人教版新课标B必修4第一章 基本初等函(Ⅱ)综合与测试课后测评

这是一份人教版新课标B必修4第一章 基本初等函(Ⅱ)综合与测试课后测评，共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，其中有且仅有一个是正确的．)
1．下列各式中，不能化简为eq \(AD,\s\up6(→))的是( )
A．(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→)))＋eq \(BC,\s\up6(→)) B．(eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(MB,\s\up6(→)))＋(eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(CM,\s\up6(→)))
C．eq \(MB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))－eq \(BM,\s\up6(→)) D．eq \(OC,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→))
[答案] C
[解析] A中，(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→)))＋eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→))＝eq \(AD,\s\up6(→))；
B中，(eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(MB,\s\up6(→)))＋(eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(CM,\s\up6(→)))＝eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(MB,\s\up6(→))＋eq \(BM,\s\up6(→))＝eq \(AD,\s\up6(→)).
C中，eq \(MB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))－eq \(BM,\s\up6(→))＝eq \(MB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(MB,\s\up6(→))＝2eq \(MB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))；
D中，eq \(OC,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→))＝eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→))＝eq \(AD,\s\up6(→))，故选C．
2．(2015·潮州市高一期末测试)已知角α的终边上有一点P(1，－1)，则csα＝( )
A．eq \f(\r(3),3) B．1
C．eq \r(3) D．eq \f(\r(2),2)
[答案] D
[解析] 角α的终边上点P到原点的距离r＝|OP|＝eq \r(12＋－12)＝eq \r(2)，
∴csα＝eq \f(x,r)＝eq \f(1,\r(2))＝eq \f(\r(2),2).
3．设a、b、c是非零向量，下列命题正确的是( )
A．(a·b)·c＝a·(b·c)
B．|a－b|2＝|a|2－2|a||b|＋|b|2
C．若|a|＝|b|＝|a＋b|，则a与b的夹角为60°
D．若|a|＝|b|＝|a－b|，则a与b的夹角为60°
[答案] D
[解析] 对于A，数量积的运算不满足结合律，A错；对于B，|a－b|2＝|a|2－2a·b＋|b|2＝|a|2－2|a||b|·cs＋|b|2，B错，对于C、D，由三角形法则知|a|＝|b|＝|a－b|组成的三角形为正三角形，则＝60°，∴D正确．
4．下列说法正确的是( )
A．第三象限的角比第二象限的角大
B．若sinα＝eq \f(1,2)，则α＝eq \f(π,6)
C．三角形的内角是第一象限角或第二象限角
D．不论用角度制还是弧度制度量一个角，它们与扇形所对应的半径的大小无关
[答案] D
[解析] －120°是第三象限角，120°是第二象限角，而－120°<120°，排除A；若sinα＝eq \f(1,2)，则α＝eq \f(π,6)＋2kπ或α＝eq \f(5π,6)＋2kπ(k∈Z)，排除B；当三角形的内角等于90°时，它既不是第一象限，也不是第二象限，排除C，故选D．
5．已知△ABC中，点D在BC边上，且eq \(CD,\s\up6(→))＝2eq \(DB,\s\up6(→))，eq \(CD,\s\up6(→))＝req \(AB,\s\up6(→))＋seq \(AC,\s\up6(→))，则r＋s的值是( )
A．eq \f(2,3) B．eq \f(4,3)
C．－3 D．0
[答案] D
[解析] eq \(CD,\s\up6(→))＝eq \(AD,\s\up6(→))－eq \(AC,\s\up6(→))，eq \(DB,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AD,\s\up6(→))，
∴eq \(CD,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(DB,\s\up6(→))－eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))－eq \f(1,2)eq \(CD,\s\up6(→))－eq \(AC,\s\up6(→))，
∴eq \f(3,2)eq \(CD,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AC,\s\up6(→))，
∴eq \(CD,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)eq \(AB,\s\up6(→))－eq \f(2,3)eq \(AC,\s\up6(→))，又eq \(AC,\s\up6(→))＝req \(AB,\s\up6(→))＋seq \(AC,\s\up6(→))，
∴r＝eq \f(2,3)，s＝－eq \f(2,3)，∴r＋s＝0，故选D．
6．函数f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)x＋\f(π,4)))的图象相邻的两个零点之间的距离是( )
A．eq \f(π,3) B．eq \f(2π,3)
C．eq \f(4π,3) D．2π
[答案] B
[解析] 函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)x＋\f(π,4)))的图象相邻的两个零点之间的距离为半个周期，又T＝eq \f(2π,\f(3,2))＝eq \f(4π,3)，∴eq \f(T,2)＝eq \f(2π,3).
