人教版八年级上册14.3 因式分解综合与测试学案

整式乘法运算有哪些？

从上述等式的左边运算到右边，属于整式的乘法，从右边运算到等式的左边，属于什么呢？

一、基本概念

因式分解：把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也可称为将这个多项式分解因式．

因式分解与整式乘法互为逆变形：

式中可以代表单项式，也可以代表多项式，它是多项式中各项都含有的因式，称为公因式．

因式分解的常用方法：

提取公因式法、运用公式法、分组分解法、十字相乘法．

分解因式的一般步骤：

如果多项式的各项有公因式，应先提公因式；如果各项没有公因式，再看能否直接运用公式

十字相乘法分解，如还不能，就试用分组分解法或其它方法．

注意事项：①若不特别说明，分解因式的结果必须是每个因式在有理数范围内不能再分解为止；

②结果一定是乘积的形式；

③每一个因式都是整式；

④相同的因式的积要写成幂的形式．

在分解因式时，结果的形式要求：

①没有大括号和中括号；

②每个因式中不能含有同类项，如果有需要合并的同类项，合并后要注意能否再分解；

③单项式因式写在多项式因式的前面；

④每个因式第一项系数一般不为负数；

⑤形式相同的因式写成幂的形式．

二、提公因式法

提取公因式：如果多项式的各项有公因式，一般要将公因式提到括号外面．

确定公因式的方法：

系数——取多项式各项系数的最大公约数；

字母（或多项式因式）——取各项都含有的字母（或多项式因式）的最低次幂．

三、公式法

平方差公式：

①公式左边形式上是一个二项式，且两项的符号相反；

②每一项都可以化成某个数或式的平方形式；

③右边是这两个数或式的和与它们差的积，相当于两个一次二项式的积．

完全平方公式：

①左边相当于一个二次三项式；

②左边首末两项符号相同且均能写成某个数或式的完全平方式；

③左边中间一项是这两个数或式的积的倍，符号可正可负；

④右边是这两个数或式的和（或差）的完全平方，其和或差由左边中间一项的符号决定．

一些需要了解的公式：

四、十字相乘法

十字相乘法：一个二次三项式，若可以分解，则一定可以写成的形式，它

的系数可以写成，十字相乘法就是用试验的方法找出十字线两端的数，其实就是分解系数使得：，，，

注意：若不是一个平方数，那么二次三项式就不能在有理数范围内分解．

五、分组分解

分组分解法：将一个多项式分成二或三组，各组分别分解后，彼此又有公因式或者可以用公式，这就是分组分解法.

提公因式法

【例 1】判断下列各式从左到右的变形是否是分解因式，并说明理由．

（1）          （2）

（3）         （4）

【变式练习】下列分解因式正确的是（　　）

．          ．

．       ．

【例 2】分解因式：

（1）                （2）

 （3）          （4）

【变式练习】（1）          （2）

【例 3】观察下列各式：①；②；③；④；     ⑤；⑥．其中可以用提公因式法分解因式的有（   ）

．①②⑤     ．②④⑤      ．②④⑥   ．①②⑤⑥

【例 4】若，则所表示的代数式分解因式的结果是（　　）．

．              ．

．             ．

【例 5】若，则是（　　）．

．      ．      ．       ．

【例 6】分解因式：

（1）       （2）      （3）

【例 7】分解因式：

（1）    （2）

【变式练习】分解因式：

（1）     （2）

       （3）       （4）

【例 8】利用因式分解计算：（1）____________    （2）_____________ 

【变式练习】分解因式：

（1）（、为大于1的自然数）

（2）（为正整数）

【例 9】分解因式：

（1）

（2）

【变式练习】已知：，求的值．

公式法

【例 10】下列多项式中，能用公式法分解因式的是（   ）

．　　　   ．    ．         ．

【变式练习】下列各式中，不能用平方差公式分解因式的是（　　）

．    ．    ．      ．

【例 11】因式分解

（1）          （2）         （3）          （4）      

【例 12】若，且，则的值是____________

【例 13】小明在抄分解因式的题目时，不小心漏抄了的指数，他只知道该数为不大于的正整数，并且能利用平方差公式分解因式，他抄在作业本上的式子是（“”表示漏抄的指数），则这个指数可能的结果共有（　　）

．种         ．种           ．种        ．种

【例 14】的一个因式是（　　）

．        ．      ．      ．

【例 15】分解因式：

（1）          （2）

（3）     （4）

（5）

【例 16】在多项式①；②；③；④中，能用完全平方公式分解因式的有（　　）

．①②  ．②③     ．①④  ．②④

【例 17】因式分解，正确的是（　　）

．     ．        ．   ．

【例 18】分解因式：

（1）_____________           （2）______________

（3）______________          （4）_____________

【变式练习】因式分解

（1）                   （2）  

（3）                    （4）

【例 19】一次课堂练习，小明做了如下道因式分解题，你认为小明做得不够完整的一题是（　　）

．       ．

      ．       ．

【例 20】若，则__________．

【变式练习】分解因式：（1）        （2）

【例 21】分解因式：

十字相乘

【例 22】分解因式：（1）                   （2）                 

（3）                   （4）                 

【变式练习】分解因式：

（1）       （2）        （3）      （4）

【例 23】一个长方形的面积为，其长为，则宽为　  　．

【例 24】如果二次三项式在整数范围内可以分解因式，那么整数的值为        ．

【变式练习】多项式可分解为两个一次因式的积，整数的值是        ．

【例 25】分解因式：

（1）     （2）     （3）     （4）

【变式练习】分解因式：

（1）     （2）     （3）       

【例 26】分解因式：

（1）；            （2）

（3）

【例 27】分解因式：

（1）           （2）

（3）

分组分解

【例 28】因式分解：，正确的分组是（　　）

．           ．

．            ．

【变式练习】把分解因式结果正确的是（　　）

．        ．

 ．      ．

【例 29】分解因式：的结果是（　　）

 ．              ．

 ．           ．

【变式练习】分解因式：

【例 30】把多项式分解因式的结果是（　　）

．        ．

  ．        ．

【变式练习】若，则多项式的值为（　　）

．正数  ．负数         ．非负数  ．非正数

【例 31】分解因式：（1）                （2）

【变式练习】分解因式：（1）           （2）

【例 32】分解因式：

（1）     （2）      （3）

【变式练习】分解因式：

（1）    （2）   （3）

【例 33】分解因式：

【变式练习】分解因式：

【习题1】下列因式分解：①；②；

③；④.

其中正确的是_______.(只填序号)

【习题2】分解因式：（1）                    （2）

【习题3】分解因式：（1）                 （2）     

（3）                 （4）           

【习题4】分解因式：（1）                    （2）

（3）                （4）

【习题5】（1）                 （2）

（3）                 （4）

【习题6】分解因式：

【习题7】已知整数满足不等式，则分别等于多少．

【习题8】若与互为相反数，把多项式分解因式．