专题3.5 正弦定理和余弦定理-2022年高考数学一轮复习核心素养大揭秘学案

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【考纲要求】
掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题.
【命题趋势】
正、余弦定理是解三角形的主要工具．高考中主要考查用其求三角形中的边和角及进行边、角之间的转化.
【核心素养】
本讲的内容主要考查数学运算，直观想象的核心素养.
【素养清单•基础知识】
1．正弦定理
eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)＝eq \f(c,sin C)＝2R(R为△ABC外接圆的半径)．
a＝2RsinA b＝2RsinB c＝2RsinC，
sin A＝eq \f(a,2R) sin B＝eq \f(b,2R) sin C＝eq \f(c,2R)，
a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C，
asin B＝bsin A，
bsin C＝csin B，
asin C＝csin A，
eq \f(a＋b＋c,sin A＋sin B＋sin C)＝2R
2．余弦定理
a2＝b2＋c2－2bccs A；
b2＝c2＋a2－2cacs B；
c2＝a2＋b2－2abcs C.
3．三角形的面积公式
(1)S△ABC＝eq \f(1,2)aha(ha为边a上的高)；
(2)S△ABC＝eq \f(1,2)absin C＝eq \f(1,2)bcsin A＝eq \f(1,2)acsin B；
(3)S＝eq \f(1,2)r(a＋b＋c)(r为三角形的内切圆半径)．
4.在△ABC中，已知a，b和A，解三角形时解的情况
【素养清单•常用结论】
1．三角形内角和定理
在△ABC中，A＋B＋C＝π；变形：eq \f(A＋B,2)＝eq \f(π,2)－eq \f(C,2).
2．三角形中的三角函数关系
(1)sin(A＋B)＝sin C；(2)cs(A＋B)＝－cs C；
(3)sineq \f(A＋B,2)＝cseq \f(C,2)；(4)cseq \f(A＋B,2)＝sineq \f(C,2).
3．三角形中的射影定理
在△ABC中，a＝bcs C＋ccs B；b＝acs C＋ccs A；c＝bcs A＋acs B.
4．用余弦定理判断三角形的形状
在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，当b2＋c2－a2>0时，可知A为锐角；当b2＋c2－a2＝0时，可知A为直角；当b2＋c2－a2<0时，可知A为钝角．
【真题体验】
1.【2019年高考全国Ⅱ卷理数】的内角的对边分别为.若，则的面积为_________．
【答案】
【解析】由余弦定理得，所以，即，解得（舍去），
所以，
【名师点睛】本题易错点往往是余弦定理应用有误或是开方导致错误．解答此类问题，关键是在明确方法的基础上，准确记忆公式，细心计算．本题首先应用余弦定理，建立关于的方程，应用的关系、三角形面积公式计算求解，本题属于常见题目，难度不大，注重了基础知识、基本方法、数学式子的变形及运算求解能力的考查．
2.【2019年高考浙江卷】在中，，，，点在线段上，若，则___________，___________．
【答案】，
【解析】如图，在中，由正弦定理有：，而，
，，所以.
.

【名师点睛】本题主要考查解三角形问题，即正弦定理、三角恒等变换、数形结合思想及函数方程思想.在中应用正弦定理，建立方程，进而得解.解答解三角形问题，要注意充分利用图形特征.
3.【2019年高考全国Ⅰ卷理数】的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设．
（1）求A；
（2）若，求sinC．
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）由已知得，
故由正弦定理得．
由余弦定理得．
因为，所以．
（2）由（1）知，
由题设及正弦定理得，
即，可得．
由于，所以，故
．
【名师点睛】本题考查利用正弦定理、余弦定理解三角形的问题，涉及到两角和差正弦公式、同角三角函数关系的应用，解题关键是能够利用正弦定理对边角关系式进行化简，得到余弦定理的形式或角之间的关系.
4.【2019年高考全国Ⅲ卷理数】△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
（1）求B；
（2）若△ABC为锐角三角形，且c=1，求△ABC面积的取值范围．
【答案】（1）B=60°；（2）.
