初中数学北师大版九年级上册2 反比例函数的图象与性质优秀习题

6.2反比例函数的图像与性质同步练习北师大版初中数学九年级上册

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）

1. 已知点与点都在反比例函数的图象上，则a与b之间的关系是

A.  B.  C.  D.

2. 一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是

A.  B.  C.  D.

3. 如图，一辆三角形小车停靠在第一象限处，小车的三个顶点分别为，，，若反比例函数在第一象限内的线条经过这辆小车，即函数的图象与图示中有交点，则k的取值范围是

A.  B.  C.  D.

4. 反比例函数的图象如图所示，则k的值可能是

A.
B. 1
C. 2
D. 4

5. 如图，点A在函数的图象上，点B在函数的图象上，且轴，轴于点C，则四边形ABCO的面积为

A. 1
B. 2
C. 3
D. 4

6. 已知双曲线上有两点、，若，则的值是

A. 正数 B. 负数 C. 非正数 D. 不能确定

7. 对于双曲线，当时，y随x的增大而减小，则k的取值范围是

A.  B.  C.  D.

8. 若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是

A.  B.  C.  D.

9. 如果反比例函数是常数的图象在第二、四象限，那么a的取值范围是

A.  B.  C.  D.

10. 下列函数中，y随x的增大而减小的是

A.  B.  C.  D.

11. 已知正比例函数与反比例函数的图象交于A、B两点，若点，则点B的坐标为

A.  B.  C.  D.

12. 如图，P为反比例函数的图象上一点，轴于点A，的面积为6，则下面各点中也在这个反比例函数图象上的是   

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）

13. 已知反比例函数的图像在第二、四象限内，则k的取值范围是_______．
14. 已知反比例函数的图像在第二、四象限内，则k的取值范围是          ．
15. 在平面直角坐标系xOy中，已知直线与双曲线交于A，C两点点A在第一象限，直线与双曲线交于B，D两点．当这两条直线互相垂直，且四边形ABCD的周长为时，点A的坐标为______．
16. 如图，点A、B在反比例函数的图象上，A、B的纵坐标分别是3和6，连接OA、OB，则的面积是______．
    
    
     

三、解答题（本大题共9小题，共72.0分）

17. 已知关于x的方程，若以此方程的两个根为横坐标、纵坐标的点恰在反比例函数的图象上，求满足条件的m的最小值．
    
    
    
    
    
    
     
18. 已知点在反比例函数的图象上．
    当时，求y的值；
    当时，求y的取值范围．
    
    
    
    
    
    
     
19. 如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于A、B两点已知，
    

求反比例函数和一次函数的解析式； 

求的面积； 

请结合图象直接写出当时自变量x的取值范围．






 

20. 如图，一条直线与反比例函数的图象交于、两点，与x轴交于D点，轴，垂足为C．
     

如图甲，求反比例函数的解析式；求n的值及D点坐标；

如图乙，若点E在线段AD上运动，连接CE，作，EF交AC于F点．

试说明；

当为等腰三角形时，直接写出F点坐标．






 

21. 如图，已知反比例函数的图象与一次函数的图象交于A和两点．
    求k和n的值；
    若点也在反比例函数的图象上，求当时，函数值y的取值范围．
     

22. 如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于点、．
    
    
    
    求一次函数和反比例函数的解析式；
    
    求的面积；
     

直接写出一次函数值大于反比例函数值的自变量x的取值范围．






 

23. 如图，矩形OABC的顶点O在坐标原点，A，C分别在x轴、y轴的正半轴上，且，反比例函数的图象恰好经过点B．
    求反比例函数的表达式．
    若点D在该反比例函数图象上，且在直线BC的上方，若的面积为矩形OABC面积的一半，求点D的坐标．

24. 如图，在平面直角坐标中，点O是坐标原点，一次函数与反比例函数的图象交于、两点．
    
    求直线AB的解析式；
    根据图象写出当时，x的取值范围；
    若点P在y轴上，求的最小值．
    
    
    
    
    
    
     
25. 如图1，点、点在直线上，反比例函数的图象经过点B．

求a和k的值；

将线段AB向右平移m个单位长度，得到对应线段CD，连接AC、BD．

如图2，当时，过D作轴于点F，交反比例函数图象于点E，求的值；

在线段AB运动过程中，连接BC，若是以BC为腰的等腰三角形，求所有满足条件的m的值．

答案和解析

1.【答案】A
 

【解析】解：点与点都在反比例函数的图象上，
，．
，
．
故选：A．
利用反比例函数图象上点的坐标特征可求出a，b的值，比较后即可得出结论利用反比例函数的性质找出y随的增大而减小亦可解决问题．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，利用反比例函数图象上点的坐标特征求出a，b的值是解题的关键．
 