7．函数y＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－3x＋\f(π,3)))的一个对称中心为( )
A．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，0)) B．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)，0))
C．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,18)，0)) D．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，0))
[答案] C
[解析] y＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－3x＋\f(π,3)))＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3x－\f(π,3)))，
令3x－eq \f(π,3)＝kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)，
∴x＝eq \f(kπ,3)＋eq \f(5π,18)(k∈Z)．
当k＝0时，x＝eq \f(5π,18)，故选C．
8．已知向量Oeq \(A,\s\up6(→))＝(4,6)、Oeq \(B,\s\up6(→))＝(3,5)，且Oeq \(C,\s\up6(→))⊥Oeq \(A,\s\up6(→))，Aeq \(C,\s\up6(→))∥Oeq \(B,\s\up6(→))，则向量Oeq \(C,\s\up6(→))等于( )
A．(－eq \f(3,7)，eq \f(2,7)) B．(－eq \f(2,7)，eq \f(4,21))
C．(eq \f(3,7)，－eq \f(2,7)) D．(eq \f(2,7)，－eq \f(4,21))
[答案] D
[解析] 设Oeq \(C,\s\up6(→))＝(x，y)，则Aeq \(C,\s\up6(→))＝Oeq \(C,\s\up6(→))－Oeq \(A,\s\up6(→))＝(x－4，y－6)．∵Oeq \(C,\s\up6(→))⊥Oeq \(A,\s\up6(→))，Aeq \(C,\s\up6(→))∥Oeq \(B,\s\up6(→))，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(4x＋6y＝0,\f(x－4,3)＝\f(y－6,5)))，解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(2,7),y＝－\f(4,21))).
∴Oeq \(C,\s\up6(→))＝(eq \f(2,7)，－eq \f(4,21))．
9．(2015·广东中山纪念中学高一期末测试)下图是函数f(x)＝Asinωx(A>0，ω>0)一个周期的图象，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＋f(6)的值等于( )
A．eq \r(2) B．eq \f(\r(2),2)
C．2＋eq \r(2) D．2eq \r(2)
[答案] A
[解析] 由图象可知，A＝2，T＝8，∴ω＝eq \f(π,4).
∴f(x)＝2sineq \f(π,4)x.
∴f(1)＝eq \r(2)，f(2)＝2，f(3)＝eq \r(2)，f(4)＝0，f(5)＝－eq \r(2)，
f(6)＝－2，
∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＋f(6)＝eq \r(2).
10．已知O、A、B是平面上的三个点，直线AB上有一点C，满足2eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \(CB,\s\up6(→))＝0，则eq \(OC,\s\up6(→))＝( )
A．2eq \(OA,\s\up6(→))－eq \(OB,\s\up6(→)) B．－eq \(OA,\s\up6(→))＋2eq \(OB,\s\up6(→))
C．eq \f(2,3)eq \(OA,\s\up6(→))－eq \f(1,3)eq \(OB,\s\up6(→)) D．－eq \f(1,3)eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)eq \(OB,\s\up6(→))
[答案] A
[解析] ∵2eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \(CB,\s\up6(→))＝0，
∴2(eq \(OC,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→)))＋(eq \(OB,\s\up6(→))－eq \(OC,\s\up6(→)))＝0，
∴eq \(OC,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→))－2eq \(OA,\s\up6(→))＝0，∴eq \(OC,\s\up6(→))＝2eq \(OA,\s\up6(→))－eq \(OB,\s\up6(→)).
11．在△ABC中，D、E、F分别是BC、CA、AB的中点，点M是△ABC的重心，则eq \(MA,\s\up6(→))＋eq \(MB,\s\up6(→))－eq \(MC,\s\up6(→))等于( )
A．0 B．4eq \(MD,\s\up6(→))
C．4eq \(MF,\s\up6(→)) D．4eq \(ME,\s\up6(→))
[答案] C
[解析] 如图，
由已知得，eq \(MA,\s\up6(→))＋eq \(MB,\s\up6(→))＝2eq \(MF,\s\up6(→))，又∵M为△ABC的重心，
∴|MC|＝2|MF|，
∴－eq \(MC,\s\up6(→))＝eq \(CM,\s\up6(→))＝2eq \(MF,\s\up6(→))，∴eq \(MA,\s\up6(→))＋eq \(MB,\s\up6(→))－eq \(MC,\s\up6(→))＝4eq \(MF,\s\up6(→)).
