2023届高考一轮复习讲义（理科）第十一章　统计与统计案例 第2讲　用样本估计总体学案

这是一份2023届高考一轮复习讲义（理科）第十一章　统计与统计案例 第2讲　用样本估计总体学案，共20页。学案主要包含了知识梳理，习题改编等内容，欢迎下载使用。


一、知识梳理
1．统计图表
(1)频率分布直方图的画法步骤
①求极差(即一组数据中最大值与最小值的差)；
②决定组距与组数；
③将数据分组；
④列频率分布表；
⑤画频率分布直方图．
(2)频率分布折线图和总体密度曲线
①频率分布折线图：连接频率分布直方图中各小长方形上端的中点，就得到频率分布折线图．
②总体密度曲线：随着样本容量的增加，作图时所分组数增加，组距减小，相应的频率折线图会越来越接近于一条光滑曲线，统计中称这条光滑曲线为总体密度曲线．
(3)茎叶图的画法步骤
第一步：将每个数据分为茎(高位)和叶(低位)两部分；
第二步：将最小茎与最大茎之间的数按大小次序排成一列；
第三步：将各个数据的叶依次写在其茎的两侧．
2．样本的数字特征
(1)众数：一组数据中出现次数最多的那个数据，叫做这组数据的众数．
(2)中位数：把n个数据按大小顺序排列，处于最中间位置的一个数据(或最中间两个数据的平均数)叫做这组数据的中位数．
(3)平均数：把eq \f(a1＋a2＋…＋an,n)称为a1，a2，…，an这n个数的平均数．
(4)标准差与方差：设一组数据x1，x2，x3，…，xn的平均数为eq \x\t(x)，则这组数据的标准差和方差分别是
s＝ eq \r(\f(1,n)[（x1－eq \x\t(x)）2＋（x2－eq \x\t(x)）2＋…＋（xn－eq \x\t(x)）2])
s2＝eq \f(1,n)[(x1－eq \x\t(x))2＋(x2－eq \x\t(x))2＋…＋(xn－eq \x\t(x))2]
常用结论
1．频率分布直方图的特点
(1)频率分布直方图中相邻两横坐标之差表示组距，纵坐标表示eq \f(频率,组距)，频率＝组距×eq \f(频率,组距).
(2)在频率分布直方图中，各小长方形的面积总和等于1，因为在频率分布直方图中组距是一个固定值，所以各小长方形高的比也就是频率比．
(3)频率分布表和频率分布直方图是一组数据频率分布的两种形式，前者准确，后者直观．
2．平均数、方差的公式推广
(1)若数据x1，x2，…，xn的平均数为eq \x\t(x)，那么mx1＋a，mx2＋a，mx3＋a，…，mxn＋a的平均数是meq \x\t(x)＋a.
(2)数据x1，x2，…，xn的方差为s2.
①数据x1＋a，x2＋a，…，xn＋a的方差也为s2；
②数据ax1，ax2，…，axn的方差为a2s2.
二、习题改编
1．(必修3P100A组T2(1)改编)一个容量为32的样本，已知某组样本的频率为0.25，则该组样本的频数为( )
A．4 B．8
C．12 D．16
解析：选B.设频数为n，则eq \f(n,32)＝0.25，所以n＝32×eq \f(1,4)＝8.
2.(必修3P81A组T1改编)若某校高一年级8个班参加合唱比赛的得分如茎叶图所示，则这组数据的中位数和平均数分别是( )
A．91.5和91.5 B．91.5和92
C．91和91.5 D．92和92
解析：选A.因为这组数据由小到大排列为87，89，90，91，92，93，94，96，所以中位数是eq \f(91＋92,2)＝91.5，平均数eq \x\t(x)＝eq \f(87＋89＋90＋91＋92＋93＋94＋96,8)＝91.5.
3．(必修3P65探究改编)如图是100位居民月均用水量的频率分布直方图，则月均用水量为[2，2.5)范围内的居民数有________人．
解析：由频率分布直方图可知，月均用水量为[2，2.5)范围内的居民所占频率为0.5×0.5＝0.25，所以月均用水量为[2，2.5)范围内的居民数为100×0.25＝25.
