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高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册2.5 直线与圆、圆与圆的位置优质学案设计
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这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册2.5 直线与圆、圆与圆的位置优质学案设计，共26页。
2.5 直线与圆、圆与圆的位置关系
2.5.1 直线与圆的位置关系
基础过关练
题组一 直线与圆的位置关系的判断
1.已知直线l:3x-4y+2=0与圆C:(x-4)2+(y-1)2=9,则直线l与圆C的位置关系是( )
A.相切 B.相交且过C的圆心
C.相交但不过C的圆心 D.相离
2.对任意的实数k,直线y=kx+1与圆x2+y2=2的位置关系一定是( )
A.相离 B.相切
C.相交但直线不过圆心 D.相交且直线过圆心
3.若直线3x+4y+m=0与圆x2+y2-2x+4y+1=0没有公共点,则实数m的取值范围是( )
A.-515
C.m<4或m>13 D.4
A.相切 B.相交 C.相离 D.不确定
5.已知圆x2-2ax+y2=0(a>0)与直线x-3y+3=0相切,则a= .
题组二 圆的切线与弦长问题
6.(2019黑龙江大庆实验中学高二上期中)已知圆C:x2+y2-4x=0与直线l相切于点P(1,3),则直线l的方程为( )
A.x-3y+2=0 B.x-3y+4=0
C.x+3y-4=0 D.x+3y-2=0
7.若圆x2+y2-2x+4y+m=0截直线x-y-3=0所得弦长为6,则实数m的值为( )
A.-1 B.-2 C.-4 D.-31
8.已知圆x2+y2=9的弦过点P(1,2),当弦长最短时,该弦所在直线的方程为( )
A.y-2=0 B.x+2y-5=0
C.2x-y=0 D.x-1=0
9.已知直线l过点P(2,4),且与圆O:x2+y2=4相切,则直线l的方程为( 易错 )
A.x=2或3x-4y+10=0 B.x=2或x+2y-10=0
C.y=4或3x-4y+10=0 D.y=4或x+2y-10=0
10.一圆与y轴相切,圆心在直线x-3y=0上,且直线y=x被圆所截得的弦长为27,则此圆的方程为 .
11.已知点A(1,a),圆O:x2+y2=4.
(1)若过点A的圆O的切线只有一条,求实数a的值及切线方程;
(2)若过点A且在两坐标轴上截距相等的直线被圆O截得的弦长为23,求实数a的值.
题组三 直线与圆的位置关系的综合运用
12.圆x2+y2+2x+4y-3=0上到直线x+y+1=0的距离为2的点有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
13.如图所示是一座圆拱桥,当水面在如图所示的位置时,拱桥顶部离水面2 m,水面宽12 m,若水面下降1 m,则水面的宽为 m.
14.若P(2,-1)为圆(x-1)2+y2=25的弦AB的中点,则直线AB的方程是 .
15.过圆外一点P作圆O:x2+y2=1的两条切线PM,PN(M,N为切点),若∠MPN=90°,则动点P的轨迹方程是 .
16.已知实数x,y满足方程(x-2)2+y2=3.
(1)求yx的最大值和最小值;
(2)求y-x的最大值和最小值;
(3)求x2+y2的最大值和最小值.
17.已知内接于圆的四边形的对角线互相垂直,求证:圆心到一边的距离等于这条边所对边长的一半.
能力提升练
题组一 直线与圆的位置关系的判断
1.()“k=1”是“直线x-y+k=0与圆x2+y2=1相交”的 ( )
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
2.()直线y=x+b与曲线x=1-y2有且仅有一个公共点,则b的取值范围是( )
A.b=±2 B.-1
3.()已知曲线C:x-1·ln(x2+y2-1)=0,直线y=kx-1与曲线C恰有两个交点,则k的取值范围为( )
A.{0,1} B.{0,2}
C.(0,2) D.(0,1)∪(1,2)
4.(多选)(2020广东佛山一中高二上期中,)已知圆M:(x+cos θ)2+(y-sin θ)2=1,直线l:y=kx,则下列命题中正确的是( )
A.对任意实数 k 和θ,直线 l 和圆 M 有公共点
B.对任意实数θ,必存在实数 k,使得直线 l 与圆 M 相切
C.对任意实数 k,必存在实数θ,使得直线 l 与圆 M 相切
D.存在实数 k 与θ,使得圆 M 上有一点到直线 l 的距离为 3
题组二 圆的切线与弦长问题
5.(2020辽宁六校协作体高二上期中,)一束光线从点A(-2,3)射出,经x轴反射后与圆x2+y2-6x-4y+12=0相切,则反射光线所在直线的斜率为( )
A.65或56 B.45或54
C.43或34 D.32或23
6.(2020河北唐山一中高二上期中,)数学家欧拉于1765年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理:三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上,且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半,这条直线被后人称为三角形的欧拉线.在平面直角坐标系中作△ABC,在△ABC中,AB=AC=4,点B(-1,3),点C(4,-2),且其“欧拉线”与圆(x-3)2+y2=r2相切,则该圆的半径r为( )
A.1 B.2 C.2 D.22
7.()若直线l:x+3y-m=0被圆C:x2+y2-2x-3=0截得的弦长为23,则圆心C到直线l的距离是 ,m= .
8.()已知点M(3,1),直线ax-y+4=0及圆(x-1)2+(y-2)2=4.
(1)求过点M的圆的切线方程;
(2)若直线ax-y+4=0与圆相切,求a的值;
(3)若直线ax-y+4=0与圆相交于A,B两点,且弦AB的长为23,求a的值.