12．如图所示，点P在∠AOB的对角区域MON内，且满足eq \(OP,\s\up6(→))＝xeq \(OA,\s\up6(→))＋yeq \(OB,\s\up6(→))，则实数对(x，y)可以是( )
A．(eq \f(1,2)，－eq \f(1,3)) B．(eq \f(1,4)，eq \f(1,2))
C．(－eq \f(2,3)，－eq \f(1,3)) D．(－eq \f(3,4)，eq \f(2,5))
[答案] C
[解析] 向量eq \(OP,\s\up6(→))用基底eq \(OA,\s\up6(→))、eq \(OB,\s\up6(→))表示具有惟一性，结合图形知x<0，y<0，故选C．
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二、填空题(本大题共4个小题，每空4分，共16分，把正确答案填在题中横线上)
13．已知sinα、csα是方程2x2－x－m＝0的两根，则m＝________.
[答案] eq \f(3,4)
[解析] 由题意，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(sinα＋csα＝\f(1,2),sinαcsα＝－\f(m,2)))，
解得m＝eq \f(3,4)，又m＝eq \f(3,4)时满足方程2x2－x－m＝0有两根．所以m＝eq \f(3,4).
14. (2015·潮州市高一期末测试)已知在△ABC中，点D在边BC上，且满足eq \(BD,\s\up6(→))＝3eq \(DC,\s\up6(→))，若eq \(AD,\s\up6(→))＝xeq \(AB,\s\up6(→))＋yeq \(AC,\s\up6(→))，则x＋y＝________.
[答案] 1
[解析] eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BD,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(3,4)eq \(BC,\s\up6(→))
＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(3,4)(eq \(AC,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→)))＝eq \f(1,4)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(3,4)eq \(AC,\s\up6(→))，
∴x＝eq \f(1,4)，y＝eq \f(3,4)，x＋y＝1.
15．已知函数f(x)＝asin2x＋cs2x(a∈R)的图象的一条对称轴方程为x＝eq \f(π,12)，则a的值为________．
[答案] eq \f(\r(3),3)
[解析] 由题意，得f(0)＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)))，即asin0＋cs0＝asineq \f(π,3)＋cseq \f(π,3)，∴eq \f(\r(3),2)a＝eq \f(1,2)，∴a＝eq \f(\r(3),3).
16．设单位向量m＝(x，y)、b＝(2，－1)．若m⊥b，则|x＋2y|＝________.
[答案] eq \r(5)
[解析] 本题考查了向量垂直，坐标运算、数量积等．由m⊥b知m·b＝0，即2x－y＝0 ①，又由m为单位向量，所以|m|＝1，即x2＋y2＝1 ②，由①②联立解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(\r(5),5),y＝\f(2\r(5),5)))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－\f(\r(5),5),y＝－\f(2\r(5),5)))，所以|x＋2y|＝eq \r(5).
三、解答题(本大题共6个大题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分12分)(2014·安徽合肥市撮镇中学高一月考)
(1)已知A(1,2)、B(3,5)、C(9,14)，求证：A、B、C三点共线；
(2)已知|a|＝2，|b|＝3，(a－2b)·(2a＋b)＝－1，求a与b的夹角．
[解析] (1)Aeq \(B,\s\up6(→))＝(2,3)，Aeq \(C,\s\up6(→))＝(8,12)，
∴Aeq \(C,\s\up6(→))＝4Aeq \(B,\s\up6(→))，∴Aeq \(C,\s\up6(→))与Aeq \(B,\s\up6(→))共线．
又∵Aeq \(C,\s\up6(→))与Aeq \(B,\s\up6(→))有公共点A，∴A、B、C三点共线.
(2)设a与b的夹角为θ，
则(a－2b)·(2a＋b)＝2a2－3a·b－2b2＝2×4－3×2×3×csθ－2×9＝－10－18csθ＝－1，
∴csθ＝－eq \f(1,2).∵θ∈[0，π]，∴θ＝eq \f(2π,3).
18．(本小题满分12分)(2015·广东揭阳市世铿中学高一月考)已知tanθ＝－eq \f(3,4)，求2＋sinθcsθ－cs2θ的值．
[解析] 2＋sinθcsθ－cs2θ＝2＋eq \f(sinθcsθ－cs2θ,sin2θ＋cs2θ)
＝2＋eq \f(tanθ－1,tan2θ＋1)＝2＋eq \f(－\f(3,4)－1,\f(9,16)＋1)＝eq \f(22,25).