答案：25
4．(必修3P82A组T6改编)甲、乙两台机床同时生产一种零件，10天中，两台机床每天出的次品数分别是：
甲 0 1 0 2 2 0 3 1 2 4
乙 2 3 1 1 0 2 1 1 0 1
则机床性能较好的为________．
解析：因为eq \x\t(x)甲＝1.5，eq \x\t(x)乙＝1.2，seq \\al(2,甲)＝1.65，seq \\al(2,乙)＝0.76，所以seq \\al(2,乙)答案：乙
一、思考辨析
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)一组数据的方差越大，说明这组数据的波动越大．( )
(2)在频率分布直方图中，小矩形的面积越大，表示样本数据落在该区间内的频率越大．( )
(3)茎叶图中的数据要按从小到大的顺序写，相同的数据可以只记一次．( )
(4)频率分布表和频率分布直方图是一组数据频率分布的两种形式，前者准确，后者直观．( )
(5)在频率分布直方图中，最高的小长方形底边中点的横坐标是众数的估计值．( )
答案：(1)√ (2)√ (3)× (4)√ (5)√
二、易错纠偏
eq \a\vs4\al(常见,误区)eq \b\lc\|(\a\vs4\al\c1(Ｋ))(1)平均数与方差的性质理解出错；
(2)中位数、众数、平均数的求法不清导致出错．
1．若数据x1，x2，x3，…，xn的平均数eq \x\t(x)＝5，方差s2＝2，则数据3x1＋1，3x2＋1，3x3＋1，…，3xn＋1的平均数和方差分别为( )
A．5，2 B．16，2
C．16，18 D．16，9
解析：选C.因为x1，x2，x3，…，xn的平均数为5，所以eq \f(x1＋x2＋x3＋…＋xn,n)＝5，所以eq \f(3x1＋3x2＋3x3＋…＋3xn,n)＋1＝3×5＋1＝16，因为x1，x2，x3，…，xn的方差为2，所以3x1＋1，3x2＋1，3x3＋1，…，3xn＋1的方差是32×2＝18.故选C.
2．为了普及环保知识，增强环保意识，某大学随机抽取30名学生参加环保知识测试，得分(十分制)如图所示，假设得分的中位数为m，众数为n，平均数为eq \x\t(x)，则m，n，eq \x\t(x)的大小关系为________．(用“<”连接)
解析：由题图可知，30名学生得分的中位数为第15个数和第16个数(分别为5，6)的平均数，即m＝5.5；又5出现次数最多，故n＝5；
eq \x\t(x)＝eq \f(1,30)(2×3＋3×4＋10×5＋6×6＋3×7＋2×8＋2×9＋2×10)≈5.97.
故n答案：n 茎叶图(自主练透)
1．如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各5名工人某日的产量数据(单位：件)．若这两组数据的中位数相等，且平均值也相等，则x和y的值分别为( )
A．3，5 B．5，5
C．3，7 D．5，7
解析：选A.根据两组数据的中位数相等可得65＝60＋y，解得y＝5，又它们的平均值相等，
所以eq \f(56＋62＋65＋74＋（70＋x）,5)＝
eq \f(59＋61＋67＋（60＋y）＋78,5)，解得x＝3.故选A.
2．(2020·河北石家庄模拟)已知甲，乙两名篮球运动员进行罚球训练，每人练习10组，每组罚球40个，每组投中个数的茎叶图如图所示，则下列结论错误的是( )
A．甲投中个数的极差是29
B．乙投中个数的众数是21
C．甲的投中率比乙高
D．甲投中个数的中位数是25
解析：选D.由茎叶图可知甲投中个数的极差为37－8＝29，故A正确；易知乙投中个数的众数是21，故B正确；甲的投中率为eq \f(8＋12＋13＋20＋22＋24＋25＋26＋27＋37,40×10)＝0.535，乙的投中率为eq \f(9＋11＋13＋14＋18＋19＋20＋21＋21＋23,40×10)＝0.422 5，所以甲的投中率比乙高，C正确；甲投中个数的中位数为eq \f(22＋24,2)＝23，D不正确，故选D.
3．某学生在一门功课的22次考试中，所得分数的茎叶图如图所示，则此学生该门功课考试分数的极差与中位数之和为( )
A．117 B．118
C．118.5 D．119.5
解析：选B.22次考试中，所得分数最高的为98，最低的为56，所以极差为98－56＝42，
将分数从小到大排列，中间两数为76，76，所以中位数为76，
所以此学生该门功课考试分数的极差与中位数之和为42＋76＝118.