题组三 直线与圆的位置关系的综合运用
9.(2020山东济宁高二上期中,)已知AB为圆C:(x-1)2+y2=1的直径,点P为直线x-y+1=0上的任意一点,则PA·PB的最小值为( )
A.1 B.2 C.2 D.22
10.()已知点P(x,y)是直线kx+y+4=0(k>0)上一动点,PA,PB是圆C:x2+y2-2y=0的两条切线,A,B是切点.若四边形PACB的最小面积是2,则k的值为( )
A.2 B.212 C.22 D.2
11.(2020重庆一中高二上期中,)已知过点P(0,-2)的圆M的圆心为(a,0)(a≤0),且圆M与直线x+y+22=0相切.
(1)求圆M的标准方程;
(2)若过点Q(0,1)且斜率为k的直线l交圆M于A,B两点,且△PAB的面积为372,求直线l的方程.
12.(2019广西南宁高一期中,)设直线l的方程为x+my-1-m=0(m∈R),圆O的方程为x2+y2=r2(r>0).
(1)当m取一切实数时,直线l与圆O都有公共点,求r的取值范围;
(2)当r=5时,直线x+2y-t=0与圆O交于M,N两点,若|OM+ON|≥3|MN|,求实数t的取值范围.
13.(2019江苏镇江高二上期中,)在某海礁A处有一风暴中心,距离风暴中心A正东方向200 km的B处有一艘轮船,正沿北偏西α(α为锐角)角方向航行,速度大小为40 km/h.已知距离风暴中心180 km以内的水域受其影响.
(1)若轮船不被风暴影响,求角α的正切值的最大值;
(2)若轮船航行方向为北偏西45°,求轮船被风暴影响持续的时间.
14.()在△ABO中,|OB|=3,|OA|=4,|AB|=5,P是△ABO的内切圆上的一点,求以|PA|,|PB|,|PO|为直径的三个圆的面积之和的最大值与最小值.
15.(2019河南省实验中学高一月考,)已知两个定点A(-4,0),B(-1,0),动点P满足|PA|=2|PB|.设动点P的轨迹为曲线E,直线l:y=kx-4.
(1)求曲线E的方程;
(2)若直线l与曲线E交于不同的C,D两点,且∠COD=90°(O为坐标原点),求直线l的斜率;
(3)若k=12,Q是直线l上的动点,过Q作曲线E的两条切线QM,QN,切点为M,N,探究:直线MN是否过定点.
答案全解全析
基础过关练
1.C 依题意得,圆心到直线的距离d=|3×4-4×1+2|32+(-4)2=105=2.
∵0
3.B 圆x2+y2-2x+4y+1=0的圆心为(1,-2),半径为2,
由题意得,圆心到直线3x+4y+m=0的距离|3-8+m|9+16>2,∴m<-5或m>15.故选B.
4.B ∵点M(x0,y0)在圆x2+y2=R2外,∴x02+y02>R2,∴圆心(0,0)到直线x0x+y0y=R2的距离d=|-R2|x02+y02
解析 由题意得,圆心(a,0)到直线x-3y+3=0的距离d=|a+3|12+(-3)2=a,又a>0,所以a=3.
6.A 圆C:x2+y2-4x=0可化为(x-2)2+y2=4,显然过点P(1,3)的直线x=1不与圆相切,又点P(1,3)与圆心连线的直线斜率为0-32-1=-3,所以直线l的斜率为33,所以直线l的方程为y-3=33(x-1),整理得x-3y+2=0.故选A.
7.C 圆的方程可化为(x-1)2+(y+2)2=5-m,∴圆心(1,-2),
设圆心到直线的距离为d,则d=|1+2-3|2=0,因此弦长6就是直径2r,∴r=3.
∴r2=5-m=9⇒m=-4,故选C.
8.B 当弦长最短时,该弦所在直线与过点P(1,2)的直径垂直.已知圆心O(0,0),
所以过点P(1,2)的直径所在直线的斜率k=2-01-0=2,故所求直线的斜率为-12,
所以所求直线方程为y-2=-12(x-1),即x+2y-5=0.
9.A 由22+42=20>4,得点P在圆外,
当过点P的切线斜率存在时,设所求切线的斜率为k,
则切线方程为y-4=k(x-2),即kx-y-2k+4=0,
∴|-2k+4|1+k2=2,解得k=34.
故所求切线方程为3x-4y+10=0.
当过点P的切线斜率不存在时,方程为x=2,也满足条件.
故直线l的方程为3x-4y+10=0或x=2.故选A.
易错警示 切线的斜率存在时,设过点P的圆的切线斜率为k,写出点斜式方程再化为一般式.根据圆心到切线的距离等于圆的半径这一性质,由点到直线的距离公式列出含k的方程,由方程解得k,然后代回所设切线方程即可.切线斜率不存在时,直接验证直线方程是否满足条件即可.
本题要注意到点在圆外,所求切线有两条,特别注意当直线斜率不存在时的情况,不要漏解.
10.答案 (x-3)2+(y-1)2=9或(x+3)2+(y+1)2=9
解析 因为圆与y轴相切,且圆心在直线x-3y=0上,所以设圆心坐标为(3b,b),圆的半径为3|b|,故圆的方程为(x-3b)2+(y-b)2=9b2.
又因为直线y=x被圆所截得的弦长为27,所以|3b-b|22+(7)2=9b2,解得b=±1,
故所求圆的方程为(x-3)2+(y-1)2=9或(x+3)2+(y+1)2=9.
11.解析 (1)由于过点A的圆O的切线只有一条,所以点A在圆上,
所以12+a2=4,所以a=±3.
当a=3时,A(1,3),此时切线方程为x+3y-4=0;
当a=-3时,A(1,-3),此时切线方程为x-3y-4=0.
(2)设直线方程为x+y=b,因为直线过点A(1,a),所以1+a=b,即a=b-1.①
又圆心到直线的距离d=|-b|2,
所以|-b|22+2322=4,②
由①②得a=2-1,b=2或a=-2-1,b=-2.
所以a=2-1或a=-2-1.
