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2022年广东省东莞市六校联考中考数学一模试卷
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这是一份2022年广东省东莞市六校联考中考数学一模试卷，共15页。试卷主要包含了解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）计算（﹣2）+（﹣3）的结果是（ ）
A．﹣5B．﹣1C．1D．5
2．（3分）2022年北京冬季奥运会的吉祥物冰墩墩、雪容融成为冬奥名副其实的顶流，实力演绎“一墩难求”，线上线下曾一度出现缺货，销量最高的一款冰墩墩雪容融手办玩具摆件销量已经超过了6万.6万用科学记数法可表示为（ ）
A．6×105B．0.6×105C．6×104D．0.6×104
3．（3分）一个正多边形的每个外角都等于60°，那么它的边数是（ ）
A．6B．8C．10D．12
4．（3分）若二次根式8−2x在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x≤4B．x＜4C．x≤﹣4D．x≥4
5．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．（2a）3＝6a3B．（﹣a3）2＝（a3）2
C．a6÷a3＝a2D．a•a4＝a4
6．（3分）从某市5000名初一学生中，随机抽取100名学生，测得他们的身高数据，得到一个样本，则这个样本数据的平均数、中位数、众数、方差四个统计量中，服装厂最感兴趣的是（ ）
A．平均数B．中位数C．众数D．方差
7．（3分）不等式组−2x≤03−x＞0的整数解有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
8．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点P坐标为（﹣3，2），以点O为圆心，以OP的长为半径画弧，交x轴的负半轴于点A，则点A的横坐标介于（ ）
A．﹣4和﹣3之间B．﹣5和﹣4之间C．3和4之间D．4和5之间
9．（3分）将一副直角三角尺按如图位置摆放在同一平面内，使两个直角三角尺的斜边AB∥DF，含30°角的直角三角尺的直角顶点E在含45°角的直角三角尺的斜边AB上，且点F在CB的延长线上，已知∠A＝45°，则∠1的度数是（ ）
A．30°B．45°C．60°D．75°
10．（3分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠D＝90°，AB＝BC＝5，tanA=43．动点P沿路径A→B→C→D从点A出发，以每秒1个单位长度的速度向点D运动．过点P作PH⊥AD，垂足为H．设点P运动的时间为x（单位：s），△APH的面积为y，则y关于x的函数图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
二、填空题（本大题7小题，每小题4分，共28分）请将下列各题的正确答案填写在答题卡相应的位置上．
11．（4分）9的算术平方根是 ．
12．（4分）因式分解：4a2﹣1＝ ．
13．（4分）在△ABC中∠A、∠C均为锐角，且有|tanB−3|+(sinA−32)2=0，则△ABC的形状为 ．
14．（4分）双减政策背景下，为落实“五育并举”，某学校准备打造学生第二课堂，有四类课程可供选择，分别是“A．书画类、B．文艺类、C．社会实践类、D．体育类”．现随机抽取了七年级部分学生对报名意向进行调查，并根据调查结果绘制了如下两幅不完整的统计图，若该校七年级共有800名学生，根据上述调查结果估计该校学生选择“社会实践类”的学生共有 名．
15．（4分）如图，在3×3的方格纸中，每个小方格都是边长为1cm的正方形，点A、B、O是格点，则图中扇形OAB中阴影部分的面积是 ．
16．（4分）已知a2﹣a﹣2＝0，则代数式1a−1a−1的值为 ．
17．（4分）如图，正方形ABCD中，AB＝6，O是BC边的中点，点E是正方形内一动点，OE＝2，连接DE，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得DF，连接AE、CF．则线段OF长的最小值为 ．
三、解答题（一）（本大题3小题，每小题6分，共18分）
18．（6分）计算：|−3|−(4−π)0+3−8+(14)−1．
19．（6分）疫情防控，人人有责，而接种疫苗是疫情防控的重要手段，小明和小丽同时去接种疫苗，接种站有北京科兴、北京生物、科兴中维三种疫苗公司生产的疫苗供小明和小丽选择．其中北京科兴、北京生物、科兴中维三种疫苗公司生产的疫苗分别记作A、B、C．
（1）用列表法或画树状图法中的一种方法，求所有可能出现的接种结果；
（2）求小明小丽接种同一家公司生产的疫苗的概率．
20．（6分）如图，在△ABC中，∠CAD为△ABC的外角．
（1）尺规作图：作∠CAD的平分线AE（保留作图痕迹可加黑，不写作法）；
（2）若AB＝AC，在（1）的条件下，求证：AE∥BC．
四、解答题（二）（本大题3小题，毎小题8分，共24分）
21．（8分）某学校是乒乓球体育传统项目校，为进一步推动该项目的发展．学校准备到体育用品店购买甲、乙两种型号乒乓球若干个，已知3个甲种乒乓球和5个乙种乒乓球共需50元，2个甲种乒乓球和3个乙种乒乓球共需31元．
（1）求1个甲种乒乓球和1个乙种乒乓球的售价各是多少元？
（2）学校准备购买这两种型号的乒乓球共200个，要求甲种乒乓球的数量不超过乙种乒乓球的数量的3倍，请设计出最省钱的购买方案，并说明理由．
22．（8分）如图，将矩形ABCD沿对角线AC剪开，再把△ACD沿CA方向平移得到△A′C′D′．
（1）证明△A′AD′≌△CC′B；
（2）若∠ACB＝30°，试问当点C′在线段AC上的什么位置时，四边形ABC′D′是菱形，并请说明理由．
23．（8分）Rt△ABC在直角坐标系内的位置如图所示，反比例函数y=kx（k≠0）在第一象限内的图象与BC边交于点D（4，1），与AB边交于点E（2，n）．
（1）求反比例函数的解析式和n值；
（2）当BCAC=12时，求直线AB的解析式．
五、解答题（三）（本大题2小题，毎小题10分，共20分）
24．（10分）如图，已知点O是△ABC的外接圆的圆心，AB＝AC，点D是弧AB上一点，连接并延长BD交过点A且平行于BC的射线于点E．
（1）求证：DA平分∠CDE；
（2）判断直线AE与⊙O的位置关系，并证明；
（3）若DE＝3，BD＝6，AD＝5，求AC的长．
25．（10分）如图，抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a（a＞0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，且OB＝OC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图，若点P是线段BC（不与B，C重合）上一动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于M点，连接CM，当△PCM和△ABC相似时，求此时点P的坐标；
