数学必修 第一册5.4 三角函数的图象与性质课文内容课件ppt

课时分层作业(四十三)　单调性与最值

(建议用时：60分钟)

[合格基础练]

一、选择题

1．下列函数中，周期为π，且在上为减函数的是(　　)

A．y＝sin　 B．y＝cos

C．y＝sin   D．y＝cos

A　[对于选项A，注意到y＝sin＝cos 2x的周期为π，且在上是减函数．]

2．下列关系式中正确的是(　　)

A．sin 11°<cos 10°<sin 168°

B．sin 168°<sin 11°<cos 10°

C．sin 11°<sin 168°<cos 10°

D．sin 168°<cos 10°<sin 11°

C　[由诱导公式，得cos 10°＝sin 80°，sin 168°＝sin(180°－12°)＝sin 12°，由正弦函数y＝sin x在[0°，90°]上是单调递增的，所以sin 11°<sin 12°<sin 80°，即sin 11°<sin 168°<cos 10°.故选C.]

3．函数f(x)＝2sin，x∈[－π，0]的单调递增区间是(　　)

A.   B.

C.   D.

D　[令2kπ－≤x－≤2kπ＋，k∈Z，

解得2kπ－≤x≤2kπ＋π，k∈Z，

又－π≤x≤0，∴－≤x≤0，

故选D.]

4．函数y＝cos，x∈的值域是(　　)

A.   B.

C.   D.

B　[因为x∈，所以x＋∈，所以y＝cos∈.]

5．设函数f(x)＝sin(ω＞0，|φ|＜)的最小正周期为π，且是偶函数，则(　　)

A．f(x)在单调递减

B．f(x)在单调递减

C．f(x)在单调递增

D．f(x)在单调递增

A　[由条件知ω＝2.

∵f(x)是偶函数且|φ|＜，∴φ＝，

这时f(x)＝sin＝cos 2x.

∵x∈时，2x∈(0，π)，

∴f(x)在上单调递减．]

二、填空题

6．y＝acos x＋1的最大值为5，则a＝________.

±4　[∵|a|＋1＝5，∴|a|＝4，∴a＝±4.]

7．将cos 150°，sin 470°，cos 760°按从小到大排列为_________．

cos 150°＜cos 760°＜sin 470°　[cos 150°＜0，sin 470°＝sin 110°＝cos 20°＞0，cos 760°＝cos 40°＞0且cos 20°＞cos 40°，所以cos 150°＜cos 760°＜sin 470°.]

8．已知函数y＝sin在区间[0，t]上至少取得2次最大值，则正整数t的最小值是________．

8　[因为T＝＝6.

所以在[0，＋∞)第一次出现最大值x＝＝，

第二次出现最大值x＝，

所以t≥.

又因为t∈Z，

所以t的最小值为8.]

三、解答题

9．求下列函数的单调递增区间．

(1)y＝sin，x∈[0，π]；

(2)y＝logsin x.

[解]　(1)由y＝－sin的单调性，

得＋2kπ≤x－≤＋2kπ，k∈Z，

即＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z.

又x∈[0，π]，故≤x≤π.

即单调递增区间为.

(2)由sin x＞0，得

2kπ＜x＜2kπ＋π，k∈Z，

∴函数的定义域为(2kπ，2kπ＋π)(k∈Z)．设u＝sin x，则0＜u≤1，又y＝logu是减函数，

∴函数的值域为(0，＋∞)．

∵＜1，

∴函数y＝logsin x的递增区间

即为u＝sin x(sin x＞0)的递减区间，

故函数y＝logsin x的递增区间为2kπ＋，2kπ＋π(k∈Z)．

10．求下列函数的最大值和最小值．

(1)f(x)＝sin，x∈；

(2)y＝－2cos2x＋2sin x＋3，x∈.

[解]　(1)当x∈时，

2x－∈，由函数图象(略)知，

－≤sin≤1，

所以，f(x)在上的最大值和最小值分别为1，－.

(2)y＝－2(1－sin2x)＋2sin x＋3

＝2sin2x＋2sin x＋1

＝22＋.

∵x∈，

∴≤sin x≤1.

当sin x＝1时，ymax＝5；

当sin x＝时，ymin＝.

[等级过关练]

1．函数f(x)＝sin＋cos的最大值为(　　)

A.   B．1

C.   D.

A　[∵＋＝，

∴f(x)＝sin＋cos

＝sin＋cos

＝sin＋sin

＝sin≤.

∴f(x)max＝.故选A.]

2．函数f(x)＝|cos x|在[－π，π]上的单调递减区间为(　　)

A.   B.

C.及   D.∪

C　[在[－π，π]上，依据函数图象的对称性可知y＝|cos x|的单调递增区间是及，而f(x)

依|cos x|取值的递增而递减，故及为f(x)的单调递减区间．]

3．函数y＝sin x的定义域为[a，b]，值域为，则b－a的最大值是________．

　[因为函数y＝sin x，x∈[a，b]的最小值和最大值分别为－1和.

不妨在一个区间[0,2π]内研究，可知sin＝sin＝，sin＝－1，

结合图象(略)可知(b－a)min＝－＝，(b－a)max＝－＝.]

4．若函数f(x)＝sin ωx(0＜ω＜2)在区间上单调递增，在区间上单调递减，则ω等于________．

　[根据题意知f(x)在x＝处取得最大值1，

∴sin＝1，

∴＝2kπ＋，k∈Z，即ω＝6k＋，k∈Z.

又0＜ω＜2，∴ω＝.]

5．已知函数f(x)＝sin(2x＋φ)，其中φ为实数，且|φ|＜π.若f(x)≤对x∈R恒成立，且f＞f(π)，求f(x)的单调递增区间．

[解]　由f(x)≤对x∈R恒成立知，

2·＋φ＝2kπ±(k∈Z)．

∴φ＝2kπ＋或φ＝2kπ－(k∈Z)．

∵|φ|＜π，得φ＝或φ＝－，

又∵f＞f(π)，∴φ＝－，

由2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，

得f(x)的单调递增区间是(k∈Z)．