12.C 圆的一般方程化为标准方程为(x+1)2+(y+2)2=8,则圆心坐标为(-1,-2),圆的半径为22,所以圆心到直线的距离为|-1-2+1|12+12=22=2.而2<22,所以直线与圆相交.由于圆的半径为22,所以与直线x+y+1=0平行,且距离为2的直线一条过圆心,另一条与圆相切,所以圆上到该直线的距离等于2的点共有3个.故选C.
13.答案 251
解析 如图,建立平面直角坐标系,
设初始水面在AB处,则由已知得A(6,-2),设圆C的半径长为r(r>0),则C(0,-r),故圆C的方程为x2+(y+r)2=r2,将A(6,-2)代入,得r=10,所以圆C的方程为x2+(y+10)2=100.①
当水面下降1 m到A'B'时,设A'(x0,-3)(x0>0).将A'(x0,-3)代入①式,得x0=51,所以水面下降1 m后,水面宽为251 m.
14.答案 x-y-3=0
解析 设圆心为C,则C(1,0),由圆的性质得PC⊥AB,而直线PC的斜率k1=-1-02-1=-1,因为k1·kAB=-1,所以直线AB的斜率为1,又直线AB过点P(2,-1),所以直线AB的方程为y-(-1)=x-2,即x-y-3=0.
15.答案 x2+y2=2
解析 设点P的坐标为(x,y),则|PO|=x2+y2.
∵∠MPN=90°,∴四边形OMPN为正方形,∴|PO|=2|OM|=2,
∴x2+y2=2,即x2+y2=2.
16.解析 (1)方程表示以点(2,0)为圆心,3为半径的圆,设yx=k,即y-kx=0,
当直线y=kx与圆相切时,斜率k取得最大值和最小值,此时|2k-0|k2+1=3,解得k=±3.
故yx的最大值为3,最小值为-3.
(2)设y-x=b,即x-y+b=0,当y=x+b与圆相切时,纵截距b取得最大值和最小值,此时|2-0+b|12+(-1)2=3,即b=-2±6.
故y-x的最大值为-2+6,最小值为-2-6.
(3)x2+y2表示圆上的点与原点距离的平方,由平面几何知识知,它在过原点和圆心的直线与圆的两个交点处取得最大值和最小值,又圆心到原点的距离为2,
故(x2+y2)max=(2+3)2=7+43,
(x2+y2)min=(2-3)2=7-43.
17.证明 如图,分别以四边形ABCD互相垂直的对角线CA,DB所在直线为x轴,y轴,建立平面直角坐标系.设A(a,0),B(0,b),C(c,0),D(0,d).
过四边形ABCD外接圆的圆心O'分别作AC、BD、AD的垂线,垂足分别为M、N、E,则M、N、E分别是线段AC、BD、AD的中点.
由线段的中点坐标公式,
得xO'=xM=a+c2,yO'=yN=b+d2,xE=a2,yE=d2.
所以|O'E|=a2-a+c22+d2-b+d22
=12c2+b2.
又|BC|=c2+b2,所以|O'E|=12|BC|.
能力提升练
1.A ∵直线x-y+k=0与圆x2+y2=1相交,
∴圆心到直线的距离d=|0-0+k|12+(-1)2=|k|2<1⇔-2
反过来,“直线x-y+k=0与圆x2+y2=1相交”推不出“k=1”,
∴“k=1”是“直线x-y+k=0与圆x2+y2=1相交”的充分而不必要条件,故选A.
2.B 由x=1-y2得,x2+y2=1(x≥0),该曲线表示的是圆x2+y2=1在y轴及右侧的部分,如图所示,y=x+b表示斜率为1,在y轴上的截距为b的直线.由直线与圆相切,得圆心到直线的距离d=|b|12+(-1)2=1⇒b=±2,结合图形知b的取值范围是b=-2,或-1
3.D 由x-1·ln(x2+y2-1)=0得,x-1=0,或x2+y2-1=1.
当x=1时,由12+y2-1>0得,y2>0⇒y≠0.
当x2+y2=2时,x≥1,因此曲线C如图所示,
∵kPA=0,kPB=1,kPD=2,
∴直线l:y=kx-1与曲线C恰有两个交点时,k的取值范围是(0,1)∪(1,2).故选D.
4.AC 圆心M(-cos θ,sin θ)到直线l的距离d=|-kcosθ-sinθ|k2+(-1)2=1+k2|sin(θ+φ)|k2+1
=|sin(θ+φ)|,其中tan φ=k.
∵d≤1,∴直线l与圆M有公共点,A正确;
当θ=0时,d=|-k|k2+1<1恒成立,即不存在k使得直线l和圆M相切,B错误;
不论k为何值,d=|sin(θ+φ)|=1有解,
即存在实数θ,
使得直线l与圆M相切,C正确;
∵d≤1,∴圆上任一点到直线l的距离不超过d+1,且d+1≤2,D错误.
故选AC.
5.C 圆的方程可化为(x-3)2+(y-2)2=1.
易知A(-2,3)关于x轴对称的点为A'(-2,-3).
如图所示,易知反射光线所在直线的斜率存在,设为k,其方程为y+3=k(x+2),
即kx-y+2k-3=0,
依题意得,圆心到反射光线所在直线的距离d=|3k-2+2k-3|k2+1=1,化简得12k2-25k+12=0,
解得k=43或k=34.故选C.
6.B 由AB=AC=4得,△ABC的“欧拉线”是BC边的垂直平分线.
∵kBC=-2-34+1=-1,线段BC的中点为32,12,
∴线段BC的垂直平分线方程为y-12=x-32,即x-y-1=0.
因此,圆心到直线的距离d=|3-0-1|12+(-1)2=2=r,故选B.
