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高中数学人教A版 (2019)必修 第一册3.4 函数的应用（一）优秀学案设计
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这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册3.4 函数的应用（一）优秀学案设计，共13页。
学习目标 初步体会一次函数、二次函数、幂函数、分段函数模型的广泛应用，能运用函数思想处理现实生活中的简单应用问题．
知识点一 一次函数模型
形如y＝kx＋b的函数为一次函数模型，其中k≠0.
知识点二 二次函数模型
1．一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
2．顶点式：y＝a(x－h)2＋k(a≠0)．
3．两点式：y＝a(x－m)(x－n)(a≠0)．
知识点三 幂函数模型
1．解析式：y＝axα＋b(a，b，α为常数，a≠0)．
2．单调性：其增长情况由xα中的α的取值而定．
预习小测 自我检验
1．小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间，后为了赶时间加快速度行驶．与以上事件吻合得最好的图象是( )
答案 C
解析 由题意，先匀速行驶，位移时间图象应是直线，停留一段时间，应该是平行于x轴的一段线段，之后加速，应该是上凸的曲线．
2．随着海拔高度的升高，大气压强下降，空气中的含氧量也随之下降，且含氧量y(g/m3)与大气压强x(kPa)成正比例函数关系．当x＝36 kPa时，y＝108 g/m3，则y与x的函数关系式为( )
A．y＝3x(x≥0) B．y＝3x
C．y＝eq \f(1,3)x(x≥0) D．y＝eq \f(1,3)x
答案 A
一、一次函数模型的应用实例
例1 某报刊亭从报社买进报纸的价格是每份0.24元，卖出的价格是每份0.40元，卖不掉的报纸可以以每份0.08元的价格退回报社．在一个月(以30天计算)里，有20天每天可卖出400份，其余10天每天只能卖出250份，但每天从报社买进的报纸份数必须相同，试问报刊亭摊主应该每天从报社买进多少份报纸，才能使每月所获利润最大．
解 设每天从报社买进x份(250≤x≤400)报纸；
每月所获利润是y元，则每月售出报纸共(20x＋10×250)份；
每月退回报社报纸共10×(x－250)份．
依题意得，y＝(0.40－0.24)×(20x＋10×250)－(0.24－0.08)×10(x－250)．
即y＝0.16(20x＋2 500)－0.16(10x－2 500)，
化简得y＝1.6x＋800，其中250≤x≤400，
因为此一次函数(y＝kx＋b，k≠0)的k＝1.6>0，
所以y是一个单调增函数，再由250≤x≤400知，
当x＝400时，y取得最大值，
此时y＝1.6×400＋800＝1 440(元)．
所以买进400份所获利润最大，获利1 440元．
反思感悟 一次函数模型的特点和求解方法
(1)一次函数模型的突出特点是其图象是一条直线．
(2)解一次函数模型时，注意待定系数法的应用，主要步骤是：设元、列式、求解．
跟踪训练1 某长途汽车客运公司规定旅客可随身携带一定质量的行李．若超过规定的质量，则需购买行李票，行李费用y(元)是行李质量x(kg)的一次函数，其图象如图所示．
(1)根据图象数据，求y与x之间的函数关系式．
(2)问旅客最多可免费携带行李的质量是多少？
解 (1)设y与x之间的函数关系式为y＝kx＋b.
由图象可知，当x＝60时，y＝6；
当x＝80时，y＝10.
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(60k＋b＝6 ，,80k＋b＝10.))解得k＝eq \f(1,5)，b＝－6.
所以y与x之间的函数关系式为y＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(1,5)x－6，x>30，,0，x≤30.))
(2)根据题意，当y＝0时，x≤30.
所以旅客最多可免费携带行李的质量为30 kg.
二、二次函数模型的应用实例
例2 牧场中羊群的最大蓄养量为m只，为保证羊群的生长空间，实际蓄养量不能达到最大蓄养量，必须留出适当的空闲率．已知羊群的年增长量y只和实际蓄养量x只与空闲率的乘积成正比，比例系数为k(k>0)．(空闲率指空闲量与最大蓄养量的比值)
(1)写出y关于x的函数关系式，并指出这个函数的定义域；
(2)求羊群年增长量的最大值；
(3)当羊群的年增长量达到最大值时，求k的取值范围．
解 (1)根据题意，由于最大蓄养量为m只，实际蓄养量为x只，
则蓄养率为eq \f(x,m)，故空闲率为1－eq \f(x,m)，
由此可得y＝kxeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(x,m)))(0
(2)对原二次函数配方，得y＝－eq \f(k,m)(x2－mx)
＝－eq \f(k,m)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(m,2)))2＋eq \f(km,4).
即当x＝eq \f(m,2)时，y取得最大值eq \f(km,4).
(3)由题意知为给羊群留有一定的生长空间，
则有实际蓄养量与年增长量的和小于最大蓄养量，
即0
因为当x＝eq \f(m,2)时，ymax＝eq \f(km,4)，
所以0
解得－2
又因为k>0，所以0
反思感悟 利用二次函数求最值的方法及注意点
(1)方法：根据实际问题建立函数模型解析式后，可利用配方法、判别式法、换元法利用函数的单调性等方法求最值，从而解决实际问题中的利润最大、用料最省等最值问题．
(2)注意：取得最值的自变量与实际意义是否相符．
跟踪训练2 某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为200元，每桶水的进价是5元，销售单价与日均销售量的关系如表所示.
