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3.2函数与方程.不等式之间的关系人教B版（2019）高中数学必修第一册同步练习（含答案解析）

查看最受欢迎《3.2 函数与方程、不等式之间的关系》练习 2024年人教B版 (2019)数学必修第一册同步练习题（全套）

2024-01-29 16:58
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人教B版 (2019)必修第一册3.2 函数与方程、不等式之间的关系练习

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这是一份人教B版 (2019)必修第一册3.2 函数与方程、不等式之间的关系练习，共20页。试卷主要包含了0分），【答案】C，【答案】B，【答案】A，【答案】ABD等内容，欢迎下载使用。

3.2函数与方程.不等式之间的关系人教 B版（2019）高中数学必修第一册同步练习

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

注意事项:
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。

第I卷（选择题）

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）

函数的两个零点均大于，则实数的取值范围是( )

A. B. C. D.

若不等式的解集为，则二次函数在区间上的最大值、最小值分别为( )

A. ， B. ， C. ， D. ，

设，若关于的不等式在上有解，则( )

A. B. C. D.

已知关于的不等式的解集为，其中，则的最小值为( )

A. B. C. D.

已知，且，是方程的两个根，则，，，的大小关系是( )

A. B. C. D.

已知，函数，实数，满足，，若，，则( )

A. B.
C. D. 与的大小关系不能确定

关于的方程有两个实数根，，且，那么的值为( )

A. B. C. 或 D. 或

已知关于的不等式的解集为，，其中，则的最小值为( )

A. B. C. D.

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）

设函数，，则下列说法正确的是( )

A. 若有实根，则方程有实根
B. 若无实根，则方程无实根
C. 若，则函数与都恰有个零点
D. 若，则函数与都恰有零点

已知函数，则( )

A. 函数有两个不同的零点
B. 函数在上单调递增
C. 当时，若在上的最大值为，则
D. 当时，若在上的最大值为，则

下列命题正确的是( )

A. 要使关于的方程的一根比大且另一根比小，则的取值范围是
B. 在上恒成立，则实数的取值范围是．
C. 关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集是
D. 若不等式的解集为或，则

已知，分析该函数图象的特征，若方程一根大于，另一根小于，则下列不等式一定成立的是( )

A. B. C. D.

第II卷（非选择题）

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

已知关于的不等式的解集是空集，则实数的取值范围是__________．
若方程的两根为，且，则实数的取值范围为_____________．
设函数，，若存在，使得和同时成立，则实数的取值范围为____________．
若存在正实数，使得，则的最大值为_________．

四、解答题（本大题共6小题，共72.0分）

已知二次函数，

若且，证明：的图像与轴有两个相异交点

证明：若对，，且，，则方程必有一实根在区间内

在的条件下，是否存在，使成立时，为正数．

已知函数为上的连续函数．

若，试判断在上是否有根存在？若没有，请说明理由；若有，请在精确度为即根所在区间长度小于的条件下，用二分法求出使这个根存在的区间．

若函数在区间上存在零点，求实数的取值范围．

已知，，函数．

Ⅰ若函数在上有两个不同的零点，求的取值范围；

Ⅱ求证：当时，．

已知二次函数

是否存在实数使不等式的解集是，若存在，求实数的值，若不存在，请说明理由；

若为整数，且方程在区间上恰有一个实数根，求的值．

已知二次函数的图像与轴的交点为，，与轴的交点为．

若，求的值

若的面积为，求的值．

已知函数满足：函数是偶函数；
关于的不等式的解集是．

求函数的解析式；

求函数在上的最小值．

答案和解析

1.【答案】

【解析】

【分析】

略

【解答】

解：设函数的两个零点分别为，，函数的两个零点均大于，即方程的两根均大于，则，，即解得，实数的取值范围是．

2.【答案】

【解析】

【分析】

本题主要考查了一元二次方程与一元二次不等式的相互转化思想的应用及二次函数在闭区间上的最值的求解，属于一般题．
由题意可知，是方程的根，利用根与系数的关系可求，，然后结合二次函数的性质可求．

