高中数学苏教版 (2019)必修 第一册3.3 从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式多媒体教学课件ppt

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第5章 函数概念与性质
第二课时　函数的最大(小)值
课标要求
借助函数图象，会用符号语言表达函数的最大值、最小值，理解它们的作用和意义.
素养要求
通过图象经历函数最值的抽象过程，培养学生的数学抽象、逻辑推理和数学运算素养.
问题导学预习教材必备知识探究
互动合作研析题型关键能力提升
拓展延伸分层精练核心素养达成
内容索引
WEN TI DAO XUE YU XI JIAO CAI BI BEI ZHI SHI TAN JIU
问题导学预习教材 必备知识探究
1
1.思考　(1)观察下列两个函数的图象，回答有关问题：
①比较两个函数的图象，它们是否都有最高点？提示　图①中函数y＝－x2的图象上有一个最高点；图②中函数y＝－x的图象上没有最高点.
②通过观察图①你能发现什么？提示　对任意x∈R，都有f(x)≤f(0).
(2)观察下列两个函数的图象，回答有关问题：
①比较两个函数的图象，它们是否都有最低点？提示　图①中函数y＝x2的图象有一个最低点.图②中函数y＝x的图象没有最低点.②通过观察图①你能发现什么？提示　对任意x∈R都有f(x)≥f(0).
2.填空　一般地，设y＝f(x)的定义域为A.如果存在x0∈A，使得对于任意的x∈A，都有_________，那么称f(x0)为y＝f(x)的最大值，记为____________；如果存在x0∈A，使得对于任意的x∈A，都有_____________，那么称f(x0)为y＝f(x)的最小值，记为____________.
f(x)≤f(x0)
ymax＝f(x0)
f(x)≥f(x0)
ymin＝f(x0)
温馨提醒　(1)函数最值的几何意义：函数的最大值是对应图象最高点的纵坐标；函数的最小值为对应图象最低点的纵坐标.(2)函数的最值与值域的区别①函数的值域一定存在，而函数的最大(小)值不一定存在；②若函数的值域为开区间，则函数无最值；若函数的值域为闭区间，则闭区间的端点值是函数的最值.
3.做一做　思考辨析，判断正误 (1)若对任意x∈I，都有f(x)≤M，则M是函数f(x)的最大值.(　　) 提示　M是存在的，并且∃x0∈I，使得f(x0)＝M，此时M才是f(x)在I上的最大值. (2)一个函数可能有多个最小值.(　　) 提示　最大(小)值至多有1个. (3)如果函数有最值，则最值一定是其值域中的一个元素.(　　) (4)如果函数的值域是确定的，则它一定有最值.(　　) 提示　值域确定，但不一定有最值.
×
×
√
×
HU DONG HE ZUO YAN XI TI XING GUAN JIAN MENG LI TI SHENG
互动合作研析题型 关键能力提升
2
题型一　利用函数图象求最值
解　作出f(x)的图象如图：
用图象法求最值的三个步骤
解　 y＝f(x)的图象如图所示，y＝f(x)的单调增区间是(－∞，0)和[0，＋∞)，函数的最小值为f(0)＝－1.
题型二　利用单调性求最值
∵1≤x11，∴x1x2－1>0，
即f(x1)1.利用单调性求最值：首先判断函数的单调性；然后利用单调性写出最值.2.函数的最值与单调性的关系：(1)若函数在闭区间[a，b]上是减函数，则f(x)在[a，b]上的最大值为f(a)，最小值为f(b)；(2)若函数在闭区间[a，b]上是增函数，则f(x)在[a，b]上的最大值为f(b)，最小值为f(a).
解　(1)f(x)在[3，5]上是增函数，证明如下：任取x1，x2∈[3，5]且x1因为3≤x10，所以f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)题型三　二次函数的最值
角度1　不含参数的最值问题例3 (1)函数 f(x)＝x2＋4x－6，x∈[0，5]的值域为______________. (2)函数f(x)＝－x2＋4x－6，x∈[0，5]的值域为______________.
[－6，39]
[－11，－2]
解析　(1)f(x)＝x2＋4x－6＝(x＋2)2－10，x∈[0，5].因为－2<0，所以当x＝0时，f(x)取得最小值为－6；所以当x＝5时，f(x)取得最大值为39.所以函数f(x)的值域为[－6，39].(2)函数f(x)＝－x2＋4x－6＝－(x－2)2－2，x∈[0，5]，所以当x＝2时，f(x)取得最大值为－(2－2)2－2＝－2；当x＝5时，f(x)取得最小值为－(5－2)2－2＝－11，所以函数f(x)的值域是[－11，－2].
解决不含参数的二次函数为最值问题，首先配方，确定对称轴，再考查对称轴与区间的关系：(1)当对称轴不在区间上时，该区间是单调区间，最值在端点处取到；(2)当对称轴在区间上时，最值在对称轴、距离对称轴较远的端点处取得.
角度2　含参数的最值问题例4 已知函数f(x)＝x2－ax＋1.(1)求f(x)在[0，1]上的最大值；
所以区间[0，1]的哪一个端点离对称轴远，则在哪个端点取到最大值，
(2)当a＝1时，求f(x)在闭区间[t，t＋1](t∈R)上的最小值.
