高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.3 抛物线精品课件ppt
展开环节三 抛物线的简单几何性质
【复习引入】
问题1:请回顾,抛物线的定义,抛物线的标准方程以及相应的焦点坐标、准线方程.
答案:
抛物线的定义:我们把平面内与一个定点F和一条定直线l(不过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.
图形 | 标准方程 | 焦点坐标 | 准线方程 |
问题2:前面我们已经学习了抛物线的概念及其标准方程,按照解析几何研究几何图形的内在逻辑,接下来我们应该研究什么?
答案:抛物线的几何性质.
追问:类比用方程研究椭圆、双曲线几何性质的过程与方法,我们应该研究抛物线①的哪些几何性质?如何研究这些性质?
答案:范围、对称性、顶点、离心率.研究的基本思路与方法是先“形”后“数”,即在观察图形的形状与特征的基础上先提出猜想,再通过方程①进行计算和推理.
【探索性质】
问题3:观察直角坐标系中的抛物线,它有怎样的范围?如何利用方程给出证明?
答案:.因为,由方程①可知,对于抛物线上的点,,当时,抛物线在y轴的右侧,开口方向与x轴的正方向相同;当x的值增大时,的值也在增大,这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸.
问题4:观察抛物线的形状,它有怎样的对称性?在直角坐标系中,要证明一个图形关于坐标轴对称,就要证明什么?如何利用方程证明对称性?
答案:关于x轴对称.图形对称的本质是图形上点的对称性,因而需证明抛物线上任意一点关于x轴的对称点也在抛物线上.
以代替y,方程①不变,所以抛物线关于x轴对称.我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴.
问题5:观察抛物线的图形,比较特殊的点是哪个点?能通过方程说明什么?
答案:比较特殊的点是抛物线与坐标轴的交点.
抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点.在方程①中,当时,,因此抛物线的顶点就是原点.
问题6:抛物线上的点M与焦点F的距离和点M到准线的距离d的比,叫做抛物线的离心率,用e表示.由抛物线的定义,e的值是多少?
答案:.
拓展:圆锥曲线统一定义
动点M到定点F的距离与M到定直线l(不过点F)的距离之比为常数e,当时,点M的轨迹为椭圆;当时,点M的轨迹为双曲线;当时,点M的轨迹为抛物线.其中e为圆锥曲线的离心率.
此为圆锥曲线的统一定义,亦是从另一个角度对离心率e进行认识.
问题7:根据抛物线的几何性质的研究思路及方法,探究其余三种形式的抛物线的几何性质,并完成表格.
图形 | 标准方程 | 范围 | 对称性 | 顶点 | 离心率 |
关于x轴对称 | |||||
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答案:
图形 | 标准方程 | 范围 | 对称性 | 顶点 | 离心率 |
关于x轴对称 | |||||
关于x轴对称 | |||||
关于y轴对称 | |||||
关于y轴对称 |
【知识应用】
例1 已知抛物线关于x轴对称,它的顶点在原点,并且经过点,求它的标准方程.
解:因为抛物线关于x轴对称,它的顶点在原点,并且经过点,所以可设它的标准方程为.
因为点M在抛物线上,所以,解得.
因此,所求抛物线的标准方程是.
追问:顶点在原点,对称轴是坐标轴,并且经过点的抛物线有几条?求出这些抛物线的标准方程.
答案:有两条.
因为抛物线的顶点在原点,对称轴是坐标轴,并且经过点,所以抛物线的开口向右或向下.
当抛物线的开口向右时,设抛物线的标准方程为.
因为点M在抛物线上,所以,解得.
因此,所求抛物线的标准方程是.
当抛物线的开口向下时,设抛物线的标准方程为.
因为点M在抛物线上,所以,解得.
因此,所求抛物线的标准方程是.
综上,所求抛物线的标准方程是或.
例2 斜率为1的直线l经过抛物线的焦点F,且与抛物线相交于A,B两点,求线段AB的长.
追问1:能否求出A,B两点的坐标,再利用两点间的距离公式求线段AB的长?这种方法的思路是什么?
解:可以.由抛物线的方程可以能到它的焦点坐标,又直线l的斜率为1,所以可以求出直线l的方程;与抛物线的方程联立,可以求出A,B两点的坐标;利用两点间的距离公式可以求出,这种思路方法比较直接,具有一般性.
追问2:请尝试用这个一般性的方法求.
解:因为直线l经过点,且斜率为1,所以直线l的方程为.
联立,将代入,消去y,整理得,解得.将代入,得到相应的交点纵坐标.
不妨设,.由两点之间的距离公式,得
.
所以,线段AB的长是8.
追问3:在刚才的方法中,能否不求出A,B两点的坐标得到线段AB的长呢?
解:设,.由可知,求出,就可以求出.在第一种方法中,通过联立,得到.△>0显然成立,由韦达定理,可得,所以.因为,,所以.
因此.
追问4:我们来探索第三种方法.本题中,所求线段AB是一条过焦点的弦,叫做焦点弦,如图,.根据抛物线的定义,抛物线上的点到焦点的距离等于这个点到准线的距离.所以和可以怎样表示?转化为什么?
解:等于点A到准线的距离,等于点B到准线的距离.设,.由,得,于是.同理,.于是得.可见,只要求出点A,B的横坐标之和,就可以求出,这也是求抛物线焦点弦的典型方法.
追问5:能否尝试使用方法三解决本题,并写清步骤?
解:由题意可知,,焦点F的坐标为,准线方程为.设,,A,B两点到准线的距离分别为.由抛物线的定义,可知,,于是.
因为直线l的斜率为1,且过焦点,所以直线l的方程为
. ①
将①代入方程,得,化简,得.
所以,.
所以,线段AB的长是8.
追问6:以上三种方法各自特点是什么?
答案:第一种方法最直接,具有一般性,但计算稍显复杂.第二种方法充分运用一元二次方程根与系数的关系,以及两个交点在一条直线上,适当简化运算,得到线段长.第三种方法充分运用抛物线的定义,使运算的复杂性大大简化,这种方法把抛物线的标准方程和其几何特征紧密的结合起来,体现了用坐标法解决问题的基本思想方法.
追问7:如果直线l不经过焦点F,还等于吗?为什么?
答案:不等于.
设直线l经过x轴上任意一点,其中,则直线l的方程为.直线l与抛物线的两个交点为,,显然
.
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