请根据以上数据作出分析，这个经营部怎样定价才能获得最大利润？
解 由表中数据可知，销售单价每增加1元，日均销售量就减少40桶，
设在进价的基础上增加x元后，日均销售利润为y元，
在此情况下的日均销售量为480－40(x－1)＝(520－40x)(桶)．
令520－40x>0，则0
y＝(520－40x)x－200＝－40x2＋520x－200
＝－40(x－6.5)2＋1 490,0
易知，当x＝6.5时，y有最大值．
所以只需将销售单价定为11.5元，就可获得最大利润．
三、幂函数与分段函数模型
例3 (1)某药厂研制出一种新型药剂，投放市场后其广告投入x(万元)与药品利润y(万元)存在的关系为y＝xα(α为常数)，其中x不超过5万元，已知去年投入广告费用为3万元时，药品利润为27万元，若今年广告费用投入5万元，预计今年药品利润为________万元．
答案 125
解析 由已知投入广告费用为3万元时，药品利润为27万元，代入y＝xα中，即3α＝27，解得α＝3，故函数解析式为y＝x3，所以当x＝5时，y＝125.
(2)手机上网每月使用量在500分钟以下(包括500分钟)、60分钟以上(不包括60分钟)按30元计费，超过500分钟的部分按0.15元/分钟计费，假如上网时间过短，使用量在1分钟以下不计费，在1分钟以上(包括1分钟)按0.5元/分钟计费，手机上网不收通话费和漫游费．
①12月份小王手机上网使用量20小时，要付多少钱？
②小舟10月份付了90元的手机上网费，那么他上网时间是多少？
③电脑上网费包月60元/月，根据时间长短，你会选择哪种方式上网呢？
解 设上网时间为x分钟，由已知条件知所付费用y关于x的函数解析式为y＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(0，0≤x<1，,0.5x，1≤x≤60，,30，60500.))
①当x＝20×60＝1 200，即x>500时，应付y＝30＋0.15×(1 200－500)＝135(元)．
②90元已超过30元，所以上网时间超过500分钟，由30＋0.15(x－500)＝90可得，上网时间为900分钟．
③令60＝30＋0.15(x－500)，
解得x＝700.
故当一个月经常上网(一个月使用量超过700分钟)时选择电脑上网，而当短时间上网(一个月使用量不超过700分钟)时选择手机上网．
反思感悟 (1)处理幂函数模型的步骤
①阅读理解、认真审题．
②用数学符号表示相关量，列出函数解析式．
③根据幂函数的性质推导运算，求得结果．
④转化成具体问题，给出解答．
(2)应用分段函数时的三个注意点
①分段函数的“段”一定要分合理，不重不漏．
②分段函数的定义域为对应每一段自变量取值范围的并集．
③分段函数的值域求法为：逐段求函数值的范围，最后比较再下结论．
跟踪训练3 经市场调查，某种商品在过去50天的销售量和价格均为销售时间t(天)的函数，且销售量近似地满足f(t)＝－2t＋200(1≤t≤50，t∈N)，前30天价格为g(t)＝eq \f(1,2)t＋30(1≤t≤30，t∈N)，后20天价格为g(t)＝45(31≤t≤50，t∈N)．
(1)写出该种商品的日销售额S与时间t的函数关系；
(2)求日销售额S的最大值．
解 (1)根据题意得
S＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－2t＋200\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)t＋30))，1≤t≤30，t∈N，,45－2t＋200，31≤t≤50，t∈N，))
即S＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－t2＋40t＋6 000，1≤t≤30，t∈N，,－90t＋9 000，31≤t≤50，t∈N.))
(2)①当1≤t≤30，t∈N时，S＝－(t－20)2＋6 400，
当t＝20时，S的最大值为6 400.
②当31≤t≤50，t∈N时，S＝－90t＋9 000为减函数，
当t＝31时，S的最大值是6 210.
因为6 210<6 400，
所以当t＝20时，日销售额S有最大值6 400.
1．某厂日产手套总成本y(元)与手套日产量x(副)的函数解析式为y＝5x＋4 000，而手套出厂价格为每副10元，则该厂为了不亏本，日产手套至少为( )
A．200副 B．400副
C．600副 D．800副
答案 D
解析 每天的利润W(x)＝10x－y
＝10x－(5x＋4 000)
＝5x－4 000.
令W(x)≥0，∴5x－4 000≥0，解得x≥800.
所以为了不亏本，日产手套至少为800副．
2．一辆汽车在某段路程中的行驶速度v与时间t的关系图象如图所示，则当t＝2时，汽车已行驶的路程为( )
A．100 km B．125 km
C．150 km D．225 km
答案 C
解析 t＝2时，汽车行驶的路为
s＝50×0.5＋75×1＋100×0.5＝25＋75＋50
＝150(km)．
3．按复利计算利率的储蓄，存入银行5万元，年息为6%，利息税为20%,4年后支取，可得利息税为人民币( )
A．5(1＋0.06)4万元
B．(5＋0.06)4万元
C．[(1＋0.06)4－1]万元
D．[(1＋0.06)3－1]万元
答案 C
解析 由已知4年利息和为5×(1＋6%)4－5，扣除20%的利息税，
即得利息税为人民币5×[(1＋6%)4－1]×20%＝(1＋6%)4－1＝(1＋0.06)4－1.
4．用长度为24 m的材料围成一矩形场地，并且中间加两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为______ m.
答案 3
解析 设隔墙的长为x m，矩形面积为S m2，
则S＝x·eq \f(24－4x,2)＝x(12－2x)＝－2x2＋12x
＝－2(x－3)2＋18,0
所以当x＝3时，S有最大值为18.
5．某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本y(万元)与年产量x(吨)之间的函数关系式可以近似地表示为y＝eq \f(x2,5)－48x＋8 000，已知此生产线年产量最大为210吨．若每吨产品平均出厂价为40万元，那么当年产量为多少吨时，可以获得最大利润？最大利润是多少？
解 设可获得总利润为R(x)万元，
则R(x)＝40x－y＝40x－eq \f(x2,5)＋48x－8 000
＝－eq \f(x2,5)＋88x－8 000
＝－eq \f(1,5)(x－220)2＋1 680,0≤x≤210.
