高中7.3.2 正弦型函数的性质与图像课后练习题

7.3.2　正弦型函数的性质与图像

基础过关练

题组一　正弦型函数的图像与性质的简单应用

1.函数y=sin在区间上的图像是(　　)

2.设函数f(x)=sin,则下列结论正确的是(　　)

A.函数f(x)的图像关于直线x=对称

B.函数f(x)的图像关于点对称

C.函数f(x)的最小正周期为

D.函数f(x)在上为增函数

3.已知ω>0,函数f(x)=sin在上单调递减,则ω的取值范围是(　　)　　　　　 　　　　　 　　　　　

A.(0,2]               B.    

C.               D.

4.函数y=2sin(x∈[0,π])的单调递增区间为　　　　. 

5.已知函数f(x)=2sin(2x+φ),且f(x)的图像过点(0,1).

(1)求函数f(x)的最小正周期及φ的值;

(2)求函数f(x)的最大值及取得最大值时自变量x的集合;

(3)求函数f(x)的单调递增区间.

题组二　正弦型函数图像的变换

6.将函数y=sin x的图像上所有的点向右平移个单位,再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),所得图像的函数解析式是(　　)

A.y=sin       B.y=sin

C.y=sin       D.y=sin

7.要得到函数y=3sin的图像,只需将函数y=3sin 2x的图像(　　)　　　　　 　　　　　 　　　　　

A.向左平移个单位        B.向右平移个单位

C.向左平移个单位        D.向右平移个单位

8.(2019湖北七校考试联盟高三联考)若将函数f(x)=sin的图像向左平移φ(φ>0)个单位,所得函数g(x)的图像关于原点对称,则当φ最小时,tan φ=(　　)

A.-         B.         C.-       D.

9.(2019山东临沂高三期中)将函数y=2sin的图像向左平移个单位,所得图像的一个对称中心可以为(　　)

A.        B.        C.         D.

10.将函数y=2sin图像上所有点的横坐标缩短为原来的,纵坐标不变,再向右平移个单位,得到函数y=g(x)的图像,则下列说法正确的是(　　)

A.函数g(x)的图像的一条对称轴是x=

B.函数g(x)的图像的一个对称中心是

C.函数g(x)的图像的一条对称轴是x=

D.函数g(x)的图像的一个对称中心是

题组三　函数y=Asin(ωx+φ)的解析式的确定及性质的应用

11.已知函数f(x)=2sin的图像经过点(0,1),则该函数的最小正周期T和初相φ分别为(　　)

A.T=6,φ=      B.T=6,φ=     C.T=6π,φ=      D.T=6π,φ=

12.函数y=Asin(ωx+φ)的部分图像如图所示,则(　　)

A.y=2sin       B.y=2sin

C.y=2sin       D.y=2sin

13.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0)的图像如图所示,则ω=　　　　. 

14.已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)的最小正周期为π,且P是该函数图像的一个最高点.

(1)求函数f(x)的解析式;

(2)若x∈,求函数y=f(x)的值域.

15.函数f(x)=Asin+1(A>0,ω>0)的最大值为3,其图像相邻两条对称轴之间的距离为.

(1)求函数f(x)的解析式;

(2)设α∈,则f=2,求α的值.

能力提升练

一、单项选择题

1.(疑难2,★★☆)若将函数y=2sin 2x的图像向左平移个单位,再将图像上每个点的横坐标和纵坐标都变为原来的,则所得图像对应的函数解析式为(　　)　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　

A.y=4sin          B.y=sin

C.y=sin         D.y=sin

2.(2019北京海淀高三期中,疑难3,★★☆)若函数f(x)=sin(x+φ)满足f=1,则f的值是(　　)

A.0          B.         C.       D.1

3.(2019辽宁沈阳东北育才学校高三第一次模拟,疑难2、3,★★☆)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)A>0,|φ|<的图像如图所示,为了得到函数g(x)=Asin 3x的图像,只需将函数f(x)的图像(　　)

