专题4.2 平面向量基本定理及坐标表示-2022年高考数学一轮复习核心素养大揭秘学案

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【考纲要求】
1. 了解平面向量的基本定理及其意义．
2．掌握平面向量的正交分解及其坐标表示．
3．会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算．
4．理解用坐标表示的平面向量共线的条件.
【命题趋势】
对平面向量基本定理及坐标表示的考查主要是加、减、数乘及向量共线定理的坐标表示及应用。
【核心素养】
本讲内容主要考查数学运算、直观想象、逻辑推理的核心素养。
【素养清单•基础知识】
1．平面向量基本定理
(1)定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.
(2)基底：不共线的向量e1e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．
1基底e1，e2必须是同一平面内的两个不共线向量，零向量不能作为基底；
2基底给定，同一向量的分解形式唯一；
3如果对于一组基底e1，e2，有a＝λ1e1＋λ2e2＝μ1e1＋μ2e2，则可以得到eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(λ1＝μ1，,λ2＝μ2.))
2．平面向量的坐标运算
(1)向量的加法、减法、数乘向量及向量的模：
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，
则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，
a－b＝(x1－x2，y1－y2)，
λa＝(λx1，λy1)，|a|＝eq \r(x\\al(2,1)＋y\\al(2,1)).
eq \a\vs4\al(若a＝b，则x1＝x2且y1＝y2.)
(2)向量坐标的求法：
①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．
②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则eq \(AB,\s\up7(―→))＝(x2－x1，y2－y1)，
|eq \(AB,\s\up7(―→))|＝eq \r(x2－x12＋y2－y12).
3．平面向量共线的坐标表示
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，则a∥b⇔x1y2－x2y1＝0.
当且仅当x2y2≠0时，a∥b与eq \f(x1,x2)＝eq \f(y1,y2)等价．即两个不平行于坐标轴的共线向量的对应坐标成比例．
【素养清单•常用结论】
若eq \(OA,\s\up7(→))，eq \(OB,\s\up7(→))是平面内不共线的向量，则存在实数λ1，λ2使得eq \(OC,\s\up7(→))＝λ1eq \(OA,\s\up7(→))＋λ2eq \(OB,\s\up7(→))，则当λ1＋λ2＝1时，A，B，C三点共线，特别地，当λ1＝λ2＝eq \f(1,2)时，C是A与B的中点
【真题体验】
1.【2018年高考全国III卷理数】已知向量，，．若，则___________．
【答案】
【解析】由题可得，，，，即，故答案为.
【名师点睛】本题主要考查向量的坐标运算，以及两向量共线的坐标关系，属于基础题.解题时，由两向量共线的坐标关系计算即可.
2.【2017年高考江苏卷】如图，在同一个平面内，向量，，的模分别为1，1，，与的夹角为，且=7，与的夹角为45°．若，则___________．

【答案】3
【解析】由可得，，根据向量的分解，
易得，即，即，即得，
所以．
【名师点睛】（1）向量的坐标运算将向量与代数有机结合起来，这就为向量和函数、方程、不等式的结合提供了前提，运用向量的有关知识可以解决某些函数、方程、不等式问题．
（2）以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问题．通过向量的坐标运算，可将原问题转化为解不等式或求函数值域的问题，是此类问题的一般方法．
（3）向量的两个作用：①载体作用，关键是利用向量的意义、作用脱去“向量外衣”，转化为我们熟悉的数学问题；②工具作用，利用向量可解决一些垂直、平行、夹角与距离问题．
2．若向量eq \(AB,\s\up7(→))＝(1,2)，eq \(BC,\s\up7(→))＝(3,4)，则eq \(AC,\s\up7(→))＝( )
A．(4,6) B．(－4，－6)
C．(－2，－2) D．(2,2)
【答案】A
【解析】 因为eq \(AC,\s\up7(→))＝eq \(AB,\s\up7(→))＋eq \(BC,\s\up7(→))，所以eq \(AC,\s\up7(→))＝(1,2)＋(3,4)＝(4,6)．
3．已知两点A(4,1)，B(7，－3)，则与eq \(AB,\s\up7(→))同向的单位向量是( )
A．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,5)，－\f(4,5))) B．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,5)，\f(4,5)))
C．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4,5)，\f(3,5))) D．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,5)，－\f(3,5)))
【答案】A
【解析】 因为A(4,1)，B(7，－3)，所以eq \(AB,\s\up7(→))＝(3，－4)，所以与eq \(AB,\s\up7(→))同向的单位向量为eq \f(\(AB,\s\up7(→)),|\(AB,\s\up7(→))|)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,5)，－\f(4,5))).
