专题15 函数的最大值-2021-2022学年高一数学培优对点题组专题突破（人教A版2019必修第一册）

这是一份专题15 函数的最大值-2021-2022学年高一数学培优对点题组专题突破（人教A版2019必修第一册），文件包含专题15函数的最大值-培优对点题组专题突破解析版doc、专题15函数的最大值-培优对点题组专题突破原卷版doc等2份试卷配套教学资源，其中试卷共19页， 欢迎下载使用。

专题15 函数的最大值问题
1.函数y＝kx＋b在区间[1,2]上的最大值比最小值大2，则k的值为（　　）
A.2
B.
C.－2或2
D.－2
【答案】C
【解析】当k＞0时，ymax＝2k＋b，
ymin＝k＋b，∴2k＋b－（k＋b）＝2，
∴k＝2；
当k＜0时，ymax＝k＋b，
ymin＝2k＋b，∴k＋b－（2k＋b）＝2，
∴k＝－2.综上k＝±2，故选C.
2.若函数y＝x2－3x－4的定义域为[0，m]，值域为，则实数m的取值范围是（　　）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】∵f（x）＝x2－3x－4＝2－，
∴f＝－，又f（0）＝－4，
故由二次函数图象可知（如图）：

m的值最小为，最大为3，即m的取值范围是.故选A.
3.函数y＝x＋的最值的情况为（　　）
A.最小值为，无最大值
B.最大值为，无最小值
C.最小值为，最大值为2
D.无最大值，也无最小值
【答案】A
【解析】∵y＝x＋在定义域[，＋∞）上是增函数，∴函数的最小值为，无最大值，故选A.
4.已知函数y＝＋的最大值为M，最小值为m，则的值为（　　）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】由得函数的定义域是{x|－3≤x≤1}，
y2＝4＋2·＝4＋2，
当x＝－1时，y取得最大值M＝2；
当x＝－3或1时，y取得最小值m＝2，
∴＝.
5.定义域为R的函数f（x）满足f（x＋1）＝2f（x），且当x∈（0,1]时，f（x）＝x2－x，则当x∈（－1,0]时，f（x）的最小值为（　　）
A.－
B.－
C.0
D.
【答案】A
【解析】若x∈（－1,0]，则x＋1∈（0,1].
因为当x∈（0,1]时，f（x）＝x2－x，
所以f（x＋1）＝（x＋1）2－（x＋1）＝x2＋x.
又f（x＋1）＝2f（x），则
f（x）＝x2＋x＝2－，
所以当x＝－时，f（x）取得最小值－.故选A.
6.若函数f（x）＝x＋（x>2）在x＝a处取得最小值，则a等于（　　）
A.1＋
B.1＋
C.3
D.4
【答案】C
【解析】设2＜x1＜x2，
则f（x1）－f（x2）＝－
＝（x2－x1）.
∵x2－x1＞0，当－1＞0时，即当2＜x＜3时，f（x1）－f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2），函数f（x）＝x＋为减函数；当x>3时，f（x1）－f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），函数f（x）＝x＋为增函数，
∴函数f（x）＝x＋在x＝3处取得最小值，∴a＝3.
7.若函数y＝f（x），x∈[－2,2]的图象如图所示，则该函数的最大值、最小值分别为（　　）

A.f，f
B.f（0），f
C.f（0），f
D.f（0），f（2）
【答案】C
【解析】函数最大值对应图象中的最高点纵坐标f（0），同理，最小值对应f.
8.若函数f（x）＝的最小值为f（0），则实数m的取值范围是（　　）
A.[－1,2]
B.[－1,0]
C.[1,2]
D.[0,2]
【答案】D
【解析】当x≤0时，f（x）＝（x－m）2，f（x）min＝f（0）＝m2，
所以对称轴x＝m≥0.
当x>0时，f（x）＝x＋＋m≥2＋m＝2＋m，
当且仅当x＝，即x＝1时取等号，
所以f（x）min＝2＋m.
因为f（x）的最小值为m2，
所以m2≤2＋m，所以0≤m≤2.
9.函数f（x）在区间[－2,5]上的图象如图所示，则此函数的最小值、最大值分别是（　　）

