高中数学人教A版 (2019)必修 第一册3.4 函数的应用（一）第2课时学案

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册3.4 函数的应用（一）第2课时学案，共7页。


基础知识
知识点1 两角和的余弦公式
思考1：(1)你能说出公式C(α＋β)的特点吗？
(2)如何识记两角和与差的余弦公式？
提示：(1)公式左端为两角和的余弦，右端为角α，β的同名三角函数积的差，即和角余弦等于同名积之差．
(2)可简单记为“余余正正，符号反”，即展开后的两项分别为两角的余弦乘余弦、正弦乘正弦；展开前两角间的符号与展开后两项间的符号相反．
知识点2 两角和与差的正弦公式
思考2：如何记忆公式S(α＋β)，S(α－β)?
提示：记忆口诀：正余余正，符号相同．正余余正表示展开后的两项分别是两角的正弦乘余弦、余弦乘正弦；符号相同表示展开后两项之间的连接符号与展开前两角之间的连接符号相同，即两角和时用“＋”，两角差时用“－”．
基础自测
1．下列说法中正确的个数是( B )
①sin(α±β)＝sinαcsβ±csαsinβ对于任意角α，β均成立．
②不存在角α，β，使得sin(α－β)＝csαcsβ－sinαsinβ.
③sin(α＋β)＝sinα＋sinβ一定不成立．
A．0 B．1
C．2 D．3
[解析] ①正确，②③错误，故选B．
2．sin(30°＋45°)＝__eq \f(\r(2)＋\r(6),4)__.
[解析] sin(30°＋45°)＝sin30°cs45°＋cs30°·sin45°＝eq \f(1,2)×eq \f(\r(2),2)＋eq \f(\r(3),2)×eq \f(\r(2),2)＝eq \f(\r(2)＋\r(6),4).
3．cs55°cs5°－sin55°sin5°＝__eq \f(1,2)__.
[解析] 原式＝cs(55°＋5°)＝cs60°＝eq \f(1,2).
4．sin70°sin65°－sin20°sin25°＝__eq \f(\r(2),2)__.
[解析] 原式＝sin70°cs25°－cs70°sin25°
＝sin(70°－25°)＝sin45°＝eq \f(\r(2),2).
关键能力·攻重难
题型探究
题型一 给角求值
例1 化简下列各式：
(1)sin14°cs16°＋sin76°cs74°；
(2)sineq \f(π,12).
[解析] (1)sin14°cs16°＋sin76°cs74°
＝sin14°cs16°＋cs14°sin16°
＝sin(14°＋16°)＝sin30°＝eq \f(1,2).
(2)sineq \f(π,12)＝sin(eq \f(π,3)－eq \f(π,4))
＝sineq \f(π,3)cseq \f(π,4)－cseq \f(π,3)sineq \f(π,4).
＝eq \f(\r(3),2)×eq \f(\r(2),2)－eq \f(1,2)×eq \f(\r(2),2)＝eq \f(\r(6)－\r(2),4).
[归纳提升] 公式的巧妙运用
(1)顺用：如本题中的(2)；(2)逆用：如本题中的(1)；(3)变用：变用涉及两个方面，一个是公式本身的变用，如cs(α＋β)＋sinαsinβ＝csαcsβ，一个是角的变用，也称为角的拆分变换，如α＝(α＋β)－β，2α＝(α＋β)＋(α－β)等，从某种意义上来说，是一种整体思想的体现，如cs(α＋β)csβ＋sin(α＋β)sinβ＝cs[(α＋β)－β]＝csα.这些需要在平时的解题中多总结，多研究，多留心．
【对点练习】❶ 求下列各式的值：
(1)sin347°cs148°＋sin77°cs58°；
(2)eq \r(3)sineq \f(π,12)＋cseq \f(π,12).
[解析] (1)原式＝sin(360°－13°)cs(180°－32°)＋sin(90°－13°)cs(90°－32°)
＝sin13°cs32°＋cs13°sin32°
＝sin(13°＋32°)＝sin45°＝eq \f(\r(2),2).
(2)原式＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)sin\f(π,12)＋\f(1,2)cs\f(π,12)))
＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin\f(π,12)cs\f(π,6)＋sin\f(π,6)cs\f(π,12)))
＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,12)＋\f(π,6)))＝2sineq \f(π,4)＝eq \r(2).
题型二 给值求值
例2 (1)已知α为锐角，sinα＝eq \f(3,5)，β是第四象限角，csβ＝eq \f(4,5)，则sin(α＋β)＝__0__；
(2)已知eq \f(π,2)<β<α[分析] (1)先求出csα，sinβ的值，再代入公式S(α＋β)．
(2)由α、β的范围，确定α－β，α＋β的范围，求出sin(α－β)、cs(α＋β)的值，再由2α＝(α－β)＋(α＋β)变形求值．
[解析] (1)∵α为锐角，sinα＝eq \f(3,5)，∴csα＝eq \f(4,5).
