
D．有无限个α、β的值使等式成立
[答案] D
[解析] 当α＝2kπ或β＝2kπ，有sin(α＋β)＝sinα＋sinβ成立，因此有无限个α、β的值能使等式成立．
5．sin(65°－x)cs(x－20°)＋cs(65°－x)cs(110°－x)的值为( )
A．eq \r(2) B．eq \f(\r(2),2)
C．eq \f(1,2) D．eq \f(\r(3),2)
[答案] B
[解析] sin(65°－x)cs(x－20°)＋cs(65°－x)·cs(110°－x)＝sin(65°－x)cs(x－20°)＋cs(65°－x)·sin[90°－(110°－x)]＝sin(65°－x)cs(x－20°)＋cs(65°－x)sin(x－20°)＝sin(65°－x＋x－20°)＝sin45°＝eq \f(\r(2),2).
6．(2015·四川理，4)下列函数中，最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是( )
A．y＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,2))) B．y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,2)))
C．y＝sin 2x＋cs 2x D．y＝sin x＋cs x
[答案] A
[解析] 对于选项A，因为y＝－sin 2x，T＝eq \f(2π,2)＝π，且图象关于原点对称，故选A．
二、填空题
7．化简eq \f(sinα＋30°＋csα＋60°,2csα)的结果是________．
[答案] eq \f(1,2)
[解析] 原式＝eq \f(sinαcs30°＋csαsin30°＋csαcs60°－sinαsin60°,2csα)
＝eq \f(csα,2csα)＝eq \f(1,2).
8．化简eq \f(sin22°＋cs45°sin23°,cs22°－sin45°sin23°)＝________.
[答案] 1
[解析] 原式＝eq \f(sin45°－23°＋cs45°sin23°,cs45°－23°－sin45°sin23°)
＝eq \f(sin45°cs23°－cs45°sin23°＋cs45°sin23°,cs45°cs23°＋sin45°sin23°－sin45°sin23°)
＝eq \f(sin45°cs23°,cs45°cs23°)＝tan45°＝1.
三、解答题
9．(2015·荆门市高一期末测试)已知向量a＝(eq \r(3)，1)、b＝(1，eq \r(3))、c＝(－1－csα，sinα)，α为锐角．
(1)求向量a、b的夹角；
(2)若b⊥c，求角α的值．
[解析] (1)设向量a与b的夹角为θ，
则csθ＝eq \f(a·b,|a|·|b|)＝eq \f(\r(3)×1＋1×\r(3),\r(3＋1)×\r(1＋3))
＝eq \f(2\r(3),4)＝eq \f(\r(3),2).
∵0≤θ≤π，∴θ＝eq \f(π,6).
(2)∵b⊥c，∴－1－csα＋eq \r(3)sinα＝0，
∴2sin(α－eq \f(π,6))＝1，∴sin(α－eq \f(π,6))＝eq \f(1,2).
∵α为锐角，∴α＝eq \f(π,3).
10.(2014·广东理，16)已知函数f(x)＝Asin(x＋eq \f(π,4))，x∈R，且f(eq \f(5π,12))＝eq \f(3,2).
(1)求A的值；
(2)若f(θ)＋f(－θ)＝eq \f(3,2)，θ∈(0，eq \f(π,2))，求f(eq \f(3π,4)－θ)．
[解析] (1)f(eq \f(5π,12))＝Asin(eq \f(5π,12)＋eq \f(π,4))＝eq \f(3,2)，
∴A×eq \f(\r(3),2)＝eq \f(3,2)，
∴A＝eq \r(3).
(2)f(θ)＋f(－θ)＝eq \r(3)sin(θ＋eq \f(π,4))＋eq \r(3)sin(－θ＋eq \f(π,4))＝eq \f(3,2)，
∴eq \r(3)[eq \f(\r(2),2)(sinθ＋csθ)＋eq \f(\r(2),2)(－sinθ＋csθ)]＝eq \f(3,2).
