高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.3 抛物线同步练习题

二十六　抛物线及其标准方程

　　　　　　　　　　　　　　(15分钟　30分)

1．已知抛物线的标准方程为y2＝ax，则其焦点坐标为(　　)

A．        B．

C．       D．

【解析】选A.抛物线的标准方程为y2＝ax，则其焦点坐标为.

2．抛物线y＝x2的准线方程是(　　)

A．y＝－1　    B．y＝－2　    C．x＝－1　    D．x＝－2

【解析】选A.因为y＝x2，所以x2＝4y，所以抛物线的准线方程是y＝－1.

3．点M(5，3)到抛物线y＝ax2准线的距离为6，那么抛物线的方程是　(　　)

A．y＝12x2　      B．y＝12x2或y＝－36x2

C．y＝－36x2　     D．y＝x2或y＝－x2

【解析】选D.分两类a>0，a<0可得

y＝x2，y＝－x2.

4．O为坐标原点，F为抛物线C：y2＝4x的焦点，P为C上一点，若|PF|＝4，则△POF的面积为(　　)

A．2    B．2    C．2    D．4

【解析】选C.抛物线C的准线方程为x＝－，焦点F(，0)，由|PF|＝4及抛物线的定义知，P点的横坐标xP＝3，从而yP＝±2，

所以S△POF＝|OF|·|yP|＝××2＝2.

5．抛物线拱桥离水面3 m，水面宽12 m，水位下降1 m后，水面宽为多少？

【解析】建立如图所示的平面直角坐标系，则抛物线方程可假设为：x2＝－2py(p>0)，

因为抛物线拱桥离水面3米，水面宽12米，所以将代入抛物线方程可得36＝6p，所以p＝6，

所以抛物线方程为x2＝－12y.如果水面下降1 m，

则令y＝－4，得x＝±4，所以水面宽8 m.

　　　　　　　　　　　　　　(30分钟　60分)

一、单选题(每小题5分，共20分)

1．已知曲线E的方程为ax2＋by2＝ab(a，b∈R)，则下列选项错误的是(　　)

A．当ab＝1时，E一定是椭圆

B．当ab＝－1时，E是双曲线

C．当a＝b＞0时，E是圆

D．当ab＝0且a2＋b2≠0时，E是直线

【解析】选A.A：若ab＝1，假设a＝b＝1，则方程为x2＋y2＝1，不是椭圆，所以A错误；B：当ab＝－1时，因为a≠0，b≠0，所以方程为：ax2－y2＝－1，即－ax2＝1，则E表示双曲线，所以B正确；C：当a＝b＞0时，方程为：x2＋y2＝a(a＞0)表示圆，所以C正确；D：当ab＝0且a2＋b2≠0时，即 a＝0，b≠0，方程为：y＝0，则E是直线；同理b＝0，a≠0，则方程为：x＝0，所以E表示直线，所以D正确．

2．抛物线x2＝2py(p>0)的焦点F，其准线与双曲线－＝1相交于A，B两点，若△ABF为等边三角形，则p＝(　　)

A．3    B．4    C．6    D．8

【解析】选C.如图，

在正三角形ABF中，DF＝p，BD＝p，

所以B点坐标为，

又点B在双曲线上，故－＝1，解得p＝6.

3．如果P1，P2，…，Pn是抛物线C：y2＝4x上的点，它们的横坐标依次为x1，x2，…，xn，F是抛物线C的焦点，若x1＋x2＋…＋xn＝10，则|P1F|＋|P2F|＋…＋|PnF|等于(　　)

A．n＋10    B．n＋20    C．2n＋10    D．2n＋20

【解析】选A.由抛物线的方程y2＝4x可知其焦点为(1，0)，准线为x＝－1，由抛物线的定义可知|P1F|＝x1＋1，|P2F|＝x2＋1，…，|PnF|＝xn＋1，所以|P1F|＋|P2F|＋…＋|PnF|＝x1＋1＋x2＋1＋…＋xn＋1＝(x1＋x2＋…＋xn)＋n＝n＋10.

4．设点A(4，5)，抛物线x2＝8y的焦点为F，P为抛物线上与直线AF不共线的一点，则△PAF周长的最小值为(　　)

A．18      B．13      C．12      D．7

【解析】选C.因为抛物线x2＝8y，故焦点F，准线方程为：y＝－2，过点P作PP1垂直于准线交准线于点P1，过点A作AA1垂直于准线交准线于点A1，

根据抛物线的定义可知＝，

因为A，

所以＝＝5，＝

5－＝7，C△PAF＝＋＋＝＋＋≥＋＝5＋7＝12.