（3）若点P是直线BC（不与B，C重合）上一动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于M点，连接CM，将△PCM沿CM对折，如果点P的对应点N恰好落在y轴上，求此时点P的坐标；
2022年广东省东莞市六校联考中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分）在每小题列出的四个选项中，只有一个是正确的，请把答题卡上对应题目所选的选项涂黑．
1．（3分）计算（﹣2）+（﹣3）的结果是（ ）
A．﹣5B．﹣1C．1D．5
【分析】原式利用同号两数相加的法则计算即可得到结果．
【解答】解：原式＝﹣（2+3）＝﹣5．
故选：A．
2．（3分）2022年北京冬季奥运会的吉祥物冰墩墩、雪容融成为冬奥名副其实的顶流，实力演绎“一墩难求”，线上线下曾一度出现缺货，销量最高的一款冰墩墩雪容融手办玩具摆件销量已经超过了6万.6万用科学记数法可表示为（ ）
A．6×105B．0.6×105C．6×104D．0.6×104
【分析】应用科学记数法—表示较大的数的方法，把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数，其中1≤a＜10，n为正整数，进行求解即可得出答案．
【解答】解：6万＝60000＝6×104．
故选：C．
3．（3分）一个正多边形的每个外角都等于60°，那么它的边数是（ ）
A．6B．8C．10D．12
【分析】利用多边形的外角和等于360度即可解决问题．
【解答】解：由题意可得：
正多边形的边数为：360°÷60°＝6．
故选：A．
4．（3分）若二次根式8−2x在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x≤4B．x＜4C．x≤﹣4D．x≥4
【分析】根据a（a≥0）进行计算即可．
【解答】解：由题意得：
8﹣2x≥0，
∴x≤4，
故选：A．
5．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．（2a）3＝6a3B．（﹣a3）2＝（a3）2
C．a6÷a3＝a2D．a•a4＝a4
【分析】按照积的乘方、幂的乘方、同底数幂相乘除的运算法则逐一计算进行辨别．
【解答】解：∵（2a）3＝8a3，
∴选项A不符合题意；
∵（﹣a3）2＝（a3）2＝a6，
∴选项B符合题意；
∵a6÷a3＝a6﹣3＝a3，
∴选项C不符合题意；
∵a•a4＝a5，
∴选项D不符合题意；
故选：B．
6．（3分）从某市5000名初一学生中，随机抽取100名学生，测得他们的身高数据，得到一个样本，则这个样本数据的平均数、中位数、众数、方差四个统计量中，服装厂最感兴趣的是（ ）
A．平均数B．中位数C．众数D．方差
【分析】服装厂最感兴趣的是哪种尺码的服装售量较多，也就是需要参照指标众数．
【解答】解：由于众数是数据中出现次数最多的数，故服装厂最感兴趣的指标是众数．
故选：C．
7．（3分）不等式组−2x≤03−x＞0的整数解有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分确定出不等式组的解集，进而求出整数解即可．
【解答】解：−2x≤0①3−x＞0②，
由①得：x≥0，
由②得：x＜3，
∴不等式组的解集为0≤x＜3，
则不等式组的整数解为0，1，2共3个．
故选：C．
8．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点P坐标为（﹣3，2），以点O为圆心，以OP的长为半径画弧，交x轴的负半轴于点A，则点A的横坐标介于（ ）
A．﹣4和﹣3之间B．﹣5和﹣4之间C．3和4之间D．4和5之间
【分析】首先利用勾股定理求出OP=22+32=13，再得出3＜13＜4，从而得出−13的范围．
【解答】解：∵点P坐标为（﹣3，2），
∴OP=22+32=13，
∴OA=13，
∵9＜13＜16，
∴3＜13＜4，
∴﹣4＜−13＜−3，
∴点A的横坐标−13介于﹣4和﹣3之间，
故选：A．
9．（3分）将一副直角三角尺按如图位置摆放在同一平面内，使两个直角三角尺的斜边AB∥DF，含30°角的直角三角尺的直角顶点E在含45°角的直角三角尺的斜边AB上，且点F在CB的延长线上，已知∠A＝45°，则∠1的度数是（ ）
A．30°B．45°C．60°D．75°
【分析】根据平行线的性质求出∠BFD，进而求出∠BFE，根据三角形外角定理求出∠BEF，由平角的定义即可求出∠1．
【解答】解：由题意知，在Rt△DEF中，∠EDF＝60°，
∵AB∥DF，
∴∠1＝∠EDF＝60°，
故选：C．
10．（3分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠D＝90°，AB＝BC＝5，tanA=43．动点P沿路径A→B→C→D从点A出发，以每秒1个单位长度的速度向点D运动．过点P作PH⊥AD，垂足为H．设点P运动的时间为x（单位：s），△APH的面积为y，则y关于x的函数图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】分别求出点P在AB上运动、点P在BC上运动、点P在CD上运动时的函数表达式，进而求解．
【解答】解：①当点P在AB上运动时，
∵AB＝BC＝5，tanA=43，
∴AP：PH：AH＝5：4：3，
∵AP＝x，
∴PH=45x，AH=35x，
y=12AH•PH=12•35x•45x=625x2，图象为二次函数；
且当x＝5时，y＝6；故B，C，D不正确；则A正确；
②当点P在BC上运动时，如下图，过点B作BE⊥AD于点E，
∵tanA=43，AB＝5，
∴BE＝4，AE＝3，
∵AB+BP＝x，
∴BP＝EH＝x﹣5，
∴AH＝2+x﹣5＝x﹣2，
∴y=12AH•PH=12•（x﹣2）•4＝2x﹣4，为一次函数；
且当x＝10时，y＝16；
③当点P在CD上运动时，
此时，AD＝AH＝3+5＝8，
∵AB+BC+CP＝x，
∴PH＝AB+BC+CD﹣x＝14﹣x，
∴y=12AH•PH=12×8•（14﹣x）＝﹣4x+56；
故选：A．
二、填空题（本大题7小题，每小题4分，共28分）请将下列各题的正确答案填写在答题卡相应的位置上．
11．（4分）9的算术平方根是 3 ．
【分析】9的平方根为±3，算术平方根为非负，从而得出结论．
【解答】解：∵（±3）2＝9，
∴9的算术平方根是3．
故答案为：3．
12．（4分）因式分解：4a2﹣1＝ （2a+1）（2a﹣1） ．
【分析】直接利用平方差公式分解因式得出答案．
【解答】解：4a2﹣1＝（2a+1）（2a﹣1）．
故答案为：（2a+1）（2a﹣1）．
13．（4分）在△ABC中∠A、∠C均为锐角，且有|tanB−3|+(sinA−32)2=0，则△ABC的形状为 等边三角形 ．
【分析】根据非负数的性质求出tanB和sinA的值，然后求出∠A、∠B的度数，即可判断△ABC的形状．
【解答】解：由题意得，tanB=3，sinA=32，
则∠A＝60°，∠B＝60°，
∠C＝180°﹣60°﹣60°＝60°．
故△ABC为等边三角形．
故答案为：等边三角形．
