2021学年1.1.1 集合及其表示方法练习
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1.1.1集合及其表示方法同步练习人教 B版（2019)高中数学必修第一册
一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）
- 设集合，若且，则实数m的取值范围是
A. B. C. D.
- 已知集合，则集合B中元素的个数为
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
- 定义集合A、B的一种运算：，若，，则中的所有元素之和为
A. 21 B. 18 C. 14 D. 9
- 若以方程和方程的解为元素的集合为M，则M中元素的个数为
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
- 集合的元素个数为
A. 4 B. 5 C. 10 D. 12
- 已知集合A是由0，m，三个元素组成的集合，且，则实数m的值为
A. 2 B. 3 C. 0或3 D. 0或2或3
- 集合的元素个数是
A. 2个 B. 4个 C. 6个 D. 8个
- 下列集合的表示法正确的是
A. 第二、四象限内的点集可表示为，，
B. 不等式的解集为
C. 整数集可表示为全体整数
D. 实数集可表示为R
- 在集合b，c，上定义两种运算和如图，那么
A. a B. b C. c D. d
- “notebooks”中的字母构成一个集合，该集合中的元素个数是
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
- 下列给出的对象中，能组成集合的是
A. 一切很大的数 B. 无限接近于0的数
C. 美丽的小女孩 D. 方程的实数根
- 已知集合b，中的三个元素是的三边长，那么一定不可能是
A. 锐角三角形 B. 等腰三角形 C. 钝角三角形 D. 直角三角形
二、单空题（本大题共3小题，共15.0分）
- 甲乙两人同时参加一次数学测试，共有21道选择题，每题均有4个选项，答对得2分，答错或不答得0分，甲和乙都解答了所有的试题，经比较，他们只有2道题的选项不同，如果甲最终的得分为36分，那么乙的所有可能的得分值组成的集合为 ．
- 设集合，则集合 ．
- 用描述法表示被7除余2的正整数的集合为
三、多空题（本大题共3小题，共15.0分）
- 用符号“”或“”填空．
R， Q， N， Z
- 用符号“”或“”填空．
， ， ，
- 用适当的符号填空：已知，，则有：17 A； A；17 B.
四、解答题（本大题共5小题，共60.0分）
- 集合．
试判断元素1和2与集合B的关系；
用列举法表示集合B．
- 已知集合，其中a为常数，且．
若A中至少有一个元素，求a的取值范围；
若A中至多有一个元素，求a的取值范围．
- 已知集合，7，，，若，求集合B．
- 已知，若，求实数a的值．
- 已知．
若，用列举法表示A；
当A中有且只有一个元素时，求a的值组成的集合B．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】
【分析】
本题主要考查描述法表示一个集合以及元素与集合的关系、不等式的解法，属于基础题目．
直接根据元素和集合之间的关系求解即可．
【解答】
解：因为集合，若且，
且；解得；
故选：C．
2.【答案】C
【解析】
【分析】
本题主要考查了集合的元素，是基础题．
将a、b可能取值依次代入计算，从而得到答案．
【解答】
解：当时， ，
当，或，时，，
当时，，
故，3个元素，
故选C．
3.【答案】C
【解析】
【分析】
本题主要考查集合的新定义问题，以及元素与集合的关系，属于基础题．
根据新定义，求出3，4，，即可求出答案．
【解答】
解：，2，，，
3，4，，
中的所有元素之和为：，
故选C．
4.【答案】C
【解析】
【分析】
根据一元二次方程的解法，分别给出方程和方程解的集合，再求它们的并集可得2，，共3个元素，得到本题答案．
本题给出两个一元二次方程，求由它们的解组成的集合M共几个元素．着重考查了集合的定义与表示、集合元素的性质等知识，属于基础题．
【解答】
解：方程的解为，
方程解的集合为
同理可得方程解的集合为
因此，集合2，，共3个元素
故选：C．
5.【答案】D
【解析】
【分析】
本题主要考查元素与集合的关系，属于基础题．
根据题意，集合中的元素满足x是整数，且y是整数．由此列出x与y对应值，即可得到题中集合元素的个数．
【解答】
解：由题意，集合中的元素满足x是整数，且y是整数，
由此可得，，，，，，，，0，1，3，9；
此时y的值分别为：，，，，，，12，6，4，3，2，1，
符合条件的x共有12个，
故选：D．
6.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查了元素与集合关系的判断．属于基础题．
通过对集合中元素构成的特点及元素个数这个条件求参数的取值，然后根据集合的互异性进行解答．
【解答】
解：由题意知，或，
解得或或，
经验证，当或时，不满足集合中元素的互异性，
当时，满足题意．
故选：B．
7.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查了集合中元素个数的判断，解题的关键是利用是8的约数进行求解，属于基础题．
利用是8的约数，结合x，进行分析，即可得到答案．
【解答】
解：集合，
因为，，，，
所以，，，，
所以y的可能取值有8个，
所以中元素的个数是8个．
故选D．
8.【答案】D
【解析】
【分析】
由列举法和描述法的定义逐一核对四个选项得答案．
本题考查命题的真假判断与应用，考查集合的概念和集合的表示方法，是基础题．
【解答】
解：对于A，第二、四象限内的点集可表示为，，，故A错误；
对于B，其中缺少代表元素及竖线，故B错误；
对于C，其中应去掉“全体”，故C错误；
对于D，实数集可表示为R，正确．
故选：D．
9.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查集合的含义以及新定义概念的应用，解答关键是正确理解两种运算．
