午练13　函数的表示方法

1.已知f＝(x≠－1)，则f(x)的解析式为(　　)

A.f(x)＝(x≠－1)

B.f(x)＝－(x≠－1)

C.f(x)＝(x≠－1)

D.f(x)＝－(x≠－1)

答案　C

解析　设＝t，则x＝(t≠－1)，所以f(t)＝＝＝，

即f(x)＝(x≠－1).故选C.

2.定义两种运算：a⊕b＝，a⊗b＝，则函数f(x)＝的解析式为(　　)

A.f(x)＝－，x∈[－2，0)∪(0，2]

B.f(x)＝，x∈[－2，0)∪(0，2]

C.f(x)＝－，x∈[－2，－1)∪(－1，2]

D.f(x)＝，x∈[－2，－1)∪(－1，2]

答案　A

解析　因为2⊕x＝，x⊗2＝，所以f(x)＝.又4－x2≥0，所以－2≤x≤2，于是f(x)＝－，－2≤x≤2且x≠0.故选A.

3.函数f(x)＝1－的图象(　　)

答案　B

解析　将函数y＝的图象向右平移1个单位长度可得函数y＝的图象，再将所得的图象向上平移1个单位长度可得f(x)＝＋1的图象.故选B.

4.如图，李老师早晨出门锻炼，一段时间内沿⊙M的半圆形M→A→C→B→M路径匀速慢跑，那么李老师离出发点M的距离y与时间x之间的函数关系的大致图象是(　　)

答案　D

解析　由题意，得从M到A距离在增加，由A经C到B与M的距离都是⊙M的半径长，由B到M距离逐渐减少，故选D.

5.(多选)下列函数中，满足f(2x)＝2f(x)的是(　　)

A.f(x)＝|x|   B.f(x)＝x－|x|

C.f(x)＝x＋1   D.f(x)＝－x

答案　ABD

解析　在A中，f(2x)＝|2x|＝2|x|，2f(x)＝2|x|，满足f(2x)＝2f(x)；在B中，f(2x)＝2x－|2x|＝2(x－|x|)＝2f(x)，满足f(2x)＝2f(x)；在C中，f(2x)＝2x＋1，2f(x)＝2(x＋1)＝2x＋2，不满足f(2x)＝2f(x)；在D中，f(2x)＝－2x＝2(－x)＝2f(x)，满足f(2x)＝2f(x).故选ABD.

6.若b＞0，二次函数y＝ax2＋bx＋a2－1的图象为下列四个图象中的一个，则a＝________.

答案　－1

解析　因为b＞0，所以对称轴不可能是y轴，故图①②不是二次函数y＝ax2＋bx＋a2－1(b＞0)的图象，图③④都经过原点，且对称轴都在y轴右侧，即a2－1＝0，且－＞0，所以a＝－1.

7.如图，函数f(x)的图象是曲线OAB，其中点O，A，B的坐标分别为(0，0)，(1，2)，(3，1)，则f(f(3))的值等于________.

答案　2

解析　由题意f(3)＝1，

∴f(f(3))＝f(1)＝2.

8.已知函数y＝f(x)的对应关系如下表，函数y＝g(x)的图象是如图的曲线ABC，其中A(1，3)，B(2，1)，C(3，2)，则f(g(2))的值为________，满足f(g(x))＜g(f(x))的x的值为________.

答案　2　1

解析　由函数g(x)的图象知，g(2)＝1，

则f(g(2))＝f(1)＝2.

当x＝1时，g(1)＝3，f(g(1))＝f(3)＝0，

f(1)＝2，g(f(1))＝g(2)＝1，

f(g(1))＜g(f(1))，故x＝1符合题意；

当x＝2时，g(2)＝1，f(g(2))＝f(1)＝2，

f(2)＝3，g(f(2))＝g(3)＝2，

f(g(2))＝g(f(2))，故x＝2不符合题意；

当x＝3时，g(3)＝2，f(g(3))＝f(2)＝3，f(3)＝0，

而x＝0不在g(x)的定义域内，故x＝3不符合题意.

综上，满足f(g(x))＜g(f(x))的x的值为1.

9.若关于x的方程x2－4|x|＋5＝m有4个互不相等的实根，则实数m的取值范围为________.

答案　(1，5)

解析　f(x)＝x2－4|x|＋5＝

其图象如图所示，由图可知，当1＜m＜5时满足条件.

10.(1)已知反比例函数f(x)满足f(3)＝－6，求f(x)的解析式；

(2)已知f(x)是一次函数，且f(f(x))＝4x－3，求f(x)的解析式；

(3)已知二次函数f(x)满足f(0)＝1，f(1)＝2，f(2)＝5，求f(x)的解析式；

(4)已知f(－1)＝x＋2，求f(x)的解析式.

解　(1)设f(x)＝(k≠0)，

则f(3)＝＝－6，解得k＝－18.

所以f(x)＝－(x≠0).

(2)设f(x)＝kx＋b(k≠0)，

则f(f(x))＝k(kx＋b)＋b＝4x－3，

即解得或

所以f(x)＝2x－1或f(x)＝－2x＋3.

(3)由题意设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，

所以解得

所以f(x)＝x2＋1.

(4)令t＝－1(t≥－1)，

则＝t＋1，x＝(t＋1)2，

所以f(t)＝(t＋1)2＋2(t＋1)＝t2＋4t＋3，t≥－1，所以f(x)＝x2＋4x＋3(x≥－1).