A.－2，f（2）
B.2，f（2）
C.－2，f（5）
D.2，f（5）
【答案】C
【解析】由函数最值的几何意义知，当x＝－2时，有最小值－2；当x＝5时，有最大值f（5），故选C.
10.下列函数在[1,4]上最大值为3的是（　　）
A.y＝＋2
B.y＝3x－2
C.y＝x2
D.y＝1－x
【答案】A
【解析】B、C在[1,4]上均为增函数，A、D在[1,4]上均为减函数，代入端点值，即可求得最值，故选A.
11.已知函数f（x）＝，x∈[1，＋∞）.
（1）当a＝4时，求f（x）的最小值；
（2）当a＝时，求f（x）的最小值；
（3）若a为正常数，求f（x）的最小值.
【答案】（1）当a＝4时，f（x）＝x＋＋2，
易知，f（x）在[1,2]上是减函数，在[2，＋∞）上是增函数，
∴f（x）min＝f（2）＝6.
（2）当a＝时，f（x）＝x＋＋2.
易知，f（x）在[1，＋∞）上为增函数.
∴f（x）min＝f（1）＝.
（3）函数f（x）＝x＋＋2在（0，]上是减函数，
在[，＋∞）上是增函数.
当>1，即a>1时，f（x）在区间[1，＋∞）上先减后增，
∴f（x）min＝f（）＝2＋2.
当≤1，即0 12.已知函数f（x）＝.
（1）判断函数在区间[1，＋∞）上的单调性，并用定义证明你的结论；
（2）求该函数在区间[1,4]上的最大值与最小值.

【答案】（1）函数f（x）在[1，＋∞）上是增函数.证明如下：
任取x1，x2∈[1，＋∞），且x1＜x2，
f（x1）－f（x2）＝－＝.
∵x1－x2＜0，（x1＋1）（x2＋1）＞0，
∴f（x1）－f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），
∴函数f（x）在[1，＋∞）上是增函数.
（2）由（1）知函数f（x）在[1,4]上是增函数，
故最大值f（4）＝，最小值f（1）=.
13.（1）已知函数f（x）＝x2－2x－3，若x∈[0,2]，求函数f（x）的最值；
（2）已知函数f（x）＝x2－2x－3，若x∈[t，t＋2]，求函数f（x）的最值；
（3）已知函数f（x）＝x－2－3，求函数f（x）的最值.
【答案】（1）∵函数f（x）＝x2－2x－3开口向上，对称轴x＝1，
∴f（x）在[0,1]上单调递减，在[1,2]上单调递增，且f（0）＝f（2）.
∴f（x）max＝f（0）＝f（2）＝－3，f（x）min＝f（1）＝－4.
（2）∵对称轴x＝1，
①当1≥t＋2即t≤－1时，
f（x）max＝f（t）＝t2－2t－3，
f（x）min＝f（t＋2）＝（t＋2）2－2（t＋2）－3＝t2＋2t－3.
②当≤1 f（x）max＝f（t）＝t2－2t－3，
f（x）min＝f（1）＝－4.
③当t≤1<，即0 f（x）max＝f（t＋2）＝t2＋2t－3，
f（x）min＝f（1）＝－4.
④当11时，f（x）max＝f（t＋2）＝t2＋2t－3，
f（x）min＝f（t）＝t2－2t－3.
设函数f（x）的最大值为g（t），最小值为φ（t），则有
g（t）＝
φ（t）＝
（3）设＝t（t≥0），则x－2－3＝t2－2t－3.
由（1）知y＝t2－2t－3（t≥0）在[0,1]上单调递减，在[1，＋∞）上单调递增.
∴当t＝1即x＝1时，f（x）min＝－4，无最大值.
14.（1）已知函数f（x）＝x4－2x2－3，求函数f（x）的最值；
（2）求二次函数f（x）＝x2－2ax＋2在[2,4]上的最小值；
（3）如图，某地要修建一个圆形的喷水池，水流在各个方向上以相同的抛物线路径落下，以水池的中央为坐标原点，水平方向为x轴、竖直方向为y轴建立平面直角坐标系.那么水流喷出的高度h（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的函数关系式为h＝－x2＋2x＋，x∈[0，].求水流喷出的高度h的最大值是多少？


