高中5.5 三角恒等变换第1课时学案
展开第1课时 两角差的余弦公式
必备知识基础练
知识点一 | 给角求值 |
1.cos(-15°)的值是( )
A. B.
C. D.
2.cos 54°cos 9°+sin 54°cos 81°的值是( )
A. B.
C. D.
3.cos(α+30°)cos α+sin(α+30°)sin α等于( )
A. B.
C. D.-
知识点二 | 给值求值 |
4.已知cos θ=,θ∈,则cos=( )
A. B.
C. D.
5.已知α∈,sin=,则cos α=( )
A.- B.
C.-或 D.-
6.已知锐角α,β满足cos α=,cos(α+β)=-,则cos(2π-β)的值为( )
A. B.-
C. D.-
知识点三 | 给值求角 |
7.已知cos α=,cos(α+β)=-,α,β∈,则β=________.
8.已知sin(π-α)=,cos(α-β)=,0<β<α<,则β=________.
9.已知0<α<,-<β<0,且α,β满足sin α=,cos β=,求α-β.
关键能力综合练
一、选择题
1.cos 295°sin 70°-sin 115°cos 110°的值为( )
A. B.-
C. D.-
2.满足cos αcos β=-sin αsin β的一组α,β的值是( )
A.α=,β= B.α=,β=
C.α=,β= D.α=,β=
3.已知cos=-,则cos x+cos=( )
A.- B.±
C.-1 D.±1
4.若cos(α-β)=,cos 2α=,并且α,β均为锐角,且α<β,则α+β的值为( )
A. B.
C. D.
5.已知sin α-sin β=1-,cos α-cos β=,则cos(α-β)的值为( )
A. B.
C. D.1
6.(易错题)设α,β是锐角,且cos α=,sin(α+β)=,则cos β=( )
A. B.
C.或 D.或
二、填空题
7.已知α,β均为锐角,且cos α=,cos β=,则α-β=________.
8.已知△ABC中,sin(A+B)=,cos B=-,则sin B=________,cos A=________.
9.(探究题)已知sin(α-2β)=-,cos(2α-β)=,其中0<α<,<β<,则cos(α+β)=________.
三、解答题
10.若x∈,且sin x=,求2cos+2cos x的值.
学科素养升级练
1.(多选题)下列四个选项,化简正确的是( )
A.cos(-15°)=
B.cos 15°cos 105°+sin 15°sin 105°=cos(15°-105°)=0
C.cos(α-35°)cos(25°+α)+sin(α-35°)sin(25°+α)=cos[(α-35°)-(25°+α)]=cos(-60°)=cos 60°=.
D.sin 14°cos 16°+sin 76°cos 74°=.
2.已知sin α+sin β+sin γ=0,cos α+cos β+cos γ=0,则cos(α-β)的值是________.
3.(学科素养—运算能力)已知函数f(x)=2cos(其中ω>0,x∈R)的最小正周期为10π.
(1)求ω的值;
(2)设α,β∈,f=-,f=,求cos(α-β)的值.
答案
必备知识基础练
1.解析:cos(-15°)=cos(30°-45°)=cos 30°cos 45°+sin 30°sin 45°=×+×=.
答案:D
2.解析:cos 54°cos 9°+sin 54°cos 81°=cos 54°cos 9°+sin 54°sin 9°=cos(54°-9°)=cos 45°=.
答案:C
3.解析:原式=cos(α+30°-α)=cos 30°=.
答案:B
4.解析:∵cos θ=,θ∈,∴sin θ=,
∴cos=cos θ·cos+sin θ·sin=×+×=.故选B.
答案:B
5.解析:∵α∈,∴α+∈.
∵sin=,∴cos=-,
∴cos α=cos=coscos+sinsin=-×+×=-.
答案:A
6.解析:因为α,β为锐角,cos α=,cos(α+β)=-,
所以sin α=,sin(α+β)=,
所以cos(2π-β)=cos β=cos[(α+β)-α]
=cos(α+β)cos α+sin(α+β)·sin α
=-×+×
=.故选A.
答案:A
7.解析:∵α,β∈,∴α+β∈(0,π).
∵cos α=,cos(α+β)=-,
∴sin α=,sin(α+β)=,
∴cos β=cos[(α+β)-α]=cos(α+β)cos α+sin(α+β)·sin α
=×+×=.