eq \a\vs4\al()
茎叶图中的三个关注点
(1)“叶”的位置只有一个数字，而“茎”的位置的数字位数一般不需要统一．
(2)重复出现的数据要重复记录，不能遗漏．
(3)给定两组数据的茎叶图，估计数字特征，茎上的数字由小到大排列，一般“重心”下移者平均数较大，数据集中者方差较小．
频率分布直方图(多维探究)
角度一 求样本的频率、频数
(2020·湖南五市十校联考)在某次赛车中，50名参赛选手的成绩(单位：min)全部介于13到18之间(包括13和18)，将比赛成绩分为五组：第一组[13，14)，第二组[14，15)，…，第五组[17，18]．其频率分布直方图如图所示，若成绩在[13，15)内的选手可获奖，则这50名选手中获奖的人数为( )
A．39 B．35
C．15 D．11
【解析】 由频率分布直方图知成绩在[15，18]内的频率为(0.38＋0.32＋0.08)×1＝0.78.所以成绩在[13，15)内的频率为1－0.78＝0.22.则成绩在[13，15)内的选手有50×0.22＝11(人)，即这50名选手中获奖的人数为11，故选D.
【答案】 D
角度二 求样本的数字特征
(2019·高考全国卷Ⅲ)为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将200只小鼠随机分成A，B两组，每组100只，其中A组小鼠给服甲离子溶液，B组小鼠给服乙离子溶液．每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同．经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比．根据试验数据分别得到如下直方图：
记C为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于5.5”，根据直方图得到P(C)的估计值为0.70.
(1)求乙离子残留百分比直方图中a，b的值；
(2)分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)．
【解】 (1)由已知得0.70＝a＋0.20＋0.15，故a＝0.35.
b＝1－0.05－0.15－0.70＝0.10.
(2)甲离子残留百分比的平均值的估计值为
2×0.15＋3×0.20＋4×0.30＋5×0.20＋6×0.10＋7×0.05＝4.05.
乙离子残留百分比的平均值的估计值为
3×0.05＋4×0.10＋5×0.15＋6×0.35＋7×0.20＋8×0.15＝6.00.
角度三 与概率结合的问题
(2020·重庆九校联盟一模)某社区为了解该社区退休老人每天的平均户外活动时间，从该社区退休老人中随机抽取了100位老人进行调查，获得了每人每天的平均户外活动时间(单位：时)，活动时间按照[0，0.5)，[0.5，1)，…，[4，4.5]分成9组，制成样本的频率分布直方图如图所示．
(1)求图中a的值；
(2)估计该社区退休老人每人每天的平均户外活动时间的中位数；
(3)在[1，1.5)，[1.5，2)这两组中采用分层抽样的方法抽取7人，再从这7人中随机抽取2人，求抽取的2人恰好在同一个组的概率．
【解】 (1)由频率分布直方图，可知平均户外活动时间在[0，0.5)内的频率为0.08×0.5＝0.04.
同理，平均户外活动时间在[0.5，1)，[1.5，2)，[2，2.5)，[3，3.5)，[3.5，4)，[4，4.5)内的频率分别为0.08，0.20，0.25，0.07，0.04，0.02，
由1－(0.04＋0.08＋0.20＋0.25＋0.07＋0.04＋0.02)＝0.5a＋0.5a，
解得a＝0.30.
(2)设中位数为m时．
因为前5组的频率之和为0.04＋0.08＋0.15＋0.20＋0.25＝0.72>0.5，
而前4组的频率之和为0.04＋0.08＋0.15＋0.20＝0.47<0.5，所以2≤m<2.5.
所以0.50×(m－2)＝0.5－0.47，解得m＝2.06.
故可估计该社区退休老人每人每天的平均户外活动时间的中位数为2.06时．
(3)由题意得平均户外活动时间在[1，1.5)，[1.5，2)内的人数分别为15，20.
按分层抽样的方法在[1，1.5)，[1.5，2)内分别抽取3人，4人，从7人中随机抽取2人，共有Ceq \\al(2,7)＝21种方法，抽取的两人恰好都在同一个组有Ceq \\al(2,4)＋Ceq \\al(2,3)＝9种方法，故抽取的2人恰好在同一个组的概率P＝eq \f(9,21)＝eq \f(3,7).
eq \a\vs4\al()
频率、频数、样本容量的计算方法
(1)eq \f(频率,组距)×组距＝频率．
(2)eq \f(频数,样本容量)＝频率，eq \f(频数,频率)＝样本容量，样本容量×频率＝频数．
[提醒] 制作好频率分布表后，可以利用各组的频率之和是否为1来检验该表是否正确．
1．在某中学举行的环保知识竞赛中，将三个年级参赛学生的成绩进行整理后分为5组，绘制如图所示的频率分布直方图，图中从左到右依次为第一、第二、第三、第四、第五小组，已知第二小组的频数是40，则成绩在80～100分的学生人数是( )
A．15 B．18
C．20 D．25
解析：选A.根据频率分布直方图，得第二小组的频率是0.04×10＝0.4，因为频数是40，所以样本容量是eq \f(40,0.4)＝100，又成绩在80～100分的频率是(0.01＋0.005)×10＝0.15，所以成绩在80～100分的学生人数是100×0.15＝15.故选A.