14．（4分）双减政策背景下，为落实“五育并举”，某学校准备打造学生第二课堂，有四类课程可供选择，分别是“A．书画类、B．文艺类、C．社会实践类、D．体育类”．现随机抽取了七年级部分学生对报名意向进行调查，并根据调查结果绘制了如下两幅不完整的统计图，若该校七年级共有800名学生，根据上述调查结果估计该校学生选择“社会实践类”的学生共有 128 名．
【分析】根据D类的人数和所占的百分比，可以求得本次被抽查的学生人数；根据“C．社会实践类”的学生有8名，可以计算出该校学生选择“C．社会实践类”的学生共有多少名．
【解答】解：本次被抽查的学生共有：20÷40%＝50（名），800×850=128（名），
即该校学生选择“C．社会实践类”的学生共有128名．
故答案为：128．
15．（4分）如图，在3×3的方格纸中，每个小方格都是边长为1cm的正方形，点A、B、O是格点，则图中扇形OAB中阴影部分的面积是 （5π4−52）cm2 ．
【分析】证明△ACO≌△ODB，根据全等三角形的性质得到∠AOB＝90°，根据勾股定理求出OA、OB，根据扇形面积公式计算，得到答案．
【解答】解∵∠ACO＝90°，
∴∠CAO+∠AOC＝90°，
在△ACO和△ODB中，
AC=OD∠ACO=∠ODBCO=DB，
∴△ACO≌△ODB（SAS），
∴∠CAO＝∠BOD，
∴∠BOD+∠AOC＝90°，
∴∠AOB＝90°，
由勾股定理得，OA＝OB=22+12=5（cm），
∴扇形OAB中阴影部分的面积=90π×(5)2360−12×5×5=（5π4−52）cm2，
故答案为：（5π4−52）cm2．
16．（4分）已知a2﹣a﹣2＝0，则代数式1a−1a−1的值为 −12 ．
【分析】已知等式变形得：a2﹣a＝2，计算异分母分式化简为−1a2−a代入即可求出所求式子的值．
【解答】解：已知等式变形得：a2﹣a＝2，
1a−1a−1
=a−1a(a−1)−aa(a−1)
=−1a(a−1)
=−1a2−a
=−12．
故答案为−12．
17．（4分）如图，正方形ABCD中，AB＝6，O是BC边的中点，点E是正方形内一动点，OE＝2，连接DE，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得DF，连接AE、CF．则线段OF长的最小值为 310−2 ．
【分析】连接DO，将线段DO绕点D逆时针旋转90°得DM，连接OF，FM，OM，证明△EDO≌△FDM，可得FM＝OE＝2，由勾股定理可得OM＝310，根据OF+MF≥OM，即可得出OF的最小值．
【解答】解：如图，连接DO，将线段DO绕点D逆时针旋转90°得DM，连接OF，FM，OM，
∵∠EDF＝∠ODM＝90°，
∴∠EDO＝∠FDM，
在△EDO与FDM中，
DE=DF∠EDO=∠FDMDO=DM，
∴△EDO≌△FDM（SAS），
∴FM＝OE＝2，
∵正方形ABCD中，AB＝6，O是BC边的中点，
∴OC＝3，
∴OD=OC2+CD2=9+36=35，
∴OM=DO2+DM2=45+45=310，
∵OF+MF≥OM，
∴OF≥310−2，
∴线段OF长的最小值为310−2，
故答案为：310−2．
三、解答题（一）（本大题3小题，每小题6分，共18分）
18．（6分）计算：|−3|−(4−π)0+3−8+(14)−1．
【分析】直接利用绝对值的性质和零指数幂的性质、立方根的性质、负整数指数幂的性质分别化简，进而利用实数的加减运算法则计算得出答案．
【解答】解：原式=3−1﹣2+4
=3+1．
19．（6分）疫情防控，人人有责，而接种疫苗是疫情防控的重要手段，小明和小丽同时去接种疫苗，接种站有北京科兴、北京生物、科兴中维三种疫苗公司生产的疫苗供小明和小丽选择．其中北京科兴、北京生物、科兴中维三种疫苗公司生产的疫苗分别记作A、B、C．
（1）用列表法或画树状图法中的一种方法，求所有可能出现的接种结果；
（2）求小明小丽接种同一家公司生产的疫苗的概率．
【分析】（1）直接根据概率公式求解即可；
（2）根据题意画出树状图得出所有等可能的情况数和甲被派到B小区，同时乙被派到D小区的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
【解答】解：（1）将北京科兴、北京生物、科兴中维三种疫苗公司生产的疫苗分别记作A、B、C，
画树状图如下：
所有可能出现的结果共有9种，即AA、AB、AC、BA、BB、BC、CA、CB、CC；
（2）共有9种等可能的结果，其中小明、小丽接种同一家公司生产的疫苗的结果有3种，
∴小明小丽接种同一家公司生产的疫苗的概率为39=13．
20．（6分）如图，在△ABC中，∠CAD为△ABC的外角．
（1）尺规作图：作∠CAD的平分线AE（保留作图痕迹可加黑，不写作法）；
（2）若AB＝AC，在（1）的条件下，求证：AE∥BC．
【分析】（1）根据角平分线的尺规作图求解即可；
（2）由AB＝AC知∠B＝∠C，从而得∠DAC＝∠B+∠C＝2∠B，再由角平分线的定义知∠DAC＝2∠DAE，从而得∠B＝∠DAE，据此即可得证．
【解答】（1）解：如图所示，AE即为所求．
（2）证明：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∴∠DAC＝∠B+∠C＝2∠B，
∵AE平分∠DAC，
∴∠DAC＝2∠DAE，
∴∠B＝∠DAE，
∴AE平行BC．
四、解答题（二）（本大题3小题，毎小题8分，共24分）
21．（8分）某学校是乒乓球体育传统项目校，为进一步推动该项目的发展．学校准备到体育用品店购买甲、乙两种型号乒乓球若干个，已知3个甲种乒乓球和5个乙种乒乓球共需50元，2个甲种乒乓球和3个乙种乒乓球共需31元．
（1）求1个甲种乒乓球和1个乙种乒乓球的售价各是多少元？
（2）学校准备购买这两种型号的乒乓球共200个，要求甲种乒乓球的数量不超过乙种乒乓球的数量的3倍，请设计出最省钱的购买方案，并说明理由．
【分析】（1）设1个甲种乒乓球的售价是x元，1个乙种乒乓球的售价是y元，根据“购买3个甲种乒乓球和5个乙种乒乓球共需50元，购买2个甲种乒乓球和3个乙种乒乓球共需31元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购买甲种乒乓球a个，费用为w元，则购买乙种乒乓球（200﹣a）个，根据总价＝单价×数量，即可得出w关于a的函数关系式，由甲种乒乓球的数量不超过乙种乒乓球的数量的3倍，即可得出关于a的一元一次不等式，解之即可得出a的取值范围，再利用一次函数的性质即可解决最值问题．
【解答】解：（1）设1个甲种乒乓球的售价是x元，1个乙种乒乓球的售价是y元，
依题意，得：3x+5y=502x+3y=31，
解得：x=5y=7．
答：1个甲种乒乓球的售价是5元，1个乙种乒乓球的售价是7元．
（2）设购买甲种乒乓球a个，费用为w元，则购买乙种乒乓球（200﹣a）个，
依题意，得：w＝5a+7（200﹣a）＝﹣2a+1400．
∵a≤3（200﹣a），
∴a≤150．
∵﹣2＜0，
∴w值随a值的增大而减小，
∴当a＝150时，w取得最小值，此时w＝1100，200﹣a＝50．
答：当购买甲种乒乓球150个，乙种乒乓球50个时最省钱．
22．（8分）如图，将矩形ABCD沿对角线AC剪开，再把△ACD沿CA方向平移得到△A′C′D′．
（1）证明△A′AD′≌△CC′B；
（2）若∠ACB＝30°，试问当点C′在线段AC上的什么位置时，四边形ABC′D′是菱形，并请说明理由．
【分析】（1）根据已知利用SAS判定△A′AD′≌△CC′B；
