高中物理沪科版 (2019)必修 第一册第3章 力与相互作用3.7 共点力的平衡及其应用学案

这是一份高中物理沪科版 (2019)必修 第一册第3章 力与相互作用3.7 共点力的平衡及其应用学案，共15页。

3.7　共点力的平衡及其应用
[学习目标]　1.理解平衡状态，掌握共点力平衡的条件.2.会利用合成法或正交分解法分析计算平衡问题．

共点力的平衡
1．平衡状态
如果物体保持静止或匀速直线运动状态，我们就说这个物体处于平衡状态．
2．平衡条件
物体在多个共点力作用下平衡时，合力总等于零．
3．当作用在一个物体上的多个共点力的合力等于零时，它们在水平方向上的分力的合力等于零，在竖直方向上的分力的合力也等于零．

1．判断下列说法的正误．
(1)作用在一个物体上的两个力，如果大小相等、方向相反，这两个力一定平衡．(　×　)
(2)某时刻物体的速度为零，物体一定处于平衡状态．(　×　)
(3)物体处于平衡状态时加速度一定为零．(　√　)
(4)如果一个物体受到三个力作用而保持静止状态，则其中任意两个力的合力与第三个力等大、反向．(　√　)
2.如图1所示，静止于倾角为30°的斜面上的物体，重力为10 N，则它受到的支持力为____________ N，摩擦力为________ N.

图1
答案　5　5

一、共点力平衡的条件
导学探究　桌子上放着的杯子、天花板上吊着的吊灯、在平直铁轨上匀速行驶的火车中的乘客等都处于平衡状态，你能总结“平衡状态”的含义吗？
答案　如果物体保持静止或匀速直线运动状态，就说物体处于平衡状态．这里包括速度恒为零的静止状态，它是一种静态的平衡；也包括运动的平衡，即速度不为零，但大小、方向都不变的匀速直线运动状态．
知识深化
1．平衡状态
(1)物体处于静止或匀速直线运动的状态．
(2)对“平衡状态”的理解
不管是静止还是匀速直线运动，速度保持不变，所以Δv＝0，又a＝，对应加速度也为零，速度为零不代表a＝0.
例如，竖直上抛的物体运动到最高点时，这一瞬间速度为零，但这一状态不可能保持，因而上抛物体在最高点不能称为静止，即速度为零不等同于静止．
2．共点力平衡的条件
(1)共点力平衡的条件是合力为0.
(2)表示为：F合＝0；或将各力分解到x轴和y轴上，满足Fx合＝0，且Fy合＝0.
①二力平衡：若物体在两个共点力作用下处于平衡状态，则这两个力一定等大、反向．
②三力平衡：若物体在三个共点力作用下处于平衡状态，则其中任意两个力的合力与第三个力等大、反向．
③多力平衡：若物体在多个共点力作用下处于平衡状态，则其中任意一个力与其余所有力的合力等大、反向．
(3)当物体受三个力平衡，将表示这三个力的有向线段依次首尾相连，则会构成一个矢量三角形，表示合力为0.
物体在五个共点力的作用下保持平衡，如图2所示，其中F1大小为10 N，方向水平向右，求：

图2
(1)若撤去力F1，而保持其余四个力不变，其余四个力的合力的大小和方向；
(2)若将F1转过90°，物体所受的合力大小．
答案　(1)10 N　水平向左　(2)10 N
解析　(1)五个共点力平衡时合力为零，则其余四个力的合力与F1等大、反向，故其余四个力的合力大小为10 N，方向水平向左．
(2)若将F1转过90°，则F1′与其余四个力的合力垂直，F合＝＝ N＝10 N.
针对训练1　人站在自动扶梯上随扶梯匀速上升，如图3所示，下列说法正确的是(　　)

图3
A．人所受合力方向同图中速度的方向
B．人在水平方向受到向右的摩擦力的作用
C．人只在竖直方向受力且合力为零
D．人在竖直方向所受合力不为零
答案　C
二、共点力平衡条件的应用
处理平衡问题的常用方法
方法
内容
合成法
物体受三个共点力的作用而平衡，则任意两个力的合力一定与第三个力大小相等，方向相反
正交分解法
物体受到三个或三个以上力的作用时，将物体所受的力分解为相互垂直的两组，每组力都满足平衡条件
矢量三角形法
对受三力作用而平衡的物体，将力的矢量图平移使三力组成一个首尾依次相接的矢量三角形，根据正弦定理、余弦定理或相似三角形等数学知识求解未知力

(多选)(2020·玉门一中高一上期中)如图4所示，是一种测定风作用力的仪器的原理图，它能自动随着风的转向而转向，使风总从图示方向吹向小球P.P是质量为m的金属球，固定在一细长刚性金属丝下端，能绕悬挂点O在竖直平面内摆动，无风时金属丝自然下垂，有风时金属丝将偏离竖直方向一定角度θ，角θ大小与风力大小有关，下列关于风力F、刚性金属丝拉力T与角度θ的关系式正确的是(重力加速度为g)(　　)

