2023届高考一轮复习讲义（理科）第二章　函数概念与基本初等函数 第9讲　高效演练分层突破学案

这是一份2023届高考一轮复习讲义（理科）第二章　函数概念与基本初等函数 第9讲　高效演练分层突破学案，共8页。

1．(2020·湖北荆、襄、宜联考)某辆汽车每次加油都把油箱加满，表中记录了该车相邻两次加油时的情况．
(注：“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程)
在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为( )
A．6升 B．8升
C．10升 D．12升
解析：选C.因为第二次加满油箱时加油量为60升，所以从第一次加油到第二次加油共用油60升，行驶了600千米，所以在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为eq \f(60,600÷100)＝10(升)．故选C.
2．某家具的标价为132元，若降价以九折出售(即优惠10%)，仍可获利10%(相对于进价)，则该家具的进价是( )
A．118元 B．105元
C．106元 D．108元
解析：选D.设进价为a元，由题意知132×(1－10%)－a＝10%·a，解得a＝108.故选D.
3．素数也叫质数，法国数学家马林·梅森是研究素数的数学家中成就很高的一位，因此后人将“2n－1”形式(n是素数)的素数称为梅森素数．已知第20个梅森素数为P＝24 423－1，第19个梅森素数为Q＝24 253－1，则下列各数中与eq \f(P,Q)最接近的数为(参考数据：lg 2≈0.3)( )
A．1045 B．1051
C．1056 D．1059
解析：选B.由题知eq \f(P,Q)＝eq \f(24 423－1,24 253－1)≈2170.令2170＝k，则lg 2170＝lg k，所以170lg 2＝lg k．又lg 2≈0.3，所以51＝lg k，即k＝1051，所以与eq \f(P,Q)最接近的数为1051.故选B.
4．由国家公安部提出，国家质量监督检验检疫总局发布的《车辆驾驶人员血液、呼气酒精含量阈值与检验标准》(GB/T19522－2010)于2011年7月1日正式实施．车辆驾驶人员饮酒后或者醉酒后驾车血液中的酒精含量阈值见表．经过反复试验，一般情况下，某人喝一瓶啤酒后酒精在人体血液中的变化规律的“散点图”如图，且该图表示的函数模型为f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(40sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)x))＋13，0≤x<2，,90e－0.5x＋14，x≥2，))则该人喝一瓶啤酒后至少经过多长时间才可以驾车(时间以整小时计算)？(参考数据：ln 15≈2.71，ln 30≈3.40)( )
车辆驾驶人员血液酒精含量阈值
A．5 h B．6 h
C．7 h D．8 h
解析：选B.由题意可知当酒精含量阈值低于20时才可以开车，结合分段函数建立不等式90e－0.5x＋14<20，解得x>5.42，取整数，故为6个小时．故选B.
5．加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率p与加工时间t(单位：分钟)满足函数关系p＝at2＋bt＋c(a，b，c是常数)，如图记录了三次实验的数据．根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为( )
A．3.50分钟 B．3.75分钟
C．4.00分钟 D．4.25分钟
解析：选B.由题中图象可知点(3，0.7)，(4，0.8)，(5，0.5)在函数图象上，
因此有eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(0.7＝a×32＋b×3＋c，,0.8＝a×42＋b×4＋c，,0.5＝a×52＋b×5＋c，))
解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝－0.2，,b＝1.5，,c＝－2.))故p＝－0.2t2＋1.5t－2，其对称轴方程为t＝eq \f(－1.5,2×（－0.2）)＝eq \f(15,4)＝3.75.
所以当t＝3.75时，p取得最大值．
6．某公司为了业务发展制定了一个激励销售人员的奖励方案，在销售额x为8万元时，奖励1万元．销售额x为64万元时，奖励4万元．若公司拟定的奖励模型为y＝alg4x＋b.某业务员要得到8万元奖励，则他的销售额应为________万元．
解析：依题意得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(alg48＋b＝1,alg464＋b＝4))，
即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)a＋b＝1，,3a＋b＝4.))解得a＝2，b＝－2.