（2）由已知可推出四边形ABC′D′是平行四边形，只要再证明一组邻边相等即可确定四边形ABC′D′是菱形，由已知可得到BC′=12AC，AB=12AC，从而得到AB＝BC′，所以四边形ABC′D′是菱形．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
△A′C′D′由△ACD平移得到，
∴A′D′＝AD＝CB，AA′＝CC′，A′D′∥AD∥BC．
∴∠D′A′C′＝∠BCA．
∴△A′AD′≌△CC′B．
（2）解：当点C′是线段AC的中点时，四边形ABC′D′是菱形．
理由如下：
∵四边形ABCD是矩形，△A′C′D′由△ACD平移得到，
∴C′D′＝CD＝AB．
由（1）知AD′＝C′B．
∴四边形ABC′D′是平行四边形．
在Rt△ABC中，点C′是线段AC的中点，
∴BC′=12AC．
而∠ACB＝30°，
∴AB=12AC．
∴AB＝BC′．
∴四边形ABC′D′是菱形．
23．（8分）Rt△ABC在直角坐标系内的位置如图所示，反比例函数y=kx（k≠0）在第一象限内的图象与BC边交于点D（4，1），与AB边交于点E（2，n）．
（1）求反比例函数的解析式和n值；
（2）当BCAC=12时，求直线AB的解析式．
【分析】（1）将点D（4，1）代入反比例函数y=kx，可得k的值，再将点E代入反比例函数解析式即可；
（2）过点E作EH⊥BC于点H，得△ABC∽△EBH，则BHEH=BCAC=12，可得点B的坐标，再利用待定系数法求出直线AB的解析式．
【解答】解：（1）∵D（4，1）在反比例函数y=kx的图象上，
∴k＝4×1＝4，
∴反比例函数的解析式为：y=4x；
∵点E在反比例函数的图象上，将点E代入反比例函数解析式得：
n=42=2；
（2）如图，过点E作EH⊥BC于点H，
∴∠BHE＝90°，
∵△ABC是直角三角形，
∴∠BHE＝∠BCA，
又∵∠B＝∠B，
∴△ABC∽△EBH，
∴BHEH=BCAC=12，
由（1）知E（2，2），C（4，0），
∴EH＝2，BH＝1，
∴B（4，3），
设直线AB的解析式为y＝kx+b，将B（4，3），E（2，2）代入得：
4k+b=32k+b=2，
∴k=12b=1，
∴直线AB的解析式为：y=12x+1．
五、解答题（三）（本大题2小题，毎小题10分，共20分）
24．（10分）如图，已知点O是△ABC的外接圆的圆心，AB＝AC，点D是弧AB上一点，连接并延长BD交过点A且平行于BC的射线于点E．
（1）求证：DA平分∠CDE；
（2）判断直线AE与⊙O的位置关系，并证明；
（3）若DE＝3，BD＝6，AD＝5，求AC的长．
【分析】（1）根据圆内接四边形对角互补可得，∠ACB+∠ADB＝180°，根据同弦对应圆周角相等可得∠CAB＝∠CDB，利用角之间的等量关系可求出∠EDA＝∠CDA，即DA平分∠CDE；
（2）作OP⊥BC，得到△ABO≌△ACO，利用等腰三角形三线合一，可得A、O、P共线，根据平行线的性质可得∠EAO＝90°，所以AE与⊙O相切；
（3）利用相似三角形的性质，可求出EA、AB的值，进而求出AC的长度．
【解答】（1）证明：∵AB＝AC，
∴∠ACB＝∠ABC，
∵∠ACB+∠ADB＝180°，
∴∠ACB＝∠ADE．
又∵∠CAB＝∠CDB，
∴∠EDA+∠ADC+∠CDB＝180°，
∴∠ADC＝∠ABC
∴∠EDA＝∠CDA
∴DA平分∠CDE
（2）解：相切，理由如下：
如图，作OP⊥BC，连接AO，BO，CO，
∵△ABO≌△ACO，
∴∠BAO＝∠CAO，
∴AO为∠BAC的角平分线，
∵等腰三角形平分线和垂线重合，
∴A、O、P共线，
∵EA∥BC且∠APC＝90°，
∴∠EAO＝90°，
∵OA是半径，
∴AE与⊙O相切，
（3）解：由（1）可知∠BAE＝∠EBC＝∠ADE，
又∠AEB＝∠DEB，
∴△AED∽△BEA，
∴ED：EA＝EA：BE，
∴3：EA＝EA：9，
∴AE＝33，
∵AD：AB＝AE：BE，
∴AB＝53，
∴AC＝AB＝53．
25．（10分）如图，抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a（a＞0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，且OB＝OC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图，若点P是线段BC（不与B，C重合）上一动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于M点，连接CM，当△PCM和△ABC相似时，求此时点P的坐标；
（3）若点P是直线BC（不与B，C重合）上一动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于M点，连接CM，将△PCM沿CM对折，如果点P的对应点N恰好落在y轴上，求此时点P的坐标；
【分析】（1）在抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a（a＞0）中，令y＝0，得出点A、B坐标，再根据OB＝OC，建立方程求a的值即可求出函数的关系式；
（2）分△CPM∽△CBA、△CPM∽△ABC两种情况，由相似三角形的性质分别求解即可；
（3）分两种情况情况，由等腰三角形的性质及折叠的性质可得出答案．
【解答】解：（1）在y＝ax2﹣2ax﹣3a（a＞0）中，
令y＝0，得：ax2﹣2ax﹣3a＝0，
解得：x1＝3，x2＝﹣1，
∴A（﹣1，0），B（3，0），
∴OB＝3，
∵OB＝OC，
∴OC＝3，
∴C（0，﹣3），
∴﹣3a＝﹣3，
∴a＝1，
∴抛物线解析式为：y＝x2﹣2x﹣3；
（2）设直线BC解析式为y＝kx+b，
∵B（3，0），C（0，﹣3），
∴3k+b=0b=−3，解得：k=1b=−3，
∴直线BC解析式为：y＝x﹣3，
设M点坐标为（m，m2﹣2m﹣3），
∵PM⊥x轴，
∴P（m，m﹣3），
∴PM＝m﹣3﹣（m2﹣2m﹣3）＝﹣m2+3m，
∵OB＝OC，∠BOC＝90°，
∴CB=2OB，
∴CP=2m，
∵A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣3），
∴OB＝OC，AC=10，BC＝32，
∴∠PBA＝∠OCB＝45°＝∠MPC，
若△PCM和△ABC相似，分两种情况：
①当△CPM∽△CBA，
∴PCBC=PMAB，即2m32=−m2+3m4，
解得：m=53，
∴P（53，−43）；
②当△CPM∽△ABC，
∴PCAB=PMBC，即2m4=−m2+3m32，
解得：m=32，
∴P（32，−32）；
综上所述，点P的坐标为（53，−43）或（32，−32）；
（3）设M点坐标为（m，m2﹣2m﹣3），
当点P在M的上方时，由（2）知PM＝﹣m2+3m，CP=2m，
∵△PCM沿CM对折，点P的对应点N恰好落在y轴上，
∴∠PCM＝∠NCM，
∵PM∥y轴，
∴∠NCM＝∠PMC，
∴∠PCM＝∠PMC，
∴PC＝PM，
∴2m＝﹣m2+3m，
整理得：m2+（2−3）m＝0，
解得：m1＝0（舍去），m2＝3−2，
∴当m＝3−2时，m﹣3=−2，
∴P（3−2，−2）．
