高中数学5.2 函数的表示方法课时训练

第5章函数概念与性质

5.2　函数的表示方法

课后篇巩固提升

必备知识基础练

1.购买某种饮料x听,所需钱数为y元.若每听2元,用解析法将y表示成x(x∈{1,2,3,4})的函数为(　　)

A.y=2x B.y=2x(x∈R)

C.y=2x(x∈{1,2,3,…}) D.y=2x(x∈{1,2,3,4})

答案D

解析题中已给出自变量的取值范围,x∈{1,2,3,4},故选D.

2.已知函数y=f(x)的对应关系如下表,函数y=g(x)的图象是如图所示的曲线ABC,其中A(1,3),B(2,1),C(3,2),则f(g(2))的值为(　　)

A.3 B.2 C.1 D.0

答案B

解析由函数g(x)的图象知,g(2)=1,则f(g(2))=f(1)=2.

3.已知f(x-1)=x2,则f(x)的解析式是(　　)

A.f(x)=x2+6x B.f(x)=x2+2x+7

C.f(x)=x2+2x+1 D.f(x)=x2+2x-1

答案C

解析∵f(x-1)=x2,设t=x-1,则x=t+1,

∴f(t)=(t+1)2=t2+2t+1,∴f(x)=x2+2x+1.

故选C.

4.若f(x)是一次函数,2f(2)-3f(1)=5,2f(0)-f(-1)=1,则f(x)=(　　)

A.3x+2 B.3x-2

C.2x+3 D.2x-3

答案B

解析设f(x)=ax+b(a≠0),由题设有

解得故选B.

5.已知f(2x+1)=x2-2x,则f(3)=　　　　. 

答案-1

解析由2x+1=3得x=1,故f(3)=1-2=-1.

6.已知函数f(x)的图象如图所示,则f(x)的解析式为　　　　　. 

答案f(x)=

解析∵f(x)的图象由两条线段组成,∴由一次函数解析式求法可得f(x)=

7.(2020北京北理工附中期中)设函数f(x)=若f(a)>a,则实数a的取值范围是　　　　. 

答案(-∞,-1)

解析当a≥0时,由a-1>a,解得a<-2(舍去).

当a<0时,由>a,得a2>1,解得a<-1或a>1(舍去).

综上,实数a的取值范围为(-∞,-1).

8.(2020陕西西安远东一中高一月考)已知函数f(x)=

(1)求f(f(3))与f(f(-3))的值;

(2)若f(x)=1,求x的值.

解(1)由题意,f(3)=9-2×3=3,所以f[f(3)]=f(3)=3;

f(-3)=-2×(-3)+1=7,所以f[f(-3)]=f(7)=72-2×7=35.

(2)∵f(x)=1,∴解得x=0或x=1+.

故若f(x)=1,则x=0或x=1+.

9.(1)已知f(x)是一次函数,且满足2f(x+3)-f(x-2)=2x+21,求f(x)的解析式;

(2)已知f(x)为二次函数,且满足f(0)=1,f(x-1)-f(x)=4x,求f(x)的解析式;

(3)已知fx-=x2++1,求f(x)的解析式.

解(1)设f(x)=ax+b(a≠0),则2f(x+3)-f(x-2)=2[a(x+3)+b]-[a(x-2)+b]=2ax+6a+2b-ax+2a-b=ax+8a+b=2x+21,

所以a=2,b=5,所以f(x)=2x+5.

(2)因为f(x)为二次函数,

设f(x)=ax2+bx+c(a≠0).

由f(0)=1,得c=1.

又因为f(x-1)-f(x)=4x,

所以a(x-1)2+b(x-1)+c-(ax2+bx+c)=4x,整理,得-2ax+a-b=4x,求得a=-2,b=-2,

所以f(x)=-2x2-2x+1.

(3)∵fx-=x-2+2+1=x-2+3,

∴f(x)=x2+3.

关键能力提升练

10.(2020天津塘沽第一中学期中)某同学骑自行车上学,开始时匀速行驶,途中因红灯停留了一段时间,然后加快速度赶到了学校,下列各图符合这一过程的是(　　)

答案D

解析中间停留了一段时间,中间有一段图象与时间轴平行,排除AC,后来是加速行驶,因此图象越来越陡峭,排除B,只有D符合.故选D.

11.(2020江西高一月考)已知f(2x+1)=4x2,则f(-3)=(　　)

A.36 B.16 C.4 D.-16

答案B

解析(方法一)令2x+1=-3,解得x=-2.

∴f(-3)=4×(-2)2=16.故选B.

(方法二)∵f(2x+1)=4x2=(2x+1)2-2(2x+1)+1,

∴f(x)=x2-2x+1.

∴f(-3)=(-3)2-2×(-3)+1=16.故选B.

12.一等腰三角形的周长是20,底边长y是关于腰长x的函数,则它的解析式为(　　)

A.y=20-2x

B.y=20-2x(0<x<10)

C.y=20-2x(5≤x≤10)

D.y=20-2x(5<x<10)

答案D

解析由题意得y+2x=20,

所以y=20-2x.

又2x>y,即2x>20-2x,所以x>5.

由y>0,即20-2x>0,得x<10.

所以5<x<10.故选D.