二、多选题(每小题5分，共10分，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)

5．(2020·沈阳高二检测)已知抛物线y2＝2px上一点M到其准线及对称轴的距离分别为10和6，则p的值可取(　　)

A．1    B．2    C．9    D．18

【解析】选BD.设M(x0，y0)，所以有y＝2px0，由点M到其准线及对称轴的距离分别为10和6，所以有x0＋＝10，＝6，所以有可得p2－20p＋36＝0，故p＝2或p＝18.

6．(2020·三亚高二检测)已知双曲线－＝1的右焦点与抛物线y2＝12x的焦点F重合，则(　　)

A．双曲线的实轴长为2

B．双曲线的离心率为3

C．双曲线的渐近线方程为y＝±x

D．F到渐近线的距离为

【解析】选CD.抛物线y2＝12x的焦点F，故4＋b2＝32，b2＝5，故双曲线方程为－＝1，双曲线的实轴长为2a＝4，A错误；双曲线的离心率为e＝＝，B错误；

双曲线的渐近线方程为y＝±x，C正确；

F到渐近线的距离为d＝＝，D正确．

三、填空题(每小题5分，共10分)

7．以椭圆＋＝1的右顶点为焦点的抛物线的标准方程为________．

【解析】因为椭圆的方程为＋＝1，

所以右顶点为(4，0).

设抛物线的标准方程为y2＝2px(p>0)，

则＝4，即p＝8，

所以抛物线的标准方程为y2＝16x.

答案：y2＝16x

8．(2020·平罗高二检测)抛物线y2＝2px上一点M的横坐标为3，且＝2p，则抛物线的方程为________．

【解析】抛物线的准线方程为：x＝－，

所以＝3＋＝2p，解得p＝2，

所以抛物线的方程为：y2＝4x.

答案：y2＝4x

四、解答题(每小题10分，共20分)

9．已知抛物线y2＝2x的焦点为F，点P是抛物线上的动点，又有点A(3，2)，求|PA|＋|PF|的最小值，并求此时P点的坐标．

【解析】将x＝3代入抛物线方程y2＝2x，

得y＝±.

因为＞2，所以A在抛物线内部．

设抛物线上动点P到准线l：x＝－的距离为d，

由抛物线的定义，知|PA|＋|PF|＝|PA|＋d.

当PA⊥l时，|PA|＋d最小，最小值为，

即|PA|＋|PF|的最小值为，此时P点的纵坐标为2，

代入y2＝2x，得x＝2，所以P点的坐标为(2，2).

10．如图所示，抛物线C的顶点为坐标原点O，焦点F在y轴上，准线l与圆x2＋y2＝1相切．

(1)求抛物线C的方程．

(2)若点A，B都在抛物线C上，且＝2，求点A的坐标．

【解析】(1)依题意，可设抛物线C的方程为x2＝2py(p>0)，其准线l的方程为y＝－.

因为准线l与圆x2＋y2＝1相切，

所以圆心(0，0)到准线l的距离d＝0－＝1，

解得p＝2.故抛物线C的方程为x2＝4y.

(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

则由题意得F(0，1)，

所以＝(x2，y2－1)，＝(x1，y1)，

因为＝2，

所以(x2，y2－1)＝2(x1，y1)＝(2x1，2y1)，

即

代入②得4x＝8y1＋4，

即x＝2y1＋1，又x＝4y1，

所以4y1＝2y1＋1，

解得y1＝，x1＝±，

即点A的坐标为或.

【创新迁移】

1．已知P为抛物线y2＝4x上的任意一点，记点P到y轴的距离为d，对于定点A(4，5)，|PA|＋d的最小值为________．

【解析】抛物线y2＝4x的焦点为F(1，0)，准线l：x＝－1.由题意得d＝|PF|－1，

所以|PA|＋d≥|AF|－1＝－1

＝－1，

当且仅当A，P，F三点共线时，

|PA|＋d取得最小值－1.

答案：－1

2．已知抛物线y2＝2px(p＞0)上的一点M到定点A和焦点F的距离之和的最小值等于5，求抛物线的方程．

【解析】抛物线的准线为l：x＝－.

①当点A在抛物线内部时，42＜2p·，

即p＞时，过M作MA′⊥l，垂足为A′，

则|MF|＋|MA|＝|MA′|＋|MA|.

当A，M，A′共线时，(|MF|＋|MA|)min＝5，

即＋＝5，所以p＝3，满足p＞，

所以抛物线方程为y2＝6x.

②当点A在抛物线外部时，42＞2p·，

即p＜时，|MF|＋|MA|≥|AF|，

当A，M，F共线时取等号，|AF|＝5，

即＝5，

所以p＝1或p＝13(舍)，

所以抛物线方程为y2＝2x.

③当点A在抛物线上，

即p＝时，结合②明显不成立．

综上，抛物线方程为y2＝6x或y2＝2x.