当点P在M点下方时，PM＝m2﹣3m，
同理可得2m＝m2﹣3m，
解得m1＝0（舍去），m2＝3+2，
∴P（3+2，2），
综上所述，点P的坐标为（3−2，−2）或（3+2，2）．
1．（3分）计算（﹣2）+（﹣3）的结果是（ ）
A．﹣5B．﹣1C．1D．5
2．（3分）2022年北京冬季奥运会的吉祥物冰墩墩、雪容融成为冬奥名副其实的顶流，实力演绎“一墩难求”，线上线下曾一度出现缺货，销量最高的一款冰墩墩雪容融手办玩具摆件销量已经超过了6万.6万用科学记数法可表示为（ ）
A．6×105B．0.6×105C．6×104D．0.6×104
3．（3分）一个正多边形的每个外角都等于60°，那么它的边数是（ ）
A．6B．8C．10D．12
4．（3分）若二次根式8−2x在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x≤4B．x＜4C．x≤﹣4D．x≥4
5．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．（2a）3＝6a3B．（﹣a3）2＝（a3）2
C．a6÷a3＝a2D．a•a4＝a4
6．（3分）从某市5000名初一学生中，随机抽取100名学生，测得他们的身高数据，得到一个样本，则这个样本数据的平均数、中位数、众数、方差四个统计量中，服装厂最感兴趣的是（ ）
A．平均数B．中位数C．众数D．方差
7．（3分）不等式组−2x≤03−x＞0的整数解有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
8．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点P坐标为（﹣3，2），以点O为圆心，以OP的长为半径画弧，交x轴的负半轴于点A，则点A的横坐标介于（ ）
A．﹣4和﹣3之间B．﹣5和﹣4之间C．3和4之间D．4和5之间
9．（3分）将一副直角三角尺按如图位置摆放在同一平面内，使两个直角三角尺的斜边AB∥DF，含30°角的直角三角尺的直角顶点E在含45°角的直角三角尺的斜边AB上，且点F在CB的延长线上，已知∠A＝45°，则∠1的度数是（ ）
A．30°B．45°C．60°D．75°
10．（3分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠D＝90°，AB＝BC＝5，tanA=43．动点P沿路径A→B→C→D从点A出发，以每秒1个单位长度的速度向点D运动．过点P作PH⊥AD，垂足为H．设点P运动的时间为x（单位：s），△APH的面积为y，则y关于x的函数图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
二、填空题（本大题7小题，每小题4分，共28分）请将下列各题的正确答案填写在答题卡相应的位置上．
11．（4分）9的算术平方根是 ．
12．（4分）因式分解：4a2﹣1＝ ．
13．（4分）在△ABC中∠A、∠C均为锐角，且有|tanB−3|+(sinA−32)2=0，则△ABC的形状为 ．
14．（4分）双减政策背景下，为落实“五育并举”，某学校准备打造学生第二课堂，有四类课程可供选择，分别是“A．书画类、B．文艺类、C．社会实践类、D．体育类”．现随机抽取了七年级部分学生对报名意向进行调查，并根据调查结果绘制了如下两幅不完整的统计图，若该校七年级共有800名学生，根据上述调查结果估计该校学生选择“社会实践类”的学生共有 名．
15．（4分）如图，在3×3的方格纸中，每个小方格都是边长为1cm的正方形，点A、B、O是格点，则图中扇形OAB中阴影部分的面积是 ．
16．（4分）已知a2﹣a﹣2＝0，则代数式1a−1a−1的值为 ．
17．（4分）如图，正方形ABCD中，AB＝6，O是BC边的中点，点E是正方形内一动点，OE＝2，连接DE，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得DF，连接AE、CF．则线段OF长的最小值为 ．
三、解答题（一）（本大题3小题，每小题6分，共18分）
18．（6分）计算：|−3|−(4−π)0+3−8+(14)−1．
19．（6分）疫情防控，人人有责，而接种疫苗是疫情防控的重要手段，小明和小丽同时去接种疫苗，接种站有北京科兴、北京生物、科兴中维三种疫苗公司生产的疫苗供小明和小丽选择．其中北京科兴、北京生物、科兴中维三种疫苗公司生产的疫苗分别记作A、B、C．
（1）用列表法或画树状图法中的一种方法，求所有可能出现的接种结果；
（2）求小明小丽接种同一家公司生产的疫苗的概率．
20．（6分）如图，在△ABC中，∠CAD为△ABC的外角．
（1）尺规作图：作∠CAD的平分线AE（保留作图痕迹可加黑，不写作法）；
（2）若AB＝AC，在（1）的条件下，求证：AE∥BC．
四、解答题（二）（本大题3小题，毎小题8分，共24分）
21．（8分）某学校是乒乓球体育传统项目校，为进一步推动该项目的发展．学校准备到体育用品店购买甲、乙两种型号乒乓球若干个，已知3个甲种乒乓球和5个乙种乒乓球共需50元，2个甲种乒乓球和3个乙种乒乓球共需31元．
（1）求1个甲种乒乓球和1个乙种乒乓球的售价各是多少元？
（2）学校准备购买这两种型号的乒乓球共200个，要求甲种乒乓球的数量不超过乙种乒乓球的数量的3倍，请设计出最省钱的购买方案，并说明理由．
22．（8分）如图，将矩形ABCD沿对角线AC剪开，再把△ACD沿CA方向平移得到△A′C′D′．
（1）证明△A′AD′≌△CC′B；
（2）若∠ACB＝30°，试问当点C′在线段AC上的什么位置时，四边形ABC′D′是菱形，并请说明理由．
23．（8分）Rt△ABC在直角坐标系内的位置如图所示，反比例函数y=kx（k≠0）在第一象限内的图象与BC边交于点D（4，1），与AB边交于点E（2，n）．
（1）求反比例函数的解析式和n值；
（2）当BCAC=12时，求直线AB的解析式．
五、解答题（三）（本大题2小题，毎小题10分，共20分）
24．（10分）如图，已知点O是△ABC的外接圆的圆心，AB＝AC，点D是弧AB上一点，连接并延长BD交过点A且平行于BC的射线于点E．
（1）求证：DA平分∠CDE；
（2）判断直线AE与⊙O的位置关系，并证明；
（3）若DE＝3，BD＝6，AD＝5，求AC的长．
25．（10分）如图，抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a（a＞0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，且OB＝OC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图，若点P是线段BC（不与B，C重合）上一动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于M点，连接CM，当△PCM和△ABC相似时，求此时点P的坐标；
（3）若点P是直线BC（不与B，C重合）上一动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于M点，连接CM，将△PCM沿CM对折，如果点P的对应点N恰好落在y轴上，求此时点P的坐标；
