高中数学湘教版必修12.1指数函数导学案

指数函数

一．课题：指数函数

二．学习目标：                

1.掌握指数形式的复合函数的单调性的证明方法；

2.掌握指数形式的复合函数的奇偶性的证明方法；

3.培养学生的数学应用意识。

三．学习重点：函数单调性、奇偶性的证明通法

四．学习难点：指数函数的性质应用

五．学习过程：

（一）复习：（提问）

1.指数函数的图象及性质

2.判断及证明函数单调性的基本步骤：假设→作差→变形→判断

3.判断及证明函数奇偶性的基本步骤：

（1）考查函数定义域是否关于原点对称；

（2）比较与或者的关系；

（3）根据函数奇偶性定义得出结论。

（二）新课讲解：

例1．当时，证明函数 是奇函数。

证明：由得，，

故函数定义域关于原点对称。

∴

所以，函数 是奇函数。

评析：此题证明的结构仍是函数奇偶性的证明，但在证明过程中的恒等变形用到推广的实数指数幂运算性质。

例2．设是实数，，

（1）试证明：对于任意在为增函数；

（2）试确定的值，使为奇函数。

分析：此题虽形式较为复杂，但应严格按照单调性、奇偶性的定义进行证明。还应要求学生注意不同题型的解答方法。

（1）证明：设，则

，

由于指数函数在上是增函数，且，所以即，

又由，得，，

所以，即．

因为此结论与取值无关，所以对于取任意实数，在为增函数。

评述：上述证明过程中，在对差式正负判断时，利用了指数函数的值域及单调性。

（2）解：若为奇函数，则，

即

变形得：，

解得：，

所以，当时, 为奇函数。

评述：此题并非直接确定值，而是由已知条件逐步推导值。应要求学生适应这种题型。

六．练习：

（1）已知函数为偶函数，当时，,求当时，的解析式。

（2）判断的单调区间。

七．小结：1．灵活运用指数函数的性质，并掌握函数单调性，奇偶性证明的通法。

八．作业：

补充：

1．已知函数，

（1）判断函数的奇偶性；

（2）求证函数在上是增函数。

2．函数的单调递减区间是             ．

3.已知函数定义域为，当时有，求的解析式。