所以y＝2lg4x－2，当y＝8时，即2lg4x－2＝8.
解得x＝1 024(万元)．
答案：1 024
7．某城市对一种售价为每件160元的商品征收附加税，税率为R%(即每销售100元征税R元)，若年销售量为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(30－\f(5,2)R))万件，要使附加税不少于128万元，则R的取值范围是______．
解析：根据题意，要使附加税不少于128万元，
需eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(30－\f(5,2)R))×160×R%≥128，
整理得R2－12R＋32≤0，解得4≤R≤8，
即R∈[4，8]．
答案：[4，8]
8．(2020·河北唐山模拟)某人计划购买一辆A型轿车，售价为14.4万元，购买后轿车每年的保险费、汽油费、年检费、停车费等约需2.4万元，同时汽车年折旧率约为10%(即这辆车每年减少它的价值的10%)，试问，大约使用________年后，用在该车上的费用(含折旧费)达到14.4万元．
解析：设使用x年后花费在该车上的费用达到14.4万元，依题意可得，14.4(1－0.9x)＋2.4x＝14.4，化简得x－6×0.9x＝0.令f(x)＝x－6×0.9x，
易得f(x)为单调递增函数，又f(3)＝－1.374＜0，f(4)＝0.063 4＞0，所以函数f(x)在(3，4)上有一个零点．
故大约使用4年后，用在该车上的费用达到14.4万元．
答案：4
9．声强级Y(单位：分贝)由公式Y＝10lgeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(I,10－12)))给出，其中I为声强(单位：W/m2)．
(1)平常人交谈时的声强约为10－6W/m2，求其声强级；
(2)一般常人能听到的最低声强级是0分贝，求能听到最低声强为多少？
(3)比较理想的睡眠环境要求声强级Y≤50分贝，已知熄灯后两位同学在宿舍说话的声强为5×10－7W/m2，问这两位同学是否会影响其他同学休息？
解：(1)当声强为10－6W/m2时，
由公式Y＝10lgeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(I,10－12)))
得Y＝10lgeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(10－6,10－12)))＝10lg 106＝60(分贝)．
(2)当Y＝0时，由公式Y＝10lgeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(I,10－12)))
得10lgeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(I,10－12)))＝0.
所以eq \f(I,10－12)＝1，即I＝10－12W/m2，
则常人能听到的最低声强为10－12W/m2.
(3)当声强为5×10－7W/m2时，
声强级Y＝10lgeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5×10－7,10－12)))＝10lg(5×105)
＝50＋10lg 5，
因为50＋10lg 5>50，
所以这两位同学会影响其他同学休息．
10.如图，已知边长为8米的正方形钢板有一个角被锈蚀，其中AE＝4米，CD＝6米．为了合理利用这块钢板，在五边形ABCDE内截取一个矩形BNPM，使点P在边DE上．
(1)设MP＝x米，PN＝y米，将y表示成x的函数，并求该函数的解析式及定义域；
(2)求矩形BNPM面积的最大值．
解：(1)如图，作PQ⊥AF于Q，所以PQ＝8－y，EQ＝x－4，
在△EDF中，eq \f(EQ,PQ)＝eq \f(EF,FD)，所以eq \f(x－4,8－y)＝eq \f(4,2)，
所以y＝－eq \f(1,2)x＋10，定义域为{x|4≤x≤8}．
(2)设矩形BNPM的面积为S，
则S(x)＝xy＝xeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(10－\f(x,2)))＝－eq \f(1,2)(x－10)2＋50，
所以S(x)是关于x的二次函数，且其图象开口向下，对称轴为直线x＝10，
所以当x∈[4，8]时，S(x)单调递增，
所以当x＝8时，矩形BNPM的面积取得最大值，最大值为48平方米．
[综合题组练]
1．(2019·高考全国卷Ⅱ)2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就，实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系．为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日L2点的轨道运行，L2点是平衡点，位于地月连线的延长线上．设地球质量为M1，月球质量为M2，地月距离为R，L2点到月球的距离为r，根据牛顿运动定律和万有引力定律，r满足方程：eq \f(M1,（R＋r）2)＋eq \f(M2,r2)＝(R＋r)·eq \f(M1,R3).设α＝eq \f(r,R)，由于α的值很小，因此在近似计算中eq \f(3α3＋3α4＋α5,（1＋α）2)≈3α3，则r的近似值为( )