2.【答案】C
 

【解析】解：A、由函数的图象可知，由函数的图象可知，相矛盾，故错误；
B、由函数的图象可知，，由函数的图象可知，错误；
C、由函数的图象可知，由函数的图象可知，正确；
D、由函数的图象可知，，一次函数与y轴交与负半轴，相矛盾，故错误；
故选：C．
先根据一次函数的性质判断出a取值，再根据反比例函数的性质判断出a的取值，二者一致的即为正确答案．
本题主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，要掌握它们的性质才能灵活解题．
 

3.【答案】C
 

【解析】解析
根据题意，抽象出数学模型，可以得到关于k的不等式，从而可以解答本题．
本题考查反比例函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质和数形结合的思想解答．
详解
解：
的三个顶点分别为，，，反比例函数在第一象限内的图象与有交点，
，
即，
故选C．
 

4.【答案】D
 

【解析】解：由图象可知：，
故选：D．
由于点，不在反比例函数的图象上，而在反比例函数图象的内侧，因此，通过筛选得出答案．
考查对反比例函数图象上点的坐标特点的理解，也是灵活应用，点在第一象限反比例函数图象的内侧，说明，通过比较得出答案，
 

5.【答案】C
 

【解析】解：如图，延长BA交y轴于D，则四边形OCBD为矩形．
点A在双曲线上，点B在双曲线上，
，，
四边形ABCO的面积．
故选：C．
延长BA交y轴于D，则四边形OCBD为矩形．根据反比例函数系数k的几何意义，得出，，则四边形ABCO的面积．
本题主要考查了反比例函数比例系数k的几何意义：在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值；在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是，且保持不变．
 

6.【答案】A
 

【解析】

【分析】
本题考查了反比例函数图象及性质用反比例函数的性质识别A、B两点所在的象限是解题的关键．
【解答】
解：反比例函数的图象的图象在二、四象限，
又2，
在第二象限，点在第四象限时，
，
．
因此正确答案是A．
  

7.【答案】C
 

【解析】解：双曲线，当时，y随x的增大而减小，


故选：C．
先根据函数的增减性得出关于k的不等式，求出k的取值范围即可．
本题考查的是反比例函数的性质，熟知反比例函数的图象与系数的关系是解答此题的关键．
 

8.【答案】B
 

【解析】解：反比例函数中，，
函数图象的两个分支分别位于二四象限，且在每一象限内，y随x的增大而增大．
，，
点在第二象限，点，在第四象限，
．
故选：B．
先根据反比例函数的解析式判断出函数图象所在的象限及其增减性，再由各点横坐标的值即可得出结论．
本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．
 

9.【答案】B
 

【解析】解：反比例函数的图象分布在第二、四象限，
，
解得，
故选：B．
根据反比例函数的图象和性质，由即可解得答案．
本题考查了反比例函数的图象和性质：当时，图象分别位于第一、三象限；当时，图象分别位于第二、四象限．
 

10.【答案】D
 

【解析】

【分析】
本题考查了反比例函数的性质，当时，图象在每一象限内y随x的增大而减小；当时，图象在每一象限内y随x的增大而增大．根据反比例函数的性质：当时，图象在每一象限内y随x的增大而减小，可得答案． 
【解答】
解：中，图象在每一象限内y随x的增大而增大，故A错误； 
B.中，当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而减小，但函数在x的整个取值范围内并不满足y随x的增大而减小，故B错误； 
C.中，图象位于第四象限，y随x的增大而增大，故C错误；
D.中，图象位于第三象限，y随x的增大而减小，故D正确．
故选D  

11.【答案】A
 

【解析】

【试题解析】

【分析】
本题主要考查了反比例函数图象的中心对称性，要求同学们要熟练掌握．反比例函数的图象是中心对称图形，与经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称根据反比例函数的性质进行解答即可．