4．(2017·山东卷)已知向量a＝(2,6)，b＝(－1，λ)．若a∥b，则λ＝__________.
【答案】 －3
【解析】 因为a∥b，所以－1×6＝2λ，所以λ＝－3.
5．梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，点M，N分别是CD，AB的中点，设eq \(AB,\s\up7(→))＝a，eq \(AD,\s\up7(→))＝b.若eq \(MN,\s\up7(→))＝ma＋nb，则eq \f(n,m)＝__________.
【答案】 －4
【解析】 因为eq \(MN,\s\up7(→))＝eq \(MD,\s\up7(→))＋eq \(DA,\s\up7(→))＋eq \(AN,\s\up7(→))＝－eq \f(1,4)a－b＋eq \f(1,2)a＝eq \f(1,4)a－b，
所以m＝eq \f(1,4)，n＝－1，所以eq \f(n,m)＝－4.
【考法拓展•题型解码】
考法一 平面向量基本定理的应用
归纳总结
(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．
(2)用平面向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．
【例1】 (1)在平行四边形ABCD中，点E和F分别是边CD和BC的中点．若eq \(AC,\s\up7(→))＝λeq \(AE,\s\up7(→))＋μeq \(AF,\s\up7(→))，其中λ，μ∈R，则λ＋μ＝__________.
【答案】eq \f(4,3)
【解析】选择eq \(AB,\s\up7(→))，eq \(AD,\s\up7(→))作为平面向量的一组基底，则eq \(AC,\s\up7(→))＝eq \(AB,\s\up7(→))＋eq \(AD,\s\up7(→))，eq \(AE,\s\up7(→))＝eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up7(→))＋eq \(AD,\s\up7(→))，eq \(AF,\s\up7(→))＝eq \(AB,\s\up7(→))＋eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up7(→))，
又eq \(AC,\s\up7(→))＝λeq \(AE,\s\up7(→))＋μeq \(AF,\s\up7(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)λ＋μ))eq \(AB,\s\up7(→))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(λ＋\f(1,2)μ))eq \(AD,\s\up7(→))，
于是得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(1,2)λ＋μ＝1，,λ＋\f(1,2)μ＝1，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(λ＝\f(2,3)，,μ＝\f(2,3)，))故λ＋μ＝eq \f(4,3).
(2)如图所示，在△ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N，若eq \(AB,\s\up7(→))＝meq \(AM,\s\up7(→))，eq \(AC,\s\up7(→))＝neq \(AN,\s\up7(→))，则mn的最大值为__________．
【答案】1
【解析】因为点O是BC的中点，所以eq \(AO,\s\up7(→))＝eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up7(→))＋eq \(AC,\s\up7(→)))．又因为eq \(AB,\s\up7(→))＝meq \(AM,\s\up7(→))，eq \(AC,\s\up7(→))＝neq \(AN,\s\up7(→))，所以eq \(AO,\s\up7(→))＝eq \f(m,2)eq \(AM,\s\up7(→))＋eq \f(n,2)eq \(AN,\s\up7(→)).又因为M，O，N三点共线，所以eq \f(m,2)＋eq \f(n,2)＝1，即m＋n＝2，所以mn≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(m,2)＋\f(n,2)))2＝1，
当且仅当m＝n＝1时，等号成立，故mn的最大值为1.