【答案】（1）设x2＝t（t≥0），则x4－2x2－3＝t2－2t－3.
y＝t2－2t－3（t≥0）在[0,1]上单调递减，在[1，＋∞）上单调递增.
∴当t＝1即x＝±1时，f（x）min＝－4，无最大值.
（2）∵函数图象的对称轴是x＝a，
∴当a<2时，f（x）在[2,4]上是增函数，
∴f（x）min＝f（2）＝6－4a.
当a>4时，f（x）在[2,4]上是减函数，
∴f（x）min＝f（4）＝18－8a.
当2≤a≤4时，f（x）min＝f（a）＝2－a2.
∴f（x）min＝
（3）由函数h＝－x2＋2x＋，x∈[0，]的图象可知，函数图象的顶点就是水流喷出的最高点.此时函数取得最大值.对于函数h＝－x2＋2x＋，x∈[0，]，
当x＝1时，函数有最大值hmax＝－12＋2×1＋＝.
于是水流喷出的最高高度是m.
15.函数f（x）＝4x2－4ax＋a2－2a＋2在区间[0,2]上有最小值3，求a的值.
【答案】f（x）＝4（x－）2－2a＋2，
①当≤0，即a≤0时，函数f（x）在[0,2]上是增函数.
∴f（x）min＝f（0）＝a2－2a＋2.
由a2－2a＋2＝3，得a＝1±.
∵a≤0，∴a＝1－.
②当0<<2，即0 由－2a＋2＝3，得a=（0,4），舍去.
③当≥2，即a≥4时，函数f（x）在[0,2]上是减函数，
f（x）min＝f（2）＝a2－10a＋18.
由a2－10a＋18＝3，得a＝5±.
∵a≥4，∴a＝5＋.
综上所述，a＝1－或a＝5+.
16.函数f（x）＝x2－4x－4在闭区间[t，t＋1]（t∈R）上的最小值记为g（t）.
（1）试写出g（t）的函数表达式；
（2）求g（t）的最小值.
【答案】（1）f（x）＝x2－4x－4＝（x－2）2－8.
当t>2时，f（x）在[t，t＋1]上是增函数，
∴g（t）＝f（t）＝t2－4t－4；
当t≤2≤t＋1，即1≤t≤2时，g（t）＝f（2）＝－8；
当t＋1<2，即t<1时，f（x）在[t，t＋1]上是减函数，
∴g（t）＝f（t＋1）＝t2－2t－7.
从而g（t）＝
（2）g（t）的图象如图所示，由图象易知g（t）的最小值为－8.

17.已知函数f（x）＝（x－a）2－（a2＋1）在区间[0,2]上的最大值为g（a），最小值为h（a）（a∈R）.
（1）求g（a）和h（a）；
（2）作出g（a）和h（a）的图象，并分别指出g（a）的最小值和h（a）的最大值各为多少？
【答案】（1）∵f（x）＝（x－a）2－（a2＋1），又x∈[0,2]，
∴当a≤0时，g（a）＝f（2）＝3－4a，h（a）＝f（0）＝－1；
当0 当1 当a≥2时，g（a）＝f（0）＝－1，h（a）＝f（2）＝3－4a.
综上可知g（a）＝
h（a）＝
（2）g（a）和h（a）的图象分别为：


由图象可知，函数y＝g（a）的最小值为－1，
函数y＝h（a）的最大值为－1.
18.某住宅小区为了营造一个优雅、舒适的生活环境，打算建造一个八边形的休闲花园，它的主体造型的平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成面积为200米2的十字形区域，且计划在正方形MNPK上建一座花坛，其造价为4200元/米2，在四个相同的矩形上（图中的阴影部分）铺花岗岩路面，其造价为210元/米2，并在四个三角形空地上铺草坪，其造价为80元/米2.