根据题意，对照图表可得，，结合题意从而得到答案．
【解答】
解：根据新定义在集合b，c，上定义两种运算和，
得：，，
，
故选A．
10.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查了集合元素的互异性，考查了学生对集合元素的概念的理解，属于基础题．
利用集合元素的互异性即可求解．
【解答】
解：根据集合中元素的互异性可得：“notebooks”中不同的字母为n，o，t，e，b，k，s共7个，
所以该集合中的元素个数为7个，
故选C．
11.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查了集合的确定性、互异性、无序性，集合的定义，属于基础题．
从集合的定义入手，集合中的元素是确定的、互异的、无序的特征，判定选项的正误即可
【解答】
解：对于选项A：一切很大的数；B：无限接近零的数；C：美丽的小女孩，描述不够准确具体，元素不能确定，所以都不正确；
选项D：方程的实数根，元素是确定的，具体的，是正确的．
故选D．
12.【答案】B
【解析】
【分析】
本题主要考查集合中元素的互异性的应用．
由集合元素的互异性，可知一定不是等腰三角形．
【解答】
解：因为集合中a，b，c三个元素是互异的，
所以一定不是等腰三角形．
故选B．
13.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了集合的表示法和分类讨论思想．
由题意得乙与甲不同的有2道题，可以组成都是甲答对的题，一道是甲答对的，一道是甲答错的，不同的两道都是甲答错的3种情况，列出乙可能的答案，最后利用集合的表示法得结论．
【解答】
解：由题意甲最终的得分为36分，说明甲答对了18道题，剩余的3道题答错，
乙与甲不同的有2道题，组成可以有以下3种情况：
都是甲答对的题，则乙的得分为分；
一道是甲答对的，一道是甲答错的，
如果乙答对了，则乙的得分为分；
如果乙答错了，则乙的得分为分；
不同的两道都是甲答错的，
如果乙答对一道，则乙的得分为分；
如果乙都答对，乙的得分为分，
乙的所有可能的得分值组成的集合为，
故答案是．
14.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查不等式的解法，考查集合的表示法．
，即可得出结论．
【解答】
解：．
故答案为．
15.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了用描述法表示集合，掌握集合的表示方法是解题关键．
设被7除余2的正整数为x，即，用描述法写成集合形式，即可得到答案．
【解答】
解：设该数为x，则该数x满足，，
所求的正整数集合为，
故答案为：．
16.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了集合与元素的关系．
根据定义进行填空即可．
【解答】
解：由集合与元素的关系可知：
，，，
故答案为；；；．
17.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了元素和集合的关系判断，属于基础题．
根据实数集、有理数集、自然数集、整数集的定义即可判断．
【解答】
解：R表示实数集，则 属于R，即，
Q表示有理数集，则属于，即，
N表示自然数集，则不属于，即，
Z表示整数集，则不属于Z，即．
故答案为 ．
18.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查元素与集合的关系．
根据元素与集合的关系逐个进行判断即可．
【解答】
解：集合A中的元素x满足，，集合B中的元素x满足，，
且；
，，
令，则，．
故答案为：；；．
19.【答案】解：当时，，
当时，，
，
，
只可能取．
，
只能取
故．
【解析】本题考查元素与集合的关系的判断，集合的表示方法．
分别把元素代入集合B 中，能求出结果．
由，能利用列举法求出集合
20.【答案】解：当A中恰有一个元素时，
若，则方程化为，
此时关于x的方程只有一个实数根；
若，则令，解得，
此时关于x的方程有两个相等的实数根，
当A中有两个元素时，则，且，
解得，且，
此时关于x的方程有两个不相等的实数根，
故时，A中至少有一个元素；
，由，解得，满足题意，因此．
时，因为A中至多有一个元素，
，解得．
故A中至多有一个元素时，a的取值范围为或．
【解析】本题考查了元素与集合的关系，考查了一元二次方程根的个数问题，考查运算求解能力和分类讨论能力，属于中档题．
分情况讨论，当A中恰有一个元素时，分，两种情况，当A中有两个元素时，判断此时应满足的条件，进而求出答案；
对a分类讨论，，直接验证是否满足题意；时，由A中至多有一个元素，可得，即可得出答案．
21.【答案】解：若，则或，
若，解得或．
当时，5，，不符合集合中元素的互异性，故舍去；
当时，5，，7，1，．
若，得，由B中元素的互异性，知不符合题意．
由可知集合7，1，．
【解析】本题考查元素与集合之间的关系的应用，属于基础题．
由，分类讨论，求得a值，注意集合中元素的性质，从而得集合B．
22.【答案】解：，，
当时，则，
，，
中有两个元素相同，不符合题意；
当，则，
若，则，，符合题意；
若则，，不符合题意；
当，则，均不符合题意，
综上可得．
【解析】本题考查了集合中元素的性质，主要是集合中元素的互异性的应用．
由题意，分别令集合A中三个元素分别为1时，得到的a的值，验证集合中元素是否互异，从而得到结果．
23.【答案】解：．
当时，则1是方程的实数根，
，解得；
方程为，解得或；
；
当时，方程为，
解得，所以；
当时，若集合A只有一个元素，
由一元二次方程有相等实根，判别式，
解得；
综上，当或时，集合A只有一个元素．
所以a的值组成的集合．
【解析】本题考查了元素与集合的应用问题，解题时容易漏掉的情况，要根据情况进行讨论．
时，方程的一个实数根为1，由此求出a的值以及对应方程的实数根即可；
讨论和时，方程有一个实数根即可．
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