数学必修 第一册第五章 三角函数5.4 三角函数的图象与性质第1课时导学案及答案

第五章 三角函数

5.4.2正弦函数、余弦函数的性质（第1课时）

学案

一、学习目标

1.理解周期函数的概念，能熟练地求出简单三角函数的周期，并能根据定义进行简单的拓展.

2.根据之前所学和图象来研究三角函数的奇偶性，能正确判断一些三角函数的变式的奇偶性.

二、基础知识

1.终边相同的角的三角函数值有什么关系？

2.正弦曲线具有什么特点？

3.余弦函数是否也具有上述特点？

4.周期函数：

5.最小正周期：

 6. 正弦函数是周期函数，____________都是它的周期，最小正周期是___.同理，余弦函数是周期函数，_____________都是它的周期，最小正周期是____.

7. 求下列函数的周期

（1）（2）；（3）.

8. 回顾例2的解答过程，你能发现这些函数的周期与解析式中哪些量有关吗？

9. 一般地，函数及（其中，）的周期为_______.

10. 正弦函数是___函数，余弦函数是____函数.（填奇偶性）

11. 知道一个函数具有周期性和奇偶性，对研究它的图象与性质有什么帮助？

三、习题检测

1.已知函数的最小正周期为，则（    ）

A.1 B. C.0 D.

2.设函数，，则是(   )

A.最小正周期为π的奇函数 B.最小正周期为π的偶函数

C.最小正周期为的奇函数 D.最小正周期为的偶函数

3.下列函数中，周期为π的奇函数是(   )

A. B. C. D.

4.已知函数，则是(   )

A.最小正周期为π的奇函数 B.最小正周期为π的偶函数

C.最小正周期为的奇函数 D.最小正周期为的偶函数

5.设,则“”是“为偶函数”的(   )
A.充分而不必要条件

B.必要而不充分条件

C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件

6.已知函数的图像关于原点对称，且其最小正周期为2，则__________，__________.

7.若函数的最小正周期是，则__________.

答案以及解析

基础知识

1. 相同

2. “周而复始”，每隔2π就重复一次.

3. 是

4. 一般地，对于函数 ，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有，那么函数就叫做周期函

数.非零常数T叫做这个函数的周期.

5. 如果在周期函数的所有周期中存在一个最小正数，那么这个最小正数就叫做的最小正周期.

6. ；；；

7. 解：（1）  由周期函数的定义可知，的周期为.

（2）令的周期为，即

于是所以，由周期函数的定义知，的周期为.

（3）令，由得，且的周期为，即

，于是，所以

.由周期函数的定义可知，原函数的周期为.

8. 从例2中可以看出，这些函数的周期仅与自变量的系数有关.

本例是利用求周期，并由此观察周期与自变量系数的关系.

在中，是相对于自变量而言的.

9.

10.奇；偶

11. 对于一个周期函数，如果我们把握了它的一个周期内的情况，那么整个函数的情况也就把握了.

同样，对于一个偶函数，如果我们把握了它的对称轴一侧的情况，那么对称轴另一侧的情况也就把握了.

习题检测

1.答案：D

解析：因函数的最小正周期为，则，

，.故选：D.

2.答案：B

解析：的最小正周期为，定义域为R.

，

.

又，

是最小正周期为π的偶函数.

3.答案：B

解析：对于A，，是奇函数，周期，不符合题意；

对于B，，是奇函数，周期，符合题意；

对于C，，是偶函数，不符合题意；

对于D，，是偶函数，不符合题意.故选B.

4.答案：B

解析：，，

，

是最小正周期为π的偶函数，故选B.

5.答案：A

解析：时, 是偶函数，充分性成立；
但为偶函数时，,，推不出，必要性不成立.
故“”是“为偶函数”的充分而不必要条件.故选A.

6.答案：；

解析：由于函数的最小正周期为2，则，则.因为函数的图像关于原点对称，则，所以，又，因此.

7.答案：2

解析：本题考查正弦型函数的图象与性质.根据正弦函数的图象与性质，知函数的最小正周期是，解得.