7.答案 1;-1或3
解析 圆C的方程可化为(x-1)2+y2=4,
则圆心C(1,0),半径r=2,
设圆心C到直线l的距离为d,则
d2+32=r2⇒d=1(负值舍去).
∴|1-m|2=1⇒|m-1|=2⇒m=-1或m=3.
8.解析 (1)由题意得,圆心C(1,2),半径r=2.
当直线的斜率不存在时,方程为x=3.
由圆心C(1,2)到直线x=3的距离d1=3-1=2=r知,此时,直线与圆相切.
当直线的斜率存在时,设方程为y-1=k(x-3),即kx-y+1-3k=0.
由题意知圆心到直线的距离d2=|k-2+1-3k|k2+1=2,解得k=34,∴方程为3x-4y-5=0.
故过点M的圆的切线方程为x=3或3x-4y-5=0.
(2)由题意得,圆心到直线ax-y+4=0的距离为|a-2+4|a2+1=2,解得a=0或a=43.
(3)∵圆心到直线ax-y+4=0的距离为|a+2|a2+1,∴|a+2|a2+12+2322=4,
解得a=-34.
9.A 如图所示,
∵PA=PC+CA,PB=PC+CB=PC-CA,
∴PA·PB=(PC+CA)·(PC-CA)
=|PC|2-|CA|2=|PC|2-1,
设圆心C到直线x-y+1=0的距离为d,
则|PC|min=d=|1-0+1|2=2,
∴(PA·PB)min=|PC|min2-1=2-1=1,故选A.
10.D 如图所示,根据对称性可知,当AP取得最小值时面积取得最小值,而AP2=PC2-AC2,所以当PC最短时,AP最小,易知CP⊥l时最小,此时PC=5k2+1,四边形PACB的面积S=AP·AC=PC2-AC2=25k2+1-1=2,解得k=2(负值舍去),故选D.
11.解析 (1)设圆M的标准方程为(x-a)2+y2=r2(a≤0,r>0),
则圆心(a,0)到直线x+y+22=0的距离为|a+22|2,
由题意得a2+4=r2,|a+22|2=r,解得a=0或a=42(舍去),所以r2=4,
所以圆M的标准方程为x2+y2=4.
(2)设直线l的方程为y=kx+1,则圆心M到直线l的距离为1k2+1,
∴|AB|=24-1k2+1=24k2+3k2+1.
又点P(0,-2)到直线l的距离d=3k2+1,
∴S△PAB=12|AB|d=12×24k2+3k2+1×3k2+1=372,解得k2=1,∴k=±1,
则直线l的方程为y=±x+1.
12.解析 (1)直线的方程整理可得(y-1)m+x-1=0,所以过定点P(1,1),
若直线与圆O有公共点,则点P在圆内或者圆上,即12+12≤r2,
又r>0,所以r≥2.
(2)设弦MN的中点为E,
则OM+ON=2OE.
由垂径定理可得MN2=4ME2=4(OM2-OE2),
所以|OM+ON|≥3|MN|即OE2≥9(OM2-OE2),
则10OE2≥45,所以OE2≥92,又OE2<5,
由题意知OE=|-t|5,
所以92≤|-t|52<5,即t∈-5,-3102∪3102,5.
13.解析 (1)根据题意画出图形,如图所示,
则圆的方程为x2+y2=1802,
设过点B(200,0)的直线方程为y=k(x-200),k<0,即kx-y-200k=0,
则圆心O(0,0)到直线的距离为|-200k|k2+1=180,
化简得19k2=81,
解得k=-919(正值舍去),
∴tan(90°+α)=-919,∴-1tanα=-919,
∴tan α=199,
∴若轮船不被风暴影响,则角α的正切值的最大值为199.
(2)若轮船航行方向为北偏西45°,则直线方程为x+y=200,
则圆心O到该直线的距离d=|-200|2=1002,
弦长为2r2-d2=21802-(1002)2=4031,
则轮船被风暴影响持续的时间为403140=31 h.
14.解析 如图,建立平面直角坐标系,使A,B,O三点的坐标分别为A(4,0),B(0,3),O(0,0).
设△AOB的内切圆的半径为r,点P的坐标为(x,y).
则2r+|AB|=|OA|+|OB|,∴r=1,∴内切圆的方程为(x-1)2+(y-1)2=1,
整理得x2+y2-2y=2x-1.①
又|PA|2+|PB|2+|PO|2=(x-4)2+y2+x2+(y-3)2+x2+y2=3x2+3y2-8x-6y+25,②
∴将①代入②,得|PA|2+|PB|2+|PO|2=3(2x-1)-8x+25=-2x+22.
∵P(x,y)是内切圆上的点,∴0≤x≤2,
∴|PA|2+|PB|2+|PO|2的最大值为22,最小值为18.
又以|PA|,|PB|,|PO|为直径的三个圆的面积之和为π|PA|22+π|PB|22+π|PO|22=π4(|PA|2+|PB|2+|PO|2),
∴以|PA|,|PB|,|PO|为直径的三个圆的面积之和的最大值为112π,最小值为92π.
15.解析 (1)设点P的坐标为(x,y),则由|PA|=2|PB|,得(x+4)2+y2=2(x+1)2+y2,平方可得x2+y2+8x+16=4(x2+y2+2x+1),
整理得,曲线E的方程为x2+y2=4.
(2)直线l的方程为y=kx-4,
依题意可得△COD为等腰直角三角形,
则圆心到直线l的距离d=|-4|k2+1=12·|CD|=2,∴k=±7.
(3)由题意可知,O,Q,M,N四点共圆且在以OQ为直径的圆上,
设Qt,t2-4,以OQ为直径的圆的方程为x(x-t)+yy-t2+4=0,
即x2-tx+y2-t2-4y=0,
又M,N在曲线E:x2+y2=4上,
∴MN的方程为tx+t2-4y-4=0,
即x+y2t-4(y+1)=0,
由x+y2=0,y+1=0得x=12,y=-1,
∴直线MN过定点12,-1.