2．(2020·安徽淮南二模)某乡镇为了打赢脱贫攻坚战，决定盘活贫困村的各项经济发展要素，实施了产业、创业、就业“三业并举”工程．在实施过程中，引导某贫困村农户因地制宜开展种植某经济作物．该类经济作物的质量以其质量指标值来衡量，质量指标值越大表明质量越好，记其质量指标值为k，其质量指标的等级划分如表：
为了解该类经济作物在当地的种植效益，当地引种了甲、乙两个品种．并随机抽取了甲、乙两个不同品种的各10 000件产品，测量了每件产品的质量指标值，得到下面产品质量指标值频率分布直方图(图甲和图乙)．
(1)若将频率视为概率，从乙品种产品中有放回地随机抽取3件，记“抽出乙品种产品中至少有1件优等品(质量指标值k≥80为优等品)”为事件A，求事件A发生的概率P(A)；(结果保留小数点后3位)
(2)若甲、乙两个品种的销售利润率y与质量指标值k满足下表：
其中eq \f(1,6)解：(1)设“从乙品种产品中抽取1件为优等品”的概率为P，则根据频率分布直方图可得P＝(0.03＋0.08＋0.04＋0.02)×5＝0.85，
则P(A)＝1－Ceq \\al(3,3)(1－P)3＝1－0.153≈0.997.
(2)由频率分布直方图可得，甲品种产品的利润率的分布列为
E(y)甲＝0.2×3t＋0.7×5t2＋0.1×t2＝3.6t2＋0.6t；
乙品种产品的利润率的分布列为
E(y)乙＝0.3×3t＋0.55×5t2＋0.1×t2＋0.05×(－t)＝2.85t2＋0.85t.
E(y)甲－E(y)乙＝3.6t2＋0.6t－(2.85t2＋0.85t)＝0.75t2－0.25t＝0.25t(3t－1)，
由于eq \f(1,6)故种植乙品种的平均利润率较大．
样本数字特征的求解与应用(师生共研)
抽样统计甲、乙两位射击运动员的5次训练成绩(单位：环)，结果如下：
(1)成绩较为稳定(方差较小)的那位运动员成绩的方差为________．
(2)甲、乙二人参加某体育项目训练，近期的五次测试成绩得分情况如图：
①分别求出两人得分的平均数与方差；
②根据图和上面算得的结果，对两人的训练成绩作出评价．
【解】 (1)eq \x\t(x)甲＝eq \f(1,5)(87＋91＋90＋89＋93)＝90，
eq \x\t(x)乙＝eq \f(1,5)(89＋90＋91＋88＋92)＝90，
seq \\al(2,甲)＝eq \f(1,5)[(87－90)2＋(91－90)2＋(90－90)2＋(89－90)2＋(93－90)2]＝4，
seq \\al(2,乙)＝eq \f(1,5)[(89－90)2＋(90－90)2＋(91－90)2＋(88－90)2＋(92－90)2]＝2.故填2.
(2)①由题图可得甲、乙两人五次测试的成绩分别为
甲：10分，13分，12分，14分，16分；
乙：13分，14分，12分，12分，14分．
eq \x\t(x)甲＝eq \f(10＋13＋12＋14＋16,5)＝13；
eq \x\t(x)乙＝eq \f(13＋14＋12＋12＋14,5)＝13，
seq \\al(2,甲)＝eq \f(1,5)[(10－13)2＋(13－13)2＋(12－13)2＋(14－13)2＋(16－13)2]＝4；
seq \\al(2,乙)＝eq \f(1,5)[(13－13)2＋(14－13)2＋(12－13)2＋(12－13)2＋(14－13)2]＝0.8.
②由seq \\al(2,甲)>seq \\al(2,乙)，可知乙的成绩较稳定．
从折线图看，甲的成绩基本呈上升状态，而乙的成绩上下波动，可知甲的成绩在不断提高，而乙的成绩则无明显提高．
eq \a\vs4\al()
(1)众数、中位数、平均数及方差的意义
①平均数与方差都是重要的数字特征，是对总体的一种简明地描述；
②平均数、中位数、众数描述其集中趋势，方差和标准差描述波动大小．
(2)在计算平均数、方差时可利用平均数、方差的有关结论．
1．甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次，两人成绩的条形统计图如图所示，则( )
A．甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数
B．甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数
C．甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差
D．甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差
解析：选C. eq \x\t(x)甲＝eq \f(1,5)(4＋5＋6＋7＋8)＝6，
eq \x\t(x)乙＝eq \f(1,5)(5×3＋6＋9)＝6，
甲的成绩的方差为eq \f(1,5)(22×2＋12×2)＝2，
乙的成绩的方差为eq \f(1,5)(12×3＋32×1)＝2.4.