2022年广东省东莞市六校联考中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分）在每小题列出的四个选项中，只有一个是正确的，请把答题卡上对应题目所选的选项涂黑．
1．（3分）计算（﹣2）+（﹣3）的结果是（ ）
A．﹣5B．﹣1C．1D．5
【分析】原式利用同号两数相加的法则计算即可得到结果．
【解答】解：原式＝﹣（2+3）＝﹣5．
故选：A．
2．（3分）2022年北京冬季奥运会的吉祥物冰墩墩、雪容融成为冬奥名副其实的顶流，实力演绎“一墩难求”，线上线下曾一度出现缺货，销量最高的一款冰墩墩雪容融手办玩具摆件销量已经超过了6万.6万用科学记数法可表示为（ ）
A．6×105B．0.6×105C．6×104D．0.6×104
【分析】应用科学记数法—表示较大的数的方法，把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数，其中1≤a＜10，n为正整数，进行求解即可得出答案．
【解答】解：6万＝60000＝6×104．
故选：C．
3．（3分）一个正多边形的每个外角都等于60°，那么它的边数是（ ）
A．6B．8C．10D．12
【分析】利用多边形的外角和等于360度即可解决问题．
【解答】解：由题意可得：
正多边形的边数为：360°÷60°＝6．
故选：A．
4．（3分）若二次根式8−2x在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x≤4B．x＜4C．x≤﹣4D．x≥4
【分析】根据a（a≥0）进行计算即可．
【解答】解：由题意得：
8﹣2x≥0，
∴x≤4，
故选：A．
5．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．（2a）3＝6a3B．（﹣a3）2＝（a3）2
C．a6÷a3＝a2D．a•a4＝a4
【分析】按照积的乘方、幂的乘方、同底数幂相乘除的运算法则逐一计算进行辨别．
【解答】解：∵（2a）3＝8a3，
∴选项A不符合题意；
∵（﹣a3）2＝（a3）2＝a6，
∴选项B符合题意；
∵a6÷a3＝a6﹣3＝a3，
∴选项C不符合题意；
∵a•a4＝a5，
∴选项D不符合题意；
故选：B．
6．（3分）从某市5000名初一学生中，随机抽取100名学生，测得他们的身高数据，得到一个样本，则这个样本数据的平均数、中位数、众数、方差四个统计量中，服装厂最感兴趣的是（ ）
A．平均数B．中位数C．众数D．方差
【分析】服装厂最感兴趣的是哪种尺码的服装售量较多，也就是需要参照指标众数．
【解答】解：由于众数是数据中出现次数最多的数，故服装厂最感兴趣的指标是众数．
故选：C．
7．（3分）不等式组−2x≤03−x＞0的整数解有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分确定出不等式组的解集，进而求出整数解即可．
【解答】解：−2x≤0①3−x＞0②，
由①得：x≥0，
由②得：x＜3，
∴不等式组的解集为0≤x＜3，
则不等式组的整数解为0，1，2共3个．
故选：C．
8．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点P坐标为（﹣3，2），以点O为圆心，以OP的长为半径画弧，交x轴的负半轴于点A，则点A的横坐标介于（ ）
A．﹣4和﹣3之间B．﹣5和﹣4之间C．3和4之间D．4和5之间
【分析】首先利用勾股定理求出OP=22+32=13，再得出3＜13＜4，从而得出−13的范围．
【解答】解：∵点P坐标为（﹣3，2），
∴OP=22+32=13，
∴OA=13，
∵9＜13＜16，
∴3＜13＜4，
∴﹣4＜−13＜−3，
∴点A的横坐标−13介于﹣4和﹣3之间，
故选：A．
9．（3分）将一副直角三角尺按如图位置摆放在同一平面内，使两个直角三角尺的斜边AB∥DF，含30°角的直角三角尺的直角顶点E在含45°角的直角三角尺的斜边AB上，且点F在CB的延长线上，已知∠A＝45°，则∠1的度数是（ ）
A．30°B．45°C．60°D．75°
【分析】根据平行线的性质求出∠BFD，进而求出∠BFE，根据三角形外角定理求出∠BEF，由平角的定义即可求出∠1．
【解答】解：由题意知，在Rt△DEF中，∠EDF＝60°，
∵AB∥DF，
∴∠1＝∠EDF＝60°，
故选：C．
10．（3分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠D＝90°，AB＝BC＝5，tanA=43．动点P沿路径A→B→C→D从点A出发，以每秒1个单位长度的速度向点D运动．过点P作PH⊥AD，垂足为H．设点P运动的时间为x（单位：s），△APH的面积为y，则y关于x的函数图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】分别求出点P在AB上运动、点P在BC上运动、点P在CD上运动时的函数表达式，进而求解．
【解答】解：①当点P在AB上运动时，
∵AB＝BC＝5，tanA=43，
∴AP：PH：AH＝5：4：3，
∵AP＝x，
∴PH=45x，AH=35x，
y=12AH•PH=12•35x•45x=625x2，图象为二次函数；
且当x＝5时，y＝6；故B，C，D不正确；则A正确；
②当点P在BC上运动时，如下图，过点B作BE⊥AD于点E，
∵tanA=43，AB＝5，
∴BE＝4，AE＝3，
∵AB+BP＝x，
∴BP＝EH＝x﹣5，
∴AH＝2+x﹣5＝x﹣2，
∴y=12AH•PH=12•（x﹣2）•4＝2x﹣4，为一次函数；
且当x＝10时，y＝16；
③当点P在CD上运动时，
此时，AD＝AH＝3+5＝8，
∵AB+BC+CP＝x，
∴PH＝AB+BC+CD﹣x＝14﹣x，
∴y=12AH•PH=12×8•（14﹣x）＝﹣4x+56；
故选：A．
二、填空题（本大题7小题，每小题4分，共28分）请将下列各题的正确答案填写在答题卡相应的位置上．
11．（4分）9的算术平方根是 3 ．
【分析】9的平方根为±3，算术平方根为非负，从而得出结论．
【解答】解：∵（±3）2＝9，
∴9的算术平方根是3．
故答案为：3．
12．（4分）因式分解：4a2﹣1＝ （2a+1）（2a﹣1） ．
【分析】直接利用平方差公式分解因式得出答案．
【解答】解：4a2﹣1＝（2a+1）（2a﹣1）．
故答案为：（2a+1）（2a﹣1）．
13．（4分）在△ABC中∠A、∠C均为锐角，且有|tanB−3|+(sinA−32)2=0，则△ABC的形状为 等边三角形 ．
【分析】根据非负数的性质求出tanB和sinA的值，然后求出∠A、∠B的度数，即可判断△ABC的形状．
【解答】解：由题意得，tanB=3，sinA=32，
则∠A＝60°，∠B＝60°，
∠C＝180°﹣60°﹣60°＝60°．
故△ABC为等边三角形．
故答案为：等边三角形．
14．（4分）双减政策背景下，为落实“五育并举”，某学校准备打造学生第二课堂，有四类课程可供选择，分别是“A．书画类、B．文艺类、C．社会实践类、D．体育类”．现随机抽取了七年级部分学生对报名意向进行调查，并根据调查结果绘制了如下两幅不完整的统计图，若该校七年级共有800名学生，根据上述调查结果估计该校学生选择“社会实践类”的学生共有 128 名．