∴eq \r(6)csθ＝eq \f(3,2)，∴csθ＝eq \f(\r(6),4)，
又∵θ∈(0，eq \f(π,2))，∴sinθ＝eq \r(1－cs2θ)＝eq \f(\r(10),4)，
∴f(eq \f(3π,4)－θ)＝eq \r(3)sin(π－θ)＝eq \r(3)sinθ＝eq \f(\r(30),4).
一、选择题
1．设a＝sin14°＋cs14°，b＝sin16°＋cs16°，c＝eq \f(\r(6),2)，则a、b、c的大小关系是( )
A．aC．b[答案] B
[解析] a＝eq \r(2)sin(14°＋45°)＝eq \r(2)sin59°，
b＝eq \r(2)sin(16°＋45°)＝eq \r(2)sin61°，
c＝eq \r(2)·eq \f(\r(3),2)＝eq \r(2)sin60°，
由y＝sinx的单调性知：a2．已知eq \r(3)csx－sinx＝－eq \f(6,5)，则sin(eq \f(π,3)－x)＝( )
A．eq \f(4,5) B．－eq \f(4,5)
C．eq \f(3,5) D．－eq \f(3,5)
[答案] D
[解析] ∵eq \r(3)csx－sinx＝2(sineq \f(π,3)csx－cseq \f(π,3)sinx)＝2sin(eq \f(π,3)－x)＝－eq \f(6,5)，∴sin(eq \f(π,3)－x)＝－eq \f(3,5).
3．已知向量a＝(sinα，csα)，b＝(csβ，sinβ)，α、β为锐角且a∥b，则α＋β等于( )
A．0° B．90°
C．135° D．180°
[答案] B
[解析] a∥b，∴sinαsinβ－csαcsβ＝0，∴－cs(α＋β)＝0，
∴α＋β＝90°.
4．(2015·广东中山纪念中学高一期末测试)函数y＝sin(2x－eq \f(π,3))－sin2x的一个单调递增区间是( )
A．[－eq \f(π,6)，eq \f(π,3)] B．[eq \f(π,3)，eq \f(5π,6)]
C．[eq \f(5π,12)，eq \f(13π,12)] D．[eq \f(π,12)，eq \f(7π,12)]
[答案] D
[解析] y＝sin(2x－eq \f(π,3))－sin2x
＝sin2xcseq \f(π,3)－cs2xsineq \f(π,3)－sin2x
＝－eq \f(\r(3),2)cs2x－eq \f(1,2)sin2x
＝－sin(2x＋eq \f(π,3))
令2kπ＋eq \f(π,2)≤2x＋eq \f(π,3)≤2kπ＋eq \f(3π,2)，k∈Z，
得kπ＋eq \f(π,12)≤x≤kπ＋eq \f(7π,12)，k∈Z.
取k＝0，得eq \f(π,12)≤x≤eq \f(7π,12)，故选D．
二、填空题
5．(2015·随州市高一期末测试)已知csα＝eq \f(3,5)，cs(α－β)＝eq \f(12,13)，且0<α<β[答案] eq \f(63,65)
[解析] ∵csα＝eq \f(3,5)，0<α又∵0<α<β∴sin(α－β)＝－eq \f(5,13).
∴sinβ＝sin[α－(α－β)]
＝sinαcs(α－β)－csαsin(α－β)
＝eq \f(4,5)×eq \f(12,13)－eq \f(3,5)×(－eq \f(5,13))＝eq \f(63,65).
6．当函数y＝sinx－eq \r(3)csx(0≤x≤2π)取得最大值时，x＝________.
[答案] eq \f(5π,6)
[解析] y＝sinx－eq \r(3)csx＝2sin(x－eq \f(π,3))，∵x∈[0,2π]，∴x－eq \f(π,3)∈[－eq \f(π,3)，eq \f(5π,3)]，∴当x－eq \f(π,3)＝eq \f(π,2)，即x＝eq \f(5π,6)时，函数取最大值2.