（1）设AD的长为x米，试写出总造价Q（单位：元）关于x的函数解析式；
（2）问：当x取何值时，总造价最少？求出这个最小值.

【答案】（1）设AM＝y，AD＝x，
则x2＋4xy＝200，∴y＝.
故Q＝4200x2＋210×4xy＋80×2y2＝38000＋4000x2＋（0 （2）令t＝x2，则Q＝38000＋4000（t＋），且0 ∵函数u＝t＋在（0,10]上单调递减，在[10,200）上单调递增，
∴当t＝10时，umin＝20.
故当x＝时，Qmin＝118000（元）.
19.已知函数f（x）＝（x>0）.
（1）求证：f（x）在（0,1]上为增函数；
（2）求函数f（x）的最大值和最小值.
【答案】（1）证明　设x1，x2是区间（0，＋∞）上的任意两个实数，且x1 ＝＝.
当00，x1x2－1<0，
∴f（x1）－f（x2）<0，f（x1） ∴f（x）在（0,1]上单调递增.
（2）解　当1≤x10，x1x2－1>0，
f（x1）－f（x2）>0，f（x1）>f（x2），
∴f（x）在[1，＋∞）上单调递减.
∴结合（1）（2）可知，f（x）max＝f（1）＝，无最小值.
20.已知函数f（x）＝＋.
（1）求函数f（x）的定义域和值域；
（2）设F（x）＝m＋f（x），求函数F（x）的最大值的表达式g（m）.

【答案】（1）要使函数f（x）有意义，
需满足得－1≤x≤1.
故函数f（x）的定义域是{x|－1≤x≤1}.
∵[f（x）]2＝2＋2，且0≤≤1，
∴2≤[f（x）]2≤4，又∵f（x）≥0，
∴≤f（x）≤2，
即函数f（x）的值域为[，2].
（2）令f（x）＝t，则t2＝2＋2，
则＝－1，
故F（x）＝m（t2－1）＋t
＝mt2＋t－m，t∈[，2]，
令h（t）＝mt2＋t－m，
则函数h（t）的图象的对称轴方程为t＝－.
①当m>0时，－<0，函数y＝h（t）在区间[，2]上单调递增，
∴g（m）＝h（2）＝m＋2.
②当m＝0时，h（t）＝t，g（m）＝2；
③当m<0时，－>0，若0<－≤，
即m≤－时，函数y＝h（t）在区间[，2]上单调递减，
∴g（m）＝h（）＝，
若<－≤2，即－ g（m）＝h（－）＝－m－；
若－>2，即－ 函数y＝h（t）在区间[，2]上单调递增，
∴g（m）＝h（2）＝m＋2.
综上，g（m）＝
21.已知函数f（x）对任意x，y∈R，总有f（x）＋f（y）＝f（x＋y），且当x>0时，f（x）<0，f（1）＝－.
（1）求证：f（x）在R上是减函数；
（2）求f（x）在[－3,3]上的最大值与最小值.
【答案】（1）令x＝y＝0，得f（0）＋f（0）＝f（0），
∴f（0）＝0.
令y＝－x，得f（x）＋f（－x）＝f（x－x）＝f（0）＝0，
∴f（－x）＝－f（x）.
对任意x1，x2∈R，且x10，
f（x2）－f（x1）＝f（x2）＋f（－x1）＝f（x2－x1）.
∵x2－x1>0，且当x>0时，有f（x）<0，
∴f（x2－x1）<0，即f（x2）－f（x1）<0，
∴f（x2） （2）[－3,3]R，由（1），知f（x）在R上是减函数，
故f（x）max＝f（－3）＝－f（3）＝－f（2＋1）
＝－[f（2）＋f（1）]＝－[f（1＋1）＋f（1）]
＝－[f（1）＋f（1）＋f（1）]＝－3f（1）＝－3×（－）＝2；
f（x）min＝f（3）＝f（2＋1）＝f（2）＋f（1）
＝f（1＋1）＋f（1）＝f（1）＋f（1）＋f（1）
＝3f（1）＝3×（－）＝－2.