高中数学人教B版 (2019)必修 第一册第三章 函数3.3 函数的应用(一)课后练习题

3.2函数与方程、不等式之间的关系同步练习人教   B版（2019）高中数学必修第一册

一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）

1. 已知函数若关于x的方程恰有两个互异的实数解，则a的取值范围为

A.  B.  C.  D.

2. 函数，则函数的零点个数为

A. 2 B. 3 C. 4 D. 5

3. 方程的解的个数是

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

4. 已知函数的图象是连续不断的曲线，且有如下的对应值表

则函数在区间上的零点至少有       

A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个

5. 若，则函数的两个零点分别位于区间

A. 和内 B. 和内
C. 和内 D. 和内

6. 函数在区间和区间上分别存在一个零点，则实数a的取值范围是

A.  B.
C.  D. 或

7. 已知函数的一个零点，用二分法求精确度为的的近似值时，判断各区间中点的函数值的符号最少需要的次数为   

A. 6 B. 7 C. 8 D. 9

8. 关于x的方程，给出下列四个命题：
   存在实数k，使得方程恰有2个不同的实根；
   存在实数k，使得方程恰有4个不同的实根；
   存在实数k，使得方程恰有5个不同的实根；
   存在实数k，使得方程恰有8个不同的实根；
   其中假命题的个数是

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

9. 是定义在R上的以3为周期的偶函数，且则方程在区间内解的个数的最小值是

A. 5 B. 4 C. 3 D. 2

10. 设函数，用二分法求方程近似解的过程中，计算得到，，则方程的近似解落在区间 

A.  B.  C.  D.

11. 定义在的奇函数满足，且当时，，则函数在区间上的零点个数为   

A. 10 B. 11 C. 12 D. 13

12. 函数的定义域为，图象如图1所示，函数的定义域为，图象如图2所示，方程有m个实数根，方程有n个实数根，则

A. 14 B. 12 C. 10 D. 8

二、单空题（本大题共3小题，共15.0分）

13. 已知函数，其中，若存在实数b，使得关于x的方程有三个不同的根，则m的取值范围是          ．
14. 用二分法计算的一个正数零点附近的函数值，参考数据如下：

那么方程的一个近似根精确到为          ．

15. 直线与曲线有四个交点，则a的取范围是          ．

三、多空题（本大题共3小题，共15.0分）

16. 已知二次函数，m为实数．

若此函数有两个不同的零点，一个在内，另一个在内则m的取值范围是          ；

若此函数的两个不同零点都在区间内，则m的取值范围是          ．

17. 用二分法研究函数的零点时，第一次计算得：，，则得其中一个零点          ，第二次应计算          ．
18. 已知函数，则          ，的零点为          ．

四、解答题（本大题共5小题，共60.0分）

19. 已知函数．
    求函数在区间上的最值；
    若关于x的方程在区间内有两个不等实根，求实数a的取值范围．
    
    
    
    
    
    
     
20. 关于x的方程，当a为何值时：
    方程一根大于1，另一根小于1？
    方程一根在内，另一根在内？
    方程的两个根都大于0？
    
    
    
    
    
    
     
21. 已知函数是定义在R上的偶函数，当时，．
    Ⅰ求的解析式；
    Ⅱ讨论函数的零点个数．
    
    
    
    
    
    
     
22. 若，是关于x的方程的两个实数根，且，都大于1．
    求实数k的取值范围；
    若，求k的值．
    
    
    
    
    
    
     
23. 已知是定义域为R的奇函数，当时，．
    写出函数的解析式；
    若方程恰有3个不同的解，求a的取值范围．
    
    
    
    
    
    
    
    

答案和解析

1.【答案】D
 

【解析】

【分析】

本题考查分段函数的运用，注意运用函数的图象和平移变换，考查分类讨论思想方法和数形结合思想．
分别作出和的图象，考虑直线经过点和时，有两个交点，直线与在相切，求得a的值，结合图象可得所求范围．

【解答】

解：作出函数的图象，以及直线的图象，

关于x的方程恰有两个互异的实数解，
即为和的图象有两个交点，
平移直线，考虑直线经过点和时，
有两个交点，可得或，
考虑直线与在相切，可得，
由，解得舍去，
综上可得a的范围是．
故选：D．