图4
A．F＝mgsin θ B．F＝mgtan θ　C．T＝mgcos θ D．T＝
答案　BD
解析　选取金属球为研究对象，它受到三个力的作用，如图甲所示．金属球处于平衡状态，这三个力的合力为零．可用以下两种方法求解．

解法一　力的合成法
将风力F和拉力T合成，如图乙所示，由平衡条件知F与T的合力与重力等大反向，由平行四边形定则可得F＝mgtan θ，T＝.
解法二　正交分解法
以金属球的重心为坐标原点，取水平方向为x轴，竖直方向为y轴，建立直角坐标系，如图丙所示．由于金属球处于平衡状态，故水平方向的合力Fx合和竖直方向的合力Fy合都等于零，即
Fx合＝Tsin θ－F＝0
Fy合＝Tcos θ－mg＝0
解得F＝mgtan θ，T＝.

用正交分解法求解平衡问题
1．选用原则：当物体受到不在一条直线上的三个或多于三个共点力时，一般要采用正交分解法．
2．建立坐标系原则：使尽可能多的力落在x、y轴上，这样需要分解的力比较少，计算方便．
3．当物体处于平衡时，根据共点力平衡的条件，x轴，y轴上合力均为0，列式(Fx＝0，Fy＝0)求解．
(2021·华中师大一附中期中)一质量m＝6 kg的物块，置于水平地面上，物块与地面间的动摩擦因数μ＝，为了使物块沿水平地面做匀速直线运动，现用一与水平方向夹角为37°的力斜向上拉物块，如图5所示，求拉力大小．(已知sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，g取10 m/s2)

图5
答案　20 N
解析　物块做匀速直线运动，所以物块处于平衡状态，受力分析如图，则

水平方向：Tcos 37°＝f
竖直方向：N＝mg－Tsin 37°
且f＝μN
代入数据解得T＝20 N.
针对训练2　如图6所示，物体的质量m＝4.4 kg，用与竖直方向成θ＝37°的斜向右上方的推力把该物体压在竖直墙壁上，并使它沿墙壁在竖直方向上做匀速直线运动．物体与墙壁间的动摩擦因数μ＝0.5，取重力加速度g＝10 N/kg，求推力F的大小．(sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)

图6
答案　88 N或40 N
解析　若物体向上做匀速直线运动，受力分析如图甲所示，

Fcos θ＝mg＋f
Fsin θ＝N
f＝μN
故推力F＝＝ N＝88 N
若物体向下做匀速直线运动，受力分析如图乙所示，
Fcos θ＋f′＝mg
Fsin θ＝N′
f′＝μN′
故推力F＝＝ N＝40 N.



1．(平衡条件的理解和应用)如图7所示，一物体静止在斜面上，则斜面对物体的作用力方向(　　)

图7
A．沿斜面向上 B．垂直斜面向上
C．竖直向上 D．无法判断
答案　C
解析　物体受三个力，重力、支持力和摩擦力，斜面对物体的作用力是支持力与摩擦力的合力，与重力等大反向，故C正确．
2．(三力平衡问题)用三根轻绳将质量为m的物块悬挂在空中，如图8所示．已知ac和bc与竖直方向的夹角分别为30°和60°，重力加速度为g，则ac绳和bc绳中的拉力大小分别为(　　)

图8
A.mg，mg B.mg，mg
C.mg，mg D.mg，mg
答案　A
解析　对结点c受力分析如图所示，设ac绳受到的拉力为F1、bc绳受到的拉力为F2，cd绳受到的拉力为F3＝mg，根据平衡条件知F1、F2的合力F与重力mg等大、反向，由几何知识得

F1＝Fcos 30°＝mg，F2＝Fsin 30°＝mg.选项A正确．
3．(利用正交分解法处理共点力的平衡问题)(多选)如图9所示，质量为m的物体在恒力F作用下沿水平地面做匀速直线运动，物体与地面间的动摩擦因数为μ，重力加速度为g，则物体受到的摩擦力的大小为(　　)

图9
A．Fsin θ B．Fcos θ
C．μ(Fsin θ＋mg) D．μ(mg－Fsin θ)
答案　BC
解析　先对物体进行受力分析，如图所示，然后把力F进行正交分解，F产生两个效果：

使物体水平向前F1＝Fcos θ，
同时使物体压紧水平地面F2＝Fsin θ.
由力的平衡可得F1＝f，F2＋mg＝N，
又f＝μN，
则f＝Fcos θ＝μ(Fsin θ＋mg)，故选B、C.
4．(三力平衡)(2020·太和中学期末)如图10所示，质量为m的小球放在一倾角θ＝30°的光滑斜面上，用固定的竖直挡板挡住，小球处于静止状态，已知重力加速度为g，试求挡板对小球的弹力F1及斜面对小球的支持力F2的大小．

图10
答案　mg　mg
解析　对球受力分析，如图所示，根据物体的平衡条件可得：

F1＝mgtan θ＝mg，
F2＝＝mg.