2.5 直线与圆、圆与圆的位置关系
2.5.1 直线与圆的位置关系
基础过关练
题组一 直线与圆的位置关系的判断
1.已知直线l:3x-4y+2=0与圆C:(x-4)2+(y-1)2=9,则直线l与圆C的位置关系是( )
A.相切 B.相交且过C的圆心
C.相交但不过C的圆心 D.相离
2.对任意的实数k,直线y=kx+1与圆x2+y2=2的位置关系一定是( )
A.相离 B.相切
C.相交但直线不过圆心 D.相交且直线过圆心
3.若直线3x+4y+m=0与圆x2+y2-2x+4y+1=0没有公共点,则实数m的取值范围是( )
A.-5
C.m<4或m>13 D.4
A.相切 B.相交 C.相离 D.不确定
5.已知圆x2-2ax+y2=0(a>0)与直线x-3y+3=0相切,则a= .
题组二 圆的切线与弦长问题
6.(2019黑龙江大庆实验中学高二上期中)已知圆C:x2+y2-4x=0与直线l相切于点P(1,3),则直线l的方程为( )
A.x-3y+2=0 B.x-3y+4=0
C.x+3y-4=0 D.x+3y-2=0
7.若圆x2+y2-2x+4y+m=0截直线x-y-3=0所得弦长为6,则实数m的值为( )
A.-1 B.-2 C.-4 D.-31
8.已知圆x2+y2=9的弦过点P(1,2),当弦长最短时,该弦所在直线的方程为( )
A.y-2=0 B.x+2y-5=0
C.2x-y=0 D.x-1=0
9.已知直线l过点P(2,4),且与圆O:x2+y2=4相切,则直线l的方程为( 易错 )
A.x=2或3x-4y+10=0 B.x=2或x+2y-10=0
C.y=4或3x-4y+10=0 D.y=4或x+2y-10=0
10.一圆与y轴相切,圆心在直线x-3y=0上,且直线y=x被圆所截得的弦长为27,则此圆的方程为 .
11.已知点A(1,a),圆O:x2+y2=4.
(1)若过点A的圆O的切线只有一条,求实数a的值及切线方程;
(2)若过点A且在两坐标轴上截距相等的直线被圆O截得的弦长为23,求实数a的值.
题组三 直线与圆的位置关系的综合运用
12.圆x2+y2+2x+4y-3=0上到直线x+y+1=0的距离为2的点有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
13.如图所示是一座圆拱桥,当水面在如图所示的位置时,拱桥顶部离水面2 m,水面宽12 m,若水面下降1 m,则水面的宽为 m.
14.若P(2,-1)为圆(x-1)2+y2=25的弦AB的中点,则直线AB的方程是 .
15.过圆外一点P作圆O:x2+y2=1的两条切线PM,PN(M,N为切点),若∠MPN=90°,则动点P的轨迹方程是 .
16.已知实数x,y满足方程(x-2)2+y2=3.
(1)求yx的最大值和最小值;
(2)求y-x的最大值和最小值;
(3)求x2+y2的最大值和最小值.
17.已知内接于圆的四边形的对角线互相垂直,求证:圆心到一边的距离等于这条边所对边长的一半.
能力提升练
题组一 直线与圆的位置关系的判断
1.()“k=1”是“直线x-y+k=0与圆x2+y2=1相交”的 ( )
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
2.()直线y=x+b与曲线x=1-y2有且仅有一个公共点,则b的取值范围是( )
A.b=±2 B.-1
3.()已知曲线C:x-1·ln(x2+y2-1)=0,直线y=kx-1与曲线C恰有两个交点,则k的取值范围为( )
A.{0,1} B.{0,2}
C.(0,2) D.(0,1)∪(1,2)
4.(多选)(2020广东佛山一中高二上期中,)已知圆M:(x+cos θ)2+(y-sin θ)2=1,直线l:y=kx,则下列命题中正确的是( )
A.对任意实数 k 和θ,直线 l 和圆 M 有公共点
B.对任意实数θ,必存在实数 k,使得直线 l 与圆 M 相切
C.对任意实数 k,必存在实数θ,使得直线 l 与圆 M 相切
D.存在实数 k 与θ,使得圆 M 上有一点到直线 l 的距离为 3
题组二 圆的切线与弦长问题
5.(2020辽宁六校协作体高二上期中,)一束光线从点A(-2,3)射出,经x轴反射后与圆x2+y2-6x-4y+12=0相切,则反射光线所在直线的斜率为( )
A.65或56 B.45或54
C.43或34 D.32或23
6.(2020河北唐山一中高二上期中,)数学家欧拉于1765年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理:三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上,且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半,这条直线被后人称为三角形的欧拉线.在平面直角坐标系中作△ABC,在△ABC中,AB=AC=4,点B(-1,3),点C(4,-2),且其“欧拉线”与圆(x-3)2+y2=r2相切,则该圆的半径r为( )
A.1 B.2 C.2 D.22
7.()若直线l:x+3y-m=0被圆C:x2+y2-2x-3=0截得的弦长为23,则圆心C到直线l的距离是 ,m= .
8.()已知点M(3,1),直线ax-y+4=0及圆(x-1)2+(y-2)2=4.
(1)求过点M的圆的切线方程;
(2)若直线ax-y+4=0与圆相切,求a的值;
(3)若直线ax-y+4=0与圆相交于A,B两点,且弦AB的长为23,求a的值.