A.eq \r(\f(M2,M1))R B．eq \r(\f(M2,2M1))R
C.eq \r(3,\f(3M2,M1))R D．eq \r(3,\f(M2,3M1))R
解析：选D.由eq \f(M1,（R＋r）2)＋eq \f(M2,r2)＝(R＋r)eq \f(M1,R3)，得eq \f(M1,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(r,R)))\s\up12(2))＋eq \f(M2,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(r,R)))\s\up12(2))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(r,R)))M1.因为α＝eq \f(r,R)，所以eq \f(M1,（1＋α）2)＋eq \f(M2,α2)＝(1＋α)M1，得eq \f(3α3＋3α4＋α5,（1＋α）2)＝eq \f(M2,M1).由eq \f(3α3＋3α4＋α5,（1＋α）2)≈3α3，得3α3≈eq \f(M2,M1)，即3eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(r,R)))eq \s\up12(3)≈eq \f(M2,M1)，所以r ≈ eq \r(3,\f(M2,3M1))·R，故选D.
2.某种热饮需用开水冲泡，其基本操作流程如下：①先将水加热到100 ℃，水温y(℃)与时间t(min)近似满足一次函数关系；②用开水将热饮冲泡后在室温下放置，温度y(℃)与时间t(min)近似满足的函数关系式为y＝80eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up6(\f(t－a,10))＋b(a，b为常数)．通常这种热饮在40 ℃时口感最佳．某天室温为20 ℃时，冲泡热饮的部分数据如图所示，那么按上述流程冲泡一杯热饮，并在口感最佳时饮用，最少需要的时间为( )
A．35 min B．30 min
C．25 min D．20 min
解析：选C.由题意知，当0≤t≤5时，函数图象是一条线段；当t≥5时，函数的解析式为y＝80eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up6(\f(t－a,10))＋b.将点(5，100)和点(15，60)代入解析式可得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(100＝80\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))\s\up6(\f(5－a,10))＋b，,60＝80\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))\s\up6(\f(15－a,10))＋b，))解得a＝5，b＝20，故函数的解析式为y＝80eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up6(\f(t－5,10))＋20，t≥5.令y＝40，解得t＝25，所以最少需要的时间为25 min.故选C.
3．新修的个人所得税法在过渡期对纳税个人按照下表计算个人所得税，值得注意的是起征点变为5 000元，即如表中“全月应纳税所得额”是纳税者的月薪收入减去5 000 元后的余额．
某企业员工今年10月份的月工资为15 000元，则应缴纳的个人所得税为______元．
解析：由企业员工今年10月份的月工资为15 000元知，其个人所得税属于2级，则应缴纳的个人所得税为
(15 000－5 000－3 000)×10%＋3 000×3%＝700＋90＝790(元)．
答案：790
4．某企业准备投入适当的广告费对甲产品进行促销宣传，在一年内预计销售量y(万件)与广告费x(万元)之间的函数关系为y＝1＋eq \f(3x,x＋2)(x≥0)．已知生产此产品的年固定投入为4万元，每生产1万件此产品仍需再投入30万元，且能全部售完．若每件甲产品售价(元)定为“平均每件甲产品所占生产成本的150%”与“年平均每件甲产品所占广告费的50%”之和，则当广告费为1万元时，该企业甲产品的年利润为______万元．
解析：由题意，产品的生产成本为(30y＋4)万元，销售单价为eq \f(30y＋4,y)×150%＋eq \f(x,y)×50%，故年销售收入为z＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(30y＋4,y)×150%＋\f(x,y)×50%))·y＝45y＋6＋eq \f(1,2)x.所以年利润W＝z－(30y＋4)－x＝15y＋2－eq \f(x,2)＝17＋eq \f(45x,x＋2)－eq \f(x,2)(万元)．所以当广告费为1万元时，即x＝1，该企业甲产品的年利润为17＋eq \f(45,1＋2)－eq \f(1,2)＝31.5(万元)．
答案：31.5
5．已知美国某手机品牌公司生产某款手机的年固定成本为40万美元，每生产1万部还需另投入16万美元．设该公司一年内共生产该款手机x万部并全部销售完，每万部的销售收入为R(x)万美元，且R(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(400－6x，040.))
