2022年广东省东莞市六校联考中考数学一模试卷（含解析）

2022年广东省东莞市六校联考中考数学一模试卷

副标题

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）

1. 计算的结果是

A.  B.  C.  D.

2. 年北京冬季奥运会的吉祥物冰墩墩、雪容融成为冬奥名副其实的顶流，实力演绎“一墩难求”，线上线下曾一度出现缺货，销量最高的一款冰墩墩雪容融手办玩具摆件销量已经超过了万万用科学记数法可表示为

A.  B.  C.  D.

3. 一个正多边形的每个外角都等于，那么它的边数是

A.  B.  C.  D.

4. 若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是

A.  B.  C.  D.

5. 下列运算正确的是

A.  B.  C.  D.

6. 从某市名初一学生中，随机抽取名学生，测得他们的身高数据，得到一个样本，则这个样本数据的平均数、中位数、众数、方差四个统计量中，服装厂最感兴趣的是

A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差

7. 不等式组的整数解有

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

8. 如图，在平面直角坐标系中，点坐标为，以点为圆心，以的长为半径画弧，交轴的负半轴于点，则点的横坐标介于

A. 和之间 B. 和之间 C. 和之间 D. 和之间

9. 将一副直角三角尺按如图位置摆放在同一平面内，使两个直角三角尺的斜边，含角的直角三角尺的直角顶点在含角的直角三角尺的斜边上，且点在的延长线上，已知，则的度数是

A.  B.  C.  D.

10. 如图，在四边形中，，，，动点沿路径从点出发，以每秒个单位长度的速度向点运动．过点作，垂足为设点运动的时间为单位：，的面积为，则关于的函数图象大致是

A.  B.
C.  D.

二、填空题（本大题共7小题，共28.0分）

11. 的算术平方根是______．
12. 因式分解： ______ ．
13. 在中、均为锐角，且有，则的形状为______．
14. 双减政策背景下，为落实“五育并举”，某学校准备打造学生第二课堂，有四类课程可供选择，分别是“书画类、文艺类、社会实践类、体育类”现随机抽取了七年级部分学生对报名意向进行调查，并根据调查结果绘制了如下两幅不完整的统计图，若该校七年级共有名学生，根据上述调查结果估计该校学生选择“社会实践类”的学生共有______名．

15. 如图，在的方格纸中，每个小方格都是边长为的正方形，点、、是格点，则图中扇形中阴影部分的面积是______ ．
     

16. 已知，则代数式的值为______．
17. 如图，正方形中，，是边的中点，点是正方形内一动点，，连接，将线段绕点逆时针旋转得，连接、则线段长的最小值为______．
     

三、解答题（本大题共8小题，共62.0分）

18. 计算：．
    
    
    
    
    
    
     
19. 疫情防控，人人有责，而接种疫苗是疫情防控的重要手段，小明和小丽同时去接种疫苗，接种站有北京科兴、北京生物、科兴中维三种疫苗公司生产的疫苗供小明和小丽选择．其中北京科兴、北京生物、科兴中维三种疫苗公司生产的疫苗分别记作、、．
    用列表法或画树状图法中的一种方法，求所有可能出现的接种结果；
    求小明小丽接种同一家公司生产的疫苗的概率．
    
    
    
    
    
    
     
20. 如图，在中，为的外角．
    尺规作图：作的平分线保留作图痕迹可加黑，不写作法；
    若，在的条件下，求证：．
    
     

21. 某学校是乒乓球体育传统项目校，为进一步推动该项目的发展．学校准备到体育用品店购买甲、乙两种型号乒乓球若干个，已知个甲种乒乓球和个乙种乒乓球共需元，个甲种乒乓球和个乙种乒乓球共需元．
    求个甲种乒乓球和个乙种乒乓球的售价各是多少元？
    学校准备购买这两种型号的乒乓球共个，要求甲种乒乓球的数量不超过乙种乒乓球的数量的倍，请设计出最省钱的购买方案，并说明理由．
    