题组三 直线与圆的位置关系的综合运用
9.(2020山东济宁高二上期中,)已知AB为圆C:(x-1)2+y2=1的直径,点P为直线x-y+1=0上的任意一点,则PA·PB的最小值为( )
A.1 B.2 C.2 D.22
10.()已知点P(x,y)是直线kx+y+4=0(k>0)上一动点,PA,PB是圆C:x2+y2-2y=0的两条切线,A,B是切点.若四边形PACB的最小面积是2,则k的值为( )
A.2 B.212 C.22 D.2
11.(2020重庆一中高二上期中,)已知过点P(0,-2)的圆M的圆心为(a,0)(a≤0),且圆M与直线x+y+22=0相切.
(1)求圆M的标准方程;
(2)若过点Q(0,1)且斜率为k的直线l交圆M于A,B两点,且△PAB的面积为372,求直线l的方程.
12.(2019广西南宁高一期中,)设直线l的方程为x+my-1-m=0(m∈R),圆O的方程为x2+y2=r2(r>0).
(1)当m取一切实数时,直线l与圆O都有公共点,求r的取值范围;
(2)当r=5时,直线x+2y-t=0与圆O交于M,N两点,若|OM+ON|≥3|MN|,求实数t的取值范围.
13.(2019江苏镇江高二上期中,)在某海礁A处有一风暴中心,距离风暴中心A正东方向200 km的B处有一艘轮船,正沿北偏西α(α为锐角)角方向航行,速度大小为40 km/h.已知距离风暴中心180 km以内的水域受其影响.
(1)若轮船不被风暴影响,求角α的正切值的最大值;
(2)若轮船航行方向为北偏西45°,求轮船被风暴影响持续的时间.
14.()在△ABO中,|OB|=3,|OA|=4,|AB|=5,P是△ABO的内切圆上的一点,求以|PA|,|PB|,|PO|为直径的三个圆的面积之和的最大值与最小值.
15.(2019河南省实验中学高一月考,)已知两个定点A(-4,0),B(-1,0),动点P满足|PA|=2|PB|.设动点P的轨迹为曲线E,直线l:y=kx-4.
(1)求曲线E的方程;
(2)若直线l与曲线E交于不同的C,D两点,且∠COD=90°(O为坐标原点),求直线l的斜率;
(3)若k=12,Q是直线l上的动点,过Q作曲线E的两条切线QM,QN,切点为M,N,探究:直线MN是否过定点.
答案全解全析
基础过关练
1.C 依题意得,圆心到直线的距离d=|3×4-4×1+2|32+(-4)2=105=2.
∵0
3.B 圆x2+y2-2x+4y+1=0的圆心为(1,-2),半径为2,
由题意得,圆心到直线3x+4y+m=0的距离|3-8+m|9+16>2,∴m<-5或m>15.故选B.
4.B ∵点M(x0,y0)在圆x2+y2=R2外,∴x02+y02>R2,∴圆心(0,0)到直线x0x+y0y=R2的距离d=|-R2|x02+y02
解析 由题意得,圆心(a,0)到直线x-3y+3=0的距离d=|a+3|12+(-3)2=a,又a>0,所以a=3.
6.A 圆C:x2+y2-4x=0可化为(x-2)2+y2=4,显然过点P(1,3)的直线x=1不与圆相切,又点P(1,3)与圆心连线的直线斜率为0-32-1=-3,所以直线l的斜率为33,所以直线l的方程为y-3=33(x-1),整理得x-3y+2=0.故选A.
7.C 圆的方程可化为(x-1)2+(y+2)2=5-m,∴圆心(1,-2),
设圆心到直线的距离为d,则d=|1+2-3|2=0,因此弦长6就是直径2r,∴r=3.
∴r2=5-m=9⇒m=-4,故选C.
8.B 当弦长最短时,该弦所在直线与过点P(1,2)的直径垂直.已知圆心O(0,0),
所以过点P(1,2)的直径所在直线的斜率k=2-01-0=2,故所求直线的斜率为-12,
所以所求直线方程为y-2=-12(x-1),即x+2y-5=0.
9.A 由22+42=20>4,得点P在圆外,
当过点P的切线斜率存在时,设所求切线的斜率为k,
则切线方程为y-4=k(x-2),即kx-y-2k+4=0,
∴|-2k+4|1+k2=2,解得k=34.
故所求切线方程为3x-4y+10=0.
当过点P的切线斜率不存在时,方程为x=2,也满足条件.
故直线l的方程为3x-4y+10=0或x=2.故选A.
易错警示 切线的斜率存在时,设过点P的圆的切线斜率为k,写出点斜式方程再化为一般式.根据圆心到切线的距离等于圆的半径这一性质,由点到直线的距离公式列出含k的方程,由方程解得k,然后代回所设切线方程即可.切线斜率不存在时,直接验证直线方程是否满足条件即可.
本题要注意到点在圆外,所求切线有两条,特别注意当直线斜率不存在时的情况,不要漏解.
10.答案 (x-3)2+(y-1)2=9或(x+3)2+(y+1)2=9
解析 因为圆与y轴相切,且圆心在直线x-3y=0上,所以设圆心坐标为(3b,b),圆的半径为3|b|,故圆的方程为(x-3b)2+(y-b)2=9b2.
又因为直线y=x被圆所截得的弦长为27,所以|3b-b|22+(7)2=9b2,解得b=±1,
故所求圆的方程为(x-3)2+(y-1)2=9或(x+3)2+(y+1)2=9.
11.解析 (1)由于过点A的圆O的切线只有一条,所以点A在圆上,
所以12+a2=4,所以a=±3.
当a=3时,A(1,3),此时切线方程为x+3y-4=0;
当a=-3时,A(1,-3),此时切线方程为x-3y-4=0.
(2)设直线方程为x+y=b,因为直线过点A(1,a),所以1+a=b,即a=b-1.①
又圆心到直线的距离d=|-b|2,
所以|-b|22+2322=4,②
由①②得a=2-1,b=2或a=-2-1,b=-2.
所以a=2-1或a=-2-1.