∵R(x)在[0,210]上是增函数，
∴当x＝210时，
R(x)max＝－eq \f(1,5)(210－220)2＋1 680＝1 660(万元)．
∴年产量为210吨时，可获得最大利润1 660万元．
1．知识清单：实际问题中四种函数模型：一次函数模型，二次函数模型，幂函数模型，分段函数模型．
2．方法归纳：
解函数应用题的基本步骤：审题，建模，求模，还原．
3．常见误区：函数的实际应用问题易忽视函数的定义域．
1．据调查，某自行车存车处在某星期日的存车量为2 000辆次，其中变速车存车费是每辆一次0.8元，普通车存车费是每辆一次0.5元，若普通车存车数为x辆次，存车费总收入为y元，则y关于x的函数关系式是( )
A．y＝0.3x＋800(0≤x≤2 000，x∈N*)
B．y＝0.3x＋1 600(0≤x≤2 000，x∈N*)
C．y＝－0.3x＋800(0≤x≤2 000，x∈N*)
D．y＝－0.3x＋1 600(0≤x≤2 000，x∈N*)
答案 D
解析 由题意知，变速车存车数为(2 000－x)辆次，
则总收入y＝0.5x＋(2 000－x)×0.8
＝0.5x＋1 600－0.8x
＝－0.3x＋1 600(0≤x≤2 000，x∈N*)．
2．一种新型电子产品计划投产两年后，使成本降36%，那么平均每年应降低成本( )
A．18% B．20%
C．24% D．36%
答案 B
解析 设平均每年降低成本x，
则(1－x)2＝0.64，得x＝0.2＝20%.
3．某公司市场营销人员的个人月收入与其每月的销售量成一次函数关系，其图象如图所示，由图中给出的信息可知，营销人员没有销售量的收入是( )
A．310元 B．300元
C．290元 D．280元
答案 B
解析 设y＝kx＋b(k≠0)，代入(1,800)和(2,1 300)，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(k＋b＝800，,2k＋b＝1 300，))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(k＝500，,b＝300.))
所以y＝500x＋300，当x＝0时，y＝300.
4．某公司招聘员工，面试人数按拟录用人数分段计算，计算公式为y＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(4x，1≤x<10，x∈N*，,2x＋10，10≤x<100，x∈N*，,1.5x，x≥100，x∈N*.))其中，x代表拟录用人数，y代表面试人数，若应聘的面试人数为60，则该公司拟录用人数为( )
A．15 B．40 C．25 D．130
答案 C
解析 令y＝60，若4x＝60，
则x＝15>10，不合题意；
若2x＋10＝60，则x＝25，满足题意；
若1.5x＝60，
则x＝40<100，不合题意，
故拟录用人数为25.
5．某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现，这种商品每天的销量m(件)与售价x(元)满足一次函数：m＝162－3x，若要每天获得最大的销售利润，每件商品的售价应定为( )
A．30元 B．42元
C．54元 D．越高越好
答案 B
解析 设当每件商品的售价为x元时，每天获得的销售利润为y元．
由题意得，y＝m(x－30)＝(x－30)(162－3x)．
上式配方得y＝－3(x－42)2＋432.
所以当x＝42时，利润最大．
6．生产某机器的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式是y＝x2－75x，若每台机器售价为25万元，则该厂获利润最大时应生产机器________台．
答案 50
解析 设安排生产x台，则获得利润
f(x)＝25x－y＝－x2＋100x
＝－(x－50)2＋2 500.
故当x＝50台时，获利润最大．
7．甲同学家到乙同学家的途中有一公园，甲同学家到公园的距离与乙同学家到公园的距离都是2 km.如图表示甲同学从家出发到乙同学家经过的路程y(km)与时间x(min)的关系，其中甲在公园休息的时间是10 min，那么y＝f(x)的解析式为________________．
答案 y＝f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(1,15)x，0≤x≤30，,2，30
解析 由题图知所求函数是一个分段函数，且各段均是直线，可用待定系数法求得
y＝f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(1,15)x，0≤x≤30，,2，30
8．某电脑公司2019年的各项经营收入中，经营电脑配件的收入为400万元，占全年经营总收入的40%.该公司预计2021年经营总收入要达到1 690万元，且计划从2019年到2021年每年经营总收入的年增长率相同，则2020年预计经营总收入为________万元．
答案 1 300
解析 设从2019年到2021年每年经营总收入的年增长率为x.
由题意，得2019年经营总收入为eq \f(400,40%)＝1 000(万元)，
则有1 000(1＋x)2＝1 690.
解得x＝0.3，
故2020年预计经营总收入为
1 000(1＋0.3)＝1 300(万元)．
9．某游乐场每天的盈利额y元与售出的门票张数x之间的函数关系如图所示，试由图象解决下列问题：
(1)求y关于x的函数解析式；
(2)要使该游乐场每天的盈利额超过1 000元，每天至少卖出多少张门票？
解 (1)由图象知，当x∈[0,200]时，可设y＝kx＋b，
代入点(0，－1 000)和(200,1 000)，
解得k＝10，b＝－1 000，
从而y＝10x－1 000，x∈[0,200]．
当x∈(200,300]时，代入点(200,500)和(300,2 000)，
解得k＝15，b＝－2 500，x∈(200,300]．
从而y＝15x－2 500，
所以y＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(10x－1 000，x∈[0，200]，,15x－2 500，x∈200，300].))