∵β为第四象限角，csβ＝eq \f(4,5)，∴sinβ＝－eq \f(3,5)，
sin(α＋β)＝sinαcsβ＋csαsinβ＝eq \f(3,5)×eq \f(4,5)＋eq \f(4,5)×(－eq \f(3,5))＝0.
(2)因为eq \f(π,2)<β<α所以0<α－β又cs(α－β)＝eq \f(12,13)，sin(α＋β)＝－eq \f(3,5)，
所以sin(α－β)＝eq \r(1－cs2α－β)＝eq \r(1－\f(12,13)2)＝eq \f(5,13)，
cs(α＋β)＝－eq \r(1－sin2α＋β)＝－eq \r(1－－\f(3,5)2)＝－eq \f(4,5).
所以sin2α＝sin[(α－β)＋(α＋β)]
＝sin(α－β)cs(α＋β)＋cs(α－β)sin(α＋β)
＝eq \f(5,13)×(－eq \f(4,5))＋eq \f(12,13)×(－eq \f(3,5))＝－eq \f(56,65).
[归纳提升] (1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式．
(2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．
【对点练习】❷ (1)已知sinα＝eq \f(15,17)，α∈(eq \f(π,2)，π)，求sin(eq \f(π,3)－α)的值；
(2)若0<α[解析] (1)因为sinα＝eq \f(15,17)，α∈(eq \f(π,2)，π)，所以csα＝－eq \r(1－sin2α)＝－eq \r(1－\f(15,17)2)＝－eq \f(8,17).
所以sin(eq \f(π,3)－α)＝sineq \f(π,3)csα－cseq \f(π,3)sinα
＝eq \f(\r(3),2)×(－eq \f(8,17))－eq \f(1,2)×eq \f(15,17)＝－eq \f(15＋8\r(3),34).
(2)∵0<α∴sin(eq \f(π,4)＋α)＝eq \f(2\r(2),3)，
∵－eq \f(π,2)<β<0，∴eq \f(π,4)∴sin(eq \f(π,4)－eq \f(β,2))＝eq \f(\r(6),3).
cs(α＋eq \f(β,2))＝cs[(eq \f(π,4)＋α)－(eq \f(π,4)－eq \f(β,2))]
＝cs(eq \f(π,4)＋α)cs(eq \f(π,4)－eq \f(β,2))＋sin(eq \f(π,4)＋α)sin(eq \f(π,4)－eq \f(β,2))
＝eq \f(1,3)×eq \f(\r(3),3)＋eq \f(2\r(2),3)×eq \f(\r(6),3)＝eq \f(5\r(3),9).
题型三 给值求角
例3 已知sinα＝eq \f(\r(5),5)，sinβ＝eq \f(\r(10),10)，且α、β为锐角，求α＋β的值．
[解析] ∵α、β为锐角，sinα＝eq \f(\r(5),5)，sinβ＝eq \f(\r(10),10)，
∴csα＝eq \r(1－sin2α)＝eq \f(2\r(5),5)，csβ＝eq \r(1－sin2β)＝eq \f(3\r(10),10)，
∴cs(α＋β)＝csαcsβ－sinαsinβ
＝eq \f(2\r(5),5)×eq \f(3\r(10),10)－eq \f(\r(5),5)×eq \f(\r(10),10)＝eq \f(\r(2),2)，
∵α、β为锐角，
∴0°<α＋β<180°，
∴α＋β＝45°.
[归纳提升] 本题型本质上仍等同于给值求值问题，但需要根据所给条件，选择某种适当的三角函数，求出所求角的三角函数值．在选择函数时应尽量避免一值多角的情况，所以若角的范围是(0，eq \f(π,2))，(π，eq \f(3π,2))，则选正弦函数、余弦函数皆可；若角的范围是(－eq \f(π,2)，eq \f(π,2))，则最好选正弦函数；若角的范围是(0，π)，则最好选余弦函数．
【对点练习】❸ 已知csα＝eq \f(1,7)，cs(α＋β)＝－eq \f(11,14)，且α，β∈(0，eq \f(π,2))，求β的值．
[解析] ∵α，β∈(0，eq \f(π,2))，∴0<α＋β<π，
sinα＝eq \r(1－\f(1,49))＝eq \f(4\r(3),7)，sin(α＋β)＝eq \r(1－－\f(11,14)2)＝eq \f(5\r(3),14).
∴csβ＝cs[(α＋β)－α]＝cs(α＋β)csα＋sin(α＋β)·sinα＝－eq \f(11,14)×eq \f(1,7)＋eq \f(5\r(3),14)×eq \f(4\r(3),7)＝eq \f(1,2)，
∴β＝eq \f(π,3).