【解析】（1）由题设及正弦定理得．
因为sinA0，所以．
由，可得，故．
因为，故，
因此B=60°．
（2）由题设及（1）知△ABC的面积．
由正弦定理得．
由于△ABC为锐角三角形，故0°由（1）知A+C=120°，所以30°从而．
因此，△ABC面积的取值范围是．
【名师点睛】这道题考查了三角函数的基础知识，以及正弦定理的使用（此题也可以用余弦定理求解），最后考查是锐角三角形这个条件的利用，考查的很全面，是一道很好的考题.
5.【2019年高考北京卷理数】在△ABC中，a=3，b−c=2，csB=．
（1）求b，c的值；
（2）求sin（B–C）的值．
【答案】（1），；（2）.
【解析】（1）由余弦定理，得
.
因为，
所以.
解得.
所以.
（2）由得.
由正弦定理得.
在中，∠B是钝角，
所以∠C为锐角.
所以.
所以.
【名师点睛】本题主要考查余弦定理、正弦定理的应用，两角差的正弦公式的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
6.【2019年高考天津卷理数】在中，内角所对的边分别为．已知，．
（1）求的值；
（2）求的值．
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）在中，由正弦定理，得，
又由，得，即．
又因为，得到，．
由余弦定理可得．
（2）由（1）可得，
从而，，故
．
【名师点睛】本小题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和的正弦公式，二倍角的正弦与余弦公式，以及正弦定理、余弦定理等基础知识．考查运算求解能力．
7.【2019年高考江苏卷】在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．
（1）若a=3c，b=，csB=，求c的值；
（2）若，求的值．
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）因为，
由余弦定理，得，即.
所以.
（2）因为，
由正弦定理，得，所以.
从而，即，故.
因为，所以，从而.
因此.
【名师点睛】本小题主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函数关系、诱导公式等基础知识，考查运算求解能力.
【考法拓展•题型解码】
考法一 利用正、余弦定理解三角形
解题技巧：应用正弦、余弦定理的解题技巧
(1)求边：利用公式a＝eq \f(bsin A,sin B)，b＝eq \f(asin B,sin A)，c＝eq \f(asin C,sin A)或其他相应变形公式求解．
(2)求角：先求出正弦值，再求角，即利用公式sin A＝eq \f(asin B,b)，sin B＝eq \f(bsin A,a)，sin C＝eq \f(csin A,a)或其他相应变形公式求解．
(3)已知两边和夹角或已知三边可利用余弦定理求解．
(4)利用式子的特点转化：如出现a2＋b2－c2＝λab形式用余弦定理，等式两边是关于边或角的正弦的齐次式用正弦定理．
【例1】 (2018·浙江卷)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a＝eq \r(7)，b＝2，A＝60°，则sin B＝__________，c＝__________.
【答案】eq \f(\r(21),7) 3
【解析】 由正弦定理得eq \f(2,sin B)＝eq \f(\r(7),sin 60°)，所以sin B＝eq \f(\r(21),7)，由余弦定理得7＝c2＋4－2×2×c×eq \f(1,2)，即c2－2c－3＝0，所以c＝3.
【例2】 (2018·天津卷)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知bsin A＝acseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(B－\f(π,6))).
(1)求角B的大小；
(2)设a＝2，c＝3，求b和sin(2A－B)的值．
【答案】见解析
【解析】 (1)在△ABC中，由正弦定理得bsin A＝asinB．又由bsin A＝acseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(B－\f(π,6)))，得asin B＝acseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(B－\f(π,6)))，即sin B＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(B－\f(π,6)))，可得tan B＝eq \r(3).又因为B∈(0，π)，所以B＝eq \f(π,3).
