高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.4 三角函数的图象与性质第1课时巩固练习

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.4 三角函数的图象与性质第1课时巩固练习，共9页。试卷主要包含了函数的周期性等内容，欢迎下载使用。


1．函数的周期性
(1)周期函数：对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么这个函数的周期为T.
(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．
2．正弦函数、余弦函数的周期性和奇偶性
1．函数y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,2)))是( )
A．周期为π的奇函数B．周期为π的偶函数
C．周期为2π的奇函数 D．周期为2π的偶函数
B [y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,2)))＝2cs 2x，它是周期为π的偶函数．]
2．函数f(x)＝eq \r(2)sin 2x的奇偶性为( )
A．奇函数 B．偶函数
C．既奇又偶函数 D．非奇非偶函数
A [f(x)＝eq \r(2)sin 2x的定义域为R，f(－x)＝eq \r(2)sin 2(－x)＝－eq \r(2)sin 2x＝－f(x)，所以f(x)是奇函数．]
3．函数f(x)＝eq \r(3)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(πx,2)－\f(π,4)))，x∈R的最小正周期为________．
4 [由已知得f(x)的最小正周期T＝eq \f(2π,\f(π,2))＝4.]
4．若函数y＝f(x)是以2为周期的函数，且f(5)＝6，则f(1)＝________.
6 [由已知得f(x＋2)＝f(x)，
所以f(1)＝f(3)＝f(5)＝6.]
三角函数的周期问题及简单应用
【例1】 求下列函数的周期：
(1)y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,4)))；
(2)y＝|sin x|.
[思路点拨] (1)法一：寻找非零常数T，使f(x＋T)＝f(x)恒成立．
法二：利用y＝Asin(ωx＋φ)的周期公式计算．
(2)作函数图象，观察出周期．
[解] (1)法一：(定义法)y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,4)))
＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,4)＋2π))＝sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2x＋π＋\f(π,4)))，
所以周期为π.
法二：(公式法)y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,4)))中ω＝2，T＝eq \f(2π,ω)＝eq \f(2π,2)＝π.
(2)作图如下：
观察图象可知周期为π.
求三角函数周期的方法：
(1)定义法：即利用周期函数的定义求解．
(2)公式法：对形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acs(ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，A≠0，ω≠0)的函数，T＝eq \f(2π,|ω|).
(3)图象法：即通过观察函数图象求其周期．
提醒：y＝|Asin(ωx＋φ)|(A≠0，ω≠0)的最小正周期T＝eq \f(π,|ω|).
1．利用周期函数的定义求下列函数的周期．
(1)y＝cs 2x，x∈R；
(2)y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)x－\f(π,4)))，x∈R.
[解] (1)因为cs 2(x＋π)＝cs(2x＋2π)＝cs 2x，由周期函数的定义知，y＝cs 2x的周期为π.
(2)因为sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,3)x＋6π－\f(π,4)))
＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)x＋2π－\f(π,4)))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)x－\f(π,4)))，由周期函数的定义知，y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)x－\f(π,4)))的周期为6π.
三角函数奇偶性的判断
【例2】 判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)x＋\f(π,2)))；
(2)f(x)＝lg(1－sin x)－lg(1＋sin x)；
(3)f(x)＝eq \f(1＋sin x－cs2x,1＋sin x).
[思路点拨]
[解] (1)显然x∈R，f(x)＝cseq \f(1,2)x，
∵f(－x)＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)x))＝cseq \f(1,2)x＝f(x)，
∴f(x)是偶函数．
(2)由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1－sin x＞0，,1＋sin x＞0，))得－1＜sin x＜1，
解得定义域为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x∈R且x≠kπ＋\f(π,2)，k∈Z))))，
∴f(x)的定义域关于原点对称．
又∵f(x)＝lg(1－sin x)－lg(1＋sin x)，
∴f(－x)＝lg[1－sin(－x)]－lg[1＋sin(－x)]
＝lg(1＋sin x)－lg(1－sin x)＝－f(x)，
∴f(x)为奇函数．
(3)∵1＋sin x≠0，∴sin x≠－1，
∴x∈R且x≠2kπ－eq \f(π,2)，k∈Z.
∵定义域不关于原点对称，
∴该函数是非奇非偶函数．
1．判断函数奇偶性应把握好的两个方面：
一看函数的定义域是否关于原点对称；
二看f(x)与f(－x)的关系．
2．对于三角函数奇偶性的判断，有时可根据诱导公式先将函数式化简后再判断．
提醒：研究函数性质应遵循“定义域优先”的原则．
2．判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)π＋2x))＋x2sin x；
(2)f(x)＝eq \r(1－2cs x)＋eq \r(2cs x－1).
[解] (1)f(x)＝sin 2x＋x2sin x，
又∵x∈R，f(－x)＝sin(－2x)＋(－x)2sin(－x)
＝－sin 2x－x2sin x＝－f(x)，∴f(x)是奇函数．
(2)由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1－2cs x≥0，,2cs x－1≥0，))得cs x＝eq \f(1,2)，
∴f(x)＝0，x＝2kπ±eq \f(π,3)，k∈Z，
∴f(x)既是奇函数又是偶函数．
三角函数的奇偶性与周期性的综合应用
[探究问题]
1．试举例说明哪些三角函数具有奇偶性？
提示：奇函数有y＝2sin x，y＝sin 2x，y＝5sin 2x，y＝sin xcs x等．偶函数有y＝cs 2x＋1，y＝3cs 5x，y＝sin x·sin 2x等．
2．若函数y＝f(x)是周期T＝2的周期函数，也是奇函数，则f(2 018)的值是多少？
提示：f(2 018)＝f(0＋1 009×2)＝f(0)＝0.