甲的成绩的中位数为6，乙的成绩的中位数为5，
甲的成绩的极差为4，乙的成绩的极差为4，故选C.
2．(2020·贵阳市监测考试)在某校科普知识竞赛前的模拟测试中，得到甲、乙两名学生的6次模拟测试成绩(百分制)的茎叶图(如图)．若从甲、乙两名学生中选择一人参加该知识竞赛，你会选哪位？请运用统计学的知识说明理由．
解：学生甲的平均成绩eq \x\t(x)甲＝eq \f(68＋76＋79＋86＋88＋95,6)＝82，
学生乙的平均成绩eq \x\t(x)乙＝eq \f(71＋75＋82＋84＋86＋94,6)＝82，
又seq \\al(2,甲)＝eq \f(1,6)×[(68－82)2＋(76－82)2＋(79－82)2＋(86－82)2＋(88－82)2＋(95－82)2]＝77，
seq \\al(2,乙)＝eq \f(1,6)×[(71－82)2＋(75－82)2＋(82－82)2＋(84－82)2＋(86－82)2＋(94－82)2]＝eq \f(167,3)，则eq \x\t(x)甲＝eq \x\t(x)乙，seq \\al(2,甲)>seq \\al(2,乙)，说明甲、乙的平均水平一样，但乙的方差小，即乙发挥更稳定，故可选择学生乙参加知识竞赛．
[基础题组练]
1．(2019·高考全国卷Ⅱ)演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分，7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是( )
A．中位数 B．平均数
C．方差 D．极差
解析：选A.记9个原始评分分别为a，b，c，d，e，f，g，h，i(按从小到大的顺序排列)，易知e为7个有效评分与9个原始评分的中位数，故不变的数字特征是中位数，故选A.
2．(2020·陕西商洛质检)在一次53.5千米的自行车个人赛中，25名参赛选手成绩(单位：分钟)的茎叶图如图所示，现将参赛选手按成绩由好到差编为1～25号，再用系统抽样的方法从中选取5人，已知选手甲的成绩性为85分钟，若甲被选取，则被选取的其余4名选手的成绩的平均数为( )
A．95 B．96
C．97 D．98
解析：选C.由系统抽样法及已知条件可知被选中的其他4人的成绩分别是88，94，99，107，故平均数为eq \f(88＋94＋99＋107,4)＝97，故选C.
3．(2020·广东珠海摸底)某班级在一次数学竞赛中设置了一等奖、二等奖、三等奖以及参与奖，各个奖品的单价分别为一等奖20元，二等奖10元，三等奖5元，参与奖2元，获奖人数的分配情况如图所示，则以下说法不正确的是( )
A．获得参与奖的人数最多
B．各个奖项中三等奖的总费用最高
C．购买奖品的平均费用为9.25元
D．购买奖品的费用的中位数为2元
解析：选C.设全班人数为a.由扇形统计图可知．一等奖占5%，二等奖占10%，三等奖占30%，参与奖占55%，获得参与奖的人数最多，故A正确；一等奖的总费用为5%a×20＝a.二等奖的总费用为10%a×10＝a，三等奖的总费用为30%a×5＝eq \f(3,2)a，参与奖的总费用为55%a×2＝eq \f(11,10)a，所以各个奖项中三等奖的总费用最高，故B正确；购买奖品的平均费用为5%×20＋10%×10＋30%×5＋55%×2＝4.6(元)，故C错误；参与奖占55%，所以购买奖品的费用的中位数为2元，故D正确．故选C.
4．(2020·安徽六安毛坦厂中学月考)某位教师2017年的家庭总收入为80 000元，各种用途占比统计如下面的折线图.2018年收入的各种用途占比统计如下面的条形图，已知2018年的就医费用比2017年增加了4 750元，则该教师2018年的家庭总收入为( )
A．100 000元 B．95 000元
C．90 000元 D．85 000元
解析：选D.由已知得，2017年的就医费用为80 000×10%＝8 000(元)．故2018年的就医费用为8 000＋4 750＝12 750(元)，所以该教师2018年的家庭总收入为eq \f(12 750,15%)＝85 000(元)．故选D.