A.向右平移个单位       B.向左平移个单位

C.向右平移个单位      D.向左平移个单位

4.(疑难3,★★☆)函数f(x)=sin(ωx+φ)的部分图像如图所示,则φ=(　　)

A.        B.-      C.        D.-

5.(2019广东深圳实验中学、珠海一中等六校高三联考,疑难3、4,★★☆)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π)的部分图像如图所示,则下列结论正确的是(　　)

A.函数f(x)的最小正周期为π

B.函数y=f(x-π)为偶函数

C.函数f(x)在上单调递增

D.函数f(x)的图像关于点对称

6.(2019重庆江津中学、合川中学等七校高一期末,疑难2,★★☆)将函数y=3sin-1的图像向左平移个单位,所得函数图像的一个对称中心是(　　)

A.     B.      C.      D.

二、多项选择题

7.(疑难2、4,★★☆)将函数y=4sin x的图像向左平移个单位,再将横坐标缩短到原来的,得到函数y=f(x)的图像,下列关于y=f(x)的说法正确的是(　　)

A.函数y=f(x)的最小正周期为4π

B.由f(x1)=f(x2)=0可得x1-x2是的整数倍

C.y=f(x)的图像关于点中心对称

D.y=f(x)的图像关于直线x=-对称

三、填空题

8.(疑难2,★★☆)将函数f(x)=sin 2x的图像向右平移个单位,得到函数g(x)的图像,则函数g(x)在区间上的值域为　　　　. 

9.(2019河南名校联盟高三调研,疑难1,★★☆)已知函数f(x)=sin,x∈,则函数f(x)的单调递增区间为　　　　. 

10.(2019湖北七校高三联考,疑难4,★★★)已知函数f(x)=2sin,若f(x)图像的任何一条对称轴与x轴交点的横坐标都不属于区间(π,2π),则ω的取值范围是　　　　. 

四、解答题

11.(疑难4,★★☆)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)的图像与y轴的交点为(0,1),它在y轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为(x0,2)和(x0+2π,-2).

(1)求函数f(x)的解析式及x0的值;

(2)求函数f(x)的单调递增区间.

12.(2019四川绵阳高三诊断,疑难2、4,★★☆)已知函数f(x)=sin+2,将函数f(x)的图像向右平移个单位,再向下平移2个单位,得到函数g(x)的图像.

(1)求函数g(x)的解析式;

(2)求函数g(x)在上的单调递减区间及值域.

13.(疑难2、4,★★☆)已知函数f(x)=Asin(A>0,ω>0)的部分图像如图所示.

(1)求A和ω的值;

(2)求函数y=f(x)在[0,π]上的单调递增区间;

(3)若函数g(x)=f(x)+1在区间(a,b)上恰有10个零点,求b-a的最大值.

答案全解全析

基础过关练

1.   A　当x=0时,y=sin=-<0,故可排除B、D;当x=时,sin=sin 0=0,排除C.

故选A.

2.D　因为函数f(x)=sin的最小正周期T==π,所以排除C;令2x+=+kπ,k∈Z,得函数图像的对称轴为直线x=+,k∈Z,所以直线x=不是函数图像的对称轴,所以排除A;函数图像的对称中心的横坐标满足2x+=kπ,k∈Z,解得x=-,k∈Z,所以不是函数图像的对称中心,故排除B;令-+2kπ≤2x+≤+2kπ,k∈Z,得kπ-≤x≤+kπ,k∈Z,所以函数f(x)在(k∈Z)上单调递增,所以选项D正确.故选D.

3.D　函数f(x)=sin在上单调递减,

∴其中k∈Z,解得k∈Z.

当k=0时,可得1≤ω≤.

4.答案　

解析　y=2sin=2sin=-2sin,

令2kπ+≤2x-≤π+2kπ,k∈Z,得kπ+≤x≤kπ+,k∈Z.

取k=0,得≤x≤,即x∈.

5.解析　(1)函数f(x)的最小正周期T==π.

因为函数f(x)的图像过点(0,1),所以f(0)=2sin φ=1,即sin φ=.

又-<φ<,所以φ=.

(2)由(1)知, f(x)=2sin,所以函数f(x)的最大值是2.