(2)在△ABC中，由余弦定理及a＝2，c＝3，B＝eq \f(π,3)，得b2＝a2＋c2－2accs B＝7，故b＝eq \r(7).由bsin A＝acseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(B－\f(π,6)))，可得sin A＝eq \f(\r(3),\r(7)).因为a考法二 利用正、余弦定理判断三角形的形状
解题技巧：利用正、余弦定理判断三角形形状的两种思路
(1)“角化边”：利用正弦、余弦定理把已知条件转化为只含边的关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状．
(2)“边化角”：利用正弦、余弦定理把已知条件转化为只含内角的三角函数间的关系，通过三角函数恒等变形，得出内角的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用A＋B＋C＝π这个结论．
注意：在两种解法的等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解．
【例3】 在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asin A＝(2b＋c)sin B＋(2c＋b)sin C．
(1)求A的大小；
(2)若sin B＋sin C＝1，试判断△ABC的形状．
【答案】见解析
【解析】 (1)由已知，根据正弦定理得2a2＝(2b＋c)b＋(2c＋b)c，即a2＝b2＋c2＋bc，由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccs A，故cs A＝－eq \f(1,2)，又0(2)由(1)得sin2A＝sin2B＋sin2C＋sin Bsin C＝eq \f(3,4).
又sin B＋sin C＝1，联立两式得sin B＝sin C＝eq \f(1,2).
因为A为钝角，所以B，C为锐角，故B＝C＝eq \f(π,6)，所以△ABC是以A为顶角的等腰三角形．
考法三 与三角形面积有关的问题
解题技巧：与三角形面积有关问题的常见类型及解题策略
(1)求三角形的面积．对于公式S＝eq \f(1,2)absin C＝eq \f(1,2)acsin B＝eq \f(1,2)bcsin A，一般是已知哪一个角就使用含哪个角的公式．
(2)已知三角形的面积解三角形．与面积有关的问题，一般要利用正弦定理或余弦定理进行边和角的互化．
【例4】 (1)(2018·全国卷Ⅲ)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若△ABC的面积为eq \f(a2＋b2－c2,4)，则C＝( )
A．eq \f(π,2) B．eq \f(π,3)
C．eq \f(π,4) D．eq \f(π,6)
【答案】C
【解析】△ABC的面积为eq \f(a2＋b2－c2,4)＝eq \f(1,2)absin C，所以sin C＝eq \f(a2＋b2－c2,2ab)＝cs C得tan C＝1，所以C＝eq \f(π,4).
(2)(2018·北京卷)若△ABC的面积为eq \f(\r(3),4)(a2＋c2－b2)，且∠C为钝角，则∠B＝__________；eq \f(c,a)的取值范围是__________．
【答案】60° (2，＋∞)
【解析】由已知得eq \f(\r(3),4)(a2＋c2－b2)＝eq \f(1,2)acsin B，所以eq \f(\r(3)a2＋c2－b2,2ac)＝sin B，由余弦定理得eq \r(3)cs B＝sin B，所以tan B＝eq \r(3)，所以B＝60°，又C＞90°，B＝60°，所以A<30°，且A＋C＝120°，所以eq \f(c,a)＝eq \f(sin C,sin A)＝eq \f(sin120°－A,sin A)＝eq \f(1,2)＋eq \f(\r(3),2tan A).又A<30°，所以0＜tan Aeq \r(3)，所以eq \f(c,a)>eq \f(1,2)＋eq \f(3,2)＝2.
【例5】 (2016·浙江卷)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.
已知b＋c＝2acs B．
(1)证明：A＝2B；
(2)若△ABC的面积S＝eq \f(a2,4)，求角A的大小．
【答案】见解析
【解析】 (1)证明：由正弦定理得sin B＋sin C＝2sin Acs B，故
2sin Acs B＝sin B＋sin(A＋B)＝sin B＋sin Acs B＋cs Asin B，
于是sin B＝sin(A－B)．又A，B∈(0，π)，故0(2)由S＝eq \f(a2,4)，得eq \f(1,2)absin C＝eq \f(a2,4)，故有sin Bsin C＝eq \f(1,2)sin 2B＝sin BcsB，由sin B≠0得sin C＝cs B．又B，C∈(0，π)，所以C＝eq \f(π,2)±B．当B＋C＝eq \f(π,2)时，A＝eq \f(π,2)；当C－B＝eq \f(π,2)时，由2B＋B＋C＝π得B＝eq \f(π,8)，故A＝eq \f(π,4).综上，A＝eq \f(π,2)或A＝eq \f(π,4).