19．(本小题满分12分)已知向量a＝3e1－2e2，b＝4e1＋e2，其中e1＝(1,0)、e2＝(0,1)，求：
(1)a·b、|a＋b|；
(2)a与b的夹角的余弦值．
[解析] (1)因为e1＝(1,0)、e2＝(0,1)
所以a＝3e1－2e2＝(3，－2)，
b＝4e1＋e2＝(4,1)，a·b＝10，
a＋b＝(7，－1)，|a＋b|＝5eq \r(2).
(2)cs〈a，b〉＝eq \f(a·b,|a||b|)＝eq \f(10,\r(13)·\r(17))＝eq \f(10\r(221),221).
20．(本小题满分12分)函数f(x)＝Asin(ωx－eq \f(π,6))＋1(A>0，ω>0)的最大值为3，其图象相邻两条对称轴之间的距离为eq \f(π,2).
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)设α∈(0，eq \f(π,2))，f(eq \f(α,2))＝2，求α的值．
[解析] (1)∵函数f(x)的最大值为3，
∴A＋1＝3，即A＝2.
∵函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为eq \f(π,2)，
∴最小正周期T＝π，∴ω＝2.
故函数f(x)的解析式为y＝2sin(2x－eq \f(π,6))＋1.
(2)∵f(eq \f(α,2))＝2sin(α－eq \f(π,6))＋1＝2，
即sin(α－eq \f(π,6))＝eq \f(1,2)，
∵0<α∴α－eq \f(π,6)＝eq \f(π,6)，故α＝eq \f(π,3).
21．(本小题满分12分)设函数f(x)＝sin(2x＋φ)(－π<φ<0)，y＝f(x)图象的一条对称轴是直线x＝eq \f(π,8).
(1)求φ；
(2)求函数y＝f(x)的单调增区间．
[解析] (1)x＝eq \f(π,8)是函数y＝f(x)的图象的对称轴．
∴eq \f(π,4)＋φ＝kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z.
∵－π<φ<0，∴φ＝－eq \f(3π,4).
(2)由(1)知φ＝－eq \f(3π,4)，因此y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(3π,4))).
由题意，得2kπ－eq \f(π,2)≤2x－eq \f(3π,4)≤2kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z，
∴kπ＋eq \f(π,8)≤x≤kπ＋eq \f(5π,8)，k∈Z.
∴函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(3π,4)))的单调增区间为
eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(kπ＋\f(π,8)，kπ＋\f(5π,8)))(k∈Z)．
22．(本小题满分14分)已知函数f(x)＝2eq \r(3)sin(3ωx＋eq \f(π,3))，其中ω>0.
(1)若f(x＋θ)是周期为2π的偶函数，求ω及θ的值；
(2)若f(x)在(0，eq \f(π,3)]上是增函数，求ω的最大值．
[解析] (1)由函数解析式f(x)＝2eq \r(3)sin(3ωx＋eq \f(π,3))，ω>0整理可得f(x＋θ)＝2eq \r(3)sin[3ω(x＋θ)＋eq \f(π,3)]
＝2eq \r(3)sin(3ωx＋3ωθ＋eq \f(π,3))，由f(x＋θ)的周期为2π，根据周期公式2π＝eq \f(2π,3ω)，且ω>0，得ω＝eq \f(1,3)，∴f(x＋θ)
＝2eq \r(3)sin(x＋θ＋eq \f(π,3))，
∵f(x＋θ)为偶函数，定义域x∈R关于原点对称，
令g(x)＝f(x＋θ)＝2eq \r(3)sin(x＋θ＋eq \f(π,3))，
∴g(－x)＝g(x)，
2eq \r(3)sin(x＋θ＋eq \f(π,3))＝2eq \r(3)sin(－x＋θ＋eq \f(π,3))，
∴x＋θ＋eq \f(π,3)＝π－(－x＋θ＋eq \f(π,3))＋2kπ，k∈Z，
∴θ＝kπ＋eq \f(π,6)，k∈Z.∴ω＝eq \f(1,3)，θ＝kπ＋eq \f(π,6)，k∈Z.
(2)∵ω>0，∴2kπ－eq \f(π,2)≤3ωx＋eq \f(π,3)≤eq \f(π,2)＋2kπ，k∈Z，
∴eq \f(2kπ,3ω)－eq \f(15π,18ω)≤x≤eq \f(π,18ω)＋eq \f(2kπ,3ω)，k∈Z，若f(x)在(0，eq \f(π,3)]上是增函数，∴(0，eq \f(π,3)]为函数f(x)的增区间的子区间，∴eq \f(π,18ω)≥eq \f(π,3)，∴ω≤eq \f(1,6)，∴ωmax＝eq \f(1,6).