12.C 圆的一般方程化为标准方程为(x+1)2+(y+2)2=8,则圆心坐标为(-1,-2),圆的半径为22,所以圆心到直线的距离为|-1-2+1|12+12=22=2.而2<22,所以直线与圆相交.由于圆的半径为22,所以与直线x+y+1=0平行,且距离为2的直线一条过圆心,另一条与圆相切,所以圆上到该直线的距离等于2的点共有3个.故选C.
13.答案 251
解析 如图,建立平面直角坐标系,
设初始水面在AB处,则由已知得A(6,-2),设圆C的半径长为r(r>0),则C(0,-r),故圆C的方程为x2+(y+r)2=r2,将A(6,-2)代入,得r=10,所以圆C的方程为x2+(y+10)2=100.①
当水面下降1 m到A'B'时,设A'(x0,-3)(x0>0).将A'(x0,-3)代入①式,得x0=51,所以水面下降1 m后,水面宽为251 m.
14.答案 x-y-3=0
解析 设圆心为C,则C(1,0),由圆的性质得PC⊥AB,而直线PC的斜率k1=-1-02-1=-1,因为k1·kAB=-1,所以直线AB的斜率为1,又直线AB过点P(2,-1),所以直线AB的方程为y-(-1)=x-2,即x-y-3=0.
15.答案 x2+y2=2
解析 设点P的坐标为(x,y),则|PO|=x2+y2.
∵∠MPN=90°,∴四边形OMPN为正方形,∴|PO|=2|OM|=2,
∴x2+y2=2,即x2+y2=2.
16.解析 (1)方程表示以点(2,0)为圆心,3为半径的圆,设yx=k,即y-kx=0,
当直线y=kx与圆相切时,斜率k取得最大值和最小值,此时|2k-0|k2+1=3,解得k=±3.
故yx的最大值为3,最小值为-3.
(2)设y-x=b,即x-y+b=0,当y=x+b与圆相切时,纵截距b取得最大值和最小值,此时|2-0+b|12+(-1)2=3,即b=-2±6.
故y-x的最大值为-2+6,最小值为-2-6.
(3)x2+y2表示圆上的点与原点距离的平方,由平面几何知识知,它在过原点和圆心的直线与圆的两个交点处取得最大值和最小值,又圆心到原点的距离为2,
故(x2+y2)max=(2+3)2=7+43,
(x2+y2)min=(2-3)2=7-43.
17.证明 如图,分别以四边形ABCD互相垂直的对角线CA,DB所在直线为x轴,y轴,建立平面直角坐标系.设A(a,0),B(0,b),C(c,0),D(0,d).
过四边形ABCD外接圆的圆心O'分别作AC、BD、AD的垂线,垂足分别为M、N、E,则M、N、E分别是线段AC、BD、AD的中点.
由线段的中点坐标公式,
得xO'=xM=a+c2,yO'=yN=b+d2,xE=a2,yE=d2.
所以|O'E|=a2-a+c22+d2-b+d22
=12c2+b2.
又|BC|=c2+b2,所以|O'E|=12|BC|.
能力提升练
1.A ∵直线x-y+k=0与圆x2+y2=1相交,
∴圆心到直线的距离d=|0-0+k|12+(-1)2=|k|2<1⇔-2
反过来,“直线x-y+k=0与圆x2+y2=1相交”推不出“k=1”,
∴“k=1”是“直线x-y+k=0与圆x2+y2=1相交”的充分而不必要条件,故选A.
2.B 由x=1-y2得,x2+y2=1(x≥0),该曲线表示的是圆x2+y2=1在y轴及右侧的部分,如图所示,y=x+b表示斜率为1,在y轴上的截距为b的直线.由直线与圆相切,得圆心到直线的距离d=|b|12+(-1)2=1⇒b=±2,结合图形知b的取值范围是b=-2,或-1
3.D 由x-1·ln(x2+y2-1)=0得,x-1=0,或x2+y2-1=1.
当x=1时,由12+y2-1>0得,y2>0⇒y≠0.
当x2+y2=2时,x≥1,因此曲线C如图所示,
∵kPA=0,kPB=1,kPD=2,
∴直线l:y=kx-1与曲线C恰有两个交点时,k的取值范围是(0,1)∪(1,2).故选D.
4.AC 圆心M(-cos θ,sin θ)到直线l的距离d=|-kcosθ-sinθ|k2+(-1)2=1+k2|sin(θ+φ)|k2+1
=|sin(θ+φ)|,其中tan φ=k.
∵d≤1,∴直线l与圆M有公共点,A正确;
当θ=0时,d=|-k|k2+1<1恒成立,即不存在k使得直线l和圆M相切,B错误;
不论k为何值,d=|sin(θ+φ)|=1有解,
即存在实数θ,
使得直线l与圆M相切,C正确;
∵d≤1,∴圆上任一点到直线l的距离不超过d+1,且d+1≤2,D错误.
故选AC.
5.C 圆的方程可化为(x-3)2+(y-2)2=1.
易知A(-2,3)关于x轴对称的点为A'(-2,-3).
如图所示,易知反射光线所在直线的斜率存在,设为k,其方程为y+3=k(x+2),
即kx-y+2k-3=0,
依题意得,圆心到反射光线所在直线的距离d=|3k-2+2k-3|k2+1=1,化简得12k2-25k+12=0,
解得k=43或k=34.故选C.
6.B 由AB=AC=4得,△ABC的“欧拉线”是BC边的垂直平分线.
∵kBC=-2-34+1=-1,线段BC的中点为32,12,
∴线段BC的垂直平分线方程为y-12=x-32,即x-y-1=0.
因此,圆心到直线的距离d=|3-0-1|12+(-1)2=2=r,故选B.
7.答案 1;-1或3
解析 圆C的方程可化为(x-1)2+y2=4,
则圆心C(1,0),半径r=2,
设圆心C到直线l的距离为d,则
d2+32=r2⇒d=1(负值舍去).