由2x+=+2kπ(k∈Z),得x=+kπ(k∈Z),

所以f(x)取得最大值时x的集合是.

(3)由(1)知, f(x)=2sin.

由-+2kπ≤2x+≤+2kπ,k∈Z,

得-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z,

所以函数f(x)的单调递增区间为(k∈Z).

6.C　函数y=sin x的图像上所有的点向右平移个单位可得函数y=sinx-的图像;再将横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)可得函数y=sinx-的图像,所以所求函数的解析式是y=sin.

7.C　∵y=3sin 2(x+φ)=3sin,∴2φ=,即φ=.故需将函数y=3sin 2x的图像向左平移个单位.

8.D　函数f(x)=sin的图像向左平移φ(φ>0)个单位所得图像的解析式为g(x)=sin,又函数g(x)的图像关于原点对称,则2φ+=kπ,k∈Z,解得φ=-+,k∈Z.由φ>0可得k=1时,φ取最小值.所以tan φ=tan=,故选D.

9.C　将函数y=2sin的图像向左平移个单位,可得函数y=2sin=2sin的图像.令2x+=kπ,k∈Z,得x=-,k∈Z,令k=1,得x=,故所得图像的一个对称中心可以为.

10.C　将函数y=2sin图像上所有点的横坐标缩短为原来的,可得y=2sin的图像,然后纵坐标不变,再向右平移个单位,得到函数y=g(x)=2sin=2sin的图像.

令2x+=+kπ,k∈Z,得x=,k∈Z,

当k=1时,x=,可得x=是函数g(x)的图像的一条对称轴,故A错,C正确;

令2x+=kπ,k∈Z,得x=-+,k∈Z,故排除B,D.故选C.

11.A　T===6,∵图像过点(0,1),

∴sin φ=.∵-<φ<,∴φ=.

12.B　设函数的最小正周期为T,由题图可知,A=2,T=-=,故T=π=,解得ω=2,由“五点作图法”得2×+φ=,解得φ=-,∴y=2sin.

13.答案　

解析　设函数f(x)的最小正周期为T,则=-=,∴T=,∴ω==.

14.解析　(1)由题意可得=π,∴ω=2.

根据函数的图像经过点P,可得2sin=2,结合|φ|<,可得φ=,

∴f(x)=2sin.

(2)∵x∈,∴2x+∈,∴sin∈,

∴f(x)=2sin的值域为[-2,1].

15.解析　(1)因为函数f(x)的最大值为3,所以A+1=3,即A=2.

因为函数图像相邻的两条对称轴之间的距离为,所以最小正周期T=π,所以ω=2.故函数f(x)的解析式为y=2sin2x-+1.

(2)因为f=2sin+1=2,

所以sin=.

因为0<α<,所以-<α-<,

所以α-=,故α=.

能力提升练

一、单项选择题

1.D　将函数y=2sin 2x的图像向左平移个单位,得到函数y=2sin=2sin2x+的图像,再将图像上每个点的横坐标和纵坐标都变为原来的,得到函数y=sin的图像.

2.A　由f(x)=sin(x+φ)满足f=1,得sin=1,即+φ=+2kπ,k∈Z,则φ=+2kπ,k∈Z.∴f(x)=sin(x+φ)=sin=sin,k∈Z,

∴f=sin π=0.

3.C　由题图可知,函数f(x)的最小正周期T=4×=,所以ω==3.又函数f(x)的图像过点,所以Asin3×+φ=0,即+φ=π+2kπ(k∈Z),又|φ|<,所以φ=,所以f(x)=Asin3x+.又g(x)=Asin 3x=Asin3x-+,所以只需将函数f(x)的图像向右平移个单位即可得到函数g(x)的图像.

4.A　设函数f(x)的最小正周期为T,由题图可得==+,∴ω=π,∴ f(x)=sin(πx+φ).

∵sin=0,∴φ-=2kπ(k∈Z).又|φ|<,∴φ=.

