人教B版 (2019)必修 第三册7.3.2 正弦型函数的性质与图像学案设计

这是一份人教B版 (2019)必修 第三册7.3.2 正弦型函数的性质与图像学案设计，共7页。学案主要包含了学习目标，学习重难点，学习过程，学习小结，精炼反馈等内容，欢迎下载使用。

1．了解正弦型函数y＝Asin(ωx＋φ)的实际意义及各参数对图像变化的影响，会求其周期、最值、单调区间等．
2．会用“图像变换法”作正弦型函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像．
【学习重难点】
会求正弦型函数y＝Asin(ωx＋φ)的周期、最值、单调区间．
【学习过程】
一、初试身手
1．函数y＝4sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))＋1的最小正周期为( )
A．eq \f(π,2) B．π
C．2π D．4π
2．要得到y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,4)))的图像，只要将y＝sin x的图像( )
A．向右平移eq \f(π,4)个单位B．向左平移eq \f(π,4)个单位
C．向上平移eq \f(π,4)个单位D．向下平移eq \f(π,4)个单位
3．已知函数y＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,5)x＋\f(π,7)))，则该函数的最小正周期、振幅、初相分别是______，______，______.
二、合作探究
1.正弦型函数的图像与性质
【例1】用五点法作函数y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,3)))＋3的图像，并写出函数的定义域、值域、周期、频率、初相、最值、单调区间、对称轴方程．
[思路探究]先确定一个周期内的五个关键点，画出一个周期的图像，左、右扩展可得图像，然后根据图像求性质．
[解]①列表：
②描点连线作出一周期的函数图像．
③把此图像左、右扩展即得y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,3)))＋3的图像．
由图像可知函数的定义域为R，值域为[1,5]，
周期为T＝eq \f(2π,ω)＝2π，频率为f＝eq \f(1,T)＝eq \f(1,2π)，初相为φ＝－eq \f(π,3)，最大值为5，最小值为1．
令2kπ－eq \f(π,2)≤x－eq \f(π,3)≤2kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)得原函数的增区间为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2kπ－\f(π,6)，2kπ＋\f(5,6)π))(k∈Z)．
令2kπ＋eq \f(π,2)≤x－eq \f(π,3)≤2kπ＋eq \f(3,2)π，(k∈Z)得原函数的减区间为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2kπ＋\f(5,6)π，2kπ＋\f(11,6)π))(k∈Z)．
令x－eq \f(π,3)＝kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)得原函数的对称轴方程为x＝kπ＋eq \f(5,6)π(k∈Z)．
2.三角函数的图像变换
【例2】函数y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))－2的图像是由函数y＝sin x的图像通过怎样的变换得到的？
[思路探究]由周期知“横向缩短”，由振幅知“纵向伸长”，并且需要向左、向下移动．
3.求y＝Asin(ωx＋φ)的解析式
【例3】如图所示的是函数y＝Asin(ωx＋φ)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(|φ|<\f(π,2)))的图像，确定其一个函数解析式．
[思路探究]解答本题可由最高点、最低点确定A，再由周期确定ω，然后由图像所过的点确定φ.
[解]由图像，知A＝3，T＝π，
又图像过点Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,6)，0))，
∴所求图像由y＝3sin 2x的图像向左平移eq \f(π,6)个单位得到，
∴y＝3sin 2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,6)))，即y＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3))).
4.函数y＝Asin(ωx＋φ)的对称性
[探究问题]
如何求函数y＝Asin(ωx＋φ)的对称轴方程？
[提示]与正弦曲线一样，函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像的对称轴通过函数图像的最值点且垂直于x轴．
函数y＝Asin(ωx＋φ)对称轴方程的求法：令sin(ωx＋φ)＝±1，得ωx＋φ＝kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)，则x＝eq \f(2k＋1π－2φ,2ω)(k∈Z)，所以函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像的对称轴方程为x＝eq \f(2k＋1π－2φ,2ω)(k∈Z)．
如何求函数y＝Asin(ωx＋φ)的对称中心？
[提示]与正弦曲线一样，函数y＝Asin(ωx＋φ)图像的对称中心即函数图像与x轴的交点．
函数y＝Asin(ωx＋φ)对称中心的求法：令sin(ωx＋φ)＝0，得ωx＋φ＝kπ(k∈Z)，则x＝eq \f(kπ－φ,ω)(k∈Z)，所以函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像关于点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(kπ－φ,ω)，0))(k∈Z)成中心对称．
【例4】已知函数f(x)＝sin(2x＋φ)(0<φ<π)．
（1）若函数f(x)＝sin(2x＋φ)为偶函数，求φ的值；
（2）若函数f(x)＝sin(2x＋φ)关于x＝eq \f(π,8)对称，求出φ的值及f(x)的所有的对称轴方程及对称中心的坐标．
[思路探究]利用正弦函数的性质解题．
[解]（1）∵f(x)为偶函数，∴φ＝kπ＋eq \f(π,2)，
又φ∈(0，π)，∴φ＝eq \f(π,2).