∴|1-m|2=1⇒|m-1|=2⇒m=-1或m=3.
8.解析 (1)由题意得,圆心C(1,2),半径r=2.
当直线的斜率不存在时,方程为x=3.
由圆心C(1,2)到直线x=3的距离d1=3-1=2=r知,此时,直线与圆相切.
当直线的斜率存在时,设方程为y-1=k(x-3),即kx-y+1-3k=0.
由题意知圆心到直线的距离d2=|k-2+1-3k|k2+1=2,解得k=34,∴方程为3x-4y-5=0.
故过点M的圆的切线方程为x=3或3x-4y-5=0.
(2)由题意得,圆心到直线ax-y+4=0的距离为|a-2+4|a2+1=2,解得a=0或a=43.
(3)∵圆心到直线ax-y+4=0的距离为|a+2|a2+1,∴|a+2|a2+12+2322=4,
解得a=-34.
9.A 如图所示,
∵PA=PC+CA,PB=PC+CB=PC-CA,
∴PA·PB=(PC+CA)·(PC-CA)
=|PC|2-|CA|2=|PC|2-1,
设圆心C到直线x-y+1=0的距离为d,
则|PC|min=d=|1-0+1|2=2,
∴(PA·PB)min=|PC|min2-1=2-1=1,故选A.
10.D 如图所示,根据对称性可知,当AP取得最小值时面积取得最小值,而AP2=PC2-AC2,所以当PC最短时,AP最小,易知CP⊥l时最小,此时PC=5k2+1,四边形PACB的面积S=AP·AC=PC2-AC2=25k2+1-1=2,解得k=2(负值舍去),故选D.
11.解析 (1)设圆M的标准方程为(x-a)2+y2=r2(a≤0,r>0),
则圆心(a,0)到直线x+y+22=0的距离为|a+22|2,
由题意得a2+4=r2,|a+22|2=r,解得a=0或a=42(舍去),所以r2=4,
所以圆M的标准方程为x2+y2=4.
(2)设直线l的方程为y=kx+1,则圆心M到直线l的距离为1k2+1,
∴|AB|=24-1k2+1=24k2+3k2+1.
又点P(0,-2)到直线l的距离d=3k2+1,
∴S△PAB=12|AB|d=12×24k2+3k2+1×3k2+1=372,解得k2=1,∴k=±1,
则直线l的方程为y=±x+1.
12.解析 (1)直线的方程整理可得(y-1)m+x-1=0,所以过定点P(1,1),
若直线与圆O有公共点,则点P在圆内或者圆上,即12+12≤r2,
又r>0,所以r≥2.
(2)设弦MN的中点为E,
则OM+ON=2OE.
由垂径定理可得MN2=4ME2=4(OM2-OE2),
所以|OM+ON|≥3|MN|即OE2≥9(OM2-OE2),
则10OE2≥45,所以OE2≥92,又OE2<5,
由题意知OE=|-t|5,
所以92≤|-t|52<5,即t∈-5,-3102∪3102,5.
13.解析 (1)根据题意画出图形,如图所示,
则圆的方程为x2+y2=1802,
设过点B(200,0)的直线方程为y=k(x-200),k<0,即kx-y-200k=0,
则圆心O(0,0)到直线的距离为|-200k|k2+1=180,
化简得19k2=81,
解得k=-919(正值舍去),
∴tan(90°+α)=-919,∴-1tanα=-919,
∴tan α=199,
∴若轮船不被风暴影响,则角α的正切值的最大值为199.
(2)若轮船航行方向为北偏西45°,则直线方程为x+y=200,
则圆心O到该直线的距离d=|-200|2=1002,
弦长为2r2-d2=21802-(1002)2=4031,
则轮船被风暴影响持续的时间为403140=31 h.
14.解析 如图,建立平面直角坐标系,使A,B,O三点的坐标分别为A(4,0),B(0,3),O(0,0).
设△AOB的内切圆的半径为r,点P的坐标为(x,y).
则2r+|AB|=|OA|+|OB|,∴r=1,∴内切圆的方程为(x-1)2+(y-1)2=1,
整理得x2+y2-2y=2x-1.①
又|PA|2+|PB|2+|PO|2=(x-4)2+y2+x2+(y-3)2+x2+y2=3x2+3y2-8x-6y+25,②
∴将①代入②,得|PA|2+|PB|2+|PO|2=3(2x-1)-8x+25=-2x+22.
∵P(x,y)是内切圆上的点,∴0≤x≤2,
∴|PA|2+|PB|2+|PO|2的最大值为22,最小值为18.
又以|PA|,|PB|,|PO|为直径的三个圆的面积之和为π|PA|22+π|PB|22+π|PO|22=π4(|PA|2+|PB|2+|PO|2),
∴以|PA|,|PB|,|PO|为直径的三个圆的面积之和的最大值为112π,最小值为92π.
15.解析 (1)设点P的坐标为(x,y),则由|PA|=2|PB|,得(x+4)2+y2=2(x+1)2+y2,平方可得x2+y2+8x+16=4(x2+y2+2x+1),
整理得,曲线E的方程为x2+y2=4.
(2)直线l的方程为y=kx-4,
依题意可得△COD为等腰直角三角形,
则圆心到直线l的距离d=|-4|k2+1=12·|CD|=2,∴k=±7.
(3)由题意可知,O,Q,M,N四点共圆且在以OQ为直径的圆上,
设Qt,t2-4,以OQ为直径的圆的方程为x(x-t)+yy-t2+4=0,
即x2-tx+y2-t2-4y=0,
又M,N在曲线E:x2+y2=4上,
∴MN的方程为tx+t2-4y-4=0,
即x+y2t-4(y+1)=0,
由x+y2=0,y+1=0得x=12,y=-1,
∴直线MN过定点12,-1.
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