高中数学苏教版必修1第1章 集合1.1 集合的含义及其表示教学设计

《集合的含义及其表示》教案

教学目标：通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系、知道常用数集的记法和集合中元素的特性, 了解有限集、无限集、空集概念

教学重点：集合概念、性质；“”，“”的使用

教学难点：集合概念的理解

课    型：新授课

教学手段：

教学过程：

一、引入课题

军训前学校通知：8月15日8点，高一年级在体育馆集合进行军训动员；试问这个通知的对象是全体的高一学生还是个别学生？

在这里，集合是我们常用的一个词语，我们感兴趣的是问题中某些特定（是高一而不是高二）对象的总体，而不是个别的对象，为此，我们将学习一个新的概念——集合（宣布课题），即是一些研究对象的总体。

研究集合的数学理论在现代数学中称为集合论，它不仅是数学的一个基本分支，在数学中占据一个极其独特的地位，如果把数学比作一座宏伟大厦，那么集合论就是这座宏伟大厦的基石。集合理论创始者是由德国数学家康托尔，他创造的集合论是近代许多数学分支的基础。（参看阅教材中读材料P17）。

下面几节课中，我们共同学习有关集合的一些基础知识，为以后数学的学习打下基础。

二、新课教学

 “物以类聚,人以群分”，数学中也有类似的分类。

如：自然数的集合 0，1，2，3，……。

如：，即，所有大于2的实数组成的集合称为这个不等式的解集。

如：几何中，圆是到定点的距离等于定长的点的集合。

1、一般地，指定的某些对象的全体称为集合，标记：

集合中的每个对象叫做这个集合的元素，标记：

2、元素与集合的关系

在集合中，  就说属于集合，  记作

不在集合中，就说不属于集合，记作

思考1：列举一些集合例子和不能构成集合的例子，对学生的例子予以讨论、点评，进而讲解下面的问题。

例1、判断下列一组对象是否属于一个集合？

（1）小于10的质数       （2）著名数学家        （3）中国的直辖市

（4）maths中的字母       （5）book中的字母     （6）所有的偶数

（7）所有直角三角形      （8）满足的全体实数

（9）方程的实数解

评注：判断集合要注意有三点：范围是否确定；元素是否明确；能不能指出它的属性。

3、集合的中元素的三个特性：

 1.元素的确定性：对于一个给定的集合，集合中的元素是确定的，任何一个对象或者是或者不是这个给定的集合的元素。 

2.元素的互异性：任何一个给定的集合中，任何两个元素都是不同的对象，相同的对象归入一个集合时，仅算一个元素。比如：book中的字母构成的集合

3.元素的无序性：集合中的元素是平等的，没有先后顺序，因此判定两个集合是否一样，仅需比较它们的元素是否一样，不需考查排列顺序是否一样。

 集合元素的三个特性使集合本身具有了确定性和整体性。

4、数的集简称数集，下面是一些常用数集及其记法：

自然数集    记作：                       有理数集  记作：  

正整数集    记作：                      实数集    记作：

整数集      记作：                       注：实数的分类

5、集合的分类原则：集合中所含元素的多少

①有限集  含有限个元素，如集合

②无限集  含无限个元素，如整数的集合

③空  集  不含有任何元素，如集合   记作：

三、课堂练习

1、用符号“”或“”填空：课本P5练习1

2、判断下面说法是否正确、正确的填“√”，错误的填“×”

(1)所有在中的元素都在中（    ）

(2)所有在中的元素都在中(    )

(3)所有不在中的数都不在中（    ）

(4)所有不在中的实数都在中（    ）

(5)由既在中又在中的数组成的集合中一定包含数0（   ）

(6)不在中的数不能使方程成立（    ）

四、回顾反思

1、集合的概念

2、集合元素的三个特征

其中“集合中的元素必须是确定的”应理解为：对于一个给定的集合，它的元素的意义是明确的.

“集合中的元素必须是互异的”应理解为：对于给定的集合，它的任何两个元素都是不同的.

3、常见数集的专用符号.