（2）∵f(x)＝sin(2x＋φ)关于x＝eq \f(π,8)对称，
∴f(0)＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)))，即sin φ＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋φ))＝cs φ，
∴tan φ＝1，φ＝kπ＋eq \f(π,4)(k∈Z)．
又φ∈(0，π)，∴φ＝eq \f(π,4)，∴f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,4))).
由2x＋eq \f(π,4)＝kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)，
得x＝eq \f(kπ,2)＋eq \f(π,8)(k∈Z)，
由2x＋eq \f(π,4)＝kπ，得x＝eq \f(kπ,2)－eq \f(π,8)(k∈Z)，
∴f(x)的对称轴方程为x＝eq \f(kπ,2)＋eq \f(π,8)(k∈Z)，
对称中心eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(kπ,2)－\f(π,8)，0))(k∈Z)．
【学习小结】
1．正弦型函数
（1）形如y＝Asin(ωx＋φ)(其中A，ω，φ都是常数)的函数，通常叫做正弦型函数．
（2）函数y＝Asin(ωx＋φ)(其中A≠0，ω＞0，x∈R)的周期T＝eq \f(2π,ω)，频率f＝eq \f(ω,2π)，初相为φ，值域为[－|A|，|A|]，|A|也称为振幅，|A|的大小反映了y＝Asin(ωx＋φ)的波动幅度的大小．
2．A，ω，φ对函数y＝Asin(ωx＋φ)图像的影响
（1）φ对函数y＝sin(x＋φ)图像的影响：
（2）ω对函数y＝sin(ωx＋φ)图像的影响：
（3）A对函数y＝Asin(ωx＋φ)图像的影响：
（4）用“变换法”作图：
y＝sin x的图像eq \(――――――――→,\s\up16(向左φ＞0或向右φ＜0),\s\d12(平移|φ|个单位长度))y＝sin(x＋φ)的图像横坐标变为原来的eq \f(1,ω)倍,纵坐标不变y＝sin(ωx＋φ)的图像
eq \(――――――――――→,\s\up16(纵坐标变为原来的A倍),\s\d12(横坐标不变))y＝Asin(ωx＋φ)的图像．
【精炼反馈】
1．(2019·全国卷Ⅱ)若x1＝eq \f(π,4)，x2＝eq \f(3π,4)是函数f(x)＝sin ωx(ω＞0)两个相邻的极值点，则ω＝( )
A．2 B．eq \f(3,2) C．1 D．eq \f(1,2)
A [由题意及函数y＝sin ωx的图像与性质可知，
eq \f(1,2)T＝eq \f(3π,4)－eq \f(π,4)，∴T＝π，∴eq \f(2π,ω)＝π，∴ω＝2．
故选A．]
2．要得到y＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,4)))的图像，只需将y＝3sin 2x的图像( )
A．向左平移eq \f(π,4)个单位B．向右平移eq \f(π,4)个单位
C．向左平移eq \f(π,8)个单位D．向右平移eq \f(π,8)个单位
C [y＝3sin 2x的图像eq \(――――――――→,\s\up26(向左平移\f(π,8)个单位))y＝3sin2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,8)))
的图像，即y＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,4)))的图像．]
3．函数y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,3)))图像的一条对称轴是________．(填序号)
①x＝－eq \f(π,2)；②x＝0；③x＝eq \f(π,6)；④x＝－eq \f(π,6).
③ [由正弦函数对称轴可知．
x＋eq \f(π,3)＝kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z，
x＝kπ＋eq \f(π,6)，k∈Z，
k＝0时，x＝eq \f(π,6).]
4．如图是函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<π)的图像的一部分，试求该函数的解析式．
[解] 由图像可知A＝2，T＝4×(6－2)＝16，ω＝eq \f(2π,T)＝eq \f(π,8).又x＝6时，eq \f(π,8)×6＋φ＝0，∴φ＝－eq \f(3π,4)，且|φ|<π.
∴所求函数的解析式为y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,8)x－\f(3π,4))).x
eq \f(π,3)
eq \f(5,6)π
eq \f(4,3)π
eq \f(11,6)π
eq \f(7,3)π
x－eq \f(π,3)
0
eq \f(π,2)
π
eq \f(3,2)π
2π
y
3
5
3
1
3