考法二 平面向量的坐标运算
归纳总结：平面向量坐标运算的技巧
(1)向量的坐标运算主要是利用向量的加、减、数乘运算的法则来进行求解，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标．要注意点的坐标和向量的坐标之间的关系，一个向量的坐标等于向量终点的坐标减去始点的坐标．
(2)解题过程中，常利用向量相等则其坐标相同这一原则，通过列方程(组)来进行求解．
【例2】 (1)已知向量a＝(5,2)，b＝(－4，－3)，c＝(x，y)，若3a－2b＋c＝0，则c＝( )
A．(－23，－12) B．(23,12)
C．(7,0) D．(－7,0)
【答案】A
【解析】3a－2b＋c＝(23＋x,12＋y)＝0，故x＝－23，y＝－12.故选A．
(2)已知向量a＝(2,1)，b＝(1，－2)．若ma＋nb＝(9，－8)(m，n∈R)，则m－n的值为__________．
【答案】－3
【解析】由向量a＝(2,1)，b＝(1，－2)，得ma＋nb＝(2m＋n，m－2n)＝(9，－8)，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2m＋n＝9，,m－2n＝－8，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＝2，,n＝5，))故m－n＝－3.
(3)平面直角坐标系xOy中，已知A(1,0)，B(0,1)，C(－1，c)(c＞0)，且|eq \(OC,\s\up7(→))|＝2，若eq \(OC,\s\up7(→))＝λeq \(OA,\s\up7(→))＋μeq \(OB,\s\up7(→))，则实数λ＋μ的值为__________．
【答案】eq \r(3)－1
【解析】因为|eq \(OC,\s\up7(→))|＝2，所以|eq \(OC,\s\up7(→))|2＝1＋c2＝4，因为c>0，所以c＝eq \r(3).因为eq \(OC,\s\up7(→))＝λeq \(OA,\s\up7(→))＋μeq \(OB,\s\up7(→))，所以(－1，eq \r(3))＝λ(1,0)＋μ(0,1)，所以λ＝－1，μ＝eq \r(3)，所以λ＋μ＝eq \r(3)－1.
考法三 平面向量共线的坐标表示
归纳总结
(1)利用两向量共线求参数．如果已知两向量共线，求某些参数的取值时，则利用“若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件是x1y2＝x2y1”解题比较方便．
(2)利用两向量共线的条件求向量坐标．一般地，在求与一 个已知向量a共线的向量时，可设所求向量为λa(λ∈R)，然后结合其他条件列出关于λ的方程，求出λ的值后代入λa即可得到所求的向量．
【例3】 (1)已知向量m＝(1,7)与向量n＝(k，k＋18)平行，则k的值为( )
A．－6 B．3
C．4 D．6
【答案】B
【解析】因为m∥n，所以7k＝k＋18，解得k＝3.故选B．
(2)已知点A(0,1)，B(3,2)，C(2，k)，且A，B，C三点共线，则向量eq \(AC,\s\up7(→))＝( )
A．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(2,3))) B．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(5,3)))
C．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)，2)) D．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,3)，2))
【答案】A
【解析】Aeq \(B,\s\up7(→))＝(3,1)，Aeq \(C,\s\up7(→))＝(2，k－1)，因为A，B，C三点共线，所以可设Aeq \(B,\s\up7(→))＝λAeq \(C,\s\up7(→))，即(3,1)＝λ(2，k－1)，所以2λ＝3，即λ＝eq \f(3,2)，所以Aeq \(C,\s\up7(→))＝eq \f(1,λ)Aeq \(B,\s\up7(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(2,3))).
(3)(2018·全国卷Ⅲ)已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－2)，c＝(1，λ)．若c∥(2a＋b)，则λ＝__________.