5．甲、乙两名同学6次考试的成绩统计如图所示，甲、乙两组数据的平均数分别为eq \x\t(x)甲，eq \x\t(x)乙，标准差分别为σ甲，σ乙，则( )
A．eq \x\t(x)甲σ乙
C．eq \x\t(x)甲>eq \x\t(x)乙，σ甲<σ乙 D．eq \x\t(x)甲>eq \x\t(x)乙，σ甲>σ乙
解析：选C.由题图可知，甲同学除第二次考试成绩略低于乙同学外，其他考试成绩都远高于乙同学，可知eq \x\t(x)甲>eq \x\t(x)乙，题图中数据显示甲同学的成绩比乙同学稳定，故σ甲<σ乙．
6．某中学奥数培训班共有14人，分为两个小组，在一次阶段测试中两个小组成绩的茎叶图如图所示，其中甲组学生成绩的平均数是88，乙组学生成绩的中位数是89，则n－m的值是________．
解析：由甲组学生成绩的平均数是88，可得
eq \f(70＋80×3＋90×3＋（8＋4＋6＋8＋2＋m＋5）,7)＝88，解得m＝3.由乙组学生成绩的中位数是89，可得n＝9，所以n－m＝6.
答案：6
7．已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图甲和图乙所示．为了了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为________、________．
解析：由题图甲可知学生总人数是10 000，样本容量为10 000×2%＝200，抽取的高中生人数是2 000×2%＝40，由题图乙可知高中生的近视率为50%，所以抽取的高中生的近视人数为40×50%＝20.
答案：200 20
8．为了了解某校高三美术生的身体状况，抽查了部分美术生的体重，将所得数据整理后，作出了如图所示的频率分布直方图．已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1∶3∶5，第2个小组的频数为15，则被抽查的美术生的人数是________．
解析：设被抽查的美术生的人数为n，因为后2个小组的频率之和为(0.037 5＋0.012 5)×5＝0.25，所以前3个小组的频率之和为0.75.又前3个小组的频率之比为1∶3∶5，第2个小组的频数为15，所以前3个小组的频数分别为5，15，25，所以n＝eq \f(5＋15＋25,0.75)＝60.
答案：60
9．我国是世界上严重缺水的国家，城市缺水问题较为突出．某市政府为了鼓励居民节约用水，计划在本市试行居民生活用水定额管理，即确定一个合理的居民月用水量标准x(吨)，月用水量不超过x的部分按平价收费，超出x的部分按议价收费．为了了解全市居民用水量的分布情况，通过抽样，获得了100位居民某年的月均用水量(单位：吨)，将数据按照[0，0.5)，[0.5，1)，…，[4，4.5]分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．
(1)求频率分布直方图中a的值；
(2)已知该市有80万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，并说明理由；
(3)若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准x(吨)，估计x的值，并说明理由．
解：(1)由频率分布直方图，可得(0.08＋0.16＋a＋0.40＋0.52＋a＋0.12＋0.08＋0.04)×0.5＝1，
解得a＝0.30.
(2)由频率分布直方图知，100位居民每人月均用水量不低于3吨的频率为(0.12＋0.08＋0.04)×0.5＝0.12.
由以上样本频率分布，可以估计全市80万居民中月均用水量不低于3吨的人数为800 000×0.12＝96 000.
(3)因为前6组的频率之和为(0.08＋0.16＋0.30＋0.40＋0.52＋0.30)×0.5＝0.88＞0.85，前5组的频率之和为(0.08＋0.16＋0.30＋0.40＋0.52)×0.5＝0.73＜0.85，
所以2.5≤x＜3.
由0.3×(x－2.5)＝0.85－0.73，解得x＝2.9.
因此，估计月用水量标准为2.9吨时，85%的居民每月的用水量不超过标准．
10．有A，B，C，D，E五位工人参加技能竞赛培训．现分别从A，B二人在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取8次．用茎叶图表示这两组数据：
(1)A，B二人预赛成绩的中位数分别是多少？
(2)现要从A，B中选派一人参加技能竞赛，从平均状况和方差的角度考虑，你认为派哪位工人参加合适？请说明理由；
(3)若从参加培训的5位工人中选2人参加技能竞赛，求A，B二人中至少有一人参加技能竞赛的概率．
解：(1)A的中位数是eq \f(83＋85,2)＝84，B的中位数是eq \f(84＋82,2)＝83.