【解答】
解：点A是正比例函数与反比例函数的图象的交点，

，

解得，则点A的坐标是

点与B关于原点对称，

点的坐标为．

故选：A．

12.【答案】B
 

【解析】

【分析】
本题考查了反比例函数的性质及求反比例函数的解析式设点P的坐标为，由三角形面积公式得到的值，再由点P在第二象限确定k的符号，求出反比例函数的解析式，则选项中点的坐标满足反比例函数解析式即为正确的选项．
【解答】
解：设点P的坐标为，
轴，
，，
，
，
又知，且反比例函数的图象在第二象限，
，，
，
反比例函数的解析式为，
，
点在反比例函数的图象上．
故选B．  

13.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题考查了反比例函数的性质，重点是注意中k的取值，当时，反比例函数的图象位于一、三象限；当时，反比例函数的图象位于二、四象限．

由于反比例函数的图象在二、四象限内，则，解得k的取值范围即可．

【解答】

解：由题意得，反比例函数的图象在二、四象限内，
则，
解得．
故答案为．

14.【答案】
 

【解析】

【分析】此题主要考查反比例函数图象的性质：时，图象是位于一、三象限．时，图象是位于二、四象限．根据时，图象是位于二、四象限即可得出结果．
【解答】解：由题意可得，则故答案为．  

15.【答案】或
 

【解析】解：联立与并解得：，故点A的坐标为，
联立与同理可得：点，
这两条直线互相垂直，则，故点，则点，
则，
同理可得：，
则，即，
解得：或，
故点A的坐标为或，
故答案为：或
求出点A、D、B的坐标，则，进而求解．
本题考查的是反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是求出A、B、D的坐标，确定，进而求解．
 

16.【答案】9
 

【解析】解：点A、B在反比例函数的图象上，A、B的纵坐标分别是3和6，
，，
作轴于D，轴于E，


，
，
，
故答案为9．
根据图象上点的坐标特征求得A、B的坐标，将三角形AOB的面积转化为梯形ABED的面积，根据坐标可求出梯形的面积即可，
此题考查了反比例函数系数k的几何意义，关键是掌握图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值．
 

17.【答案】解：设方程的两个根为，，根据题意得，

又由一元二次方程根与系数的关系得，
，
则当时，m取得最小值．

故答案为．

【解析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，二次函数的性质，熟练掌握运算法则是解本题的关键设方程的两根为，，根据题意得，再利用根与系数关系表示出，列出m关于k的二次函数解析式，利用二次函数性质求出m的最小值即可．
 

18.【答案】解：点在反比例函数的图象上，
，
，
此反比例函数的解析式为：，
当时，；
当时，，当时，，
当时，y的取值范围为：．
 

【解析】将点A的坐标代入反比例函数的解析式中，求出k的值，即可求出函数的解析式，再将代入解析式即可求出y的值；
根据反比例函数的图象性质，将和代入解析式求出y的值即可求解．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征以及反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征以及反比例函数的性质是解题的关键．
 

19.【答案】解：把代入得：，
解得，
故反比例函数的解析式为：，
把代入得，
则，
把，代入得：，
解得，
故一次函数的解析式为；
令代入得，
的面积；
由图象知：当时，自变量x的取值范围为 或．
 

【解析】本题考查了待定系数法求函数解析式，无论是自变量的取值范围还是函数值的取值范围，都应该从交点入手思考；需注意反比例函数的自变量不能取0．
此小题可以采用待定系数法直接将点的坐标代入求得两函数的解析式；
求三角形的面积或割或补，此题采用割比法较为容易；
根据图象由两交点A、B，当反比例函数位于一次函数图象上时求x的取值范围．
 

20.【答案】解：点在反比例函数图象上

即反比例函数关系式为；
点在反比例函数图象上

设一次函数的解析式为
点和在一次函数的图象上

解得
一次函数关系式为
令，得
点坐标为；
答：，D点坐标为．
证明：，，轴

，
即，
，
，
，
∽．

当时，由≌可得，，
，
点的纵坐标
，
当时，由知，此时E与D重合，
与A重合，

当时，由知，显然F为AC中点，

当为等腰三角形时，点F的坐标为
 

【解析】本题主要考查了待定系数法求反比例函数与一次函数的解析式；同时考查了两三角形相似的条件，等腰三角形的分类讨论问题，综合性性强，难度有点大．
根据点A的坐标即可求出反比例函数的解析式为；再求出B点的坐标，即得；利用待定系数法求一次函数的解析式，令一次函数的，求得点D的坐标；
在本题中要证∽，只要证明出和的三个内角分别对应相等，即可得证；
分三种情况讨论求得出点F的坐标即可解答．
 