【易错警示】
易错点 判断三角形形状时容易漏解
【典例】 在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，若tan A∶tan B＝a2∶b2，试判断△ABC的形状．
【错解】：因为eq \f(sin A,cs A)∶eq \f(sin B,cs B)＝a2∶b2＝sin2A∶sin2B，
所以eq \f(sin Acs B,cs Asin B)＝eq \f(sin2A,sin2B)，整理得sin 2A＝sin 2B，
所以A＝B，所以△ABC为等腰三角形．
【错因分析】：在△ABC中，sin 2A＝sin 2B与2A＝2B是不等价的，我们知道，互为补角的两个角的正弦值也相等，因此，在求解过程中忽视了2A＋2B＝π这一特性，因而造成判断错误．
【正解】：因为eq \f(sin A,cs A)∶eq \f(sin B,cs B)＝a2∶b2＝sin2A∶sin2B，
所以eq \f(sin Acs B,cs Asin B)＝eq \f(sin2A,sin2B)，整理得sin 2A＝sin 2B，
所以2A＝2B或2A＋2B＝π，即A＝B或A＋B＝eq \f(π,2)，
所以△ABC为等腰三角形或直角三角形．
【跟踪训练】 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若c－acs B＝(2a－b)cs A，则△ABC的形状为( )
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形
【答案】D
【解析】 因为c－acs B＝(2a－b)cs A，C＝π－(A＋B)，所以由正弦定理得sin C－sin Acs B＝2sin Acs A－sin Bcs A，所以sin Acs B＋cs Asin B－sin Acs B＝2sin Acs A－sin Bcs A，所以cs A(sin B－sin A)＝0，所以cs A＝0或sin B＝sin A，所以A＝eq \f(π,2)或B＝A或B＝π－A(舍去)，所以△ABC为等腰或直角三角形．
【递进题组】
1．(2017·全国卷Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知sin B＋sin A(sin C－cs C)＝0，a＝2，c＝eq \r(2)，则C＝( )
A．eq \f(π,12) B．eq \f(π,6)
C．eq \f(π,4) D．eq \f(π,3)
【答案】B
【解析】 因为sin B＋sin A(sin C－cs C)＝0，所以sin(A＋C)＋sin Asin C－sin Acs C＝0，所以sin Acs C＋cs Asin C＋sin Asin C－sin Acs C＝0，整理得sin C(sin A＋cs A)＝0，因为sin C≠0，所以sin A＋cs A＝0，所以tan A＝－1，因为A∈(0，π)，所以A＝eq \f(3π,4)，由正弦定理得sin C＝eq \f(c·sin A,a)＝eq \f(\r(2)×\f(\r(2),2),2)＝eq \f(1,2)，又02．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若直线bx＋ycs A＋cs B＝0与ax＋ycs B＋cs A＝0平行，则△ABC一定是( )
A．锐角三角形 B．等腰三角形
C．直角三角形 D．等腰或者直角三角形
【答案】C
【解析】 由两直线平行可得bcs B－acs A＝0，由正弦定理可知sin Bcs B－sin Acs A＝0，即eq \f(1,2)sin 2A＝eq \f(1,2)sin 2B，又A，B∈(0，π)，且A＋B∈(0，π)，所以2A＝2B或2A＋2B＝π，即A＝B或A＋B＝eq \f(π,2).若A＝B，则a＝b，cs A＝cs B，此时两直线重合，不符合题意，舍去，故A＋B＝eq \f(π,2)，则△ABC是直角三角形．故选C．
3．(2018·全国卷Ⅰ)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知bsin C＋csin B＝4asin Bsin C，b2＋c2－a2＝8，则△ABC的面积为__________．
【答案】 eq \f(2\r(3),3)
【解析】 已知bsin C＋csin B＝4asin Bsin C⇒2sin Bsin C＝4sin A·sin Bsin C，所以sin A＝eq \f(1,2)，由b2＋c2－a2＝8>0知A为锐角，所以cs A＝eq \f(\r(3),2)，所以eq \f(\r(3),2)＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq \f(4,bc)，所以bc＝eq \f(8,\r(3))＝eq \f(8\r(3),3)，所以S△ABC＝eq \f(1,2)bcsin A＝eq \f(1,2)×eq \f(8\r(3),3)×eq \f(1,2)＝eq \f(2\r(3),3).