    
    
    
    
    
     
22. 如图，将矩形沿对角线剪开，再把沿方向平移得到．
    证明≌；
    若，试问当点在线段上的什么位置时，四边形是菱形，并请说明理由．

23. 在直角坐标系内的位置如图所示，反比例函数在第一象限内的图象与边交于点，与边交于点．
    求反比例函数的解析式和值；
    当时，求直线的解析式．

24. 如图，已知点是的外接圆的圆心，，点是弧上一点，连接并延长交过点且平行于的射线于点．
    求证：平分；
    判断直线与的位置关系，并证明；
    若，，，求的长．
    
     

25. 如图，抛物线与轴交于，两点点在点的左边，与轴交于点，且．
    求抛物线的解析式；
    如图，若点是线段不与，重合上一动点，过点作轴的垂线交抛物线于点，连接，当和相似时，求此时点的坐标；
    若点是直线不与，重合上一动点，过点作轴的垂线交抛物线于点，连接，将沿对折，如果点的对应点恰好落在轴上，求此时点的坐标；

答案和解析

1.【答案】
 

【解析】解：原式．
故选：．
原式利用同号两数相加的法则计算即可得到结果．
此题考查了有理数的加法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
 

2.【答案】
 

【解析】解：万．
故选：．
应用科学记数法表示较大的数的方法，把一个大于的数记成的形式，其中是整数数位只有一位的数，是正整数，其中，为正整数，进行求解即可得出答案．
本题主要考查了科学记数法表示较大的数，熟练应用科学记数法表示较大的数的方法进行求解是解决本题的关键．
 

3.【答案】
 

【解析】解：由题意可得：
正多边形的边数为：．
故选：．
利用多边形的外角和等于度即可解决问题．
此题考查了多边形的内角与外角，熟练掌握正多边形的外角和是是解题的关键．
 

4.【答案】
 

【解析】解：由题意得：
，
，
故选：．
根据进行计算即可．
本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握是解题的关键．
 

5.【答案】
 

【解析】解：，
选项A不符合题意；
，
选项B符合题意；
，
选项C不符合题意；
，
选项D不符合题意；
故选：．
按照积的乘方、幂的乘方、同底数幂相乘除的运算法则逐一计算进行辨别．
此题考查了积的乘方、幂的乘方、同底数幂相乘除的相关运算能力，关键是能准确理解并运用该计算法则．
 

6.【答案】
 

【解析】解：由于众数是数据中出现次数最多的数，故服装厂最感兴趣的指标是众数．
故选：．
根据题意，即可得解．
本题主要考查了统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数、方差的意义．
 

7.【答案】
 

【解析】解：，
由得：，
由得：，
不等式组的解集为，
则不等式组的整数解为，，共个．
故选：．
分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分确定出不等式组的解集，进而求出整数解即可．
此题考查了一元一次不等式组的整数解，熟练掌握不等式组的解法是解本题的关键．
 

8.【答案】
 

【解析】解：点坐标为，
，
，
，
，
，
点的横坐标介于和之间，
故选：．
首先利用勾股定理求出，再得出，从而得出的范围．
本题主要考查了勾股定理，无理数的估计等知识，注意负数的大小比较是解题的关键．
 

9.【答案】
 

【解析】解：由题意知，在中，，
，
，
故选：．
根据平行线的性质求出，进而求出，根据三角形外角定理求出，由平角的定义即可求出．
本题主要考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解决问题的关键．
 

10.【答案】
 

【解析】解：当点在上运动时，
，，
：：：：，
，
，，
，图象为二次函数；
且当时，；故B，，不正确；则A正确；
当点在上运动时，如下图，过点作于点，

，，
，，
，
，
，
，为一次函数；
且当时，；
当点在上运动时，

此时，，
，
，
；
故选：．
分别求出点在上运动、点在上运动、点在上运动时的函数表达式，进而求解．
本题是运动型综合题，考查了动点问题的函数图象、解直角三角形、图形面积等知识点．解题关键是深刻理解动点的函数图象，了解图象中关键点所代表的实际意义，理解动点的完整运动过程．
 