21.【答案】解：当时，，
点B的坐标为．
反比例函数过点，
．
，
当时，y随x值增大而减小，
当时，；当时，，
当时，．
 

【解析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、反比例函数图象上点的坐标特征以及反比例函数的性质，解题的关键是：利用一次反比例函数图象上点的坐标特征，求出n、k的值；利用一次函数的性质找出当时，y随x值增大而减小．
利用一次函数图象上点的坐标特征可求出n值，进而可得出点B的坐标，再利用反比例函数图象上点的坐标特征即可求出k值；
由结合反比例函数的性质，即可求出：当时，．
 

22.【答案】解：把A点分别代入反比例函数，一次函数，得，，
解得，，
反比例函数的解析式是，一次函数解析式是；
如图，设直线与y轴的交点为C，

当时，，
，
当时，，
，
；
，，
根据图象可知：当或时，一次函数值大于反比例函数值．

【解析】本题考查了一次函数和反比例函数的交点问题，用待定系数法求出一次函数的解析式，三角形的面积，一次函数的图象等知识点，题目具有一定的代表性，是一道比较好的题目，用了数形结合思想．
把A的坐标代入反比例函数解析式求出A的坐标，把A的坐标代入一次函数解析式求出即可；
求出直线AB与y轴的交点C的坐标，分别求出和的面积，然后相加即可；
根据A、B的坐标结合图象即可得出答案．
 

23.【答案】解：矩形OABC的顶点O在坐标原点，A，C分别在x轴、y轴的正半轴上，且，
，，．
反比例函数的图象经过点B，
，
反比例函数的表达式为；

如图，作的边BC上的高DE，设点D的坐标为，则，．
的面积为矩形OABC面积的一半，
，
，
，
，解得，
点D的坐标为．
 

【解析】根据矩形的性质以及已知条件得出，，将B点坐标代入，求出k，得到反比例函数的表达式；
作的边BC上的高DE，设点D的坐标为，则，由点D在直线BC的上方，可得根据的面积为矩形OABC面积的一半，求出，即，求出x，进而得到点D的坐标．
本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，矩形的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，三角形的面积等知识，难度适中．正确求出反比例函数解析式是解题的关键．
 

24.【答案】解：、两点坐标分别代入反比例函数，可得
，，
、，
把、代入一次函数，可得
，解得，
直线AB的解析式为；
观察函数图象，发现：
当时，一次函数图象在反比例函数图象的上方，
当时，x的取值范围是．
如图，作点A关于y轴的对称点C，连接BC交y轴于点P，则的最小值等于BC的长，
过C作y轴的平行线，过B作x轴的平行线，交于点D，则

中，，
的最小值为．
 

【解析】本题考查的是反比例函数与一次函数的交点问题，根据函数图象的上下位置关系结合交点的横坐标，得出不等式的取值范围是解答此题的关键．
依据反比例函数的图象交于、两点，即可得到、，代入一次函数，可得直线AB的解析式；
当时，一次函数图象在反比例函数图象的上方，即可得到当时，x的取值范围是；
作点A关于y轴的对称点C，连接BC交y轴于点P，则的最小值等于BC的长，利用勾股定理即可得到BC的长．
 

25.【答案】解：点在直线上，
，
，
直线AB的解析式为，
将点代入直线AB的解析式中，得，
，
，
将在反比例函数解析式中，得；
故，．

由知，，，反比例函数解析式为，
当时，
将线段AB向右平移3个单位长度，得到对应线段CD，
，
即：，
轴于点F，交反比例函数的图象于点E，
，
，，
；

如图，将线段AB向右平移m个单位长度，得到对应线段CD，

，，

，，
，，
是以BC为腰的等腰三角形，
Ⅰ、当时，
，
点B在线段AC的垂直平分线上，
，
Ⅱ、当时，
，，
，
，
，
即：是以BC为腰的等腰三角形，满足条件的m的值为4或5．

【解析】此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，平移的性质，等腰三角形的性质，线段的垂直平分线的性质，用方程的思想解决问题是解本题的关键．
先将点A坐标代入直线AB的解析式中，求出b，进而求出点B坐标，再将点B坐标代入反比例函数解析式中即可得出结论；
先确定出点，进而求出点E坐标，进而求出DE，EF，即可得出结论；
先表示出点C，D坐标，再分两种情况：Ⅰ、当时，判断出点B在AC的垂直平分线上，即可得出结论；Ⅱ、当时，先表示出BC，用建立方程求解即可得出结论．