2023届高考一轮复习讲义（理科）第十一章　统计与统计案例 第2讲　高效演练分层突破学案

这是一份2023届高考一轮复习讲义（理科）第十一章　统计与统计案例 第2讲　高效演练分层突破学案，共8页。

A．中位数 B．平均数
C．方差 D．极差
解析：选A.记9个原始评分分别为a，b，c，d，e，f，g，h，i(按从小到大的顺序排列)，易知e为7个有效评分与9个原始评分的中位数，故不变的数字特征是中位数，故选A.
2．(2020·陕西商洛质检)在一次53.5千米的自行车个人赛中，25名参赛选手成绩(单位：分钟)的茎叶图如图所示，现将参赛选手按成绩由好到差编为1～25号，再用系统抽样的方法从中选取5人，已知选手甲的成绩性为85分钟，若甲被选取，则被选取的其余4名选手的成绩的平均数为( )
A．95 B．96
C．97 D．98
解析：选C.由系统抽样法及已知条件可知被选中的其他4人的成绩分别是88，94，99，107，故平均数为eq \f(88＋94＋99＋107,4)＝97，故选C.
3．(2020·广东珠海摸底)某班级在一次数学竞赛中设置了一等奖、二等奖、三等奖以及参与奖，各个奖品的单价分别为一等奖20元，二等奖10元，三等奖5元，参与奖2元，获奖人数的分配情况如图所示，则以下说法不正确的是( )
A．获得参与奖的人数最多
B．各个奖项中三等奖的总费用最高
C．购买奖品的平均费用为9.25元
D．购买奖品的费用的中位数为2元
解析：选C.设全班人数为a.由扇形统计图可知．一等奖占5%，二等奖占10%，三等奖占30%，参与奖占55%，获得参与奖的人数最多，故A正确；一等奖的总费用为5%a×20＝a.二等奖的总费用为10%a×10＝a，三等奖的总费用为30%a×5＝eq \f(3,2)a，参与奖的总费用为55%a×2＝eq \f(11,10)a，所以各个奖项中三等奖的总费用最高，故B正确；购买奖品的平均费用为5%×20＋10%×10＋30%×5＋55%×2＝4.6(元)，故C错误；参与奖占55%，所以购买奖品的费用的中位数为2元，故D正确．故选C.
4．(2020·安徽六安毛坦厂中学月考)某位教师2017年的家庭总收入为80 000元，各种用途占比统计如下面的折线图.2018年收入的各种用途占比统计如下面的条形图，已知2018年的就医费用比2017年增加了4 750元，则该教师2018年的家庭总收入为( )
A．100 000元 B．95 000元
C．90 000元 D．85 000元
解析：选D.由已知得，2017年的就医费用为80 000×10%＝8 000(元)．故2018年的就医费用为8 000＋4 750＝12 750(元)，所以该教师2018年的家庭总收入为eq \f(12 750,15%)＝85 000(元)．故选D.
5．甲、乙两名同学6次考试的成绩统计如图所示，甲、乙两组数据的平均数分别为eq \x\t(x)甲，eq \x\t(x)乙，标准差分别为σ甲，σ乙，则( )
A．eq \x\t(x)甲σ乙
C．eq \x\t(x)甲>eq \x\t(x)乙，σ甲<σ乙 D．eq \x\t(x)甲>eq \x\t(x)乙，σ甲>σ乙
解析：选C.由题图可知，甲同学除第二次考试成绩略低于乙同学外，其他考试成绩都远高于乙同学，可知eq \x\t(x)甲>eq \x\t(x)乙，题图中数据显示甲同学的成绩比乙同学稳定，故σ甲<σ乙．
6．某中学奥数培训班共有14人，分为两个小组，在一次阶段测试中两个小组成绩的茎叶图如图所示，其中甲组学生成绩的平均数是88，乙组学生成绩的中位数是89，则n－m的值是________．
解析：由甲组学生成绩的平均数是88，可得
eq \f(70＋80×3＋90×3＋（8＋4＋6＋8＋2＋m＋5）,7)＝88，解得m＝3.由乙组学生成绩的中位数是89，可得n＝9，所以n－m＝6.