五、作业布置

1、下列各组对象能确定一个集合吗？

（1）所有很大的实数。   （2）好心的人。    （3）1，2，2，3，4，5。

2、设是非零实数，那么可能取的值组成集合的元素是           。

3、由实数所组成的集合，最多含（    ）个元素

  A、2个          B、3个           C、4个          D、5个

4、下列结论中，不正确的是(    )

A、        B、        C、        D、

5、下列结论中，不正确的是(     )

A、若，则           B、若，则

C、若，则            D、若，则

6、求数集中的元素应满足的条件。

板书设计（略）

§1 集合的概念及其表示（二）

教学目标：掌握表示集合方法；了解空集的概念及其特殊性，能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用

教学重点：集合的表示方法

教学难点：正确表示一些简单集合

课    型：新授课

教学手段：讲授

教学过程：

一、创设情境

复习提问：

集合元素的特征有哪些？怎样理解，试举例说明，集合与元素关系是什么？如何用数学符号表示？

那么给定一个具体的集合，我们如何表示它呢？这就是今天我们学习的内容—集合的表示 (板书课题)

我们可以用自然语言来描述一个集合，但这将给我们带来很多不便，除此之外还常用列举法和描述法来表示集合

二、新课讲解

1、列举法：把集合中的元素一一列举出来写在大括号内表示集合的方法。

例:“中国的直辖市”构成的集合，写成{北京,天津,上海,重庆}

由“maths中的字母”构成的集合，写成{m,a,t,h,s}

由“book中的字母” 构成的集合，写成{b,o,k}

注：

（1）有些集合亦可如下表示：

从51到100的所有整数组成的集合：{51，52，53，…，100}

所有正奇数组成的集合：{1，3，5，7，…}

（2）与不同：表示一个元素，表示一个集合，该集合只有一个元素。

比如：与 不同，

（3）集合中的元素具有无序性，所以用列举法表示集合时不必考虑元素的顺序。

例1（P4）

2、描述法：用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合，并把这个条件写在大括号内表示集合的方法。

格式：

含义：在集合中满足条件的的集合。

例:不等式的解集可以表示为：或

“中国的直辖市”构成的集合，写成{为中国的直辖市}；

 “平面直角坐标系中第二象限的点”

“方程的实数解”    

注：（1）在不致混淆的情况下，可以省去竖线及左边部分。如：{直角三角形}；

{大于104的实数}

（2）错误表示法：{实数集}；{全体实数}

例2（P5）

3、图示法：

文氏图(Venn图)：用一条封闭的曲线的内部来表示一个集合的方法。

三、例题讲解

例1、解不等式，并把结果用集合表示.

解：由不等式，知

所以原不等式解集是

例2 、求方程的解集

解：因为没有实数解

   所以

例3、用描述法分别表示：

（1）抛物线上的点

（2）抛物线上点的横坐标

（3）抛物线上点的纵坐标

四、课堂练习

练习：P5  2、3.

五、回顾反思

1．描述法表示集合应注意集合的代表元素

与不同，只要不引起误解，集合的代表元素也可省略，例如：{整数}，即代表整数集。注意：这里的已包含“所有”的意思，所以不必写{全体整数}。写法{实数集}，{R}是错误的。

2、列举法与描述法各有优点，应该根据具体问题确定采用哪种表示法，要注意，一般无限集，不宜采用列举法。

3、本节课在教学时主要教会学生学习集合的表示方法，在认识集合时，应从两方面入手：

（1）元素是什么？

（2）确定集合的表示方法是什么？表示集合时，与采用字母名称无关。

六、作业布置

作业：P6  A组题：1,2,3,4,5

思考：P6  B组题

§2 集合的基本关系

教学目的：理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；理解子集、真子集的概念；能利用Venn图表达集合间的关系