(2)每天的盈利额超过1 000元，则x∈(200,300]，
由15x－2 500>1 000得，x>eq \f(700,3)，
故每天至少需要卖出234张门票．
10．某电脑公司在甲、乙两地各有一个分公司，甲分公司有电脑6台，乙分公司现有同一型号的电脑12台．现A地某单位向该公司购买该型号的电脑10台，B地某单位向该公司购买该型号的电脑8台．已知从甲地运往A，B两地每台电脑的运费分别是40元和30元，从乙地运往A，B两地每台电脑的运费分别是80元和50元．
(1)设甲地调运x台至B地，该公司运往A，B两地的总运费为y元，求y关于x的函数解析式；
(2)若总运费不超过1 000元，问能有几种调运方案？
解 (1)甲地调运x台到B地，
则剩下(6－x)台电脑调运到A地；
乙地应调运(8－x)台电脑至B地，运往A地12－(8－x)＝(x＋4)台电脑(0≤x≤6，x∈N)，
则总运费y＝30x＋40(6－x)＋50(8－x)＋80(x＋4)＝20x＋960，
所以y＝20x＋960(x∈N，且0≤x≤6)．
(2)若使y≤1 000，
即20x＋960≤1 000，得x≤2.
又0≤x≤6，x∈N，
所以0≤x≤2，x∈N.
所以x＝0,1,2，即有3种调运方案．
11．一水池有两个进水口，一个出水口，每个水口的进、出水速度如图甲、乙所示．某天0时到6时，该水池的蓄水量如图丙所示．
给出以下3个论断：
①0点到3点只进水不出水；
②3点到4点不进水只出水；
③4点到6点不进水不出水．
则一定正确的是( )
A．① B．①②
C．①③ D．①②③
答案 A
解析 由甲乙两图知，出水的速度是进水的2倍，所以0点到3点只进水不出水，3点到4点水量减少，则一个进水口进水，另一个关闭，出水口出水；4点到6点水量不变，可能是不进水不出水或两个进水口进水，一个出水口出水，所以只有①正确，故选A.
12．某种电热水器的水箱盛满水是200升，加热到一定温度可浴用．浴用时，已知每分钟放水34升，在放水的同时注水，t分钟注水2t2升，当水箱内水量达到最小值时，放水自动停止．现假定每人洗浴用水65升，则该热水器一次至多可供几人洗澡？( )
A．3人 B．4人
C．5人 D．6人
答案 B
解析 水箱内水量y＝200＋2t2－34t，
当t＝eq \f(17,2)时，y有最小值，
此时共放水34×eq \f(17,2)＝289(升)，eq \f(289,65)≈4.4，
故至多可供4人洗澡．
13.某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料，如图所示，为降低消耗，开源节流，现要从这些边角料上截取矩形铁片(如图中阴影部分)备用，当截取的矩形面积最大时，矩形的两边长x，y应分别为________．
答案 15,12
解析 由题干图知x，y满足关系式eq \f(x,20)＝eq \f(24－y,16)，
即y＝24－eq \f(4,5)x，
矩形的面积S＝xy＝xeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(24－\f(4,5)x))＝－eq \f(4,5)(x－15)2＋180，
故x＝15，y＝12时，S取最大值．
14．某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为3千米(不超过3千米按起步价付费)；超过3千米但不超过8千米时，超过部分按每千米2.15元收费；超过8千米时，超过部分按每千米2.85元收费，另每次乘坐需付燃油附加费1元．若某人乘坐出租车行驶了5.6千米，则需付车费________元，若某人乘坐一次出租车付费22.6元，则此出租车行驶了________千米．
答案 14.59 9
解析 设出租车行驶x千米时，付费y元，
则y＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(9，08，))
当x＝5.6时，y＝8＋2.15×2.6＋1＝14.59(元)．
由y＝22.6，知x>8，
由8＋2.15×5＋2.85(x－8)＋1＝22.6，
解得x＝9.
15．某工厂生产某产品x吨所需费用为P元，而卖出x吨的价格为每吨Q元，已知P＝1 000＋5x＋eq \f(1,10)x2，Q＝a＋eq \f(x,b)，若生产出的产品能全部卖出，且当产量为150吨时利润最大，此时每吨的价格为40元，则有( )
A．a＝45，b＝－30 B．a＝30，b＝－45
C．a＝－30，b＝45 D．a＝－45，b＝－30
答案 A
解析 设生产x吨产品全部卖出，获利润为y元，
则y＝xQ－P＝xeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a＋\f(x,b)))－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1 000＋5x＋\f(1,10)x2))
＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,b)－\f(1,10)))x2＋(a－5)x－1 000(x>0)．
由题意知，当x＝150时，y取最大值，此时Q＝40.
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－\f(a－5,2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,b)－\f(1,10))))＝150，,a＋\f(150,b)＝40，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝45，,b＝－30.))
16．国庆期间，某旅行社组团去风景区旅游，若旅行团人数在30人或30人以下，飞机票价格为900元；若旅行团人数多于30人，则给予优惠：每多1人，飞机票价格就减少10元，直到达到规定人数75人为止．旅行团乘飞机，旅行社需付给航空公司包机费15 000元．
(1)写出飞机票的价格关于人数的函数；
(2)旅行团人数为多少时，旅行社可获得最大利润？
解 (1)设旅行团人数为x，飞机票价格为y元，
则y＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(900，0
即y＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(900，0
(2)设旅行社获利S元，
则S＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(900x－15 000，0
即S＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(900x－15 000，0
因为S＝900x－15 000在区间(0,30]上单调递增，
当x＝30时，S取最大值12 000.
又S＝－10(x－60)2＋21 000在区间(30,75]上的对称轴为x＝60，
当x＝60时，S取最大值21 000.