【答案】eq \f(1,2)
【解析】因为2a＋b＝(4,2)，c＝(1，λ)，且(2a＋b)∥c，所以4λ＝2，所以λ＝eq \f(1,2).
【易错警示】
易错点 不会利用坐标法解答向量问题
【典例】 (2019·长沙模拟)给定两个长度为1的平面向量eq \(OA,\s\up7(→))和eq \(OB,\s\up7(→))，它们的夹角为eq \f(2π,3).如图所示，点C在以O为圆心的Aeq \x\t(B)上运动．若eq \(OC,\s\up7(→))＝xeq \(OA,\s\up7(→))＋yeq \(OB,\s\up7(→))，其中x，y∈R，问x＋y是否存在最大值？若不存在，说明理由．若存在，则求出最大值．
【错解】当C点在A或B时，有x＝0，y＝1或x＝1，y＝0，所以x＋y＝1，此时A，B，C三点共线，不可能最大；当C点为A，B中点时，x，y均大于1，即x＋y＞2，故x＋y没有最大值．
【错因分析】：由于C为动点，不知C点在何处时，x＋y最大，没有建立一个能解决问题的数学模型，也就无从下手，得出错误答案．
【正解】：以O点坐标原点，Oeq \(A,\s\up7(→))所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，如图所示，则A(1,0)，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，\f(\r(3),2))).
设∠AOC＝αeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α∈\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(2π,3)))))，
则C(cs α，sin α)，
由eq \(OC,\s\up7(→))＝xeq \(OA,\s\up7(→))＋yeq \(OB,\s\up7(→))，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(cs α＝x－\f(1,2)y，,sin α＝\f(\r(3),2)y，))
所以x＝cs α＋eq \f(\r(3),3)sin α，y＝eq \f(2\r(3),3)sin α，
所以x＋y＝cs α＋eq \r(3)sin α＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,6)))，
又α∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(2π,3)))，所以当α＝eq \f(π,3)时，x＋y取得最大值2.
答题模板：利用坐标法求解向量问题的步骤
第一步：在图形上建立适当的坐标系；
第二步：根据题设条件，求出对应点坐标和相关向量的坐标；
第三步：根据共线的条件将坐标代入条件化简，并求出参数的值或最值．
【跟踪训练】 (2017·江苏卷)如图，在同一个平面内，向量Oeq \(A,\s\up7(→))，Oeq \(B,\s\up7(→))，Oeq \(C,\s\up7(→))的模分别为1,1，eq \r(2)，Oeq \(A,\s\up7(→))与Oeq \(C,\s\up7(→))的夹角为α，且tan α＝7，Oeq \(B,\s\up7(→))与Oeq \(C,\s\up7(→))的夹角为45°.若Oeq \(C,\s\up7(→))＝m Oeq \(A,\s\up7(→))＋n Oeq \(B,\s\up7(→))(m，n∈R)，则m＋n＝__________.
【答案】3
【解析】 以O为坐标原点，OA所在直线为x轴建立平面直角坐标系，则A(1,0)，由tan α＝7，α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，得sin α＝eq \f(7,5\r(2))，cs α＝eq \f(1,5\r(2))，设C(xC，yC)，B(xB，yB)，则xC＝|eq \(OC,\s\up7(→))|cs α＝eq \r(2)×eq \f(1,5\r(2))＝eq \f(1,5)，yC＝|eq \(OC,\s\up7(→))|sin α＝eq \r(2)×eq \f(7,5\r(2))＝eq \f(7,5)，即Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,5)，\f(7,5))).又cs(α＋45°)＝eq \f(1,5\r(2))×eq \f(1,\r(2))－eq \f(7,5\r(2))×eq \f(1,\r(2))＝－eq \f(3,5)，sin(α＋45°)＝eq \f(4,5)，
则xB＝|eq \(OB,\s\up7(→))|cs(α＋45°)＝－eq \f(3,5)，yB＝|eq \(OB,\s\up7(→))|sin(α＋45°)＝eq \f(4,5)，
即Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,5)，\f(4,5)))，由eq \(OC,\s\up7(→))＝meq \(OA,\s\up7(→))＋neq \(OB,\s\up7(→))，可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(1,5)＝m－\f(3,5)n，,\f(7,5)＝\f(4,5)n，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＝\f(5,4)，,n＝\f(7,4)，))所以m＋n＝eq \f(5,4)＋eq \f(7,4)＝3.
