高中数学人教B版 (2019)必修 第一册3.1.3 函数的奇偶性优秀同步训练题

3.1.3函数的奇偶性人教  B版（2019）高中数学必修第一册同步练习

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

注意事项:
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。

第I卷（选择题）

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）

1. 已知函数是定义域为的偶函数，且对任意，，当时总有，则满足的的范围是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 若定义在上的奇函数在单调递减，且，则满足的的取值范围是(    )

A.  B.
C.  D.

3. 若对于任意实数总有，且在区间上是增函数，则(    )

A.  B.
C.  D.

4. 设为定义在上的函数，函数是奇函数对于下列四个结论：

；

；

函数的图象关于原点对称；

函数的图象关于点对称；

其中，正确结论的个数为(    )

A.  B.  C.  D.

5. 关于函数与的奇偶性，下列说法正确的是  (    )

A. 两函数均为偶函数
B. 两函数都既是奇函数又是偶函数
C. 函数是偶函数，是非奇非偶函数
D. 函数既是奇函数又是偶函数，是非奇非偶函数

6. 设函数，则下列函数中为奇函数的是(    )

A.  B.  C.  D.

7. 函数在上单调递减，且为奇函数．若，则满足的的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

8. 设函数，且，则函数的奇偶性(    )

A. 与无关，且与无关 B. 与有关，且与有关
C. 与有关，且与无关 D. 与无关，且与有关

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）

9. 已知函数是定义在上的奇函数，则下列函数中为奇函数的是(    )

A.  B.  C.  D.

10. 若函数是奇函数，是奇函数，则下列选项一定正确的是．(    )

A. 函数图象关于点对称 B. 函数的周期为
C.   D.  

11. 已知定义域为的奇函数满足，且，则下列结论一定正确的是(    )

A.
B.
C. 函数的图象关于点对称
D. 在区间上是单调函数

12. ，都是定义在上且不恒为的函数，下列说法不正确的是(    )

A. 若为奇函数，则为偶函数
B. 若为偶函数，则为奇函数
C. 若为奇函数，为偶函数，则为奇函数
D. 若为奇函数，为偶函数，则非奇非偶

第II卷（非选择题）

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13. 已知是定义域为的偶函数，对于任意，且，都有，且，则的解集为          ．
14. 已知偶函数和奇函数的定义域都是，且在上的图象如图所示，则关于的不等式的解集是                   

15. 已知是定义在上的偶函数，是定义在上的奇函数，且，则的值为          ．
16. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，则          ．

四、解答题（本大题共6小题，共72.0分）

17. 已知函数是定义域为的奇函数，当时，．
    求的值；
    用定义法判断在区间上的单调性．
    求时，的解析式
18. 已知函数的图象经过点，
    求的值并判断的奇偶性；
    证明函数在上单调递增，并求出函数的最大值．
19. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，．
    求函数在上的解析式；
    用单调性定义证明函数在区间上是增函数．
20. 已知是定义在上的偶函数，且时，．
    求函数的解析式；
    若，求的取值范围．
21. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，．

求的解析式；

求不等式的解集．

22. 已知偶函数的定义域为，，当时，函数．

求实数的值；

当时，求函数的解析式；

判断并证明函数在区间的单调性．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】

 本题主要考查函数奇偶性和单调性，属于中档题．
由题意可得可得出，即可得解．

【解答】

解：任意，，当时总有，
在上是增函数，又是定义域为的偶函数，故在上是减函数．
由，可得
可得出，即即不等式的解集为
故选：．

2.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查函数奇偶性和单调性的应用，考查运算求解及逻辑推理能力，属于一般题．
根据题意，不等式可化为 或，从而利用奇函数性质及函数的单调性求解即可．

【解答】

解：根据题意，不等式可化为 或

由奇函数性质得，在上单调递减，

所以或
解得或．

满足的的取值范围是．

故选D．

3.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查函数的奇偶性和单调性，属于基础题型，
由为偶函数，又在区间上是增函数，即可求解；
【解答】
解：对任意实数总有，
为偶函数，
．
又在区间上是增函数，．
，
故选B．  