考点一　平衡条件的应用
1．物体受到三个共点力的作用，以下分别是这三个力的大小，其中不可能使物体平衡的是(　　)
A．F1＝4 N、F2＝5 N、F3＝6 N
B．F1＝4 N、F2＝6 N、F3＝10 N
C．F1＝3 N、F2＝4 N、F3＝8 N
D．F1＝3 N、F2＝6 N、F3＝5 N
答案　C
解析　当三力平衡时，三力的合力一定等于零，则其中任意一个力总小于或等于另外两力之和，而大于或等于另外两力之差的绝对值，故C选项不可能使物体处于平衡状态．
2．某物体受四个共点力的作用而处于静止状态，保持其他三个力的大小和方向均不变，使另一个大小为F的力的方向转过90°，则欲使物体仍能保持静止状态，必须再加上一个大小为多少的力(　　)
A．F B.F C．2F D．3F
答案　B
3．如图1所示，一重为10 N的球固定在支杆AB的上端，今用一段绳子水平拉球，使杆发生弯曲，已知绳的拉力为7.5 N，则AB杆对球的作用力(　　)

图1
A．大小为7.5 N
B．大小为10 N
C．方向与水平方向成53°角斜向右下方
D．方向与水平方向成53°角斜向左上方
答案　D
解析　小球受力如图所示，

则F2sin α＝G，
由tan α＝＝知，α＝53°，
则F2＝＝ N＝12.5 N.
4.(2021·复旦附中期中)如图2所示，物块在力F作用下向右沿水平方向匀速运动，则物块受到的摩擦力f与拉力F的合力方向应该是(　　)

图2
A．水平向右 B．竖直向上
C．向右偏上 D．向左偏上
答案　B
解析　对物块受力分析如图所示，由于重力G与地面支持力N的合力方向竖直向下，因此F和f的合力方向只有竖直向上时，四力合力才能为零，B正确．

考点二　共点力平衡条件的应用
5．如图3所示，一名骑独轮车的杂技演员在空中钢索上表演，如果演员和独轮车的总质量为80 kg，两侧的钢索互成120°夹角，则每根钢索所受拉力大小为(重力加速度g取10 m/s2)(　　)

图3
A．400 N B．600 N
C．800 N D．1 600 N
答案　C
解析　以独轮车和演员作为研究对象，整体受到重力G和钢索对独轮车的作用力F，由平衡条件得：F＝G＝mg＝80×10 N＝800 N，即2Tcos 60°＝800 N，解得：T＝800 N，故C正确，A、B、D错误．
6．如图4所示，光滑半球形容器固定在水平面上，O为球心．一质量为m的小滑块，在水平力F的作用下静止于P点．设滑块所受支持力为N，OP与水平方向的夹角为θ，重力加速度为g，下列关系正确的是(　　)

图4
A．F＝ B．F＝mgtan θ
C．N＝ D．N＝mgtan θ
答案　A
解析　对滑块受力分析如图所示，由平衡条件知，重力mg和推力F的合力与支持力N等大反向，

由几何关系知：F＝，N＝，故A正确．
7.(多选)如图5所示，两根等长的轻绳将日光灯悬挂在天花板上，两绳与竖直方向的夹角都为45°，日光灯保持水平，所受重力为G.则(　　)

图5
A．两绳对日光灯拉力的合力大小等于G
B．两绳的拉力和重力不是共点力
C．两绳的拉力大小均为G
D．两绳的拉力大小均为
答案　AC
解析　对日光灯受力分析如图，两绳拉力的作用线与重力作用线的延长线交于一点，这三个力是共点力，B选项错误；

由于日光灯在两绳拉力和重力作用下处于静止状态，所以两绳的拉力的合力与重力G等大反向，A选项正确；由于两个拉力的夹角成直角，且都与竖直方向成45°角，则由力的平行四边形定则可知G＝，且F1＝F2，故F1＝F2＝G，C选项正确，D选项错误．
8．(2020·太和中学期末)如图6所示，一根长的细绳一端固定在O点，另一端悬挂一个质量为m的小球，为使细绳与竖直方向的夹角为30°且绷紧时，小球处于静止状态，则对小球施加的最小力为(重力加速度为g)(　　)