【解答】

解：的解集为，
，是方程的根，

，，
则二次函数的图像开口向下，对称轴，
在区间上，当时，函数取得最大值，当时，函数取得最小值．
故选B．

3.【答案】

【解析】

【分析】

本题主要考查了含参一元二次不等式中参数的取值范围，属于中档题．
根据题意得不等式对应的二次函数的图象开口向上，分别讨论三种情况即可．

【解答】

解：由二次函数的图象开口向上，
当，满足题意，
当，解得或，
当，满足题意，
综上所述：．
故本题选C．

4.【答案】

【解析】

【分析】
本题考查了基本不等式的应用，关键掌握应用基本不等式的基本条件，一正二定三相等，属于中档题．
先判断是方程的两个根，可得，即可得到，，即，令，然后利用基本不等式求得的取值范围，，然后构造函数，求导得到函数的单调区间，进而得到其最小值．
【解答】
解：由不等式的解集为，
可知方程的两个根为．
即可得到，
则可知，则可得，
即．
所以
．
令，
当且仅当即时，等号成立．
则．
所以，
所以在上单调递增，
在上单调递减，
即可得到函数的最小值为时，
即．
综上可得的最小值为．

5.【答案】

【解析】

【分析】
本题考查了函数图象的应用和函数的零点与方程根的关系，属于中档题．
利用函数的零点与方程根的关系，结合二次函数的图象作图得结论．
【解答】
解：令
因为，是的两个根，所以．
又因为，所以．
因为，作函数的图象如图所示：

可知．
故选C．

6.【答案】

【解析】

【分析】
本题考查二次函数的零点和方程根的关系，属于基础题．
先分析方程的两根的符号，从而得出实数之间的关系，即可求解．
【解答】
解：由题意，，
设，为方程的两根，
由韦达定理定理得
，
又且，

则，
故选B．

7.【答案】

【解析】

【分析】
本题考查了根与系数的关系、根的判别式以及解一元二次方程，属于基础题．
根据方程的根的判别式，得出的取值范围，然后根据根与系数的关系可得，结合即可求出答案．
【解答】
解：关于的方程有两个实数根，
，
解得：；
关于的方程有两个实数根，，
，，
，即，
解得：或舍去
故选：．

8.【答案】

【解析】

9.【答案】

【解析】

【分析】

考查二次函数的性质，函数零点个数，考查运算能力，属于中档题．
根据选项条件，逐一分析判断可解．

【解答】

解：若有实根，不妨设实根为，则有，所以，即方程有实根，故A正确；
B.若无实根，则对任意实数，都有，所以，即方程无实根，故B正确；
C.若，则，当，此时无零点，故C错误；
D.若，设，则有，，
又因为，所以无解，有两解，故D正确．
故选：．

10.【答案】

【解析】

【分析】
本题考查二次函数的零点、最值问题、指数函数的单调性的运用．属于知识的综合应用．
结合二次函数的零点及单调性及复合函数的单调性与最值的关系分别检验各选项即可判断．
【解答】
解：因为二次函数对应的一元二次方程的判别式，
所以函数有两个不同的零点，正确；
因为二次函数图象的对称轴为，且图象开口向上，
所以在上单调递增，不正确；
令，则．
当时，，故在上先减后增，
又，故最大值为，
解得负值舍去．
同理当时，，在上的最大值为，
解得负值舍去．
故选ACD．

11.【答案】

【解析】

【分析】
本题考查一元二次方程根的分布，一元二次不等式恒成立问题，一元二次不等式与相应函数和方程的关系等知识点，属于中档题．
由一元二次方程根的分步以及二次不等式的解法，结合选项逐一判断即可．
【解答】
解：对于，要使关于的方程的一根比大且另一根比小，
令，必须，
即，解得，
故A正确，
对于，在上恒成立，
令，
则
即
解得，
故B正确，
对于，
关于的不等式的解集是，
，
则关于的不等式，
等价于，
即，
解得或，
故C正确，
对于，
若不等式的解集为或，
则，
则函数，

又，，
故D正确．
故选ABCD．

12.【答案】

【解析】

【分析】
本题主要考查二次函数图象的应用，属于中档题．
解答本题的关键是利用题中条件画出对应函数图象，再利用图象对各选项进行分析即可．
【解答】
解：由题得，函数的大致图象如图：

由图易得，且，
故C，一定成立；
由题意知，该二次函数有两个零点，
所以，
所以一定成立，
故B一定成立；
选项：假设该二次函数一零点为，一零点，满足题中要求，
但对称轴为，不在之间，
故A不一定成立．
故选BCD．