∵0<β<,∴β=.
答案:
8.解析:因为sin(π-α)=,所以sin α=.
因为0<α<,所以cos α==.
因为cos(α-β)=,且0<β<α<,
所以0<α-β<,
所以sin(α-β)==.
所以cos β=cos[α-(α-β)]=cos αcos(α-β)+sin αsin(α-β)=×+×=.
因为0<β<,所以β=.
答案:β=
9.解析:因为0<α<,-<β<0,
且sin α=,cos β=,
故cos α===,
sin β=-=-=-,
故cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β
=×+×=.
由0<α<,-<β<0得,0<α-β<π,
又cos(α-β)>0,所以α-β为锐角,所以α-β=.
关键能力综合练
1.解析:原式=-cos 115°cos 20°+sin 115°sin 20°=cos 65°cos 20°+sin 65°sin 20°=cos(65°-20°)=cos 45°=.
答案:A
2.解析:由已知得cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β=,代入检验,得B正确,故选B.
答案:B
3.解析:因为cos=-,
所以cos x+cos=cos x+cos xcos+sin xsin
=cos x+sin x=
=cos=×=-1.故选C.
答案:C
4.解析:∵0<α<β<,∴-<α-β<0,0<2α<π.
由cos(α-β)=,得sin(α-β)=-.
由cos 2α=,得sin 2α=.∴cos(α+β)=cos[2α-(α-β)]=cos 2αcos(α-β)+sin 2αsin(α-β)=×+×=-.
又∵α+β∈(0,π),∴α+β=.
答案:C
5.解析:因为sin α-sin β=1-,
所以sin2α-2sin αsin β+sin2β=-.①
又因为cos α-cos β=,
所以cos2α-2cos αcos β+cos2β=.②
所以①+②得2cos(α-β)=,
所以cos(α-β)=,故选B.
答案:B
6.解析:∵α,β都是锐角,且cos α=<,∴<α<,又sin(α+β)=>,∴<α+β<π,∴cos(α+β)=-=-,sin α==,则cos β=cos[(α+β)-α]=cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α=-×+×=.故选A.
答案:A
7.解析:由条件得sin α=,sin β=.
∴cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β=×+×=,
又α-β∈,∴α-β=±,
又因为cos α>cos β,所以α<β,则α-β=-.
答案:-
8.解析:在△ABC中,
因为cos B=-<0,所以B为钝角,
则sin B=,所以A+B∈,
由sin(A+B)=,得cos(A+B)=-,
所以cos A=cos [(A+B)-B]
=cos(A+B)cos B+sin(A+B)sin B
=-×+×=.
答案:
9.解析:因为0<α<,<β<,所以-<α-2β<-,-<2α-β<0,所以由sin(α-2β)=-,得cos(α-2β)=-=-,由cos(2α-β)=,得sin(2α-β)=-=-,则cos(α+β)=cos[(2α-β)-(α-2β)]=cos(2α-β)cos(α-2β)+sin(2α-β)sin(α-2β)=×+×=.
答案:
10.解析:因为x∈,sin x=,
所以cos x=-.
所以2cos+2cos x
=2+2cos x
=2+2cos x
=sin x+cos x
=-=.
学科素养升级练
1.解析:对于A:解法一 原式=cos(30°-45°)=cos 30°cos 45°+sin 30°sin 45°=×+×=,A错误.
解法二 原式=cos 15°=cos(45°-30°)=cos 45°cos 30°+sin 45°sin 30°=×+×=,A错误.
对于B:原式=cos(15°-105°)=cos(-90°)=cos 90°=0,B正确;对于C:原式=cos[(α-35°)-(25°+α)]=cos(-60°)=cos 60°=,C正确;对于D:原式=cos 76°cos 16°+sin 76°sin 16°=cos(76°-16°)=cos 60°=,D正确.故选BCD.
答案:BCD
2.解析:由
①2+②2⇒2+2(sin αsin β+cos αcos β)=1⇒cos(α-β)=-.
答案:-
3.解析:(1)由于函数f(x)的最小正周期为10π,
所以10π=,所以ω=.
(2)由(1)知f(x)=2cos
因为f=-,
所以2cos=2cos=-,
所以sin α=,
又因为f=,
所以2cos=2cos β=,
所以cos β=,
因为α,β∈,
所以cos α=,sin β=,
所以cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β=×+×=.
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