11.【答案】
 

【解析】解：，
的平方根为，
的算术平方根是．
故答案为：．
的平方根为，算术平方根为非负数，从而得出结论．
本题考查了数的算式平方根，解题的关键是牢记算术平方根为非负数．
 

12.【答案】
 

【解析】解：．
故答案为：．
直接利用平方差公式分解因式得出答案．
此题主要考查了公式法分解因式，正确应用乘法公式是解题关键．
 

13.【答案】等边三角形
 

【解析】解：由题意得，，，
则，，
．
故为等边三角形．
故答案为：等边三角形．
根据非负数的性质求出和的值，然后求出、的度数，即可判断的形状．
本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值以及非负数的性质．
 

14.【答案】
 

【解析】解：本次被抽查的学生共有：名，名，
即该校学生选择“社会实践类”的学生共有名．
故答案为：．
根据类的人数和所占的百分比，可以求得本次被抽查的学生人数；根据“社会实践类”的学生有名，可以计算出该校学生选择“社会实践类”的学生共有多少名．
本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 

15.【答案】
 

【解析】解：，
，
在和中，
，
≌，
，
，
，
由勾股定理得，，
扇形中阴影部分的面积，
故答案为：．
证明≌，根据相似三角形的性质得到，根据勾股定理求出、，根据扇形面积公式计算，得到答案．
本题考查的是扇形面积计算、勾股定理的应用，掌握扇形面积公式是解题的关键．
 

16.【答案】
 

【解析】解：已知等式变形得：，




．
故答案为．
已知等式变形得：，计算异分母分式化简为代入即可求出所求式子的值．
此题考查了分式的减法运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
 

17.【答案】
 

【解析】解：如图，连接，将线段绕点逆时针旋转得，连接，，，
，
，
在与中，
，
≌，
，
正方形中，，是边的中点，
，
，
，
，
，
线段长的最小值为，
故答案为：．
连接，将线段绕点逆时针旋转得，连接，，，证明≌，可得，由勾股定理可得，根据，即可得出的最小值．
本题考查了旋转的性质，正方形的性质，勾股定理．解题的关键是掌握图形旋转的性质．
 

18.【答案】解：原式
．
 

【解析】直接利用绝对值的性质和零指数幂的性质、立方根的性质、负整数指数幂的性质分别化简，进而利用实数的加减运算法则计算得出答案．
此题主要考查了绝对值的性质和零指数幂的性质、立方根的性质、负整数指数幂的性质，正确化简各数是解题关键．
 

19.【答案】解：将北京科兴、北京生物、科兴中维三种疫苗公司生产的疫苗分别记作、、，
画树状图如下：

所有可能出现的结果共有种，即、、、、、、、、；
共有种等可能的结果，其中小明、小丽接种同一家公司生产的疫苗的结果有种，
小明小丽接种同一家公司生产的疫苗的概率为．
 

【解析】直接根据概率公式求解即可；
根据题意画出树状图得出所有等可能的情况数和甲被派到小区，同时乙被派到小区的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
此题考查的是树状图法求概率．树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

20.【答案】解：如图所示，即为所求．

证明：，
，
，
平分，
，
，
平行．
 

【解析】本题主要考查作图基本作图，解题的关键是掌握角平分线的尺规作图及等腰三角形的性质、三角形外角的性质及平行线的判定．
根据角平分线的尺规作图求解即可；
由知，从而得，再由角平分线的定义知，从而得，据此即可得证．
 

21.【答案】解：设个甲种乒乓球的售价是元，个乙种乒乓球的售价是元，
依题意，得：，
解得：．
答：个甲种乒乓球的售价是元，个乙种乒乓球的售价是元．
设购买甲种乒乓球只，费用为元，则购买乙种乒乓球只，
依题意，得：．
，
．
，
值随值的增大而减小，
当时，取得最小值，此时，．
答：当购买甲种乒乓球只，乙种乒乓球只时最省钱．
 