5.C　由题图得A=2, f(x)=2sin(ωx+φ),将点(0,)代入,解得φ=,所以f(x)=2sin,再将代入,解得ω=,故f(x)=2sin.函数的最小正周期为T==3π≠π,所以A选项错误; f(x-π)=2sinx为奇函数,所以B选项错误; f=2sin=-1,所以D选项错误.故选C.

6.D　将函数y=3sin-1的图像向左平移个单位,

可得y=3sin-1=3sin-1.

令2x+=kπ,k∈Z,解得x=-+,k∈Z.

当k=1时,x=,函数图像的一个对称中心为.

二、多项选择题

7.BC　由题意得,函数y=f(x)的解析式为f(x)=4sin.

对于A,函数y=f(x)的最小正周期为T==π,∴A错误;

对于B,由f(x)=0可得2x+=kπ(k∈Z),

∴x=π-(k∈Z),

∴x1-x2是的整数倍,∴B正确;

对于C, f(x)=4sin的图像的对称中心的横坐标满足2x+=kπ,k∈Z,∴x=π-,k∈Z,

∴点是函数y=f(x)的图像的一个对称中心,∴C正确;

对于D,函数y=f(x)的图像的对称轴满足2x+=+kπ,k∈Z,∴x=+,k∈Z,∴D错误.

故选BC.

三、填空题

8.答案　

解析　由题意得g(x)=sin 2=sin,

因为0≤x≤,所以0≤2x≤π,所以-≤2x-≤,所以-≤sin≤1.所以函数g(x)在区间上的值域为.

9.答案　

解析　令-+2kπ≤3x-≤+2kπ(k∈Z),-+2kπ≤3x≤+2kπ(k∈Z),

解得-+≤x≤+(k∈Z),令k=1,得≤x≤,

故函数f(x)的单调递增区间为.

10.答案　

解析　f(x)=2sin图像的对称轴方程满足ωx+=+kπ,k∈Z,则x=+,k∈Z.f(x)图像的任何一条对称轴与x轴交点的横坐标都不属于区间(π,2π),则×>π,ω<1,故<ω<1.由k∈Z,

解得k+≤ω≤,k∈Z,令k=0,则≤ω≤.

四、解答题

11.解析　(1)由题意作出函数f(x)的简图如图,设函数的最小正周期为T.

由图像知A=2,=2π,得T=4π,∴4π=,即ω=,

∴f(x)=2sin,∴f(0)=2sin φ=1,即sin φ=,又∵|φ|<,∴φ=,∴f(x)=2sin.

∵f(x0)=2sin=2,∴x0+=+2kπ,k∈Z,∴x0=4kπ+,k∈Z.

又(x0,2)是y轴右侧的第一个最高点,∴x0=.

(2)令-+2kπ≤x+≤+2kπ,k∈Z,得-+4kπ≤x≤+4kπ,k∈Z,

∴函数f(x)的单调递增区间为-+4kπ,+4kπ(k∈Z).

12.解析　(1)由题意得g(x)=sin+2-2,化简得g(x)=sin.

(2)由≤x≤,可得≤2x-≤.

当≤2x-≤,即≤x≤时,函数g(x)单调递减.

∴g(x)在上的单调递减区间为.

∵g(x)在上单调递增,在上单调递减,

∴g(x)max=g=sin=1.

又g=sin=sin=

-sin=-<g=sin=,

∴-≤g(x)≤1,即g(x)在上的值域为.

13.解析　(1)设函数的最小正周期为T,由题图可知,A=2,=-=,

所以T=π.由T=得ω=2.

(2)由(1)可知f(x)=2sin.

令-+2kπ≤2x+≤+2kπ,k∈Z,

得-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z,

又因为x∈[0,π],

所以函数y=f(x)在[0,π]上的单调递增区间为和.

(3)令g(x)=0,则f(x)=2sin=-1,所以2x+=+2kπ(k∈Z)或2x+=+2kπ(k∈Z),

即x=kπ+(k∈Z)或x=kπ+(k∈Z).

因为函数g(x)在每个周期上有2个零点,且在区间(a,b)上恰有10个零点,

所以b-a的最大值为5T+=.