人教A版 (2019)必修 第一册第五章 三角函数5.4 三角函数的图象与性质学案及答案

第五章 三角函数

5.4正弦函数、余弦函数的性质

【课程标准】

1. 会求三角函数的周期
2. 借助图像理解三角函数的奇偶性，并会判断函数的奇偶性
3. 掌握三角函数的单调性，并能利用单调性比较大小
4. 掌握正弦函数和余弦函数的最大值与最小值，并会求简单三角函数的值域和最值

【知识要点归纳】

1.周期函数的定义

函数，定义域为I，当时，都有，其中T是一个非零的常数，则是周期函数，T是它的一个周期.

2.正弦函数、余弦函数的图象和性质

3.正弦型函数和余弦型函数的性质

函数与函数可看作是由正弦函数，余弦函数复合而成的复合函数，它们的性质可由正弦函数，余弦函数类似地得到：

（1）定义域：

（2）值域：

（3）单调区间：求形如与函数的函数的单调区间可以通过解不等式的方法去解答，即把视为一个“整体”，分别与正弦函数，余弦函数的单调递增（减）区间对应解出，即为所求的单调递增（减）区间。

比如：由解出的范围所得区间即为增区间，

由解出的范围，所得区间即为减区间。

（4）奇偶性：

对于函数，当时为奇函数，当时为偶函数；

对于函数，当时为偶函数，当时为奇函数。

（5）周期：函数及函数的周期与解析式中自变量的系数有关，其周期为。

（6）对称轴和对称中心

与正弦函数比较可知，当时，函数取得最大值（或最小值），因此函数的对称轴由解出，其对称中心的横坐标，即对称中心为。

同理，的对称轴由解出，对称中心的横坐标由解出。

【经典例题】

例1．求函数的定义域；

【解析】 为使函数有意义，需满足2sin2x+cos x－1≥0，即2cos2x―cos x―1≤0，解得。

画出余弦函数的图象或单位圆，如下图所示。

∴定义域为。

【变式1】求函数的定义域.

【解析】由(k∈Z).

又∵-1≤cosx≤1，∴0＜cosx≤1，

故所求定义域为.

【变式2】已知的定义域为［0，1)，求的定义域.

【解析】0≤cosx＜1，且.

∴所求函数的定义域为.

例2．求下列函数的值域：

（1）y=|sin x|+sin x；

（2），；

（3）。

【解析】（1）∵，

又∵－1≤sin x≤1，∴y∈[0，2]，即函数的值域为[0，2]

（2）∵，∴，∴，∴，

∴0≤y≤2；∴函数的值域为[0，2]

（3）∵，

当cos x=－1时，，∴函数的值域为

【变式1】已知．

（1）求函数y=cos x的值域；

（2）求函数的最大值和最小值．

【解析】（1）∵，∴当时，函数y=cos x取最小值，

当x=0时，函数y=cos x取最大值cos0=1，

∴函数y=cos x的值域为；

（2）化简可得

令cos x=t，由（1）知；代入可得

由二次函数的性质可知，当时，y取得最小值，

当时，y取最大值．

例3．已知函数，x∈R

（1）求f（0）的值；

（2）求函数f（x）的最大值，并求f（x）取最大值时x取值的集合；

（3）求函数f（x）的单调增区间．

【解析】（1）由函数，x∈R，可得．

（2）当时，．

此时，k∈Z，得，k∈Z．

∴f（x）取最大值时x取值的集合为．

（3）由，k∈Z，求得，k∈Z，

∴f（x）的单调增区间为，k∈Z．

【变式1】求函数y=-｜sin(x+)｜的单调区间：

【答案】y=-|sin(x+)|的图象的增区间为［kπ+，kπ+］，减区间为［kπ-，kπ+］.

【变式2】比大小：

（1）   <       （2）    <    

（3）   >             （4）   <    

（5）  >       （6）   >   

【变式3】 sin1，cos1，tan1的大小关系是（  A    ）

A.tan1>sin1>cos1      B.tan1>cos1>sin1

C.cos1>sin1>tan1      D.sin1>cos1>tan1

例4．判断下列函数的奇偶性：

（1）；

（2）。

（3）。

【解析】（1）∵x∈R，，

∴，∴函数为偶函数。

（2）由1+sin x≠0，即sin x≠－1，∴（k∈Z），

∴原函数的定义域不关于原点对称，∴既不是奇函数也不是偶函数。

（3）函数定义域为R，

，

∴函数为奇函数。

【变式】关于x的函数=sin(x+)有以下命题：

①对任意的，都是非奇非偶函数；

②不存在，使既是奇函数，又是偶函数；

③存在，使是奇函数；

④对任意的，都不是偶函数.

其中一个假命题的序号是_____.因为当=_____时，该命题的结论不成立.

【解析】①，kπ(k∈Z)；或者①，+kπ(k∈Z)；或者④，+kπ(k∈Z)

例5．指出下列函数的对称轴与对称中心

（1）；     （2）.