答案：6
7．已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图甲和图乙所示．为了了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为________、________．
解析：由题图甲可知学生总人数是10 000，样本容量为10 000×2%＝200，抽取的高中生人数是2 000×2%＝40，由题图乙可知高中生的近视率为50%，所以抽取的高中生的近视人数为40×50%＝20.
答案：200 20
8．为了了解某校高三美术生的身体状况，抽查了部分美术生的体重，将所得数据整理后，作出了如图所示的频率分布直方图．已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1∶3∶5，第2个小组的频数为15，则被抽查的美术生的人数是________．
解析：设被抽查的美术生的人数为n，因为后2个小组的频率之和为(0.037 5＋0.012 5)×5＝0.25，所以前3个小组的频率之和为0.75.又前3个小组的频率之比为1∶3∶5，第2个小组的频数为15，所以前3个小组的频数分别为5，15，25，所以n＝eq \f(5＋15＋25,0.75)＝60.
答案：60
9．我国是世界上严重缺水的国家，城市缺水问题较为突出．某市政府为了鼓励居民节约用水，计划在本市试行居民生活用水定额管理，即确定一个合理的居民月用水量标准x(吨)，月用水量不超过x的部分按平价收费，超出x的部分按议价收费．为了了解全市居民用水量的分布情况，通过抽样，获得了100位居民某年的月均用水量(单位：吨)，将数据按照[0，0.5)，[0.5，1)，…，[4，4.5]分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．
(1)求频率分布直方图中a的值；
(2)已知该市有80万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，并说明理由；
(3)若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准x(吨)，估计x的值，并说明理由．
解：(1)由频率分布直方图，可得(0.08＋0.16＋a＋0.40＋0.52＋a＋0.12＋0.08＋0.04)×0.5＝1，
解得a＝0.30.
(2)由频率分布直方图知，100位居民每人月均用水量不低于3吨的频率为(0.12＋0.08＋0.04)×0.5＝0.12.
由以上样本频率分布，可以估计全市80万居民中月均用水量不低于3吨的人数为800 000×0.12＝96 000.
(3)因为前6组的频率之和为(0.08＋0.16＋0.30＋0.40＋0.52＋0.30)×0.5＝0.88＞0.85，前5组的频率之和为(0.08＋0.16＋0.30＋0.40＋0.52)×0.5＝0.73＜0.85，
所以2.5≤x＜3.
由0.3×(x－2.5)＝0.85－0.73，解得x＝2.9.
因此，估计月用水量标准为2.9吨时，85%的居民每月的用水量不超过标准．
10．有A，B，C，D，E五位工人参加技能竞赛培训．现分别从A，B二人在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取8次．用茎叶图表示这两组数据：
(1)A，B二人预赛成绩的中位数分别是多少？
(2)现要从A，B中选派一人参加技能竞赛，从平均状况和方差的角度考虑，你认为派哪位工人参加合适？请说明理由；
(3)若从参加培训的5位工人中选2人参加技能竞赛，求A，B二人中至少有一人参加技能竞赛的概率．
解：(1)A的中位数是eq \f(83＋85,2)＝84，B的中位数是eq \f(84＋82,2)＝83.
(2)派B参加比较合适．理由如下：
eq \x\t(x)B＝eq \f(1,8)(78＋79＋81＋82＋84＋88＋93＋95)＝85，
eq \x\t(x)A＝eq \f(1,8)(75＋80＋80＋83＋85＋90＋92＋95)＝85，
seq \\al(2,B)＝eq \f(1,8)[(78－85)2＋(79－85)2＋(81－85)2＋(82－85)2＋(84－85)2＋(88－85)2＋(93－85)2＋(95－85)2]＝35.5，
seq \\al(2,A)＝eq \f(1,8)[(75－85)2＋(80－85)2＋(80－85)2＋(83－85)2＋(85－85)2＋(90－85)2＋(92－85)2＋(95－85)2]＝41，
因为eq \x\t(x)A＝eq \x\t(x)B，但seq \\al(2,B)(3)5位工人中选2人有10种：(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(C，D)，(C，E)，(D，E)；A，B都不参加的有3种：(C，D)，(C，E)，(D，E)，
A，B二人中至少有一人参加技能竞赛的概率P＝1－eq \f(3,10)＝eq \f(7,10).