教学重点：子集与真子集的概念；用Venn图表达集合间的关系

教学难点：弄清元素与集合 、属于与包含之间的区别

课    型：新授课

教学过程：

一、引入课题

1、复习元素与集合的关系------属于与不属于的关系，填以下空白：

（1）0    ；      （2）    ；      （3）   

2、类比实数的大小关系，如，，试想集合间是否有类似的“大小”关系呢？（宣布课题）

二、新课教学

1、 集合与集合之间的“包含”关系

，  

集合是集合的部分元素构成的集合，我们说集合包含集合

如果集合中的任何一个元素都是集合的元素，即若，则，我们说这两个集合有包含关系，称集合是集合的子集。记作：

读作：集合包含于集合，或集合包含集合

当集合不包含于集合时，或集合不包含集合时，记作     （或     ）

 用Venn图表示两个集合间的“包含”关系

2、集合与集合之间的“相等”关系

若，则

即

练习

3、结论：任何一个集合是它本身的子集 

4、真子集的概念

对于两个集合与，如果，并且，则称集合是集合的真子集。

记作： （或）

举例（由学生举例，共同辨析）

5、规定：

空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。

6、结论：，且，则

三、例题讲解

例1、化简集合，并表示的关系；

例2、写出集合的所有的子集，并指出其中哪些是它的真子集。

结论：集合中元素的个数记为，则它的子集的个数为：，真子集的个数：，非空真子集个数：（在后继学习中会对此结论加以证明）

四、课堂练习：P9练习题

五、归纳小结，强化思想

两个集合之间的基本关系只有“包含”与“相等”两种，可类比两个实数间的大小关系，同时还要注意区别“属于”与“包含”两种关系及其表示方法；

六、作业布置

1、书面作业：习题1-2  5个小题

2、提高作业：

①已知集合，，且满足，求实数的取值范围。

②设集合，，试用Venn图表示它们之间的关系。

③P10 B组题

板书设计（略）

§3.1 交集与并集

教学目标：（1）理解两个集合的并集与交集的的含义，会求两个简单集合的并集与交集；

（2）能用Venn图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用。

教学重点：集合的交集与并集的概念

教学难点：集合的交集与并集

课    型：新授课

教学过程：

一、引入课题

两个实数除了可以比较大小外，还可以进行加法运算，类比实数的加法运算，两个集合是否也可以“相加”呢？引入新课。

二、新课教学

1、交集

一般地，由既属于集合又属于集合的所有元素所组成的集合，叫做集合与的交集。记作：               读作：“交”

即：

交集的Venn图表示

说明：两个集合求交集，结果还是一个集合，是由集合A与B的公共元素组成的集合。

例题1、求集合A与B的交集

①          

②       

拓展：求下列各图中集合A与B的并集与交集(用彩笔图出)

说明：当两个集合没有公共元素时，两个集合的交集是空集，而不能说两个集合没有交集

2、并集

一般地，由属于集合或属于集合的所有元素所组成的集合，叫作集合与的并集

记作：   读作：“并”

即：

Venn图表示：

说明：两个集合求并集，结果还是一个集合，是由集合与的所有元素组成的集合（重复元素只看成一个元素）。

例题2、求集合A与B的并集

③          

④       

（过度）问题：在上图中我们除了研究集合与的并集外，它们的公共部分（即问号

部分）还应是我们所关心的，我们称其为集合与的交集。

3、例题讲解

   例3（P12例1)：理解所给集合的含义，可借助venn图分析

例4（P12例2）：先“化简”所给集合，搞清楚各自所含元素后，再进行运算。

4、集合基本运算的一些结论：

若，则，反之也成立

若，则，反之也成立

若，则且

若，则或

三、课堂练习（P13练习）

四、归纳小结

五、作业布置

1、 书面作业：P15习题1-3，第1-3题

补充：

（1）设A={奇数}、B={偶数}，则A∩Z=A，B∩Z=B，A∩B=
（2）设A={奇数}、B={偶数}，则A∪Z=Z，B∪Z=Z，A∪B=Z
 

2、 提高内容：

（1）已知，且，试求、。

（2）集合,若，求、。

（3），且，求。

§3.2  全集与补集

教学目标：了解全集的意义，理解补集的概念，能利用Venn图表达集合间的关系；渗透相对的观点

教学重点：补集的概念.