4.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查函数的奇偶性，考查函数图象的变换与函数图象的对称性，属中档题．
根据是奇函数，得，令得即可求得，可判断，，
得图象关于原点对称，根据函数的图象可由的图象向右平移个单位得到，即可判断，．

【解答】

解：由是奇函数，得，令得，即，
故，正确，
由是奇函数得得图象关于原点对称，
而函数的图象可由的图象向右平移个单位得到，
所以函数的图象关于点对称，故错误，正确；
故选C．
 

5.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查了函数的奇偶性，函数的定义域，属于中档题．
判断函数的奇偶性首先应确定函数的定义域，再结合奇偶性的定义进行判断即可．

【解答】

解：函数的定义域满足即，
因此函数的定义域为，关于原点对称，
此时，满足，，
所以函数既是奇函数又是偶函数．
同理可得函数的定义域为，不关于原点对称，
因此函数是非奇非偶函数．
故选D．

6.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了函数奇偶性和函数的图象变换，解题的关键是确定的对称中心，考查了逻辑推理能力，属于中档题．
先根据函数的解析式，得到的对称中心，然后通过图象变换，使得变换后的函数图象的对称中心为，从而得到答案．

【解答】

解：因为，
所以函数的对称中心为，
所以将函数向右平移一个单位，向上平移一个单位，
得到函数，该函数的对称中心为，
故函数为奇函数．
故选：．

7.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查函数的单调性，函数的奇偶性，属于基础题．
由题干中函数的单调性及奇偶性，可将不等式化为，即可解得答案．

【解答】

解：函数为奇函数，
若，则，
又函数在上单调递减，，
，
，
解得：，
的取值范围是．
故选D．

8.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查函数奇偶性的判断，由函数奇偶性的定义判断函数的奇偶性是解决该题的关键，是中档题．
利用函数奇偶性的定义可知，当时，函数为奇函数，当时，函数为非奇非偶函数，由此可得答案．

【解答】

解：，，
易知当且仅当时，有，故函数不可能为偶函数，
故只需判断函数是否为奇函数即可，
若，
则，，
当时，定义域关于原点对称，此时为奇函数，
当时，函数为非奇非偶函数．
即函数的奇偶性与无关，但与有关．
故选：．

9.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查函数的奇偶性，属于中档题．
根据为奇函数，可得，再逐项分析可得结果．

【解答】

解：因为函数是定义在上的奇函数，
所以，
对于：，故A为奇函数；
对于：，故B为奇函数；
对于：，故C为偶函数；
对于：定义域是，没有奇偶性，
故选AB．

10.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查抽象函数的性质以及应用，涉及函数的图象变换，属于中档题．
由函数图象平移的规律可得的对称中心，由是奇函数可得为偶函数，进而可得是周期函数，由此分析选项可得答案．

【解答】

解：对于，若函数是奇函数，则的图象关于原点对称，
将的图象向右平移一个单位，可得的图象，
所以的图象关于点对称，故A正确；
对于，因为是奇函数，所以，即，所以，而是奇函数，所以，所以，所以，所以是周期为的函数，故B错误；
对于，函数图象关于点对称，所以，
又是周期为的周期函数，所以，故C正确
对于，，不一定成立，故D错误．
故本题选：．

11.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查函数奇偶性的性质以及应用，涉及函数周期性的分析，属于基础题．
根据题意，依次分析选项是否正确，综合可得答案．

【解答】

解：根据题意，依次分析选项：
对于，函数满足，则，函数是周期为的周期函数，
，而，则，A错误；
对于，为奇函数，且，即，则有，B正确；
对于，由的结论，是周期为的周期函数，则有，即，函数的图象关于点对称，C正确；
对于，在区间上，，是减函数，且有，
又由为奇函数，则在区间上，是奇函数且，
综合可得：在区间上是单调减函数，D正确；
故答案选：．

12.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了函数的奇偶性的判断，属于基础题．
利用奇偶函数的定义分别判断即可．

【解答】

解：
对于，若为奇函数，则，所以为偶函数，所以A正确；
对于，若为偶函数，令，则，

所以为偶函数，故B不正确；

对于，若为奇函数，为偶函数，则 ，所以为偶函数，所以C错误；
对于，若为奇函数，为偶函数，则，所以函数是非奇非偶，所以D正确．
故选：．

13.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了函数奇偶性和单调性的运用、不等式求解，属于中档题．
根据题意可得关于直线对称，且在上单调递增，在上单调递减，结合，将不等式等价转化即可得到答案．