【递进题组】
1．设平面向量a＝(1,2)，b＝(2，－1)，则向量eq \f(1,2)a－eq \f(3,2)b＝( )
A．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(5,2)，－\f(5,2))) B．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(5,2)，\f(5,2)))
C．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,2)，－\f(5,2))) D．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,2)，\f(5,2)))
【答案】B
【解析】 由题意得eq \f(1,2)a－eq \f(3,2)b＝eq \f(1,2)(1,2)－eq \f(3,2)(2，－1)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)－\f(3,2)×2，1＋\f(3,2)))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(5,2)，\f(5,2))).
2．已知向量eq \(OA,\s\up7(→))＝(k,12)，eq \(OB,\s\up7(→))＝(4,5)，eq \(OC,\s\up7(→))＝(－k,10)，且A，B，C三点共线，则k的值是( )
A．－eq \f(2,3) B．eq \f(4,3)
C．eq \f(1,2) D．eq \f(1,3)
【答案】A
【解析】 eq \(AB,\s\up7(→))＝eq \(OB,\s\up7(→))－eq \(OA,\s\up7(→))＝(4－k，－7)，eq \(AC,\s\up7(→))＝eq \(OC,\s\up7(→))－eq \(OA,\s\up7(→))＝(－2k，－2)．因为A，B，C三点共线，所以eq \(AB,\s\up7(→))，eq \(AC,\s\up7(→))共线，所以－2×(4－k)＝－7×(－2k)，解得k＝－eq \f(2,3).
3．在下列向量中，可以把向量a＝(3,2)表示出来的是( )
A．e1＝(0,0)，e2＝(1,2)
B．e1＝(－1,2)，e2＝(5，－2)
C．e1＝(3,5)，e2＝(6,10)
D．e1＝(2，－3)，e2＝(－2,3)
【答案】B
【解析】 因为a＝(3,2)，若e1＝(0,0)，e2＝(1,2)，不存在实数λ，μ，使得a＝λe1＋μe2，排除A项；若e1＝(－1,2)，e2＝(5，－2)，设存在实数λ，μ，使得a＝λe1＋μe2，则(3,2)＝λ(－1,2)＋μ(5，－2)，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3＝－λ＋5μ，,2＝2λ－2μ，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(λ＝2，,μ＝1，))则a＝2e1＋e2，符合题意；易知C，D项为共线向量，排除C，D项．故选B．
4．已知平面向量a，b满足|a|＝1，b＝(1,1)，且a∥b，则向量a的坐标是__________．
【答案】 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)，\f(\r(2),2)))或eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(2),2)，－\f(\r(2),2)))
【解析】 设a＝(x，y)，因为平面向量a，b满足|a|＝1，b＝(1,1)，且a∥b，所以eq \r(x2＋y2)＝1，且x－y＝0，解得x＝y＝±eq \f(\r(2),2).所以a＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)，\f(\r(2),2)))或eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(2),2)，－\f(\r(2),2))).
5．已知点A(2,3)，B(4,5)，C(7,10)，若eq \(AP,\s\up7(→))＝eq \(AB,\s\up7(→))＋λeq \(AC,\s\up7(→))(λ∈R)，且点P在直线x－2y＝0上，则λ的值为__________．
【答案】 －eq \f(2,3)
【解析】 设P(x，y)，由eq \(AP,\s\up7(→))＝eq \(AB,\s\up7(→))＋λeq \(AC,\s\up7(→))得(x－2，y－3)＝(2,2)＋λ(5,7)＝(2＋5λ，2＋7λ)，所以x＝5λ＋4，y＝7λ＋5.又点P在直线x－2y＝0上，故5λ＋4－2(7λ＋5)＝0，解得λ＝－eq \f(2,3).