故当x＝60时，旅行社可获得最大利润．销售单价/元
6
7
8
9
10
11
12
日均销售量/桶
480
440
400
360
320
280
240
学习目标 初步体会一次函数、二次函数、幂函数、分段函数模型的广泛应用，能运用函数思想处理现实生活中的简单应用问题．
知识点一 一次函数模型
形如y＝kx＋b的函数为一次函数模型，其中k≠0.
知识点二 二次函数模型
1．一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
2．顶点式：y＝a(x－h)2＋k(a≠0)．
3．两点式：y＝a(x－m)(x－n)(a≠0)．
知识点三 幂函数模型
1．解析式：y＝axα＋b(a，b，α为常数，a≠0)．
2．单调性：其增长情况由xα中的α的取值而定．
预习小测 自我检验
1．小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间，后为了赶时间加快速度行驶．与以上事件吻合得最好的图象是( )
答案 C
解析 由题意，先匀速行驶，位移时间图象应是直线，停留一段时间，应该是平行于x轴的一段线段，之后加速，应该是上凸的曲线．
2．随着海拔高度的升高，大气压强下降，空气中的含氧量也随之下降，且含氧量y(g/m3)与大气压强x(kPa)成正比例函数关系．当x＝36 kPa时，y＝108 g/m3，则y与x的函数关系式为( )
A．y＝3x(x≥0) B．y＝3x
C．y＝eq \f(1,3)x(x≥0) D．y＝eq \f(1,3)x
答案 A
一、一次函数模型的应用实例
例1 某报刊亭从报社买进报纸的价格是每份0.24元，卖出的价格是每份0.40元，卖不掉的报纸可以以每份0.08元的价格退回报社．在一个月(以30天计算)里，有20天每天可卖出400份，其余10天每天只能卖出250份，但每天从报社买进的报纸份数必须相同，试问报刊亭摊主应该每天从报社买进多少份报纸，才能使每月所获利润最大．
解 设每天从报社买进x份(250≤x≤400)报纸；
每月所获利润是y元，则每月售出报纸共(20x＋10×250)份；
每月退回报社报纸共10×(x－250)份．
依题意得，y＝(0.40－0.24)×(20x＋10×250)－(0.24－0.08)×10(x－250)．
即y＝0.16(20x＋2 500)－0.16(10x－2 500)，
化简得y＝1.6x＋800，其中250≤x≤400，
因为此一次函数(y＝kx＋b，k≠0)的k＝1.6>0，
所以y是一个单调增函数，再由250≤x≤400知，
当x＝400时，y取得最大值，
此时y＝1.6×400＋800＝1 440(元)．
所以买进400份所获利润最大，获利1 440元．
反思感悟 一次函数模型的特点和求解方法
(1)一次函数模型的突出特点是其图象是一条直线．
(2)解一次函数模型时，注意待定系数法的应用，主要步骤是：设元、列式、求解．
跟踪训练1 某长途汽车客运公司规定旅客可随身携带一定质量的行李．若超过规定的质量，则需购买行李票，行李费用y(元)是行李质量x(kg)的一次函数，其图象如图所示．
(1)根据图象数据，求y与x之间的函数关系式．
(2)问旅客最多可免费携带行李的质量是多少？
解 (1)设y与x之间的函数关系式为y＝kx＋b.
由图象可知，当x＝60时，y＝6；
当x＝80时，y＝10.
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(60k＋b＝6 ，,80k＋b＝10.))解得k＝eq \f(1,5)，b＝－6.
所以y与x之间的函数关系式为y＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(1,5)x－6，x>30，,0，x≤30.))
(2)根据题意，当y＝0时，x≤30.
所以旅客最多可免费携带行李的质量为30 kg.
二、二次函数模型的应用实例
例2 牧场中羊群的最大蓄养量为m只，为保证羊群的生长空间，实际蓄养量不能达到最大蓄养量，必须留出适当的空闲率．已知羊群的年增长量y只和实际蓄养量x只与空闲率的乘积成正比，比例系数为k(k>0)．(空闲率指空闲量与最大蓄养量的比值)
(1)写出y关于x的函数关系式，并指出这个函数的定义域；
(2)求羊群年增长量的最大值；
(3)当羊群的年增长量达到最大值时，求k的取值范围．
解 (1)根据题意，由于最大蓄养量为m只，实际蓄养量为x只，
则蓄养率为eq \f(x,m)，故空闲率为1－eq \f(x,m)，
由此可得y＝kxeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(x,m)))(0
(2)对原二次函数配方，得y＝－eq \f(k,m)(x2－mx)
＝－eq \f(k,m)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(m,2)))2＋eq \f(km,4).
即当x＝eq \f(m,2)时，y取得最大值eq \f(km,4).
(3)由题意知为给羊群留有一定的生长空间，
则有实际蓄养量与年增长量的和小于最大蓄养量，
即0
因为当x＝eq \f(m,2)时，ymax＝eq \f(km,4)，
所以0
解得－2
又因为k>0，所以0
反思感悟 利用二次函数求最值的方法及注意点
(1)方法：根据实际问题建立函数模型解析式后，可利用配方法、判别式法、换元法利用函数的单调性等方法求最值，从而解决实际问题中的利润最大、用料最省等最值问题．
(2)注意：取得最值的自变量与实际意义是否相符．
跟踪训练2 某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为200元，每桶水的进价是5元，销售单价与日均销售量的关系如表所示.