[综合题组练]
1．PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物．如图是根据环保部门某日早6点至晚9点在A县、B县两个地区附近的PM2.5监测点统计的数据(单位：毫克/立方米)列出的茎叶图，A县、B县两个地区浓度的方差较小的是( )
A．A县 B．B县
C．A县、B县两个地区相等 D．无法确定
解析：选A.根据茎叶图中的数据可知，A县的数据都集中在0.05和0.08之间，数据分布比较稳定，而B县的数据分布比较分散，不如A县数据集中，所以A县的方差较小．
2．某人5次上班途中所花的时间(单位：分钟)分别为x，y，10，11，9.已知这组数据的平均数为10，方差为2，则|x－y|的值为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选D.由题意知这组数据的平均数为10，方差为2，可得：x＋y＝20，(x－10)2＋(y－10)2＝8，
设x＝10＋t，y＝10－t，由(x－10)2＋(y－10)2＝8，得t2＝4，所以|x－y|＝2|t|＝4.
3．设样本数据x1，x2，…，x2 017的方差是4，若yi＝2xi－1(i＝1，2，…，2 017)，则y1，y2，…，y2 017的方差为________．
解析：设样本数据的平均数为eq \x\t(x)，则yi＝2xi－1的平均数为2eq \x\t(x)－1，则y1，y2，…，y2 017的方差为eq \f(1,2 017)[(2x1－1－2eq \x\t(x)＋1)2＋(2x2－1－2eq \x\t(x)＋1)2＋…＋(2x2 017－1－2eq \x\t(x)＋1)2]＝4×eq \f(1,2 017)[(x1－eq \x\t(x))2＋(x2－eq \x\t(x))2＋…＋(x2 017－eq \x\t(x))2]＝4×4＝16.
答案：16
4．我市某高中从高三年级甲、乙两个班中各选出7名学生参加2018年全国高中数学联赛(河南初赛)，他们取得的成绩(满分140分)的茎叶图如图所示，其中甲班学生成绩的中位数是81，乙班学生成绩的平均数是86，若正实数a，b满足a，G，b成等差数列且x，G，y成等比数列，则eq \f(1,a)＋eq \f(4,b)的最小值为________．
解析：由甲班学生成绩的中位数是81，可知81为甲班7名学生的成绩按从小到大的顺序排列的第4个数，故x＝1.由乙班学生成绩的平均数为86，可得(－10)＋(－6)＋(－4)＋(y－6)＋5＋7＋10＝0，解得y＝4.由x，G，y成等比数列，可得G2＝xy＝4，由正实数a，b满足a，G，b成等差数列，可得G＝2，a＋b＝2G＝4，所以eq \f(1,a)＋eq \f(4,b)＝(eq \f(1,a)＋eq \f(4,b))×(eq \f(a,4)＋eq \f(b,4))＝eq \f(1,4)(1＋eq \f(b,a)＋eq \f(4a,b)＋4)≥eq \f(1,4)×(5＋4)＝eq \f(9,4)(当且仅当b＝2a时取等号)．故eq \f(1,a)＋eq \f(4,b)的最小值为eq \f(9,4).
答案：eq \f(9,4)
5．(2020·东北三省三校二模)一个经销鲜花产品的微店，为保障售出的百合花品质，每天从某省鲜花基地空运固定数量的百合花，如有剩余则免费分赠给第二天购花顾客，如果不足，则从本地鲜花供应商处进货．今年四月前10天，微店百合花的售价为每支2元，某省空运来的百合花每支进价1.6元，本地供应商处的百合花每支进价1.8元，微店这10天的订单中百合花的日需求量(单位：支)依次为：251，255，231，243，263，241，265，255，244，252.