【解析】（1）令（k∈Z），解得（k∈Z）。

∴函数的对称轴方程是（k∈Z）。

同理，对称中心的横坐标为，，即对称中心为。

（2）令（k∈Z），解得（k∈Z）。

∴函数对称轴方程是（k∈Z）。

同理，对称中心的横坐标为，，即对称中心为（k∈Z）

例6．求下列函数的周期：（1）；    （2）。

【解析】 （1）∵ω=3，∴。

（2）∵函数的周期为π，而函数的图象是

将函数的图象在x轴下方的部分对折到x轴上方，

并且保留在x轴上方图象而得到的，由此可知所求函数的周期为。

例7．解不等式：

（1）      （2）      （3）       （4）

解析（1）

（2）

（3） 

（4）

【当堂检测】

一．选择题（共6小题）

1．已知当时，取得最大值，则下列说法正确的是　　

A．是图象的一条对称轴 

B．在上单调递增 

C．当时，取得最小值 

D．函数为奇函数

2．已知函数，的图象中相邻两条对称轴之间的距离为，当时，函数取到最大值，则　　

A．函数的最小正周期为 

B．函数的图象关于对称 

C．函数的图象关于对称 

D．函数在上单调递减

3．函数的部分图象是　　

A． 

B． 

C． 

D．

4．函数，，的值域是　　

A．， B．， C．， D．，

5．使不等式成立的的取值集合是　　

A．， B．， 

C．， D．，

二．填空题（共5小题）

7．已知函数定义域为，值域为，，则　　．

8．函数的值域是　　．

9．函数的定义域是　　．

10．将，，按从小到大排列为　　．

11．设是定义域为，最小正周期为的函数，若，则　　．

当堂检测答案

一．选择题（共6小题）

1．已知当时，取得最大值，则下列说法正确的是　　

A．是图象的一条对称轴 

B．在上单调递增 

C．当时，取得最小值 

D．函数为奇函数

【分析】由正弦函数的图象和已知可求的值，进而利用正弦函数的图象和性质逐项分析即可求解．

【解答】解：当时，取得最大值，

，，解得：，，

可得：，

对于，由于，故错误；

对于，令，，可得：，，

可得在上单调递增．故正确；

对于，由于，故错误；

对于，为偶函数，故错误．

故选：．

【点评】本题主要考查了正弦函数的图象和性质的应用，考查了数形结合思想，属于基础题．

2．已知函数，的图象中相邻两条对称轴之间的距离为，当时，函数取到最大值，则　　

A．函数的最小正周期为 

B．函数的图象关于对称 

C．函数的图象关于对称 

D．函数在上单调递减

【分析】由相邻对称轴的距离可求得周期，可判断；由条件求得的解析式，计算，，可判断，；由正弦函数的减区间，解不等式可判断．

【解答】解：函数，的图象中相邻两条对称轴之间的距离为，

可得，可得，，则错；

当时，函数取到最大值，可得，

即，，由，可得，．

则，

由，为最小值，

则，均错；

由，可得，，

即有在在上单调递减，则正确．

故选：．

【点评】本题考查三角函数的图象和性质，主要是周期性、单调性和对称性的判断，考查化简运算能力，属于中档题．

3．函数的部分图象是　　

A． 

B． 

C． 

D．

【分析】由函数奇偶性的性质排除，，然后根据当取无穷小的正数时，函数小于0得答案．

【解答】解：函数为奇函数，故排除，，

又当取无穷小的正数时，，，则，

故选：．

【点评】本题考查利用函数的性质判断函数的图象，训练了常用选择题的求解方法：排除法，是基础题．

4．函数，，的值域是　　

A．， B．， C．， D．，

【分析】由条件利用余弦函数的定义域和值域，求得函数的值域．

【解答】解：由，，可得，，函数，，

故选：．

【点评】本题主要考查余弦函数的定义域和值域，属于基础题．

5．使不等式成立的的取值集合是　　

A．， B．， 

C．， D．，

【分析】首先对三角不等式进行恒等变换，变换成，进一步利用单位圆求解．

【解答】解：

解得：

进一步利用单位圆解得：

故选：．

【点评】本题考查的知识要点：利用单位元解三角不等式，特殊角的三角函数值．

6．方程的根的个数为　　

A．7 B．8 C．9 D．10

【分析】方程的根的个数即为函数 与 直线的交点的个数，

在上有3个交点，在上也有3个交点，在原点有一个交点．

【解答】解：方程的根的个数即为函数与 直线的交点的个数，

直线过原点，在上和函数有3个交点，在上也有3个交点，

在原点和函数有一个交点，在其它的区间上，这两个函数没有交点，

故这两个函数的交点个数为7，即方程的根的个数 为7，

故选：．

【点评】本题考查方程的根与两个函数的交点的关系，体现了转化的数学思想．

二．填空题（共5小题）

7．已知函数定义域为，值域为，，则　3　．

【分析】直接利用余弦函数的性质的应用单调性的应用求出结果．

【解答】解：已知函数在上单调递减，当时，函数的，

当时函数的，

即，，

所以．

故答案为：3

【点评】本题考查的知识要点：余弦函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．

8．函数的值域是　，　．

【分析】根据，求得的范围，可得的范围，从而求得函数的值域．

【解答】解：，

，

，

故函数的值域为：，，

故答案为：，．

【点评】本题主要考查余弦函数的定义域和值域，属于中档题．

9．函数的定义域是　，　．

【分析】直接利用无理式的范围，推出的不等式，解三角不等式即可．

【解答】解：由得，

，．

故答案为：，．

【点评】本题考查函数的定义域，三角不等式（利用三角函数的性质）的解法，是基础题．

10．将，，按从小到大排列为　　．

【分析】由诱导公式可得，，，再根据函数在，上是减函数，且函数值为正实数，从而得到它的大小关系．

【解答】解：由诱导公式可得，，，

再根据函数在，上是减函数，且函数值为正实数，可得，

，

故答案为：．

【点评】本题主要考查利用诱导公式把任意角的三角函数值用锐角的三角函数值来表示，余弦函数在，上的单调性，属于中档题．

11．设是定义域为，最小正周期为的函数，若，则　　．

【分析】推导出，由此能求出结果．

【解答】解：是定义域为，最小正周期为的函数，

，

．

故答案为：．

【点评】本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．

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