题型四 辅助角公式及其应用
例4 (1)eq \r(2)cseq \f(π,12)＋eq \r(6)sineq \f(π,12)的值是( B )
A．eq \r(2) B．2
C．2eq \r(2) D．eq \f(\r(2),2)
(2)y＝csx＋cs(x＋eq \f(π,3))的最大值是__eq \r(3)__.
[解析] (1)原式＝2eq \r(2)(eq \f(1,2)cseq \f(π,12)＋eq \f(\r(3),2)sineq \f(π,12))
＝2eq \r(2)sin(eq \f(π,12)＋eq \f(π,6))＝2eq \r(2)sineq \f(π,4)＝2，故选B．
(2)y＝csx＋csx·eq \f(1,2)－sinx·eq \f(\r(3),2)＝eq \f(3,2)csx－eq \f(\r(3),2)sinx
＝eq \r(3)(eq \f(\r(3),2)csx－eq \f(1,2)sinx)＝－eq \r(3)(eq \f(1,2)sinx－eq \f(\r(3),2)csx)
＝－eq \r(3)sin(x－eq \f(π,3))，
当x＝2kπ－eq \f(π,6)时，(k∈Z)，ymax＝eq \r(3).
[归纳提升] (1)公式形式：公式asinα＋bcsα＝eq \r(a2＋b2)sin(α＋φ)(或asinα＋bcsα＝eq \r(a2＋b2)cs(α－φ))将形如asinα＋bcsα(a，b不同时为零)的三角函数式收缩为同一个角的一种三角函数式．
(2)形式选择：化为正弦还是余弦，要看具体条件而定，一般要求变形后角α的系数为正，这样更有利于研究函数的性质．
【对点练习】❹ sin 15°＋sin 75°的值是__eq \f(\r(6),2)__.
[解析] (方法一)sin 15°＋sin 75°＝sin 15°＋cs 15°＝eq \r(2)(eq \f(\r(2),2)sin 15°＋eq \f(\r(2),2)cs 15°)＝eq \r(2)(sin 15°cs 45°＋cs 15°sin 45°)＝eq \r(2)sin(15°＋45°)＝eq \f(\r(6),2).
(方法二)sin 15°＋sin 75°＝sin(45°－30°)＋sin(45°＋30°)＝2sin 45°cs 30°＝eq \f(\r(6),2).
课堂检测·固双基
1．计算sin43°cs13°－cs43°sin13°的结果等于( A )
A．eq \f(1,2)B．eq \f(\r(3),3)
C．eq \f(\r(2),2)D．eq \f(\r(3),2)
[解析] ∵sin43°cs13°－cs43°sin13°＝sin(43°－13°)＝sin30°＝eq \f(1,2).∴选A．
2．sin75°cs30°－sin15°sin150°的值等于( C )
A．1B．eq \f(1,2)
C．eq \f(\r(2),2)D．eq \f(\r(3),2)
[解析] 原式＝cs15°cs30°－sin15°sin30°
＝cs(15°＋30°)＝cs45°＝eq \f(\r(2),2).
3.eq \f(1,2)csα－eq \f(\r(3),2)sinα可化为( A )
A．sin(eq \f(π,6)－α)B．sin(eq \f(π,3)－α)
C．sin(eq \f(π,6)＋α)D．sin(eq \f(π,3)＋α)
4．设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，规定a·b＝x1x2＋y1y2.已知a＝(cs40°，sin40°)，b＝(sin20°，cs20°)，则a·b等于( B )
A．1B．eq \f(\r(3),2)
C．eq \f(1,2)D．eq \f(\r(2),2)
5．已知sin(α－β)csα－cs(β－α)sinα＝eq \f(3,5)，β是第三象限角，求sin(β＋eq \f(5π,4))的值．
[解析] ∵sin(α－β)csα－cs(α－β)sinα＝eq \f(3,5)，
∴sin[(α－β)－α]＝eq \f(3,5)，
∴sinβ＝－eq \f(3,5).
又β是第三象限角，∴csβ＝－eq \f(4,5).
因此sin(β＋eq \f(5π,4))＝sinβcseq \f(5π,4)＋csβsineq \f(5π,4)＝(－eq \f(3,5))×(－eq \f(\r(2),2))＋(－eq \f(4,5))×(－eq \f(\r(2),2))＝eq \f(7\r(2),10).
简记符号
公式
使用条件
C(α＋β)
cs(α＋β)＝__csαcsβ－sinαsinβ__
α，β∈R
名称
简记符号
公式
使用条件
两角和的正弦公式
__S(α＋β)__
sin(α＋β)＝sin αcs β＋cs αsin β
α，β∈R
两角差的正弦公式
__S(α－β)__
sin(α－β)＝sin αcs β－cs αsin β
α，β∈R