(2)派B参加比较合适．理由如下：
eq \x\t(x)B＝eq \f(1,8)(78＋79＋81＋82＋84＋88＋93＋95)＝85，
eq \x\t(x)A＝eq \f(1,8)(75＋80＋80＋83＋85＋90＋92＋95)＝85，
seq \\al(2,B)＝eq \f(1,8)[(78－85)2＋(79－85)2＋(81－85)2＋(82－85)2＋(84－85)2＋(88－85)2＋(93－85)2＋(95－85)2]＝35.5，
seq \\al(2,A)＝eq \f(1,8)[(75－85)2＋(80－85)2＋(80－85)2＋(83－85)2＋(85－85)2＋(90－85)2＋(92－85)2＋(95－85)2]＝41，
因为eq \x\t(x)A＝eq \x\t(x)B，但seq \\al(2,B)(3)5位工人中选2人有10种：(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(C，D)，(C，E)，(D，E)；A，B都不参加的有3种：(C，D)，(C，E)，(D，E)，
A，B二人中至少有一人参加技能竞赛的概率P＝1－eq \f(3,10)＝eq \f(7,10).
[综合题组练]
1．PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物．如图是根据环保部门某日早6点至晚9点在A县、B县两个地区附近的PM2.5监测点统计的数据(单位：毫克/立方米)列出的茎叶图，A县、B县两个地区浓度的方差较小的是( )
A．A县 B．B县
C．A县、B县两个地区相等 D．无法确定
解析：选A.根据茎叶图中的数据可知，A县的数据都集中在0.05和0.08之间，数据分布比较稳定，而B县的数据分布比较分散，不如A县数据集中，所以A县的方差较小．
2．某人5次上班途中所花的时间(单位：分钟)分别为x，y，10，11，9.已知这组数据的平均数为10，方差为2，则|x－y|的值为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选D.由题意知这组数据的平均数为10，方差为2，可得：x＋y＝20，(x－10)2＋(y－10)2＝8，
设x＝10＋t，y＝10－t，由(x－10)2＋(y－10)2＝8，得t2＝4，所以|x－y|＝2|t|＝4.
3．设样本数据x1，x2，…，x2 017的方差是4，若yi＝2xi－1(i＝1，2，…，2 017)，则y1，y2，…，y2 017的方差为________．
解析：设样本数据的平均数为eq \x\t(x)，则yi＝2xi－1的平均数为2eq \x\t(x)－1，则y1，y2，…，y2 017的方差为eq \f(1,2 017)[(2x1－1－2eq \x\t(x)＋1)2＋(2x2－1－2eq \x\t(x)＋1)2＋…＋(2x2 017－1－2eq \x\t(x)＋1)2]＝4×eq \f(1,2 017)[(x1－eq \x\t(x))2＋(x2－eq \x\t(x))2＋…＋(x2 017－eq \x\t(x))2]＝4×4＝16.
答案：16
4．我市某高中从高三年级甲、乙两个班中各选出7名学生参加2018年全国高中数学联赛(河南初赛)，他们取得的成绩(满分140分)的茎叶图如图所示，其中甲班学生成绩的中位数是81，乙班学生成绩的平均数是86，若正实数a，b满足a，G，b成等差数列且x，G，y成等比数列，则eq \f(1,a)＋eq \f(4,b)的最小值为________．
解析：由甲班学生成绩的中位数是81，可知81为甲班7名学生的成绩按从小到大的顺序排列的第4个数，故x＝1.由乙班学生成绩的平均数为86，可得(－10)＋(－6)＋(－4)＋(y－6)＋5＋7＋10＝0，解得y＝4.由x，G，y成等比数列，可得G2＝xy＝4，由正实数a，b满足a，G，b成等差数列，可得G＝2，a＋b＝2G＝4，所以eq \f(1,a)＋eq \f(4,b)＝(eq \f(1,a)＋eq \f(4,b))×(eq \f(a,4)＋eq \f(b,4))＝eq \f(1,4)(1＋eq \f(b,a)＋eq \f(4a,b)＋4)≥eq \f(1,4)×(5＋4)＝eq \f(9,4)(当且仅当b＝2a时取等号)．故eq \f(1,a)＋eq \f(4,b)的最小值为eq \f(9,4).
答案：eq \f(9,4)
5．(2020·东北三省三校二模)一个经销鲜花产品的微店，为保障售出的百合花品质，每天从某省鲜花基地空运固定数量的百合花，如有剩余则免费分赠给第二天购花顾客，如果不足，则从本地鲜花供应商处进货．今年四月前10天，微店百合花的售价为每支2元，某省空运来的百合花每支进价1.6元，本地供应商处的百合花每支进价1.8元，微店这10天的订单中百合花的日需求量(单位：支)依次为：251，255，231，243，263，241，265，255，244，252.