【考卷送检】
一、选择题
1．若向量eq \(AB,\s\up7(→))＝(2,4)，eq \(AC,\s\up7(→))＝(1,3)，则eq \(BC,\s\up7(→))＝( )
A．(1,1) B．(－1，－1)
C．(3,7) D．(－3，－7)
【答案】B
【解析】 因为eq \(AB,\s\up7(→))＝(2,4)，eq \(AC,\s\up7(→))＝(1,3)，所以eq \(BC,\s\up7(→))＝eq \(AC,\s\up7(→))－eq \(AB,\s\up7(→))＝(1,3)－(2,4)＝(－1，－1)．故选B．
2．已知向量m＝(a，－2)，n＝(1,1－a)，且m∥n，则实数a＝( )
A．－1 B．2或－1
C．2 D．－2
【答案】B
【解析】 因为m∥n，所以a(1－a)＝－2，即a2－a－2＝0，解得a＝－1或a＝2.故选B．
3．在平面直角坐标系xOy中，已知点O(0,0)，A(0,1)，B(1，－2)，C(m,0)．若eq \(OB,\s\up7(→))∥eq \(AC,\s\up7(→))，则实数m的值为( )
A．－2 B．－eq \f(1,2)
C．eq \f(1,2) D．2
【答案】C
【解析】 因为eq \(OB,\s\up7(→))＝(1，－2)，eq \(AC,\s\up7(→))＝(m，－1)．又因为eq \(OB,\s\up7(→))∥eq \(AC,\s\up7(→))，所以eq \f(m,1)＝eq \f(－1,－2)，m＝eq \f(1,2).故选C．
4．已知点O是△ABC的外接圆圆心，且AB＝3，AC＝4.若存在非零实数x，y，使得eq \(AO,\s\up7(→))＝xeq \(AB,\s\up7(→))＋yeq \(AC,\s\up7(→))，且x＋2y＝1，则cs∠BAC的值为( )
A．eq \f(2,3) B．eq \f(\r(3),3)
C．eq \f(\r(2),3) D．eq \f(1,3)
【答案】A
【解析】 设M为AC的中点，则eq \(AO,\s\up7(→))＝xeq \(AB,\s\up7(→))＋yeq \(AC,\s\up7(→))＝xeq \(AB,\s\up7(→))＋2yeq \(AM,\s\up7(→)).因为x＋2y＝1，所以O，B，M三点共线．又因为O是△ABC的外接圆圆心，所以BM⊥AC，从而cs∠BAC＝eq \f(2,3).故选A．
5．如图，在△OAB中，P为线段AB上的一点，Oeq \(P,\s\up7(→))＝xeq \(OA,\s\up7(→))＋yeq \(OB,\s\up7(→))，且Beq \(P,\s\up7(→))＝2Peq \(A,\s\up7(→))，则( )
A．x＝eq \f(2,3)，y＝eq \f(1,3) B．x＝eq \f(1,3)，y＝eq \f(2,3)
C．x＝eq \f(1,4)，y＝eq \f(3,4) D．x＝eq \f(3,4)，y＝eq \f(1,4)
【答案】A
【解析】 由题意知Oeq \(P,\s\up7(→))＝Oeq \(B,\s\up7(→))＋Beq \(P,\s\up7(→))，又Beq \(P,\s\up7(→))＝2Peq \(A,\s\up7(→))＝eq \f(2,3)eq \(BA,\s\up7(→))，
所以Oeq \(P,\s\up7(→))＝Oeq \(B,\s\up7(→))＋eq \f(2,3)Beq \(A,\s\up7(→))＝Oeq \(B,\s\up7(→))＋eq \f(2,3)(Oeq \(A,\s\up7(→))－Oeq \(B,\s\up7(→)))＝eq \f(2,3)Oeq \(A,\s\up7(→))＋eq \f(1,3)Oeq \(B,\s\up7(→))，
所以x＝eq \f(2,3)，y＝eq \f(1,3).