【解答】

解：由题意，是定义域为的偶函数，则图象关于直线对称，
又对于任意，且，都有，
则函数在上单调递增，在上单调递减，
又，根据对称性可得，
不等式等价于或，解得或，
即不等式的解集为．
故答案为：．

14.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了函数奇偶性的性质，函数图象的意义．
令，根据的奇偶性和函数图象得出不等式的解．

【解答】

解：设，定义域是，关于原点对称，
则，
是奇函数，
由图象可知：当时，，，即，
当时，，，即，
的解为．
故答案为．

15.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查函数的奇偶性，属于中档题．
由是定义在上的偶函数，是定义在上的奇函数且得，即可得答案．

【解答】

解：由，可得，
是定义在上的偶函数，是定义在上的奇函数，
，，
，即，
，
故答案为．

16.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查根据函数的奇偶性求函数的解析式，属于中档题．
先设，则，就满足函数解析式，用代替，可得时的表达式，又时，，可得结果．

【解答】

解：设，则，
当时，，
，
是定义在上的奇函数，
，
当时，，
又时，，
．
故答案为：．

17.【答案】解：根据题意，由函数为奇函数，当时，，
则；
根据题意，当时，，
在上任取，，且，
则，
又由，，，
可得，即
由定义可知，函数在区间上单调递减；
当时，，则，
由函数为奇函数知，
． 

【解析】本题考查函数奇偶性与单调性的判断以及应用，关键是掌握函数奇偶性与单调性的定义．
根据题意，由函数为奇函数可得，结合函数的解析式计算可得答案；
利用定义法分析即可得结论；
当时，，求出的解析式，又由函数为奇函数，有，分析即可得答案．
 

18.【答案】解：函数，
由函数的图象经过点，
可得，即，解得；
故函数，其定义域为，关于原点对称，
，则函数为奇函数；
证明：由可知函数，
在区间上任取，且，
则，
又，
，，
，
，
即函数在上单调递增．
所以函数取得最大值． 

【解析】本题考查函数的奇偶性和单调性的判断和证明，考查定义法的运用，属于中档题．
代入点的坐标，解方程即可得到；运用奇偶性的定义，首先判断定义域是否关于原点对称，再计算，与比较，即可得到奇偶性；
利用单调性定义，即可判断函数在上的单调性，从而可得函数的最大值．
 

19.【答案】解：是定义在上的奇函数，所以，
设，则，
由时，可知，，
又为奇函数，故，
函数在上的解析式为；
证明：设，则，
，
，
，即，
函数在区间上是增函数，得证． 

【解析】本题考查利用函数奇偶性求函数解析式，考查函数单调性的证明，属于中档题．
利用奇函数的性质直接可以求得函数解析式，需要注意的是；
利用单调性定义直接证明即可．
 

20.【答案】解：设，则，
，
时，，
．
在上为增函数，
又是定义在上的偶函数，
在上为减函数．
由于，，
．
的取值范围是： 

【解析】本题考查函数的单调性以及函数的奇偶性的应用，考查计算能力．
利用函数的奇偶性求解函数的解析式即可．
判断函数的单调性，求解即可．
 

21.【答案】解：若，，则，
因为函数是定义在上的奇函数，
所以，且，
所以；
因为，
当，，解得
当，，解得，
当，，成立；
故不等式的解集为． 

【解析】本题考查了函数的奇偶性的应用，同时考查了分段函数的单调性及应用，属于中档题．
设，则；从而由求解析式，又，即可求解；
分段讨论，求出不等式的解集．
 

22.【答案】解：因为函数为偶函数，且，

所以，解得．

设，则，，

因为函数为偶函数，
所以，
所以当时，．

设且，

则，

，

因为且，

所以，，， 

所以，即，

所以在区间上为单调递增函数．

【解析】本题考查了函数的奇偶性，函数的解析式，函数的单调性，考查了考生的理解，计算转化能力，属于中档题．
利用函数为偶函数进行求解可得的值；
利用偶函数的性质可得函数的解析式；
利用函数单调性的定义进行求解可得．