(1)求今年四月前10天订单中百合花日需求量的平均数和众数，并完成频率分布直方图；
(2)预计四月的后20天，订单中百合花日需求量的频率分布与四月前10天相同，百合花进货价格与售价均不变，请根据(1)中频率分布直方图判断(同一组中的需求量数据用该组区间的中点值作代表，位于各区间的频率代替位于该区间的概率)，微店每天从某省固定空运250支，还是255支百合花，四月后20天百合花销售总利润会更大？
解：(1)四月前10天订单中百合需求量众数为255，
平均数eq \x\t(x)＝eq \f(1,10)×(231＋241＋243＋244＋251＋252＋255＋255＋263＋265)＝250.
频率分布直方图如图：
(2)设订单中百合花的日需求量为a(支)，由(1)中频率分布直方图知，a可能取值为235，245，255，265，相应频率分别为0.1，0.3，0.4，0.2.
所以20天中a＝235，245，255，265相应的天数为2天，6天，8天，4天．
①若空运250支，
a＝235，当日利润为235×2－250×1.6＝70(元)，
a＝245，当日利润为245×2－250×1.6＝90(元)，
a＝255，当日利润为255×2－250×1.6－5×1.8＝101(元)，
a＝265，当日利润为265×2－250×1.6－15×1.8＝103(元)，
20天总利润为70×2＋90×6＋101×8＋103×4＝1 900(元)．
②若空运255支，
a＝235，当日利润为235×2－255×1.6＝62(元)，
a＝245，当日利润为245×2－255×1.6＝82(元)，
a＝255，当日利润为255×2－255×1.6＝102(元)，
a＝265，当日利润为265×2－255×1.6－10×1.8＝104(元)，
20天总利润为62×2＋82×6＋102×8＋104×4＝1 848(元)．
因为1 900>1 848，所以每天空运250支百合花，四月后20天总利润更大．
6．某高三毕业班甲、乙两名同学在连续的8次数学周练中，统计解答题失分的茎叶图如图：
(1)比较这两名同学8次周练解答题失分的平均数和方差的大小，并判断哪位同学做解答题相对稳定些；
(2)以上述数据统计甲、乙两名同学失分超过15分的频率作为概率，假设甲、乙两名同学在同一次周练中失分多少互不影响，预测在接下来的2次周练中，甲、乙两名同学失分均超过15分的次数X的分布列和均值．
解：(1) eq \x\t(x)甲 ＝eq \f(1,8)(7＋9＋11＋13＋13＋16＋23＋28)＝15，eq \x\t(x)乙＝eq \f(1,8)(7＋8＋10＋15＋17＋19＋21＋23)＝15，
seq \\al(2,甲)＝eq \f(1,8)[(－8)2＋(－6)2＋(－4)2＋(－2)2＋(－2)2＋12＋82＋132]＝44.75，
seq \\al(2,乙)＝eq \f(1,8)[(－8)2＋(－7)2＋(－5)2＋02＋22＋42＋62＋82]＝32.25.
甲、乙两名同学解答题失分的平均数相等；甲同学解答题失分的方差比乙同学解答题失分的方差大．所以乙同学做解答题相对稳定些．
(2)根据统计结果，在一次周练中，甲和乙失分超过15分的概率分别为P1＝eq \f(3,8)，P2＝eq \f(1,2)，
两人失分均超过15分的概率为P1P2＝eq \f(3,16)，
X的所有可能取值为0，1，2.依题意，X～Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(3,16)))，
P(X＝k)＝Ceq \\al(k,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,16)))eq \s\up12(k)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(13,16)))eq \s\up12(2－k)，k＝0，1，2，
则X的分布列为
X的均值E(X)＝2×eq \f(3,16)＝eq \f(3,8).
质量指标值k
产品等级
k≥90
优秀
80≤k<90
良好
75≤k<80
合格
k<75
不合格
质量指标值k
k≥90
80≤k<90
75≤k<80
k<75
销售利润率y
3t
5t2
t2
－t
y
3t
5t2
t2
P
0.2
0.7
0.1
y
3t
5t2
t2
－t
P
0.3
0.55
0.1
0.05
运动员
第1次
第2次
第3次
第4次
第5次
甲
87
91
90
89
93
乙
89
90
91
88
92
X
0
1
2
P
eq \f(169,256)
eq \f(39,128)
eq \f(9,256)