6．(2019·忻州二中期中)如图所示，已知点G是△ABC的重心，过点G作直线与AB，AC两边分别交于M，N两点，且eq \(AM,\s\up7(→))＝xeq \(AB,\s\up7(→))，eq \(AN,\s\up7(→))＝yeq \(AC,\s\up7(→))，则eq \f(xy,x＋y)的值为( )
A．3 B．eq \f(1,3)
C．2 D．eq \f(1,2)
【答案】B
【解析】 (特值法)利用三角形的性质，过重心作平行于底边BC的直线，得x＝y＝eq \f(2,3)，则eq \f(xy,x＋y)＝eq \f(1,3).
二、填空题
7．已知向量a＝(3,1)，b＝(1,3)，c＝(k,7)，若(a－c)∥b，则k＝________.
【答案】 5
【解析】 因为a＝(3,1)，b＝(1,3)，c＝(k,7)，所以a－c＝(3－k，－6)．
因为(a－c)∥b，所以1×(－6)＝3×(3－k)，解得k＝5.
8．已知向量a＝(λ＋1,1)，b＝(λ＋2,2)，若(a＋b)∥(a－b)，则λ＝________.
【答案】 0
【解析】 因为a＋b＝(2λ＋3,3)，a－b＝(－1，－1)，且(a＋b)∥(a－b)，
所以eq \f(2λ＋3,－1)＝eq \f(3,－1)，所以λ＝0.
9．已知向量eq \(OA,\s\up7(→))＝(3,4)，eq \(OB,\s\up7(→))＝(6，－3)，eq \(OC,\s\up7(→))＝(5－m，－3－m)，若点A，B，C能构成三角形，则实数m应满足的条件是________．
【答案】 m≠－eq \f(7,10)
【解析】 因为eq \(AB,\s\up7(→))＝eq \(OB,\s\up7(→))－eq \(OA,\s\up7(→))＝(3，－7)，eq \(AC,\s\up7(→))＝eq \(OC,\s\up7(→))－eq \(OA,\s\up7(→))＝(2－m，－7－m)，点A，B，C能构成三角形，所以点A，B，C不共线，即eq \(AB,\s\up7(→))与eq \(AC,\s\up7(→))不共线，所以3×(－7－m)－(－7)×(2－m)≠0，解得m≠－eq \f(7,10)，故实数m应满足m≠－eq \f(7,10).
三、解答题
10．已知a＝(1,0)，b＝(2,1)．求：
(1)|a＋3b|；
(2)当k为何实数时，ka－b与a＋3b平行，平行时它们是同向还是反向？
【答案】 见解析
【解析】 (1)因为a＝(1,0)，b＝(2,1)，所以a＋3b＝(7,3)．故|a＋3b|＝eq \r(72＋32)＝eq \r(58).
(2)ka－b＝(k－2，－1)，a＋3b＝(7,3)．因为ka－b与a＋3b平行，所以3(k－2)＋7＝0，即k＝－eq \f(1,3).此时ka－b＝(k－2，－1)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(7,3)，－1))，a＋3b＝(7,3)，则a＋3b＝－3(ka－b)，即此时向量a＋3b与ka－b方向相反．
11．已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．设eq \(AB,\s\up7(→))＝a，eq \(BC,\s\up7(→))＝b，eq \(CA,\s\up7(→))＝c，且eq \(CM,\s\up7(→))＝3c，eq \(CN,\s\up7(→))＝－2b，
(1)求3a＋b－3c；
(2)求满足a＝mb＋nc的实数m，n；
(3)求M，N的坐标及向量eq \(MN,\s\up7(→))的坐标．
【答案】 见解析
【解析】 由已知得a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1,8)．
(1)3a＋b－3c＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8)
＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)．
(2)因为a＝mb＋nc＝(－6m＋n，－3m＋8n)，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－6m＋n＝5，,－3m＋8n＝－5，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＝－1，,n＝－1.))