2.【答案】B
 

【解析】

【分析】

本题考查函数的零点，分类讨论思想的应用，考查学生的计算能力，是一般题．
设，令，可得或，然后通过x的范围，分别求解函数的零点，推出结果即可．

【解答】

解：作出函数的图象如图：

设，令，可得或，
当时，由，可得，
由，可得；
当时，无解，
由，可得，解得，
函数的零点个数为3，
故选：B．

3.【答案】B
 

【解析】

【分析】

本题考查数形结合法的应用，属于基础题．

做出函数的图象，观察出函数的图象与的图象总有两个交点，即可解答．

【解答】

解：因为，所以．
又函数的图象如图所示：

函数的图象与的图象总有两个交点，
方程的解的个数是2．
故选B．

4.【答案】B
 

【解析】

【分析】

本题主要考查函数零点个数的判断，用零点存在定理判断函数的零点的方法．
根据函数零点存在定理，判断函数值的符号，然后判断函数零点个数即可．

【解答】

解：依题意，，，，，
根据零点存在定理可知，在区间内至少含有一个零点，
同理在区间内至少含有一个零点，
在区间内至少含有一个零点，
故函数在区间上的零点至少有3个，
故选B．

5.【答案】A
 

【解析】

【分析】

本题主要考查函数零点存在性定理，考查学生逻辑推理能力．
由函数零点存在性定理可知：在区间，内分别存在一个零点，又函数是二次函数，最多有两个零点，即可判断出．

【解答】

解：由于，
，
，
所以在区间，内分别存在一个零点，
又函数是二次函数，最多有两个零点，

因此的两个零点分别在区间和内，
故选A．

6.【答案】B
 

【解析】

【分析】

由题意可得，解得即可．
本题考查函数零点的判定定理，理解零点判定定理的内容，将题设条件转化为关于参数的不等式组是解本题的关键．

【解答】

解：函数在区间和区间上分别存在一个零点，
，即，
解得，
故选：B．

7.【答案】C
 

【解析】

【分析】

本题考查了二分法求方程的近似解．

根据精确度与区间长度和计算次数的关系满足，即可得出结论．

【解答】

解：设需计算n次，则n满足，
即，
当时，，当时，，
所以满足题意的n的最小值为8．
故选C．

8.【答案】A
 

【解析】

【分析】

本题考查了分段函数，以及函数与方程的思想，数形结合的思想．
将方程的问题转化成函数图象的问题，画出图象，求出k的特殊值，判断选项即可．

【解答】

解：方程方程，
令，
当或时，

，
可以看出函数在此区域内有四个零点，
也可以这样变形，，
可以看出，在此区域内，时，函数值最大为，
当时，
，
由此可以看出，在此区域内，函数只有一个零点，
也可以这样变形，，
可以看出，在此区域内，时，函数值最大为，
在同一坐标系中，画出和图象，

结合图象可得：
当时，的图象和的图象有两个交点，故方程的实根个数为2；故正确；
当时，的图象和的图象有四个交点，方程恰有4个不同的实根、，故正确；
当时，的图象和的图象有五个交点，方程恰有5个不同的实根解为，，，0，故正确；
当时，的图象和的图象有八个交点，方程恰有8个不同的实根，故正确．
全都正确，没有假命题．
故选A．
 

9.【答案】B
 

【解析】

【分析】

本题考查函数的奇偶性、根的存在性及个数判断．
根据题意，由是定义在R上的以3为周期的偶函数，且，可得，重复利用函数的周期性，看在区间内，还能推出哪些数的函数值等于0．

【解答】

解：是定义在R上的偶函数，且周期是3，，，
，，．
即在区间内，
，，，，
故答案：B．

10.【答案】A
 

【解析】

【分析】
本题考查二分法求方程的近似解，涉及函数零点的判定，属于基础题．
计算可得，结合可得．
【解答】
解：取，因为，
所以方程近似解，
取，因为，
所以方程近似解，
故选A．  

11.【答案】B
 

【解析】

【分析】

本题考查函数零点问题，函数的奇偶性与周期性，属于拔高题．
根据得到的周期为4，然后根据时，，得到，再根据函数的周期性和奇偶性可得答案．

【解答】

解：因为定义在的奇函数满足，
所以，是以4为周期的周期函数，
当时，，
所以，
因为，
所以，，
即，
又，
所以，，，，，
所以在区间上有5个零点，
根据是以4为周期的周期函数，可得，
所以在区间上有6个零点，
综上可得： 在区间上有11个零点，
故选：B．

12.【答案】A
 

【解析】

【分析】

本题考查了方程的根与函数的图象的关系应用及数形结合的思想应用，属于中档题．
结合函数图象可知，若，则或或；若，则或或；从而再结合图象求解即可．
 

【解答】

解：由题图1可知，若，则或或．
由题图2知，当时，或
当时，或或
当时，或故．
若，则或或．
由题图1知，当时，x的值有2个
当时，x的值有2个
当时，或或故．
故，
故选A．

13.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题考查根的存在性及根的个数判断，数形结合思想的运用是关键，分析得到是难点，属于拔高题．
作出函数的图象，依题意，可得，解之即可．