【分析】根据D类的人数和所占的百分比，可以求得本次被抽查的学生人数；根据“C．社会实践类”的学生有8名，可以计算出该校学生选择“C．社会实践类”的学生共有多少名．
【解答】解：本次被抽查的学生共有：20÷40%＝50（名），800×850=128（名），
即该校学生选择“C．社会实践类”的学生共有128名．
故答案为：128．
15．（4分）如图，在3×3的方格纸中，每个小方格都是边长为1cm的正方形，点A、B、O是格点，则图中扇形OAB中阴影部分的面积是 （5π4−52）cm2 ．
【分析】证明△ACO≌△ODB，根据全等三角形的性质得到∠AOB＝90°，根据勾股定理求出OA、OB，根据扇形面积公式计算，得到答案．
【解答】解∵∠ACO＝90°，
∴∠CAO+∠AOC＝90°，
在△ACO和△ODB中，
AC=OD∠ACO=∠ODBCO=DB，
∴△ACO≌△ODB（SAS），
∴∠CAO＝∠BOD，
∴∠BOD+∠AOC＝90°，
∴∠AOB＝90°，
由勾股定理得，OA＝OB=22+12=5（cm），
∴扇形OAB中阴影部分的面积=90π×(5)2360−12×5×5=（5π4−52）cm2，
故答案为：（5π4−52）cm2．
16．（4分）已知a2﹣a﹣2＝0，则代数式1a−1a−1的值为 −12 ．
【分析】已知等式变形得：a2﹣a＝2，计算异分母分式化简为−1a2−a代入即可求出所求式子的值．
【解答】解：已知等式变形得：a2﹣a＝2，
1a−1a−1
=a−1a(a−1)−aa(a−1)
=−1a(a−1)
=−1a2−a
=−12．
故答案为−12．
17．（4分）如图，正方形ABCD中，AB＝6，O是BC边的中点，点E是正方形内一动点，OE＝2，连接DE，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得DF，连接AE、CF．则线段OF长的最小值为 310−2 ．
【分析】连接DO，将线段DO绕点D逆时针旋转90°得DM，连接OF，FM，OM，证明△EDO≌△FDM，可得FM＝OE＝2，由勾股定理可得OM＝310，根据OF+MF≥OM，即可得出OF的最小值．
【解答】解：如图，连接DO，将线段DO绕点D逆时针旋转90°得DM，连接OF，FM，OM，
∵∠EDF＝∠ODM＝90°，
∴∠EDO＝∠FDM，
在△EDO与FDM中，
DE=DF∠EDO=∠FDMDO=DM，
∴△EDO≌△FDM（SAS），
∴FM＝OE＝2，
∵正方形ABCD中，AB＝6，O是BC边的中点，
∴OC＝3，
∴OD=OC2+CD2=9+36=35，
∴OM=DO2+DM2=45+45=310，
∵OF+MF≥OM，
∴OF≥310−2，
∴线段OF长的最小值为310−2，
故答案为：310−2．
三、解答题（一）（本大题3小题，每小题6分，共18分）
18．（6分）计算：|−3|−(4−π)0+3−8+(14)−1．
【分析】直接利用绝对值的性质和零指数幂的性质、立方根的性质、负整数指数幂的性质分别化简，进而利用实数的加减运算法则计算得出答案．
【解答】解：原式=3−1﹣2+4
=3+1．
19．（6分）疫情防控，人人有责，而接种疫苗是疫情防控的重要手段，小明和小丽同时去接种疫苗，接种站有北京科兴、北京生物、科兴中维三种疫苗公司生产的疫苗供小明和小丽选择．其中北京科兴、北京生物、科兴中维三种疫苗公司生产的疫苗分别记作A、B、C．
（1）用列表法或画树状图法中的一种方法，求所有可能出现的接种结果；
（2）求小明小丽接种同一家公司生产的疫苗的概率．
【分析】（1）直接根据概率公式求解即可；
（2）根据题意画出树状图得出所有等可能的情况数和甲被派到B小区，同时乙被派到D小区的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
【解答】解：（1）将北京科兴、北京生物、科兴中维三种疫苗公司生产的疫苗分别记作A、B、C，
画树状图如下：
所有可能出现的结果共有9种，即AA、AB、AC、BA、BB、BC、CA、CB、CC；
（2）共有9种等可能的结果，其中小明、小丽接种同一家公司生产的疫苗的结果有3种，
∴小明小丽接种同一家公司生产的疫苗的概率为39=13．
20．（6分）如图，在△ABC中，∠CAD为△ABC的外角．
（1）尺规作图：作∠CAD的平分线AE（保留作图痕迹可加黑，不写作法）；
（2）若AB＝AC，在（1）的条件下，求证：AE∥BC．
【分析】（1）根据角平分线的尺规作图求解即可；
（2）由AB＝AC知∠B＝∠C，从而得∠DAC＝∠B+∠C＝2∠B，再由角平分线的定义知∠DAC＝2∠DAE，从而得∠B＝∠DAE，据此即可得证．
【解答】（1）解：如图所示，AE即为所求．
（2）证明：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∴∠DAC＝∠B+∠C＝2∠B，
∵AE平分∠DAC，
∴∠DAC＝2∠DAE，
∴∠B＝∠DAE，
∴AE平行BC．
四、解答题（二）（本大题3小题，毎小题8分，共24分）
21．（8分）某学校是乒乓球体育传统项目校，为进一步推动该项目的发展．学校准备到体育用品店购买甲、乙两种型号乒乓球若干个，已知3个甲种乒乓球和5个乙种乒乓球共需50元，2个甲种乒乓球和3个乙种乒乓球共需31元．
（1）求1个甲种乒乓球和1个乙种乒乓球的售价各是多少元？
（2）学校准备购买这两种型号的乒乓球共200个，要求甲种乒乓球的数量不超过乙种乒乓球的数量的3倍，请设计出最省钱的购买方案，并说明理由．
【分析】（1）设1个甲种乒乓球的售价是x元，1个乙种乒乓球的售价是y元，根据“购买3个甲种乒乓球和5个乙种乒乓球共需50元，购买2个甲种乒乓球和3个乙种乒乓球共需31元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购买甲种乒乓球a个，费用为w元，则购买乙种乒乓球（200﹣a）个，根据总价＝单价×数量，即可得出w关于a的函数关系式，由甲种乒乓球的数量不超过乙种乒乓球的数量的3倍，即可得出关于a的一元一次不等式，解之即可得出a的取值范围，再利用一次函数的性质即可解决最值问题．
【解答】解：（1）设1个甲种乒乓球的售价是x元，1个乙种乒乓球的售价是y元，
依题意，得：3x+5y=502x+3y=31，
解得：x=5y=7．
答：1个甲种乒乓球的售价是5元，1个乙种乒乓球的售价是7元．
（2）设购买甲种乒乓球a个，费用为w元，则购买乙种乒乓球（200﹣a）个，
依题意，得：w＝5a+7（200﹣a）＝﹣2a+1400．
∵a≤3（200﹣a），
∴a≤150．
∵﹣2＜0，
∴w值随a值的增大而减小，
∴当a＝150时，w取得最小值，此时w＝1100，200﹣a＝50．
答：当购买甲种乒乓球150个，乙种乒乓球50个时最省钱．
22．（8分）如图，将矩形ABCD沿对角线AC剪开，再把△ACD沿CA方向平移得到△A′C′D′．
（1）证明△A′AD′≌△CC′B；
（2）若∠ACB＝30°，试问当点C′在线段AC上的什么位置时，四边形ABC′D′是菱形，并请说明理由．
【分析】（1）根据已知利用SAS判定△A′AD′≌△CC′B；
（2）由已知可推出四边形ABC′D′是平行四边形，只要再证明一组邻边相等即可确定四边形ABC′D′是菱形，由已知可得到BC′=12AC，AB=12AC，从而得到AB＝BC′，所以四边形ABC′D′是菱形．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