图6
A.mg B.mg
C.mg D.mg
答案　D
解析　对小球受力分析如图，小球受到的重力不变，绳上拉力F1方向不变，且小球受力平衡．由平衡知识作图可得，当施加的力F与细绳垂直时，F最小，Fmin＝mgsin 30°＝mg，故D正确．

9．(多选)小船用绳索拉向岸边，如图7所示，设船在水中运动时水的阻力大小不变，那么在小船匀速靠岸的过程中，下列说法正确的是(　　)

图7
A．绳子的拉力T不断增大
B．绳子的拉力T不变
C．船的浮力减小
D．船的浮力增大
答案　AC
解析　如图所示，小船受四个力的作用而匀速前进，水平方向：f＝Tcos θ，

竖直方向：Tsin θ＋F浮＝mg
当θ角增大时，由于f不变，
则拉力T增大，浮力F浮减小．
10．(2020·济宁市期末)如图8所示，用一根轻质细绳将一幅质量为m＝2 kg的画框对称悬挂在墙壁上，已知细绳能承受的最大拉力为F＝20 N，细绳的总长度为l＝1.2 m，取g＝10 m/s2.要使细绳不会被拉断，求画框上两个挂钉间的最大距离.(＝1.732，结果保留2位有效数字)

图8
答案　1.0 m
解析　设细绳与竖直方向的夹角为θ，由平衡条件得，

2Fcos θ＝mg
解得θ＝60°
由几何关系得d＝2×sin θ
解得d≈1.0 m.

11．如图9所示，一物体放在水平地面上，对物体施加一个倾角为θ的斜向右上方的力F，当这个力从零开始逐渐增大时，物体受到的摩擦力将(　　)

图9
A．逐渐增大 B．逐渐减小
C．先逐渐增大，后又减小 D．先逐渐减小，后又增大
答案　C
解析　对物体进行受力分析，如图所示，

将F进行正交分解，可得F1＝Fcos θ，F2＝Fsin θ.
在F较小时，物体不发生运动，摩擦力f是静摩擦力，
其大小应为f＝F1＝Fcos θ.
所以F增大时，f也增大．在F较大时，物体发生了运动，静摩擦力变为滑动摩擦力，其大小为f′＝μN，
又由竖直方向受力平衡，
有N＋F2＝G，
所以N＝G－F2＝G－Fsin θ.
滑动摩擦力的大小f′＝μ(G－Fsin θ)，
所以当F增大时，f′减小．综上所述，C正确．
12.如图10所示，质量为30 kg的小孩坐在10 kg的雪橇上，大人用与水平方向成37°角斜向上的大小为100 N的拉力拉雪橇，使雪橇沿水平地面做匀速直线运动．g取10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8.求：

图10
(1)地面对雪橇的支持力大小；
(2)雪橇与水平地面间的动摩擦因数．
答案　(1)340 N　(2)
解析　(1)以小孩和雪橇整体为研究对象，受力分析如图所示，根据共点力平衡条件知，

竖直方向上，有Fsin θ＋N＝mg
解得N＝mg－Fsin θ＝340 N
(2)根据共点力平衡条件知，
水平方向上，有Fcos θ－f＝0
滑动摩擦力f＝μN
联立解得μ＝.
13．倾角为θ的斜面上有一质量为m的木块，它们之间的动摩擦因数为μ，重力加速度为g.现用水平力F推动木块，如图11所示，使木块恰好沿斜面向上做匀速运动．若斜面始终保持静止，求水平推力F的大小．

图11
答案　
解析　木块受力情况如图所示，

将水平力F、重力沿斜面方向和垂直于斜面方向正交分解，由于木块处于平衡状态，根据共点力平衡的条件得
Fcos θ＝f＋mgsin θ，
N＝Fsin θ＋mgcos θ，
又f＝μN，
联立解得F＝.

14．(2020·淄博市期末)同学们都有过擦黑板的经历．如图12所示，一黑板擦(可视为质点)的质量为m＝0.2 kg，当手臂对黑板擦的作用力F＝10 N且F与黑板面所成角度为53°时，黑板擦恰好沿黑板表面缓慢竖直向上擦黑板．(取g＝10 m/s2，sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6)

图12
(1)求黑板擦与黑板间的动摩擦因数μ.
(2)若作用力F方向保持不变，当F多大时能完成向下缓慢擦黑板的任务？
答案　见解析
解析　(1)在黑板擦缓慢向上擦的过程中，以黑板擦为研究对象进行受力分析，则

水平方向：Fsin 53°＝N
竖直方向：Fcos 53°＝mg＋f
f＝μN
解得μ＝0.5.
(2)在黑板擦缓慢向下擦的过程中，以黑板擦为研究对象进行受力分析，则

水平方向：F′sin 53°＝N′
竖直方向：F′cos 53°＋f′＝mg
f′＝μN′
解得：F′＝2 N.