4．(2018·北京卷)在△ABC中，a＝7，b＝8，cs B＝－eq \f(1,7).
(1)求∠A；
(2)求AC边上的高．
【答案】见解析
【解析】 (1)在△ABC中，因为cs B＝－eq \f(1,7)，所以B∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，所以sin B＝eq \r(1－cs2B)＝eq \f(4\r(3),7).由正弦定理得eq \f(7,sin A)＝eq \f( 8 ,\f(4\r(3),7))，所以sin A＝eq \f(\r(3),2).因为B∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，所以A∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，所以∠A＝eq \f(π,3).
(2)在△ABC中，因为sin C＝sin(A＋B)＝sin Acs B＋sin Bcs A＝eq \f(\r(3),2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,7)))＋eq \f(1,2)×eq \f(4\r(3),7)＝eq \f(3\r(3),14).
如图所示，在△ABC中，因为sin C＝eq \f(h,BC)，所以h＝BC·sin C＝7×eq \f(3\r(3),14)＝eq \f(3\r(3),2)，所以AC边上的高为eq \f(3\r(3),2).
【考卷送检】
一、选择题
1．(2019·武汉中学期中)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝1，b＝eq \r(3)，A＝30°，若B为锐角，则A∶B∶C＝( )
A．1∶1∶3 B．1∶2∶3
C．1∶3∶2 D．1∶4∶1
【答案】B
【解析】 因为a＝1，b＝eq \r(3)，A＝30°，B为锐角，所以由正弦定理可得sin B＝eq \f(bsin A,a)＝eq \f(\r(3),2)，则B＝60°，所以C＝90°，则A∶B∶C＝1∶2∶3.
2．在△ABC中，∠A＝45°，∠C＝105°，BC＝eq \r(2)，则边长AC＝( )
A．eq \r(3)－1 B．1
C．2 D．eq \r(3)＋1
【答案】B
【解析】 依题意有∠B＝180°－105°－45°＝30°，根据正弦定理eq \f(AC,sin B)＝eq \f(BC,sin A)，得AC＝eq \f(\r(2)×\f(1,2),\f(\r(2),2))＝1.故选B．
3．在△ABC中，AC＝eq \r(7)，BC＝2，B＝60°，则BC边上的高等于( )
A．eq \f(\r(3),2) B．eq \f(3\r(3),2)
C．eq \f(\r(3)＋\r(6),2) D．eq \f(\r(3)＋\r(39),4)
【答案】B
【解析】 设AC＝b，BC＝a，AB＝c，由余弦定理b2＝a2＋c2－2accs B得7＝4＋c2－2c，解得c＝3或c＝－1，因为eq \r(7)>2，所以三角形仅有一解，所以c＝3.设BC边上的高为h，则h＝csin B＝eq \f(3\r(3),2).