请根据以上数据作出分析，这个经营部怎样定价才能获得最大利润？
解 由表中数据可知，销售单价每增加1元，日均销售量就减少40桶，
设在进价的基础上增加x元后，日均销售利润为y元，
在此情况下的日均销售量为480－40(x－1)＝(520－40x)(桶)．
令520－40x>0，则0
y＝(520－40x)x－200＝－40x2＋520x－200
＝－40(x－6.5)2＋1 490,0
易知，当x＝6.5时，y有最大值．
所以只需将销售单价定为11.5元，就可获得最大利润．
三、幂函数与分段函数模型
例3 (1)某药厂研制出一种新型药剂，投放市场后其广告投入x(万元)与药品利润y(万元)存在的关系为y＝xα(α为常数)，其中x不超过5万元，已知去年投入广告费用为3万元时，药品利润为27万元，若今年广告费用投入5万元，预计今年药品利润为________万元．
答案 125
解析 由已知投入广告费用为3万元时，药品利润为27万元，代入y＝xα中，即3α＝27，解得α＝3，故函数解析式为y＝x3，所以当x＝5时，y＝125.
(2)手机上网每月使用量在500分钟以下(包括500分钟)、60分钟以上(不包括60分钟)按30元计费，超过500分钟的部分按0.15元/分钟计费，假如上网时间过短，使用量在1分钟以下不计费，在1分钟以上(包括1分钟)按0.5元/分钟计费，手机上网不收通话费和漫游费．
①12月份小王手机上网使用量20小时，要付多少钱？
②小舟10月份付了90元的手机上网费，那么他上网时间是多少？
③电脑上网费包月60元/月，根据时间长短，你会选择哪种方式上网呢？
解 设上网时间为x分钟，由已知条件知所付费用y关于x的函数解析式为y＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(0，0≤x<1，,0.5x，1≤x≤60，,30，60
①当x＝20×60＝1 200，即x>500时，应付y＝30＋0.15×(1 200－500)＝135(元)．
②90元已超过30元，所以上网时间超过500分钟，由30＋0.15(x－500)＝90可得，上网时间为900分钟．
③令60＝30＋0.15(x－500)，
解得x＝700.
故当一个月经常上网(一个月使用量超过700分钟)时选择电脑上网，而当短时间上网(一个月使用量不超过700分钟)时选择手机上网．
反思感悟 (1)处理幂函数模型的步骤
①阅读理解、认真审题．
②用数学符号表示相关量，列出函数解析式．
③根据幂函数的性质推导运算，求得结果．
④转化成具体问题，给出解答．
(2)应用分段函数时的三个注意点
①分段函数的“段”一定要分合理，不重不漏．
②分段函数的定义域为对应每一段自变量取值范围的并集．
③分段函数的值域求法为：逐段求函数值的范围，最后比较再下结论．
跟踪训练3 经市场调查，某种商品在过去50天的销售量和价格均为销售时间t(天)的函数，且销售量近似地满足f(t)＝－2t＋200(1≤t≤50，t∈N)，前30天价格为g(t)＝eq \f(1,2)t＋30(1≤t≤30，t∈N)，后20天价格为g(t)＝45(31≤t≤50，t∈N)．
(1)写出该种商品的日销售额S与时间t的函数关系；
(2)求日销售额S的最大值．
解 (1)根据题意得
S＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－2t＋200\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)t＋30))，1≤t≤30，t∈N，,45－2t＋200，31≤t≤50，t∈N，))
即S＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－t2＋40t＋6 000，1≤t≤30，t∈N，,－90t＋9 000，31≤t≤50，t∈N.))
(2)①当1≤t≤30，t∈N时，S＝－(t－20)2＋6 400，
当t＝20时，S的最大值为6 400.
②当31≤t≤50，t∈N时，S＝－90t＋9 000为减函数，
当t＝31时，S的最大值是6 210.
因为6 210<6 400，
所以当t＝20时，日销售额S有最大值6 400.
1．某厂日产手套总成本y(元)与手套日产量x(副)的函数解析式为y＝5x＋4 000，而手套出厂价格为每副10元，则该厂为了不亏本，日产手套至少为( )
A．200副 B．400副
C．600副 D．800副
答案 D
解析 每天的利润W(x)＝10x－y
＝10x－(5x＋4 000)
＝5x－4 000.
令W(x)≥0，∴5x－4 000≥0，解得x≥800.
所以为了不亏本，日产手套至少为800副．
2．一辆汽车在某段路程中的行驶速度v与时间t的关系图象如图所示，则当t＝2时，汽车已行驶的路程为( )
A．100 km B．125 km
C．150 km D．225 km
答案 C
解析 t＝2时，汽车行驶的路为
s＝50×0.5＋75×1＋100×0.5＝25＋75＋50
＝150(km)．
3．按复利计算利率的储蓄，存入银行5万元，年息为6%，利息税为20%,4年后支取，可得利息税为人民币( )
A．5(1＋0.06)4万元
B．(5＋0.06)4万元
C．[(1＋0.06)4－1]万元
D．[(1＋0.06)3－1]万元
答案 C
解析 由已知4年利息和为5×(1＋6%)4－5，扣除20%的利息税，
即得利息税为人民币5×[(1＋6%)4－1]×20%＝(1＋6%)4－1＝(1＋0.06)4－1.
4．用长度为24 m的材料围成一矩形场地，并且中间加两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为______ m.
答案 3
解析 设隔墙的长为x m，矩形面积为S m2，
则S＝x·eq \f(24－4x,2)＝x(12－2x)＝－2x2＋12x
＝－2(x－3)2＋18,0
所以当x＝3时，S有最大值为18.
5．某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本y(万元)与年产量x(吨)之间的函数关系式可以近似地表示为y＝eq \f(x2,5)－48x＋8 000，已知此生产线年产量最大为210吨．若每吨产品平均出厂价为40万元，那么当年产量为多少吨时，可以获得最大利润？最大利润是多少？
解 设可获得总利润为R(x)万元，
则R(x)＝40x－y＝40x－eq \f(x2,5)＋48x－8 000
＝－eq \f(x2,5)＋88x－8 000
＝－eq \f(1,5)(x－220)2＋1 680,0≤x≤210.