三、解答题
7．已知sinα＝eq \f(15,17)，csβ＝－eq \f(5,13)，α∈(eq \f(π,2)，π)，β∈(eq \f(π,2)，π)，求sin(α＋β)，sin(α－β)的值．
[解析] ∵sinα＝eq \f(15,17)，α∈(eq \f(π,2)，π)，
∴csα＝－eq \r(1－\f(15,17)2)＝－eq \f(8,17).
∵csβ＝－eq \f(5,13)，β∈(eq \f(π,2)，π)，∴sinβ＝eq \r(1－－\f(5,13)2)＝eq \f(12,13)，
∴sin(α＋β)＝sinαcsβ＋csαsinβ＝eq \f(15,17)×(－eq \f(5,13))＋(－eq \f(8,17))×eq \f(12,13)＝－eq \f(75＋96,221)＝－eq \f(171,221)，
sin(α－β)＝sinαcsβ－csαsinβ
＝eq \f(15,17)×(－eq \f(5,13))－(－eq \f(8,17))×eq \f(12,13)＝eq \f(21,221).
8．求值：
(1)(tan10°－eq \r(3))·eq \f(cs10°,sin50°)；
(2)[2sin50°＋sin10°(1＋eq \r(3)tan10°)]·eq \r(2sin280°).
[解析] (1)(tan10°－eq \r(3))·eq \f(cs10°,sin50°)
＝(tan10°－tan60°)·eq \f(cs10°,sin50°)
＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(sin10°,cs10°)－\f(sin60°,cs60°)))·eq \f(cs10°,sin50°)
＝eq \f(sin10°·cs60°－cs10°·sin60°,cs10°·cs60°)·eq \f(cs10°,sin50°)
＝eq \f(sin－50°,cs60°)·eq \f(1,sin50°)＝－2.
(2)[2sin50°＋sin10°(1＋eq \r(3)tan10°)]·eq \r(2sin280°)
＝eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2sin50°＋sin10°\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(cs10°＋\r(3)sin10°,cs10°)))))·eq \r(2cs210°)
＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2sin50°＋2sin10°·\f(cs50°,cs10°)))·eq \r(2)cs10°
＝2eq \r(2)(sin50°cs10°＋sin10°·cs50°)
＝2eq \r(2)sin60°＝eq \r(6).
9. (2014·重庆理，17)已知函数f(x)＝eq \r(3)sin(ωx＋φ)(ω>0，－eq \f(π,2)≤φ(1)求ω和φ的值；
(2)若f(eq \f(α,2))＝eq \f(\r(3),4)(eq \f(π,6)<α[解析] (1)因为f(x)的图象上相邻两个最高点的距离为π，所以f(x)的最小正周期T＝π，从而ω＝eq \f(2π,T)＝2，
又因为f(x)的图象关于直线x＝eq \f(π,3)对称，所以2×eq \f(π,3)＋φ＝kπ＋eq \f(π,2)，k＝0，±1，±2，…，因－eq \f(π,2)≤φ所以φ＝eq \f(π,2)－eq \f(2π,3)＝－eq \f(π,6).
(2)由(1)得f(eq \f(α,2))＝eq \r(3)sin(2·eq \f(α,2)－eq \f(π,6))＝eq \f(\r(3),4).
所以sin(α－eq \f(π,6))＝eq \f(1,4).
由eq \f(π,6)<α所以cs(α－eq \f(π,6))＝eq \r(1－sin2α－\f(π,6))＝eq \r(1－\f(1,4)2)＝eq \f(\r(15),4).
因此cs(α＋eq \f(3π,2))＝sinα
＝sin[(α－eq \f(π,6))＋eq \f(π,6)]
＝sin(α－eq \f(π,6))cseq \f(π,6)＋cs(α－eq \f(π,6))sineq \f(π,6)
＝eq \f(1,4)×eq \f(\r(3),2)＋eq \f(\r(15),4)×eq \f(1,2)
＝eq \f(\r(3)＋\r(15),8).