13.【答案】

【解析】

【分析】

本题考查了一元二次不等式的解法，一元二次不等式与相应的函数与方程的关系，熟练掌握二次函数的性质是解本题的关键，属于中档题．
设，按二次项系数是否为进行分类讨论，当二次项系数不为时，利用二次函数的性质得到二次项系数小于，根的判别式小于列出关于的不等式，求出不等式的解集即可确定出的范围．

【解答】

解：设，
当时，不等式的解集为空集，符合题意；
当时，原不等式变形为，不是空集，不符合题意；
当时，则
解得：，
综上，的取值范围为
故答案为

14.【答案】

【解析】

【分析】
本题考查一元二次方程的根的分布与系数的关系．考查一元二次函数的图象与性质，属于中等题．
构造二次函数，根据一元二次函数的性质与图象知，考查，，处的函数值的符号即可．
【解答】
解：方程对应的二次函数，
方程两根根为，，且，，

解得．
故答案为．

15.【答案】

【解析】

【分析】
函数的图象恒过定点，的图象恒过定点，利用这两个定点，结合二次函数与一次函数的图象解决问题．
【解答】
解：由知，，．
又存在，使得，所以，
解得或又的图象恒过点，
故当时，作出函数和的图象如图所示，
当时，作出函数和的图象如图所示．
由函数的图象知，当时，若，则，
要使，则需解得．
当时，若，则，
此时函数的图象的对称轴，
故函数在区间上为增函数，
又，不成立．
综上，实数的取值范围为．

16.【答案】

【解析】

【分析】
转化为二次方程实根的分布，结合基本不等式和不等式的解法，是解题的关键．
由题意可得，由于存在，可得上式有两个正根，可得，
，，解不等式可得所求最值．
【解答】
解：，可得，
由于存在，可得上式有两个正根，
可得，，，
即有，且，
解得或，
则的最大值为，
故答案为．

17.【答案】解：因为，
所以，
又因为，
所以，且，
因此，
所以，
因此的图象与轴有个交点．
构造函数，
则

于是
，
因为，
所以，
所以方程在内有一根，
即方程，必有一根属于
由可知方程有两个不等的实数根，不妨设为和，
因为，
所以的一根为，
因为，，
所以，
因为，，且，
所以．
因为要求，
所以，
因此，
则，
因为函数在上单调递增
所以成立．

【解析】本题主要考查二次函数的图像和性质，以及根的情况．
判断判别式即可判断；
构造函数，判断与零的关系，从而可解；
由可知的一根为，进而判断的取值范围，从而求解．

18.【答案】解：当时，，即
可以求出，，则又函数为上的连续函数，
在上必有根存在．
取中点，计算得，，
根，取其中点，计算得，
根，取其中点，计算得，
根，取其中点，计算得，
根，区间长度，符合要求．
故符合要求的根存在的区间为．
为开口向上的抛物线，对称轴方程为，
在区间上，函数单调递减．
又函数在区间上存在零点，
即解得
故所求实数的取值范围是．

【解析】本题主要考查函数与方程的应用，结合函数零点存在定理以及二分法进行求解是解决本题的关键．考查学生的运算和转化能力．
若，求出的表达式，结合根的存在性定理进行判断，利用二分法进行求解即可；
根据函数零点存在定理，结合一元二次函数的图象和性质建立不等式进行求解即可．

19.【答案】解：Ⅰ由题意，令得，

所以或，
则，即
所以．

Ⅱ先证，

因为，

所以，，，

因为，所以

即成立；

下证，

因为，对称轴为，，

，即时，

在上单调递增，

所以，

；

，即时，

在上单调递减，

所以，

；

，即时，

，

所以

当时，，

当时，

令在单调递增，

又因为，所以，

综上当时，．

【解析】本题主要考查二次函数的零点与一元二次方程解的关系以及一元二次不等式与相应函数和方程的关系，涉及二次函数的性质，属于中档题．
Ⅰ利用二次函数的零点与一元二次方程解的关系，可得方程的两根，利用韦达定理可求得的取值范围；
Ⅱ先证，再证．

20.【答案】解：假设不等式的解集是，
方程的两根是和，

解得，
而当时，不等式的解集不可能是，
故不存在，使得不等式的解集是；
，
，
当时，，此时函数值域一个零点，
不满足题意，舍去；
所以是二次函数，，
函数必有两个零点，
又函数在上恰有一个零点，
，或一个零点在或，另一个零点在区间内，
当时，，
解得，
为整数，
；
令，解得舍去；
令，解得舍去，
综上所述，的值为．