∵R(x)在[0,210]上是增函数，
∴当x＝210时，
R(x)max＝－eq \f(1,5)(210－220)2＋1 680＝1 660(万元)．
∴年产量为210吨时，可获得最大利润1 660万元．
1．知识清单：实际问题中四种函数模型：一次函数模型，二次函数模型，幂函数模型，分段函数模型．
2．方法归纳：
解函数应用题的基本步骤：审题，建模，求模，还原．
3．常见误区：函数的实际应用问题易忽视函数的定义域．
1．据调查，某自行车存车处在某星期日的存车量为2 000辆次，其中变速车存车费是每辆一次0.8元，普通车存车费是每辆一次0.5元，若普通车存车数为x辆次，存车费总收入为y元，则y关于x的函数关系式是( )
A．y＝0.3x＋800(0≤x≤2 000，x∈N*)
B．y＝0.3x＋1 600(0≤x≤2 000，x∈N*)
C．y＝－0.3x＋800(0≤x≤2 000，x∈N*)
D．y＝－0.3x＋1 600(0≤x≤2 000，x∈N*)
答案 D
解析 由题意知，变速车存车数为(2 000－x)辆次，
则总收入y＝0.5x＋(2 000－x)×0.8
＝0.5x＋1 600－0.8x
＝－0.3x＋1 600(0≤x≤2 000，x∈N*)．
2．一种新型电子产品计划投产两年后，使成本降36%，那么平均每年应降低成本( )
A．18% B．20%
C．24% D．36%
答案 B
解析 设平均每年降低成本x，
则(1－x)2＝0.64，得x＝0.2＝20%.
3．某公司市场营销人员的个人月收入与其每月的销售量成一次函数关系，其图象如图所示，由图中给出的信息可知，营销人员没有销售量的收入是( )
A．310元 B．300元
C．290元 D．280元
答案 B
解析 设y＝kx＋b(k≠0)，代入(1,800)和(2,1 300)，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(k＋b＝800，,2k＋b＝1 300，))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(k＝500，,b＝300.))
所以y＝500x＋300，当x＝0时，y＝300.
4．某公司招聘员工，面试人数按拟录用人数分段计算，计算公式为y＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(4x，1≤x<10，x∈N*，,2x＋10，10≤x<100，x∈N*，,1.5x，x≥100，x∈N*.))其中，x代表拟录用人数，y代表面试人数，若应聘的面试人数为60，则该公司拟录用人数为( )
A．15 B．40 C．25 D．130
答案 C
解析 令y＝60，若4x＝60，
则x＝15>10，不合题意；
若2x＋10＝60，则x＝25，满足题意；
若1.5x＝60，
则x＝40<100，不合题意，
故拟录用人数为25.
5．某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现，这种商品每天的销量m(件)与售价x(元)满足一次函数：m＝162－3x，若要每天获得最大的销售利润，每件商品的售价应定为( )
A．30元 B．42元
C．54元 D．越高越好
答案 B
解析 设当每件商品的售价为x元时，每天获得的销售利润为y元．
由题意得，y＝m(x－30)＝(x－30)(162－3x)．
上式配方得y＝－3(x－42)2＋432.
所以当x＝42时，利润最大．
6．生产某机器的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式是y＝x2－75x，若每台机器售价为25万元，则该厂获利润最大时应生产机器________台．
答案 50
解析 设安排生产x台，则获得利润
f(x)＝25x－y＝－x2＋100x
＝－(x－50)2＋2 500.
故当x＝50台时，获利润最大．
7．甲同学家到乙同学家的途中有一公园，甲同学家到公园的距离与乙同学家到公园的距离都是2 km.如图表示甲同学从家出发到乙同学家经过的路程y(km)与时间x(min)的关系，其中甲在公园休息的时间是10 min，那么y＝f(x)的解析式为________________．
答案 y＝f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(1,15)x，0≤x≤30，,2，30
解析 由题图知所求函数是一个分段函数，且各段均是直线，可用待定系数法求得
y＝f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(1,15)x，0≤x≤30，,2，30
8．某电脑公司2019年的各项经营收入中，经营电脑配件的收入为400万元，占全年经营总收入的40%.该公司预计2021年经营总收入要达到1 690万元，且计划从2019年到2021年每年经营总收入的年增长率相同，则2020年预计经营总收入为________万元．
答案 1 300
解析 设从2019年到2021年每年经营总收入的年增长率为x.
由题意，得2019年经营总收入为eq \f(400,40%)＝1 000(万元)，
则有1 000(1＋x)2＝1 690.
解得x＝0.3，
故2020年预计经营总收入为
1 000(1＋0.3)＝1 300(万元)．
9．某游乐场每天的盈利额y元与售出的门票张数x之间的函数关系如图所示，试由图象解决下列问题：
(1)求y关于x的函数解析式；
(2)要使该游乐场每天的盈利额超过1 000元，每天至少卖出多少张门票？
解 (1)由图象知，当x∈[0,200]时，可设y＝kx＋b，
代入点(0，－1 000)和(200,1 000)，
解得k＝10，b＝－1 000，
从而y＝10x－1 000，x∈[0,200]．
当x∈(200,300]时，代入点(200,500)和(300,2 000)，
解得k＝15，b＝－2 500，x∈(200,300]．
从而y＝15x－2 500，
所以y＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(10x－1 000，x∈[0，200]，,15x－2 500，x∈200，300].))