△A′C′D′由△ACD平移得到，
∴A′D′＝AD＝CB，AA′＝CC′，A′D′∥AD∥BC．
∴∠D′A′C′＝∠BCA．
∴△A′AD′≌△CC′B．
（2）解：当点C′是线段AC的中点时，四边形ABC′D′是菱形．
理由如下：
∵四边形ABCD是矩形，△A′C′D′由△ACD平移得到，
∴C′D′＝CD＝AB．
由（1）知AD′＝C′B．
∴四边形ABC′D′是平行四边形．
在Rt△ABC中，点C′是线段AC的中点，
∴BC′=12AC．
而∠ACB＝30°，
∴AB=12AC．
∴AB＝BC′．
∴四边形ABC′D′是菱形．
23．（8分）Rt△ABC在直角坐标系内的位置如图所示，反比例函数y=kx（k≠0）在第一象限内的图象与BC边交于点D（4，1），与AB边交于点E（2，n）．
（1）求反比例函数的解析式和n值；
（2）当BCAC=12时，求直线AB的解析式．
【分析】（1）将点D（4，1）代入反比例函数y=kx，可得k的值，再将点E代入反比例函数解析式即可；
（2）过点E作EH⊥BC于点H，得△ABC∽△EBH，则BHEH=BCAC=12，可得点B的坐标，再利用待定系数法求出直线AB的解析式．
【解答】解：（1）∵D（4，1）在反比例函数y=kx的图象上，
∴k＝4×1＝4，
∴反比例函数的解析式为：y=4x；
∵点E在反比例函数的图象上，将点E代入反比例函数解析式得：
n=42=2；
（2）如图，过点E作EH⊥BC于点H，
∴∠BHE＝90°，
∵△ABC是直角三角形，
∴∠BHE＝∠BCA，
又∵∠B＝∠B，
∴△ABC∽△EBH，
∴BHEH=BCAC=12，
由（1）知E（2，2），C（4，0），
∴EH＝2，BH＝1，
∴B（4，3），
设直线AB的解析式为y＝kx+b，将B（4，3），E（2，2）代入得：
4k+b=32k+b=2，
∴k=12b=1，
∴直线AB的解析式为：y=12x+1．
五、解答题（三）（本大题2小题，毎小题10分，共20分）
24．（10分）如图，已知点O是△ABC的外接圆的圆心，AB＝AC，点D是弧AB上一点，连接并延长BD交过点A且平行于BC的射线于点E．
（1）求证：DA平分∠CDE；
（2）判断直线AE与⊙O的位置关系，并证明；
（3）若DE＝3，BD＝6，AD＝5，求AC的长．
【分析】（1）根据圆内接四边形对角互补可得，∠ACB+∠ADB＝180°，根据同弦对应圆周角相等可得∠CAB＝∠CDB，利用角之间的等量关系可求出∠EDA＝∠CDA，即DA平分∠CDE；
（2）作OP⊥BC，得到△ABO≌△ACO，利用等腰三角形三线合一，可得A、O、P共线，根据平行线的性质可得∠EAO＝90°，所以AE与⊙O相切；
（3）利用相似三角形的性质，可求出EA、AB的值，进而求出AC的长度．
【解答】（1）证明：∵AB＝AC，
∴∠ACB＝∠ABC，
∵∠ACB+∠ADB＝180°，
∴∠ACB＝∠ADE．
又∵∠CAB＝∠CDB，
∴∠EDA+∠ADC+∠CDB＝180°，
∴∠ADC＝∠ABC
∴∠EDA＝∠CDA
∴DA平分∠CDE
（2）解：相切，理由如下：
如图，作OP⊥BC，连接AO，BO，CO，
∵△ABO≌△ACO，
∴∠BAO＝∠CAO，
∴AO为∠BAC的角平分线，
∵等腰三角形平分线和垂线重合，
∴A、O、P共线，
∵EA∥BC且∠APC＝90°，
∴∠EAO＝90°，
∵OA是半径，
∴AE与⊙O相切，
（3）解：由（1）可知∠BAE＝∠EBC＝∠ADE，
又∠AEB＝∠DEB，
∴△AED∽△BEA，
∴ED：EA＝EA：BE，
∴3：EA＝EA：9，
∴AE＝33，
∵AD：AB＝AE：BE，
∴AB＝53，
∴AC＝AB＝53．
25．（10分）如图，抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a（a＞0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，且OB＝OC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图，若点P是线段BC（不与B，C重合）上一动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于M点，连接CM，当△PCM和△ABC相似时，求此时点P的坐标；
（3）若点P是直线BC（不与B，C重合）上一动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于M点，连接CM，将△PCM沿CM对折，如果点P的对应点N恰好落在y轴上，求此时点P的坐标；
【分析】（1）在抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a（a＞0）中，令y＝0，得出点A、B坐标，再根据OB＝OC，建立方程求a的值即可求出函数的关系式；
（2）分△CPM∽△CBA、△CPM∽△ABC两种情况，由相似三角形的性质分别求解即可；
（3）分两种情况情况，由等腰三角形的性质及折叠的性质可得出答案．
【解答】解：（1）在y＝ax2﹣2ax﹣3a（a＞0）中，
令y＝0，得：ax2﹣2ax﹣3a＝0，
解得：x1＝3，x2＝﹣1，
∴A（﹣1，0），B（3，0），
∴OB＝3，
∵OB＝OC，
∴OC＝3，
∴C（0，﹣3），
∴﹣3a＝﹣3，
∴a＝1，
∴抛物线解析式为：y＝x2﹣2x﹣3；
（2）设直线BC解析式为y＝kx+b，
∵B（3，0），C（0，﹣3），
∴3k+b=0b=−3，解得：k=1b=−3，
∴直线BC解析式为：y＝x﹣3，
设M点坐标为（m，m2﹣2m﹣3），
∵PM⊥x轴，
∴P（m，m﹣3），
∴PM＝m﹣3﹣（m2﹣2m﹣3）＝﹣m2+3m，
∵OB＝OC，∠BOC＝90°，
∴CB=2OB，
∴CP=2m，
∵A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣3），
∴OB＝OC，AC=10，BC＝32，
∴∠PBA＝∠OCB＝45°＝∠MPC，
若△PCM和△ABC相似，分两种情况：
①当△CPM∽△CBA，
∴PCBC=PMAB，即2m32=−m2+3m4，
解得：m=53，
∴P（53，−43）；
②当△CPM∽△ABC，
∴PCAB=PMBC，即2m4=−m2+3m32，
解得：m=32，
∴P（32，−32）；
综上所述，点P的坐标为（53，−43）或（32，−32）；
（3）设M点坐标为（m，m2﹣2m﹣3），
当点P在M的上方时，由（2）知PM＝﹣m2+3m，CP=2m，
∵△PCM沿CM对折，点P的对应点N恰好落在y轴上，
∴∠PCM＝∠NCM，
∵PM∥y轴，
∴∠NCM＝∠PMC，
∴∠PCM＝∠PMC，
∴PC＝PM，
∴2m＝﹣m2+3m，
整理得：m2+（2−3）m＝0，
解得：m1＝0（舍去），m2＝3−2，
∴当m＝3−2时，m﹣3=−2，
∴P（3−2，−2）．
当点P在M点下方时，PM＝m2﹣3m，
同理可得2m＝m2﹣3m，
解得m1＝0（舍去），m2＝3+2，
∴P（3+2，2），
综上所述，点P的坐标为（3−2，−2）或（3+2，2）．
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