(1)求今年四月前10天订单中百合花日需求量的平均数和众数，并完成频率分布直方图；
(2)预计四月的后20天，订单中百合花日需求量的频率分布与四月前10天相同，百合花进货价格与售价均不变，请根据(1)中频率分布直方图判断(同一组中的需求量数据用该组区间的中点值作代表，位于各区间的频率代替位于该区间的概率)，微店每天从某省固定空运250支，还是255支百合花，四月后20天百合花销售总利润会更大？
解：(1)四月前10天订单中百合需求量众数为255，
平均数eq \x\t(x)＝eq \f(1,10)×(231＋241＋243＋244＋251＋252＋255＋255＋263＋265)＝250.
频率分布直方图如图：
(2)设订单中百合花的日需求量为a(支)，由(1)中频率分布直方图知，a可能取值为235，245，255，265，相应频率分别为0.1，0.3，0.4，0.2.
所以20天中a＝235，245，255，265相应的天数为2天，6天，8天，4天．
①若空运250支，
a＝235，当日利润为235×2－250×1.6＝70(元)，
a＝245，当日利润为245×2－250×1.6＝90(元)，
a＝255，当日利润为255×2－250×1.6－5×1.8＝101(元)，
a＝265，当日利润为265×2－250×1.6－15×1.8＝103(元)，
20天总利润为70×2＋90×6＋101×8＋103×4＝1 900(元)．
②若空运255支，
a＝235，当日利润为235×2－255×1.6＝62(元)，
a＝245，当日利润为245×2－255×1.6＝82(元)，
a＝255，当日利润为255×2－255×1.6＝102(元)，
a＝265，当日利润为265×2－255×1.6－10×1.8＝104(元)，
20天总利润为62×2＋82×6＋102×8＋104×4＝1 848(元)．
因为1 900>1 848，所以每天空运250支百合花，四月后20天总利润更大．
6．某高三毕业班甲、乙两名同学在连续的8次数学周练中，统计解答题失分的茎叶图如图：
(1)比较这两名同学8次周练解答题失分的平均数和方差的大小，并判断哪位同学做解答题相对稳定些；
(2)以上述数据统计甲、乙两名同学失分超过15分的频率作为概率，假设甲、乙两名同学在同一次周练中失分多少互不影响，预测在接下来的2次周练中，甲、乙两名同学失分均超过15分的次数X的分布列和均值．
解：(1) eq \x\t(x)甲 ＝eq \f(1,8)(7＋9＋11＋13＋13＋16＋23＋28)＝15，eq \x\t(x)乙＝eq \f(1,8)(7＋8＋10＋15＋17＋19＋21＋23)＝15，
seq \\al(2,甲)＝eq \f(1,8)[(－8)2＋(－6)2＋(－4)2＋(－2)2＋(－2)2＋12＋82＋132]＝44.75，
seq \\al(2,乙)＝eq \f(1,8)[(－8)2＋(－7)2＋(－5)2＋02＋22＋42＋62＋82]＝32.25.
甲、乙两名同学解答题失分的平均数相等；甲同学解答题失分的方差比乙同学解答题失分的方差大．所以乙同学做解答题相对稳定些．
(2)根据统计结果，在一次周练中，甲和乙失分超过15分的概率分别为P1＝eq \f(3,8)，P2＝eq \f(1,2)，
两人失分均超过15分的概率为P1P2＝eq \f(3,16)，
X的所有可能取值为0，1，2.依题意，X～Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(3,16)))，
P(X＝k)＝Ceq \\al(k,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,16)))eq \s\up12(k)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(13,16)))eq \s\up12(2－k)，k＝0，1，2，
则X的分布列为
X的均值E(X)＝2×eq \f(3,16)＝eq \f(3,8).
X
0
1
2
P
eq \f(169,256)
eq \f(39,128)
eq \f(9,256)