人教A版 (2019)选择性必修 第一册2.5 直线与圆、圆与圆的位置精品同步测试题

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拓展一：直线和圆的对称问题




知识点1 直线的对称问题
1．中心对称问题的两种类型及求解方法
(1)点关于点对称：
若点M(x1，y1)及N(x，y)关于P(a，b)对称，则由中点坐标公式得进而求解．
(2)直线关于点的对称，主要求解方法是：
①在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程；
②求出一个对称点，再利用两对称直线平行，由点斜式得到所求直线方程．

2．轴对称问题的两种类型及求解方法
(1)点关于直线的对称：
①若两点P1(x1，y1)与P2(x2，y2)关于直线l：Ax＋By＋C＝0对称，由方程组可得到点P1关于l对称的点P2的坐标(x2，y2)(其中B≠0，x1≠x2)．
（关键词：垂直、平分）
设点P(x0，y0)关于直线y＝kx＋b的对称点为P′(x′，y′)，
则有可求出x′，y′.
②若两点P1(x1，y1)与P2(x2，y2)关于直线l：Ax＋By＋C＝0对称，则，故可设的方程为，代入，即可求出m，联立直线和的方程，求出两条直线的交点，即为中点，进一步利用中点坐标公式求的坐标
(2)直线关于直线的对称：
①若直线与对称轴平行，则在直线上取一点，求出该点关于轴的对称点，然后用点斜式求解．
②若直线与对称轴相交，则先求出交点，然后再取直线上一点，求该点关于轴的对称点，最后由两点式求解．
　　　
知识点2 圆的对称问题
1．圆的轴对称性
圆关于直径所在的直线对称．
2．圆关于点对称
(1)求已知圆关于某点对称的圆，只需确定所求圆的圆心位置．
(2)两圆关于某点对称，则此点为两圆圆心连线的中点．
3．圆关于直线对称
(1)求已知圆关于某条直线对称的圆，只需确定所求圆的圆心位置．
(2)两圆关于某条直线对称，则此直线为两圆圆心连线的垂直平分线．



考点一 点关于点对称问题
【例1-1】点P(3,2)关于点Q(1,4)的对称点M为(　　)
A．(1,6)　　　B．(6,1) C．(1，－6) D．(－1,6)


变式1：已知点A(x,5)关于点(1，y)的对称点为(－2，－3)，则点P(x，y)到原点的距离是(　　)
A．2 B．4
C．5 D.

变式2：若直线：与直线关于点对称，则当经过点时，点到直线的距离为___________.


变式3：过点P(0,1)作直线l使它被直线l1：2x＋y－8＝0和l2：x－3y＋10＝0截得的线段被点P平分，则直线l的方程为____________________．


考点二 点关于直线对称问题
【例2-1】点P(－3,4)关于直线x＋y－2＝0的对称点Q的坐标是(　　)
A．(－2,1)　　　　　　 B．(－2,5)
C．(2，－5) D．(4，－3)

变式1：点(a，b)关于直线x＋y＋1＝0的对称点是(　　)
A．(－a－1，－b－1) B．(－b－1，－a－1)
C．(－a，－b) D．(－b，－a)

变式2：已知点与关于直线对称，则，的值分别为　　
A．1，3 B． C．，0 D．，



变式3：点A(－2，a)与点B(b，－3)关于直线l：x＋2y－a＝0对称，则a＋3b＝________．


变式7：已知直线过定点，则点关于对称点的坐标为


【例2-2】已知直线y＝2x是△ABC中∠C的平分线所在的直线，若点A，B的坐标分别是(－4,2)，(3,1)，则点C的坐标为(　　)
A．(－2,4) B.(－2，－4) C．(2,4) D．(2，－4)


变式1：已知三角形的一个顶点A(4，－1)，它的两条角平分线所在直线的方程分别为l1：x－y－1＝0和l2：x－1＝0，则BC边所在直线的方程为________________．


【例2-3】已知入射光线经过点M(－3,4)，被直线l：x－y＋3＝0反射，反射光线经过点N(2,6)，则反射光线所在直线的方程为________．


变式1：光线通过点A(－2，4)，经直线l：2x－y－7＝0反射，若反射光线通过点B(5，8)，求入射光线和反射光线所在直线的方程．


考点三 直线关于点对称问题
【例3-1】已知直线l：2x－3y＋1＝0，点A(－1，－2)，则直线l关于点A对称的直线m的方程为________________．

变式1：与直线2x＋3y－6＝0关于点(1，－1)对称的直线方程是(　　)
A．3x－2y＋2＝0 B．2x＋3y＋7＝0
C．3x－2y－12＝0 D．2x＋3y＋8＝0


变式2：已知直线与关于点对称，则______.


考点四 直线关于直线对称问题
【例4-1】求直线m：3x－2y－6＝0关于直线l：2x－3y＋1＝0的对称直线m′的方程．


变式1：直线2x－y＋3＝0关于直线x－y＋2＝0对称的直线方程是(　　)
A．x－2y＋3＝0 B．x－2y－3＝0
C．x＋2y＋1＝0 D．x＋2y－1＝0

考点五 根据对称性求最值
【例5-1】已知点A(3，－1)，B(5，－2)，点P在直线x＋y＝0上，若使|PA|＋|PB|取最小值，则P点坐标是(　　)
A．(1，－1) B．(－1,1)
C. D．(－2,2)

变式1：已知直线l：x－2y＋8＝0和两点A(2，0)，B(－2，－4)．在直线l上求一点P，使|PA|＋|PB|最小．



变式2：已知直线l：x－2y＋8＝0和两点A(2,0)，B(－2，－4)．
(1)在直线l上求一点P，使|PA|＋|PB|最小；
(2)在直线l上求一点P，使||PB|－|PA||最大．


变式3：在直线l：3x－y－1＝0上，求点P和Q，使得
(1)点P到点A(4,1)和B(0,4)的距离之差最大；
(2)点Q到点A(4,1)和C(3,4)的距离之和最小．


考点六 圆的对称问题
（一）圆的轴对称性
【例6-1】已知圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0关于直线2ax－by＋2＝0(a，b∈R)对称，则ab的取值范围是(　　)
A. B. C. D.


（二）圆关于点对称
【例6-2】若圆C的半径为1，圆心C与点(2,0)关于点(1,0)对称，则圆C的标准方程为(　　)
A．x2＋y2＝1 B．(x－3)2＋y2＝1
C．(x－1)2＋y2＝1 D．x2＋(y－3)2＝1



（三）圆关于直线对称
【例6-3】圆(x－3)2＋(y－1)2＝5关于直线y＝－x对称的圆的方程为(　　)
A．(x＋3)2＋(y－1)2＝5　 B．(x－1)2＋(y－3)2＝5
C．(x＋1)2＋(y＋3)2＝5 D．(x－1)2＋(y＋3)2＝5


变式1：已知圆C1：(x＋1)2＋(y－1)2＝1，圆C2与圆C1关于直线x－y－1＝0对称，则圆C2的方程为(　　)
A．(x＋2)2＋(y－2)2＝1 B．(x－2)2＋(y＋2)2＝1
C．(x＋2)2＋(y＋2)2＝1 D．(x－2)2＋(y－2)2＝1