【解答】

解：当时，函数的大致图象如下：

时，，
要使得关于x的方程有三个不同的根，
必须，
即，
解得，
的取值范围是．
故答案为．

14.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题主要考查用二分法求近似根的问题，属于中档题．
先由题中参考数据可得根在区间内，再利用和精确到小数点后面一位都是符合要求，可得答案．

【解答】

解：由题中参考数据可得根在区间内，
又因为和精确到小数点后面一位都是，符合要求．
故答案为：．

15.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题考查函数图象的交点个数，考查数形结合思想，属于中档题目．
在同一坐标系内画出直线与曲线的图象，观察列出不等式求解即可．

【解答】

解：如图：在同一坐标系内画出直线与曲线，

观察图象可知，a的取值必须满足
解得．
故答案为．

16.【答案】

【解析】

【分析】

本题主要考查了二次函数的零点存在性问题，考查了学生的推理计算能力，属于中档题．
由条件令，则根据区间根分布情况得到相应不等式组，即可得到正确答案；
由条件令，则根据区间根分布情况得到相应不等式组，即可得到实数m的取值范围．

【解答】

解：由条件令，
则根据区间根分布情况得到相应不等式组
解得：即．
由条件令，
则根据区间根分布情况得到相应不等式组
解得：即．
故答案为；

17.【答案】

【解析】

【分析】
本题考查二分法的应用，属于基础题．
根据二分法求零点的步骤，可得结论．
【解答】
解：根据题意，对于函数，第一次计算得：，，
则其中一个零点；
第二次应计算，即的值；
故答案为；  

18.【答案】

1

【解析】

【分析】

本题考查函数的零点与方程根的关系，分段函数性质，考查了分析能力和转化能力，属于中档题．
直接利用解析式计算，分类讨论，在定义域内就对应的解析式求的零点即可；

【解答】

解：函数
，；
当时，由，解得，
当时，由，解得舍，
的零点为1．
故答案为：，1．

19.【答案】解：令，，
则，
故，
由对勾函数的性质可知，
函数在上单调递减，在上单调递增；
且，，，
故函数在区间上的最小值为2，最大值为3；
当时，
，
，
故，
作函数在上的图象如下，
，
其中，当时，，当时，，
故结合图象可知，当时，
关于x的方程在区间内有两个不等实根．
故实数a的取值范围为．
 

【解析】本题考查了函数的最值的求法及数形结合的思想应用．
利用换元法令，，从而化为，从而求闭区间上的最值；
当时，可化方程为，从而作函数在上的图象，结合图象求解即可．
 

20.【答案】解：设，若关于x的方程一根大于1，另一根小于1，
则有，求得．
若关于x的方程一根在内，另一根在内，
则有，由此求得．
若方程的两个根都大于0，因为的图象对称轴为，
则有，求得．
 

【解析】本题主要考查一元二次方程根的分布与系数的关系，二次函数的性质，体现了转化的数学思想，属于中档题．
设，由，求得a的范围．
由，求得a的范围． 
由，求得a的范围．
 

21.【答案】解：Ⅰ由题意，当时，，
令，则，，
是R上的偶函数，时，，
．
Ⅱ画出函数的图象，如图所示．

函数的零点个数，即为函数和函数图象的交点个数，
当时，没有零点．
当或时，有2个零点，
当时，有4个零点，
当时，有3个零点．
 

【解析】本题考查了函数的图象的应用，考查函数解析式的求法，数形结合的应用，属于中档题．
Ⅰ令，则，利用函数的奇偶性，求解函数的解析式即可．
Ⅱ画出函数的图象，然后求解函数的零点个数即可．
 

22.【答案】解：方程的两个根都大于1，
令
，


解得且
，
，
，
    
把代入整理得
，

得或舍去；
故．
 

【解析】本题考查一元二次方程的根的分布与系数的关系，其中构造二次函数，利用函数的性质解答本题是整个解答过程的关键．
由已知中关于x的方程有两个大于1的根，则，我们构造二次函数，可得，且对称轴在1的右侧，由此构造关于k的不等式组，解不等式组，即可得到k的取值范围．
根据方程的根与系数的关系写出把两根之间的关系写出代入，然后可以得到关于k的方程组，求出k的值．
 

23.【答案】解：设，则，
由时，，且是定义域为R的奇函数，
得，
；
画出函数的图象如图：

由图可知，要使方程恰有3个不同的解，则a的取值范围为．
 

【解析】设，则，结合的解析式及是定义域为R的奇函数即可求得答案；
画出函数图象，数形结合得答案．
本题考查函数解析式的求解及常用方法，考查根的存在性及根的个数判断，体现了数形结合的解题思想方法，是中档题．