4．在△ABC中，若AB＝2，AC2＋BC2＝8，则△ABC面积的最大值为( )
A．eq \r(2) B．2
C．eq \r(3) D．3
【答案】C
【解析】 因为AC2＋BC2≥2AC·BC，所以AC·BC≤4.因为cs C＝eq \f(AC2＋BC2－AB2,2AC·BC)，所以cs C≥eq \f(1,2)，所以0°5．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若eq \f(sin A,sin B)＝eq \f(a,c)，(b＋c＋a)(b＋c－a)＝3bc，则△ABC的形状为( )
A．直角三角形 B．等腰非等边三角形
C．等边三角形 D．钝角三角形
【答案】C
【解析】 因为eq \f(sin A,sin B)＝eq \f(a,c)，所以eq \f(a,b)＝eq \f(a,c)，所以b＝c.又(b＋c＋a)(b＋c－a)＝3bc，所以b2＋c2－a2＝bc，所以cs A＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq \f(bc,2bc)＝eq \f(1,2).因为A∈(0，π)，所以A＝eq \f(π,3)，所以△ABC是等边三角形．
6．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.若c2＝(a－b)2＋6，C＝eq \f(π,3)，则△ABC的面积是( )
A．3 B．eq \f(9\r(3),2)
C．eq \f(3\r(3),2) D．3eq \r(3)
【答案】C
【解析】 因为c2＝(a－b)2＋6，所以c2＝a2＋b2－2ab＋6.①
因为C＝eq \f(π,3)，所以c2＝a2＋b2－2abcseq \f(π,3)＝a2＋b2－ab.②
由①②得－ab＋6＝0，即ab＝6.
所以S△ABC＝eq \f(1,2)absin C＝eq \f(1,2)×6×eq \f(\r(3),2)＝eq \f(3\r(3),2).
二、填空题
7．△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a，b，c成等比数列．若sin B＝eq \f(5,13)，cs B＝eq \f(12,ac)，则a＋c的值为________．
【答案】 3eq \r(7)
【解析】 因为a，b，c成等比数列，所以b2＝ac.因为sin B＝eq \f(5,13)，cs B＝eq \f(12,ac)，所以ac＝13，因为b2＝a2＋c2－2accs B，所以a2＋c2＝37，所以(a＋c)2＝63，所以a＋c＝3eq \r(7).
8．(2017·浙江卷)已知△ABC，AB＝AC＝4，BC＝2.点D为AB延长线上一点，BD＝2，连接CD，则△BDC的面积是________，cs∠BDC＝________.
【答案】 eq \f(\r(15),2) eq \f(\r(10),4)
【解析】 在△ABC中，AB＝AC＝4，BC＝2，由余弦定理得cs∠ABC＝eq \f(AB2＋BC2－AC2,2AB·BC)＝eq \f(42＋22－42,2×4×2)＝eq \f(1,4)，则sin∠ABC＝sin∠CBD＝eq \f(\r(15),4)，所以S△BDC＝eq \f(1,2)BD·BCsin∠CBD＝eq \f(\r(15),2).因为BD＝BC＝2，所以∠BDC＝eq \f(1,2)∠ABC，则cs∠BDC＝eq \r(\f(cs∠ABC＋1,2))＝eq \f(\r(10),4).
9．(2019·开封一模)在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，且B为锐角，若eq \f(sin A,sin B)＝eq \f(5c,2b)，sin B＝eq \f(\r(7),4)，S△ABC＝eq \f(5\r(7),4)，则b的值为________．
【答案】 eq \r(14)
【解析】 由eq \f(sin A,sin B)＝eq \f(5c,2b)⇒eq \f(a,b)＝eq \f(5c,2b)⇒a＝eq \f(5,2)c①，由S△ABC＝eq \f(1,2)acsin B＝eq \f(5\r(7),4)且sin B＝eq \f(\r(7),4)得eq \f(1,2)ac＝5②，联立①②解得a＝5，c＝2，由sin B＝eq \f(\r(7),4)且B为锐角知cs B＝eq \f(3,4)，由余弦定理知b2＝25＋4－2×5×2×eq \f(3,4)＝14，b＝eq \r(14).
三、解答题
10．(2019·邢台质检)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且b＝2asin B，tan A＞0.
(1)求角A的大小；
(2)若b＝1，c＝2eq \r(3)，△ABC的面积为S，求eq \f(a,S).
【答案】见解析
【解析】 (1)因为b＝2asin B，所以sin B＝2sin A·sin B，sin B>0，
所以sin A＝eq \f(1,2)，因为tan A>0，所以A为锐角，所以A＝eq \f(π,6).
(2)因为a2＝b2＋c2－2bccs A＝1＋12－4eq \r(3)×eq \f(\r(3),2)＝7，所以a＝eq \r(7).
