高中5.5 三角恒等变换第1课时学案

第1课时　两角差的余弦公式

必备知识基础练

1.cos(－15°)的值是(　　)

A.  B.

C.  D.

2．cos 54°cos 9°＋sin 54°cos 81°的值是(　　)

A.  B.

C.  D.

3．cos(α＋30°)cos α＋sin(α＋30°)sin α等于(　　)

A.   B.

C.  D．－

4.已知cos θ＝，θ∈，则cos＝(　　)

A.  B.

C.  D.

5．已知α∈，sin＝，则cos α＝(　　)

A．－       B.

C．－或  D．－

6．已知锐角α，β满足cos α＝，cos(α＋β)＝－，则cos(2π－β)的值为(　　)

A.  B．－

C.  D．－

7.已知cos α＝，cos(α＋β)＝－，α，β∈，则β＝________.

8．已知sin(π－α)＝，cos(α－β)＝，0＜β＜α＜，则β＝________.

9．已知0<α<，－<β<0，且α，β满足sin α＝，cos β＝，求α－β.

关键能力综合练

一、选择题

1．cos 295°sin 70°－sin 115°cos 110°的值为(　　)

A.  B．－

C.  D．－

2．满足cos αcos  β＝－sin  αsin  β的一组α，β的值是(　　)

A．α＝，β＝  B．α＝，β＝

C．α＝，β＝     D．α＝，β＝

3．已知cos＝－，则cos x＋cos＝(　　)

A．－  B．±

C．－1     D．±1

4．若cos(α－β)＝，cos 2α＝，并且α，β均为锐角，且α<β，则α＋β的值为(　　)

A.   B.

C.  D.

5．已知sin  α－sin  β＝1－，cos  α－cos  β＝，则cos(α－β)的值为(　　)

A.   B.

C.  D．1

6．(易错题)设α，β是锐角，且cos α＝，sin(α＋β)＝，则cos β＝(　　)

A.        B.

C.或  D.或

二、填空题

7．已知α，β均为锐角，且cos α＝，cos β＝，则α－β＝________.

8．已知△ABC中，sin(A＋B)＝，cos  B＝－，则sin  B＝________，cos  A＝________.

9．(探究题)已知sin(α－2β)＝－，cos(2α－β)＝，其中0<α<，<β<，则cos(α＋β)＝________.

三、解答题

10．若x∈，且sin  x＝，求2cos＋2cos  x的值．

学科素养升级练

1．(多选题)下列四个选项，化简正确的是(　　)

A．cos(－15°)＝

B．cos  15°cos  105°＋sin  15°sin  105°＝cos(15°－105°)＝0

C．cos(α－35°)cos(25°＋α)＋sin(α－35°)sin(25°＋α)＝cos[(α－35°)－(25°＋α)]＝cos(－60°)＝cos  60°＝.

D．sin  14°cos  16°＋sin  76°cos  74°＝.

2．已知sin α＋sin β＋sin γ＝0，cos α＋cos β＋cos γ＝0，则cos(α－β)的值是________．

3．(学科素养—运算能力)已知函数f(x)＝2cos(其中ω>0，x∈R)的最小正周期为10π.

(1)求ω的值；

(2)设α，β∈，f＝－，f＝，求cos(α－β)的值．

答案

必备知识基础练

1．解析：cos(－15°)＝cos(30°－45°)＝cos 30°cos 45°＋sin 30°sin 45°＝×＋×＝.

答案：D

2．解析：cos 54°cos 9°＋sin 54°cos 81°＝cos 54°cos 9°＋sin 54°sin 9°＝cos(54°－9°)＝cos 45°＝.

答案：C

3．解析：原式＝cos(α＋30°－α)＝cos 30°＝.

答案：B

4．解析：∵cos θ＝，θ∈，∴sin θ＝，

∴cos＝cos θ·cos＋sin θ·sin＝×＋×＝.故选B.

答案：B

5．解析：∵α∈，∴α＋∈.

∵sin＝，∴cos＝－，

∴cos α＝cos＝coscos＋sinsin＝－×＋×＝－.

答案：A

6．解析：因为α，β为锐角，cos α＝，cos(α＋β)＝－，

所以sin α＝，sin(α＋β)＝，

所以cos(2π－β)＝cos β＝cos[(α＋β)－α]

＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)·sin α

＝－×＋×

＝.故选A.

答案：A

7．解析：∵α，β∈，∴α＋β∈(0，π)．

∵cos α＝，cos(α＋β)＝－，

∴sin α＝，sin(α＋β)＝，

∴cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)·sin α

＝×＋×＝.

∵0<β<，∴β＝.

答案：

8．解析：因为sin(π－α)＝，所以sin α＝.