(3)设O为坐标原点，因为eq \(CM,\s\up7(→))＝eq \(OM,\s\up7(→))－eq \(OC,\s\up7(→))＝3c，所以eq \(OM,\s\up7(→))＝3c＋eq \(OC,\s\up7(→))＝(3,24)＋(－3，－4)＝(0,20)，所以M(0,20)．又因为eq \(CN,\s\up7(→))＝eq \(ON,\s\up7(→))－eq \(OC,\s\up7(→))＝－2b，所以eq \(ON,\s\up7(→))＝－2b＋eq \(OC,\s\up7(→))＝(12,6)＋(－3，－4)＝(9,2)，所以N(9,2)．所以eq \(MN,\s\up7(→))＝(9，－18)．
12．平面内给定三个向量a＝(3,2)，b＝(－1,2)，c＝(4,1)．
(1)若(a＋kc)∥(2b－a)，求实数k的值；
(2)若d满足(d－c)∥(a＋b)，且|d－c|＝eq \r(5)，求d的坐标．
【答案】 见解析
【解析】 (1)a＋kc＝(3＋4k,2＋k)，2b－a＝(－5,2)，由题意得2×(3＋4k)－(－5)×(2＋k)＝0，解得k＝－eq \f(16,13).
(2)设d＝(x，y)，则d－c＝(x－4，y－1)，又a＋b＝(2,4)，|d－c|＝eq \r(5)，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(4x－4－2y－1＝0，,x－42＋y－12＝5，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝3，,y＝－1))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝5，,y＝3.))所以d的坐标为(3，－1)或(5,3)．
13．在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上．若eq \(AP,\s\up7(→))＝λeq \(AB,\s\up7(→))＋μeq \(AD,\s\up7(→))，则λ＋μ的最大值为( )
A．3 B．2eq \r(2)
C．eq \r(5) D．2
【答案】A
【解析】 建立如图所示的直角坐标系，则C点坐标为(2,1)．设BD与圆C切于点E，连接CE，则CE⊥BD．因为CD＝1，BC＝2，所以BD＝eq \r(12＋22)＝eq \r(5)，EC＝eq \f(BC·CD,BD)＝eq \f(2,\r(5))＝eq \f(2\r(5),5)，所以P点的轨迹方程为(x－2)2＋(y－1)2＝eq \f(4,5).
设P(x0，y0)，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x0＝2＋\f(2\r(5),5)cs θ，,y0＝1＋\f(2\r(5),5)sin θ))(θ为参数)，而eq \(AP,\s\up7(→))＝(x0，y0)，eq \(AB,\s\up7(→))＝(0,1)，eq \(AD,\s\up7(→))＝(2,0)．因为eq \(AP,\s\up7(→))＝λeq \(AB,\s\up7(→))＋μeq \(AD,\s\up7(→))＝λ(0,1)＋μ(2,0)＝(2μ，λ)，所以μ＝eq \f(1,2)x0＝1＋eq \f(\r(5),5)cs θ，λ＝y0＝1＋eq \f(2\r(5),5)sin θ.两式相加，得λ＋μ＝1＋eq \f(2\r(5),5)sin θ＋1＋eq \f(\r(5),5)cs θ＝2＋sin(θ＋φ)≤3eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(其中sin φ＝\f(\r(5),5)，cs φ＝\f(2\r(5),5)))，当且仅当θ＝eq \f(π,2)＋2kπ－φ，k∈Z时，λ＋μ取得最大值3.故选A．