13.(2020福建厦门一中月考)已知f(1-x)=,则f(f(-3))=(　　)

A. B. C. D.

答案B

解析令1-x=t,则x=1-t,

∴f(t)=,即f(x)=.

∴f(-3)=,f(f(-3))=f=.故选B.

14.设f(x)=则f(5)的值是(　　)

A.24 B.21

C.18 D.16

答案A

解析f(5)=f(f(10)),f(10)=f(f(15))=f(18)=21,f(5)=f(21)=24.

15.(2020北京期末)已知f(x)=则不等式f(x)≥x2的解集为(　　)

A.[-1,1] B.[-2,2]

C.[-2,1] D.[-1,2]

答案A

解析当x≤0时,f(x)=x+2,此时f(x)≥x2⇔x+2≥x2⇔x2-x-2≤0⇔(x+1)(x-2)≤0,解得-1≤x≤2,所以不等式的解集为[-1,0];

当x>0时,f(x)=-x+2,此时f(x)≥x2⇔-x+2≥x2⇔x2+x-2≤0⇔(x-1)(x+2)≤0,解得-2≤x≤1,所以不等式的解集为(0,1].

综上可知,不等式的解集为[-1,1].故选A.

16.(多选)(2020广东佛山高一检测)下列四个图形中可能是函数y=f(x)图象的是(　　)

答案AD

解析在A,D中,对于定义域内每一个x都有唯一的y与之相对应,满足函数关系;在B,C中,存在x有两个y与之对应,不满足函数对应的唯一性.故选AD.

17.(多选)(2020浙江台州中学月考)已知函数f(x)=若f(a)-f(-a)=2,则实数a可能取的值为(　　)

A.-1 B.1

C.1- D.1+

答案AD

解析因为f(x)=

当a>0时,-a<0,则f(a)-f(-a)=a2-2a-(-a2+2a)=2a2-4a=2,

解得a=1+或a=1-(舍);

当a<0时,-a>0,则f(a)-f(-a)=-a2-2a-(a2+2a)=-2a2-4a=2,解得a=-1;

当a=0时,显然不满足题意.

综上,实数a可能取的值为-1或1+.

故选AD.

18.(多选)(2020辽宁辽阳高三月考)已知函数f(x)是一次函数,且满足f(f(x))=9x+8,则f(x)的解析式可能为(　　)

A.f(x)=3x+2 B.f(x)=3x-2

C.f(x)=-3x+4 D.f(x)=-3x-4

答案AD

解析设f(x)=kx+b(k≠0),由题意可知f(f(x))=k(kx+b)+b=k2x+kb+b=9x+8,

所以解得所以f(x)=3x+2或f(x)=-3x-4.故选AD.

19.已知f(x)+2f(-x)=x2+2x,则f(x)的解析式为　　　　. 

答案f(x)=x2-2x

解析以-x代替x得f(-x)+2f(x)=x2-2x.

与f(x)+2f(-x)=x2+2x联立,

解得f(x)=x2-2x.

20.(2020内蒙古包头一中高一月考)已知f(x)=则f(f(-3))的值为　　　　;若f(a)=3,实数a的值为　　　　. 

答案-1　2

解析∵f(x)=-3<-2,

∴f(-3)=-3+2=-1.

又-2<-1<1,∴f(f(-3))=f(-1)=(-1)2+2×(-1)=-1.

∵f(a)=3,∴解得a=2.

21.已知函数y=f(x)的图象由图中的两条射线和抛物线的一部分组成,求函数的解析式.

解根据图象,设左侧的射线对应的函数解析式为y=kx+b(x≤1).

∵点(1,1),(0,2)在射线上,

∴

解得

∴左侧射线对应的函数解析式为y=-x+2(x≤1).

同理,当x≥3时,对应的函数解析式为y=x-2(x≥3).

再设抛物线对应的二次函数解析式为y=a(x-2)2+2(1<x<3,a<0).

∵点(1,1)在抛物线上,∴a+2=1,∴a=-1.

∴当1<x<3时,对应的函数解析式为y=-x2+4x-2(1<x<3).综上可知,所求函数的解析式为y=

22.(2020安徽亳州二中期中)(1)已知f(x)是一次函数,且满足3f(x+1)-2f(x-1)=2x+17,求f(x)的解析式;

(2)已知fx+=x2+,求f(x)的解析式.

解(1)设f(x)=ax+b(a≠0),则3f(x+1)-2f(x-1)=ax+5a+b=2x+17,

即解得即f(x)=2x+7.

(2)∵fx+=x2+=x+2-2,

令t=x+,当x>0时,t≥2=2,当且仅当x=1时,等号成立.

当x<0时,t=--x-≤-2,当且仅当x=-1时,等号成立.

∴f(t)=t2-2,t∈(-∞,-2]∪[2,+∞).

∴f(x)=x2-2,x∈(-∞,-2]∪[2,+∞).

学科素养创新练

23.(2020江西南康中学月考)已知函数f(x)满足f=x.

(1)求f(x)的解析式;

(2)求函数y=f-的值域.

解(1)令=m,即x=-2m+1,

所以f(m)=-2m+1,即f(x)=-2x+1.

(2)y=f-=x-,

设t=,则t≥0,且x=-t2+,

得y=-t2-t+=-(t+1)2+1.

因为t≥0,所以y≤,

所以该函数的值域为-∞,.