因为0<α<，所以cos α＝＝.

因为cos(α－β)＝，且0<β<α<，

所以0<α－β<，

所以sin(α－β)＝＝.

所以cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝×＋×＝.

因为0<β<，所以β＝.

答案：β＝

9．解析：因为0<α<，－<β<0，

且sin α＝，cos β＝，

故cos α＝＝＝，

sin β＝－＝－＝－，

故cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β

＝×＋×＝.

由0<α<，－<β<0得，0<α－β<π，

又cos(α－β)>0，所以α－β为锐角，所以α－β＝.

关键能力综合练

1．解析：原式＝－cos 115°cos 20°＋sin 115°sin 20°＝cos 65°cos 20°＋sin 65°sin 20°＝cos(65°－20°)＝cos 45°＝.

答案：A

2．解析：由已知得cos(α－β)＝cos  αcos  β＋sin  αsin  β＝，代入检验，得B正确，故选B.

答案：B

3．解析：因为cos＝－，

所以cos x＋cos＝cos x＋cos xcos＋sin xsin

＝cos x＋sin x＝

＝cos＝×＝－1.故选C.

答案：C

4．解析：∵0<α<β<，∴－<α－β<0,0<2α<π.

由cos(α－β)＝，得sin(α－β)＝－.

由cos 2α＝，得sin 2α＝.∴cos(α＋β)＝cos[2α－(α－β)]＝cos 2αcos(α－β)＋sin 2αsin(α－β)＝×＋×＝－.

又∵α＋β∈(0，π)，∴α＋β＝.

答案：C

5．解析：因为sin  α－sin  β＝1－，

所以sin2α－2sin  αsin  β＋sin2β＝－.①

又因为cos α－cos  β＝，

所以cos2α－2cos  αcos  β＋cos2β＝.②

所以①＋②得2cos(α－β)＝，

所以cos(α－β)＝，故选B.

答案：B

6．解析：∵α，β都是锐角，且cos α＝<，∴<α<，又sin(α＋β)＝>，∴<α＋β<π，∴cos(α＋β)＝－＝－，sin α＝＝，则cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝－×＋×＝.故选A.

答案：A

7．解析：由条件得sin α＝，sin β＝.

∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝×＋×＝，

又α－β∈，∴α－β＝±，

又因为cos α＞cos β，所以α＜β，则α－β＝－.

答案：－

8．解析：在△ABC中，

因为cos B＝－<0，所以B为钝角，

则sin B＝，所以A＋B∈，

由sin(A＋B)＝，得cos(A＋B)＝－，

所以cos A＝cos [(A＋B)－B]

＝cos(A＋B)cos  B＋sin(A＋B)sin  B

＝－×＋×＝.

答案：　

9．解析：因为0<α<，<β<，所以－<α－2β<－，－<2α－β<0，所以由sin(α－2β)＝－，得cos(α－2β)＝－＝－，由cos(2α－β)＝，得sin(2α－β)＝－＝－，则cos(α＋β)＝cos[(2α－β)－(α－2β)]＝cos(2α－β)cos(α－2β)＋sin(2α－β)sin(α－2β)＝×＋×＝.

答案：

10．解析：因为x∈，sin  x＝，

所以cos x＝－.

所以2cos＋2cos  x

＝2＋2cos  x

＝2＋2cos  x

＝sin  x＋cos  x

＝－＝.

学科素养升级练

1．解析：对于A：解法一　原式＝cos(30°－45°)＝cos  30°cos  45°＋sin  30°sin  45°＝×＋×＝，A错误．

解法二　原式＝cos  15°＝cos(45°－30°)＝cos  45°cos  30°＋sin  45°sin  30°＝×＋×＝，A错误．

对于B：原式＝cos(15°－105°)＝cos(－90°)＝cos  90°＝0，B正确；对于C：原式＝cos[(α－35°)－(25°＋α)]＝cos(－60°)＝cos  60°＝，C正确；对于D：原式＝cos  76°cos  16°＋sin  76°sin  16°＝cos(76°－16°)＝cos  60°＝，D正确．故选BCD.

答案：BCD

2．解析：由

①2＋②2⇒2＋2(sin αsin β＋cos αcos β)＝1⇒cos(α－β)＝－.

答案：－

3．解析：(1)由于函数f(x)的最小正周期为10π，

所以10π＝，所以ω＝.

(2)由(1)知f(x)＝2cos

因为f＝－，

所以2cos＝2cos＝－，

所以sin α＝，

又因为f＝，

所以2cos＝2cos  β＝，

所以cos β＝，

因为α，β∈，

所以cos α＝，sin  β＝，

所以cos(α－β)＝cos  αcos  β＋sin  αsin  β＝×＋×＝.