教学难点：补集的有关运算

课    型：新授课

教学手段：发现式教学法，通过引入实例，进而对实例的分析，发现寻找其一般结果，归纳其普遍规律.

教学过程：

一、创设情境

1．复习引入：复习集合的概念、子集的概念、集合相等的概念；两集合的交集，并集.

2．相对某个集合U，其子集中的元素是U中的一部分，那么剩余的元素也应构成一个集合，这两个集合对于U构成了相对的关系，这就验证了“事物都是对立和统一的关系”。集合中的部分元素与集合之间关系就是部分与整体的关系.这就是本节课研究的话题 ——全集和补集。

二、新课讲解

请同学们举出类似的例子

如：U＝{全班同学} A＝{班上男同学}  B＝{班上女同学} 

特征：集合B就是集合U中除去集合A之后余下来的集合，可以用Venn图表示。

我们称B是A对于全集U的补集。

1、 全集

在研究某些集合的时候，这些集合往往是某个给定集合的子集，这个给定的集合叫作全集

通常用字母U表示。  

2、补集（余集）

   设U是全集，A是U的一个子集（即AU），则由U中所有不属于A的元素组成的集合，叫作“U中子集A的补集”，简称集合A的补集，记作，即

           补集的Venn图表示：

说明：补集的概念必须要有全集的限制

练习：，则。

3、基本性质

①，，

②

   ③，

注：借助venn图的直观性加以说明

三、例题讲解
例1、(P13例3)

例2、(P13例4) ①注重借助数轴对集合进行运算②利用结果验证基本性质

四、课堂练习
1．举例，请填充（参考）

(1)若S＝{2，3，4}，A＝{4，3}，则SA＝____________.

(2)若S＝{三角形}，B＝{锐角三角形}，则SB＝___________.

(3)若S＝{1，2，4，8}，A＝，则SA＝_______.

(4)若U＝{1，3，a2＋2a＋1}，A＝{1，3}，UA＝{5}，则a＝_______

(5)已知A＝{0，2，4}，UA＝{－1，1}，UB＝{－1，0，2}，求B＝_______

(6)设全集U＝{2，3，m2＋2m－3}，a＝{｜m＋1｜，2}，UA＝{5}，求m.

(7)设全集U＝{1，2，3，4}，A＝{x｜x2－5x＋m＝0，x∈U}，求UA、m.

师生共同完成上述题目，解题的依据是定义

例(1)解：SA＝{2}

评述：主要是比较A及S的区别.

例(2)解：SB＝{直角三角形或钝角三角形}

评述：注意三角形分类.

例(3)解：SA＝3

评述：空集的定义运用.

例(4)解：a2＋2a＋1＝5，a＝－1±

评述：利用集合元素的特征.

例(5)解：利用文恩图由A及UA先求U＝{－1，0，1，2，4}，再求B＝{1，4}.

例(6)解：由题m2＋2m－3＝5且｜m＋1｜＝3解之 m＝－4或m＝2

例(7)解：将x＝1、2、3、4代入x2－5x＋m＝0中，m＝4或m＝6

当m＝4时，x2－5x＋4＝0，即A＝{1，4}

又当m＝6时，x2－5x＋6＝0，即A＝{2，3}

故满足题条件：UA＝{1，4}，m＝4；UB＝{2，3}，m＝6.

评述：此题解决过程中渗透分类讨论思想.

2．P14练习题1、2、3、4、5

五、回顾反思

  本节主要介绍全集与补集，是在子集概念的基础上讲述补集的概念，并介绍了全集的概念

1.全集是一个相对的概念，它含有与研究的问题有关的各个集合的全部元素，通常用“U”表示全集.在研究不同问题时，全集也不一定相同.

2.补集也是一个相对的概念，若集合A是集合U的子集，则U中所有不属于A的元素组成的集合称为U中子集A的补集（余集），记作，即={x|}. 当U不同时，集合A的补集也不同.

六、作业布置

1、  P15习题4，5

2、  用集合A，B，C的交集、并集、补集表示下图有色部分所代表的集合

3、思考：p16  B组题1，2