【解析】设个甲种乒乓球的售价是元，个乙种乒乓球的售价是元，根据“购买个甲种乒乓球和个乙种乒乓球共需元，购买个甲种乒乓球和个乙种乒乓球共需元”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；
设购买甲种乒乓球只，费用为元，则购买乙种乒乓球只，根据总价单价数量，即可得出关于的函数关系式，由甲种乒乓球的数量不超过乙种乒乓球的数量的倍，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围，再利用一次函数的性质即可解决最值问题．
本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的最值，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；利用各数量之间的关系，找出关于的函数关系式．
 

22.【答案】证明：四边形是矩形，
由平移得到，
，，．
．
≌．

解：当点是线段的中点时，四边形是菱形．
理由如下：
四边形是矩形，由平移得到，
．
由知．
四边形是平行四边形．
在中，点是线段的中点，
．
而，
．
．
四边形是菱形．
 

【解析】根据已知利用判定≌；
由已知可推出四边形是平行四边形，只要再证明一组邻边相等即可确定四边形是菱形，由已知可得到，，从而得到，所以四边形是菱形．
本题即考查了全等的判定及菱形的判定，注意对这两个判定定理的准确掌握．考查了学生综合运用数学的能力．
 

23.【答案】解：在反比例函数的图象上，
，
反比例函数的解析式为：；
点在反比例函数的图象上，将点代入反比例函数解析式得：
；
如图，过点作于点，

，
是直角三角形，
，
又，
∽，
，
由知，，
，，
，
设直线的解析式为，将，代入得：
，
，
直线的解析式为：．
 

【解析】将点代入反比例函数，可得的值，再将点代入反比例函数解析式即可；
过点作于点，得∽，则，可得点的坐标，再利用待定系数法求出直线的解析式．
本题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，相似三角形的判定与性质等知识，作辅助线构造相似三角形是解题的关键．
 

24.【答案】证明：，
，
，
．
又，
，


平分
解：相切，理由如下：
如图，作，连接，，，

≌，
，
为的角平分线，
等腰三角形平分线和垂线重合，
、、共线，
且，
，
是半径，
与相切，
解：由可知，
又，
∽，
：：，
：：，
，
：：，
，
．
 

【解析】根据圆内接四边形对角互补可得，，根据同弦对应圆周角相等可得，利用角之间的等量关系可求出，即平分；
作，得到≌，利用等腰三角形三线合一，可得、、共线，根据平行线的性质可得，所以与相切；
利用相似三角形的性质，可求出、的值，进而求出的长度．
本题考查了圆的综合题，圆周角定理，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，添加恰当的辅助线是本题的关键．
 

25.【答案】解：在中，
令，得：，
解得：，，
，，
，
，
，
，
，
，
抛物线解析式为：；
设直线解析式为，
，，
，解得：，
直线解析式为：，
设点坐标为，
轴，
，
，
，，
，
，
，，，
，，，
，
若和相似，分两种情况：
当∽，
，即，
解得：，
；
当∽，
，即，
解得：，
；
综上所述，点的坐标为或；
设点坐标为，
当点在的上方时，由知，，

沿对折，点的对应点恰好落在轴上，
，
轴，
，
，
，
，
整理得：，
解得：舍去，，
当时，，

当点在点下方时，，
同理可得，
解得舍去，，
，
综上所述，点的坐标为或
 

【解析】在抛物线中，令，得出点、坐标，再根据，建立方程求的值即可求出函数的关系式；
分∽、∽两种情况，由相似三角形的性质分别求解即可；
分两种情况情况，由等腰三角形的性质及折叠的性质可得出答案．
本题是二次函数的综合题，考查了折叠的性质，二次函数的图象及性质，待定系数法，相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定，折叠的性质，数形结合思想是解题的关键．