(2)每天的盈利额超过1 000元，则x∈(200,300]，
由15x－2 500>1 000得，x>eq \f(700,3)，
故每天至少需要卖出234张门票．
10．某电脑公司在甲、乙两地各有一个分公司，甲分公司有电脑6台，乙分公司现有同一型号的电脑12台．现A地某单位向该公司购买该型号的电脑10台，B地某单位向该公司购买该型号的电脑8台．已知从甲地运往A，B两地每台电脑的运费分别是40元和30元，从乙地运往A，B两地每台电脑的运费分别是80元和50元．
(1)设甲地调运x台至B地，该公司运往A，B两地的总运费为y元，求y关于x的函数解析式；
(2)若总运费不超过1 000元，问能有几种调运方案？
解 (1)甲地调运x台到B地，
则剩下(6－x)台电脑调运到A地；
乙地应调运(8－x)台电脑至B地，运往A地12－(8－x)＝(x＋4)台电脑(0≤x≤6，x∈N)，
则总运费y＝30x＋40(6－x)＋50(8－x)＋80(x＋4)＝20x＋960，
所以y＝20x＋960(x∈N，且0≤x≤6)．
(2)若使y≤1 000，
即20x＋960≤1 000，得x≤2.
又0≤x≤6，x∈N，
所以0≤x≤2，x∈N.
所以x＝0,1,2，即有3种调运方案．
11．一水池有两个进水口，一个出水口，每个水口的进、出水速度如图甲、乙所示．某天0时到6时，该水池的蓄水量如图丙所示．
给出以下3个论断：
①0点到3点只进水不出水；
②3点到4点不进水只出水；
③4点到6点不进水不出水．
则一定正确的是( )
A．① B．①②
C．①③ D．①②③
答案 A
解析 由甲乙两图知，出水的速度是进水的2倍，所以0点到3点只进水不出水，3点到4点水量减少，则一个进水口进水，另一个关闭，出水口出水；4点到6点水量不变，可能是不进水不出水或两个进水口进水，一个出水口出水，所以只有①正确，故选A.
12．某种电热水器的水箱盛满水是200升，加热到一定温度可浴用．浴用时，已知每分钟放水34升，在放水的同时注水，t分钟注水2t2升，当水箱内水量达到最小值时，放水自动停止．现假定每人洗浴用水65升，则该热水器一次至多可供几人洗澡？( )
A．3人 B．4人
C．5人 D．6人
答案 B
解析 水箱内水量y＝200＋2t2－34t，
当t＝eq \f(17,2)时，y有最小值，
此时共放水34×eq \f(17,2)＝289(升)，eq \f(289,65)≈4.4，
故至多可供4人洗澡．
13.某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料，如图所示，为降低消耗，开源节流，现要从这些边角料上截取矩形铁片(如图中阴影部分)备用，当截取的矩形面积最大时，矩形的两边长x，y应分别为________．
答案 15,12
解析 由题干图知x，y满足关系式eq \f(x,20)＝eq \f(24－y,16)，
即y＝24－eq \f(4,5)x，
矩形的面积S＝xy＝xeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(24－\f(4,5)x))＝－eq \f(4,5)(x－15)2＋180，
故x＝15，y＝12时，S取最大值．
14．某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为3千米(不超过3千米按起步价付费)；超过3千米但不超过8千米时，超过部分按每千米2.15元收费；超过8千米时，超过部分按每千米2.85元收费，另每次乘坐需付燃油附加费1元．若某人乘坐出租车行驶了5.6千米，则需付车费________元，若某人乘坐一次出租车付费22.6元，则此出租车行驶了________千米．
答案 14.59 9
解析 设出租车行驶x千米时，付费y元，
则y＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(9，0
当x＝5.6时，y＝8＋2.15×2.6＋1＝14.59(元)．
由y＝22.6，知x>8，
由8＋2.15×5＋2.85(x－8)＋1＝22.6，
解得x＝9.
15．某工厂生产某产品x吨所需费用为P元，而卖出x吨的价格为每吨Q元，已知P＝1 000＋5x＋eq \f(1,10)x2，Q＝a＋eq \f(x,b)，若生产出的产品能全部卖出，且当产量为150吨时利润最大，此时每吨的价格为40元，则有( )
A．a＝45，b＝－30 B．a＝30，b＝－45
C．a＝－30，b＝45 D．a＝－45，b＝－30
答案 A
解析 设生产x吨产品全部卖出，获利润为y元，
则y＝xQ－P＝xeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a＋\f(x,b)))－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1 000＋5x＋\f(1,10)x2))
＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,b)－\f(1,10)))x2＋(a－5)x－1 000(x>0)．
由题意知，当x＝150时，y取最大值，此时Q＝40.
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－\f(a－5,2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,b)－\f(1,10))))＝150，,a＋\f(150,b)＝40，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝45，,b＝－30.))
16．国庆期间，某旅行社组团去风景区旅游，若旅行团人数在30人或30人以下，飞机票价格为900元；若旅行团人数多于30人，则给予优惠：每多1人，飞机票价格就减少10元，直到达到规定人数75人为止．旅行团乘飞机，旅行社需付给航空公司包机费15 000元．
(1)写出飞机票的价格关于人数的函数；
(2)旅行团人数为多少时，旅行社可获得最大利润？
解 (1)设旅行团人数为x，飞机票价格为y元，
则y＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(900，0
即y＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(900，0
(2)设旅行社获利S元，
则S＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(900x－15 000，0
即S＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(900x－15 000，0
因为S＝900x－15 000在区间(0,30]上单调递增，
当x＝30时，S取最大值12 000.
又S＝－10(x－60)2＋21 000在区间(30,75]上的对称轴为x＝60，
当x＝60时，S取最大值21 000.
故当x＝60时，旅行社可获得最大利润．销售单价/元
6
7
8
9
10
11
12
日均销售量/桶
480
440
400
360
320
280
240
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