【例3】 (1)下列函数中是奇函数，且最小正周期是π的函数是( )
A．y＝cs|2x| B．y＝|sin 2x|
C．y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋2x)) D．y＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)－2x))
(2)定义在R上的函数f(x)既是偶函数，又是周期函数，若f(x)的最小正周期为π，且当x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))时，f(x)＝sin x，则feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,3)))等于( )
A．－eq \f(1,2) B.eq \f(1,2) C．－eq \f(\r(3),2) D.eq \f(\r(3),2)
[思路点拨] (1)先作出选项A，B中函数的图象，化简选项C、D中函数的解析式，再判断奇偶性、周期性．
(2)先依据f(x＋π)＝f(x)化简feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,3)))；再依据f(x)是偶函数和x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，f(x)＝sin x求值．
(1)D (2)D [(1)y＝cs|2x|是偶函数，y＝|sin 2x|是偶函数，y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋2x))＝cs 2x是偶函数，y＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)－2x))＝－sin 2x是奇函数，根据公式得其最小正周期T＝π.
(2)feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,3)))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,3)－π))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)))
＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)－π))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,3)))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)))
＝sineq \f(π,3)＝eq \f(\r(3),2).]
1．若本例(2)中的“偶函数”改为“奇函数”，“π”改为“eq \f(11π,12)”，其他条件不变，结果如何？
[解] feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,3)))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,3)－\f(11π,12)×2))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,6)))
＝－feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)))＝－sineq \f(π,6)＝－eq \f(1,2).
2．若本例(2)中的周期“π”改为“eq \f(π,2)”，其他条件不变，求feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(19,6)π)).
[解] ∵f(x)的周期为eq \f(π,2)，且为偶函数，∴feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(19,6)π))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－3π－\f(π,6)))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,6)))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)))＝eq \f(1,2).
1．三角函数周期性与奇偶性的解题策略
探求三角函数的周期，常用方法是公式法，即将函数化为y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acs(ωx＋φ)的形式，再利用公式求解．
2．与三角函数奇偶性有关的结论
(1)要使y＝Asin(ωx＋φ)(Aω≠0)为奇函数，则φ＝kπ(k∈Z)；
(2)要使y＝Asin(ωx＋φ)(Aω≠0)为偶函数，则φ＝kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)；
(3)要使y＝Acs(ωx＋φ)(Aω≠0)为奇函数，则φ＝kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)；
(4)要使y＝Acs(ωx＋φ)(Aω≠0)为偶函数，则φ＝kπ(k∈Z)．
1．“f(x＋T)＝f(x)”是定义域内的恒等式，即对定义域内的每一个值都成立，T是非零常数，周期T是使函数值重复出现的自变量x的增加值，周期函数的图象每隔一个周期重复一次．
2．周期函数定义中的“f(x＋T)＝f(x)”是对定义域中的每一个x值来说的，只有个别的x值满足f(x＋T)＝f(x)，不能说T是y＝f(x)的周期．
3．在数轴上，定义域关于原点对称，是函数具有奇偶性的一个必要条件．因此，确定函数的奇偶性，先要考查其定义域是否关于原点对称．若是，再判断f(－x)与f(x)的关系；若不是，则该函数既不是奇函数，也不是偶函数.
1．思考辨析
(1)若sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)＋\f(π,6)))＝sineq \f(π,6)，则eq \f(2π,3)是函数y＝sin x的一个周期．( )
(2)所有的周期函数都有最小正周期．( )
(3)函数y＝eq \r(sin x)是奇函数．( )
[提示] (1)×.因为对任意x，sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)＋x))与sin x并不一定相等．
(2)×.不是所有的函数都有最小正周期，如函数f(x)＝5是周期函数，就不存在最小正周期．
(3)×.函数y＝eq \r(sin x)的定义域为{x|2kπ≤x≤2kπ＋π，k∈Z}，不关于原点对称，故非奇非偶．
[答案] (1)× (2)× (3)×
2．如图所示的是定义在R上的四个函数的图象，其中不是周期函数的图象的是( )
D [观察图象易知，只有D选项中的图象不是周期函数的图象．]
3．若函数y＝f(x)是定义在R上的周期为3的奇函数且f(1)＝3，则f(5)＝________.
－3 [由已知得f(x＋3)＝f(x)，f(－x)＝－f(x)，所以f(5)＝f(2)＝f(－1)＝－f(1)＝－3.]
4．判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝－2cs 3x；
(2)f(x)＝xsin(x＋π)．
[解] (1)f(－x)＝－2cs 3(－x)
＝－2cs 3x＝f(x)，x∈R，
所以f(x)＝－2cs 3x为偶函数．
(2)f(x)＝xsin(x＋π)＝－xsin x，x∈R，
所以f(－x)＝xsin(－x)＝－xsin x＝f(x)，
故函数f(x)为偶函数．
学 习 目 标
核 心 素 养
1.了解周期函数、周期、最小正周期的定义．
2．会求函数y＝Asin(ωx＋φ)及y＝Acs(ωx＋φ)的周期．(重点)
3．掌握函数y＝sin x，y＝cs x的奇偶性，会判断简单三角函数的奇偶性．(重点、易混点)
1.通过周期性的研究，培养逻辑推理素养．
2．借助奇偶性及图象的关系，提升直观想象素养.
函数
y＝sin x
y＝cs x
周期
2kπ(k∈Z且k≠0)
2kπ(k∈Z且k≠0)
最小正周期
2π
2π
奇偶性
奇函数
偶函数