(1)写出年利润W(万美元)关于年产量x(万部)的函数解析式；
(2)当年产量为多少万部时，公司在该款手机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润．
解：(1)当040时，W＝xR(x)－(16x＋40)＝－eq \f(40 000,x)－16x＋7 360.
所以W＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－6x2＋384x－40，040.))
(2)①当0所以Wmax＝W(32)＝6 104；
②当x>40时，W＝－eq \f(40 000,x)－16x＋7 360，
由于eq \f(40 000,x)＋16x≥2eq \r(\f(40 000,x)×16x)＝1 600，
当且仅当eq \f(40 000,x)＝16x，即x＝50∈(40，＋∞)时，取等号，
所以此时W的最大值为5 760.
综合①②知，
当x＝32时，W取得最大值为6 104万美元．
6．食品安全问题越来越引起人们的重视，农药、化肥的滥用对人民群众的健康带来一定的危害，为了给消费者带来放心的蔬菜，某农村合作社每年投入200万元，搭建了甲、乙两个无公害蔬菜大棚，每个大棚至少要投入20万元，其中甲大棚种西红柿，乙大棚种黄瓜，根据以往的种菜经验，发现种西红柿的年收入P、种黄瓜的年收入Q与投入a(单位：万元)满足P＝80＋4eq \r(2a)，Q＝eq \f(1,4)a＋120，设甲大棚的投入为x(单位：万元)，每年两个大棚的总收益为f(x)(单位：万元)．
(1)求f(50)的值；
(2)试问如何安排甲、乙两个大棚的投入，才能使总收益f(x)最大？
解：(1)由题意知甲大棚投入50万元，
则乙大棚投入150万元，
所以f(50)＝80＋4eq \r(2×50)＋eq \f(1,4)×150＋120＝277.5(万元)．
(2)f(x)＝80＋4eq \r(2x)＋eq \f(1,4)(200－x)＋120＝－eq \f(1,4)x＋4eq \r(2x)＋250，依题意得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x≥20，,200－x≥20))⇒20≤x≤180，
故f(x)＝－eq \f(1,4)x＋4eq \r(2x)＋250(20≤x≤180)．
令t＝eq \r(x)，则t∈[2eq \r(5)，6eq \r(5)]，y＝－eq \f(1,4)t2＋4eq \r(2)t＋250＝－eq \f(1,4)(t－8eq \r(2))2＋282，当t＝8eq \r(2)，即x＝128时，f(x)取得最大值，f(x)max＝282.
所以甲大棚投入128万元，乙大棚投入72万元时，总收益最大，且最大总收益为282万元．
加油时间
加油量(升)
加油时累计里程(千米)
2018年10月1日
12
35 000
2018年10月15日
60
35 600
驾驶行为类型
阈值(mg/100 mL)
饮酒后驾车
≥20，<80
醉酒后驾车
≥80
级数
全月应纳税所得额
税率
1
不超过3 000元的部分
3%
2
超过3 000元至12 000元的部分
10%
3
超过12 000元至25 000元的部分
20%
…
…
…