又S＝eq \f(1,2)bcsin A＝eq \f(\r(3),2)，所以eq \f(a,S)＝eq \f(2\r(21),3).
11．(2019·河南重点高中期中)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sin2eq \f(A,2)＝eq \f(c－b,2c).
(1)判断△ABC的形状并加以证明；
(2)当c＝1时，求△ABC周长的最大值．
【答案】见解析
【解析】 (1)因为eq \f(1－cs A,2)＝eq \f(1,2)－eq \f(b,2c)，即cs A＝eq \f(b,c)，所以b＝ccs A＝c·eq \f(b2＋c2－a2,2bc)，即c2＝b2＋a2，所以△ABC为直角三角形．
(2)因为c为直角△ABC的斜边，当c＝1时，周长L＝1＋sin A＋cs A＝1＋eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(A＋\f(π,4))).
因为012．已知在平面四边形ABCD中，∠ABC＝eq \f(3π,4)，AB⊥AD，AB＝1，△ABC的面积为eq \f(1,2).
(1)求sin∠CAB的值；
(2)若∠ADC＝eq \f(π,6)，求CD的长．
【答案】见解析
【解析】 (1)△ABC的面积S＝eq \f(1,2)AB·BC·sin∠ABC＝eq \f(1,2)×1×BC×eq \f(\r(2),2)＝eq \f(1,2)，得BC＝eq \r(2).在△ABC中，由余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cs∠ABC，即AC2＝1＋2－2×1×eq \r(2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(2),2)))＝5，得AC＝eq \r(5).在△ABC中，由正弦定理得eq \f(BC,sin∠CAB)＝eq \f(AC,sin∠ABC)，即eq \f(\r(2),sin∠CAB)＝eq \f(\r(5),sin\f(3π,4))，
所以sin∠CAB＝eq \f(\r(5),5).
(2)由题设知∠CAB＜eq \f(π,2)，则cs∠CAB＝eq \r(1－sin2∠CAB)＝eq \r(1－\f(1,5))＝eq \f(2\r(5),5)，因为AB⊥AD，所以∠DAC＋∠CAB＝eq \f(π,2).所以sin∠DAC＝cs∠CAB＝eq \f(2\r(5),5).在△ACD中，由正弦定理得eq \f(AC,sin∠ADC)＝eq \f(CD,sin∠DAC)，即eq \f(\r(5),sin\f(π,6))＝eq \f(CD, \f(2\r(5),5) )，解得CD＝4.
13．(2019·重庆二中期中)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足b2＋c2－a2＝bc，eq \(AB,\s\up7(→))·eq \(BC,\s\up7(→))＞0，a＝eq \f(\r(3),2)，则b＋c的取值范围是( )
A．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(3,2))) B．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)，\f(3,2)))
C．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(3,2))) D．eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(3,2)))
【答案】B
【解析】 在△ABC中，b2＋c2－a2＝bc，由余弦定理可得cs A＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq \f(bc,2bc)＝eq \f(1,2)，因为A是△ABC的内角，所以A＝60°.因为a＝eq \f(\r(3),2)，所以由正弦定理得eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)＝eq \f(c,sin C)＝eq \f(c,sin120°－B)＝1，所以b＋c＝sin B＋sin(120°－B)＝eq \f(3,2)sinB＋eq \f(\r(3),2)cs B＝eq \r(3)sin(B＋30°)．因为eq \(AB,\s\up7(→))·eq \(BC,\s\up7(→))＝|eq \(AB,\s\up7(→))|·|eq \(BC,\s\up7(→))|·cs(π－B)＞0，所以cs B＜0，B为钝角，所以90°＜B＜120°，120°＜B＋30°＜150°，故sin(B＋30°)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(\r(3),2)))，所以b＋c＝eq \r(3)sin(B＋30°)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)，\f(3,2))).
A为锐角
A为钝角或直角
图形
关系式
aa＝bsin A
bsin Aa≥b
a>b
a≤b
解的个数
__无解__
__一解__
__两解__
__一解__
__一解__
__无解__