对于含参数的二次函数的最值问题，一般有如下几种类型：(1)区间固定，对称轴变动(含参数)，求最值；(2)对称轴固定，区间变动(含参数)，求最值；(3)区间固定，最值也固定，对称轴变动，求参数.通常都是根据区间端点和对称轴的相对位置进行分类讨论.
训练3 已知二次函数f(x)＝x2－2x＋3.(1)当x∈[－2，0]时，求f(x)的最值；(2)当x∈[－2，3]时，求f(x)的最值；(3)当x∈[t，t＋1]时，求f(x)的最小值g(t).解　f(x)＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2，其对称轴为x＝1，开口向上.(1)当x∈[－2，0]时，f(x)在[－2，0]上是减函数，故当x＝－2时，f(x)有最大值f(－2)＝11；当x＝0时，f(x)有最小值f(0)＝3.(2)当x∈[－2，3]时，f(x)在[－2，3]上先递减后递增，故当x＝1时，f(x)有最小值f(1)＝2.又|－2－1|>|3－1|，所以f(x)的最大值为f(－2)＝11.
(3)①当t≥1时，f(x)在[t，t＋1]上是增函数，所以当x＝t时，f(x)取得最小值，此时g(t)＝f(t)＝t2－2t＋3.②当t<1课堂小结
1.树立1种意识——数形结合2.理解1组概念——函数的最大(小)值(1)一是存在.(2)二是在给定区间上所有函数值中最大(小)的.3.注意2个易错点(1)最值M一定是一个函数值，是值域中的一个元素.(2)在利用单调性求最值时，勿忘求函数的定义域.
TUO ZHAN YAN SHEN FEN CENG JING LIAN HE XING SU YANG DA CHENG
拓展延伸分层精练 核心素养达成
3
1.已知定义在[－2，2]上的函数f(x)的图象如图所示，则此函数的最小值、最大值分别是(　　)
D
A.f(－2)，0 　　　 B.0，2C.f(－2)，2 　　　 D.f(2)，2解析　由图象可知，此函数的最小值是f(2)，最大值是2.
C
3.函数y＝x2－2x，x∈[0，3]的值域为(　　) A.[0，3] B.[－1，0] C.[－1，＋∞) D.[－1，3] 解析　∵函数y＝x2－2x＝(x－1)2－1，x∈[0，3]，∴当x＝1时，函数y取得最小值为－1，当x＝3时，函数取得最大值为3，故函数的值域为[－1，3]，故选D.
D
BC
易知f(x)在[0，1]上单调递增，所以f(x)max＝1，f(x)min＝－1.
5.已知函数f(x)＝4x2－kx－8在区间(5，20)上既没有最大值也没有最小值，则实数k的取值范围是(　　) A.[160，＋∞) B.(－∞，40] C.(－∞，40]∪[160，＋∞) D.(－∞，20]∪[80，＋∞)
C
－5
0
解析　由题意可知，当x∈[－3，－1]时，ymin＝－2；当x∈(－1，4]时，ymin＝－5，故最小值为－5，同理可得最大值为0.
7.函数f(x)＝x2－4x＋5在区间[0，m]上的最大值为5，最小值为1，则实数m的取值范围是________.解析　由f(x)＝(x－2)2＋1知，当x＝2时，y＝f(x)的最小值为1，当f(x)＝5，即x2－4x＋5＝5时，解得x＝0或x＝4.依据图象得2≤m≤4.
[2，4]
8.已知函数f(x)＝－4x2＋4ax－4a－a2在区间[0，1]上的最大值是－5，则实数a的值为___________.
解得a＝1或a＝－1.又a>2，则a不存在；
9.已知函数f(x)＝|x|(x＋1)，试画出函数f(x)的图象，并根据图象解决下列两个问题.
10.已知二次函数f(x)的最小值为1，且f(0)＝f(2)＝3. (1)求f(x)的解析式； (2)若f(x)在区间[2a，a＋1]上不单调，求实数a的取值范围； 解　(1)由已知，设f(x)＝a(x－1)2＋1(a>0)，由f(0)＝3，得a＝2， 故f(x)＝2x2－4x＋3. (2)要使函数不单调，
(3)若在区间[－1，1]上，y＝f(x)的图象恒在y＝2x＋2m＋1的图象上方，试确定实数m的取值范围.
解 由已知，即2x2－4x＋3>2x＋2m＋1在[－1，1]上恒成立，化简得x2－3x＋1－m>0.设g(x)＝x2－3x＋1－m，则只要g(x)min>0.因为g(x)在区间[－1，1]上单调递减，所以g(x)min＝g(1)＝－1－m，由－1－m>0，解得m<－1，即实数m的取值范围是(－∞，－1).
4
二、能力提升
5
解析　由－x2＋2x＋52；由－x2＋2x＋5≥x＋3，得－1≤x≤2，据题意得，
当x<－1或x>2时，f(x)＝－(x－1)2＋6，则f(x)<5；当－1≤x≤2时，2≤f(x)≤5，∴f(x)的最大值为5.
12.(多选)若函数y＝x2－4x－4的定义域为[0，m]，值域为[－8，－4]，则实数m的值可能是(　　 ) A.2 B.3 C.4 D.5 解析　函数y＝x2－4x－4的图象关于x＝2对称，且f(2)＝－8，f(0)＝f(4)＝ －4，如图，y＝x2－4x－4在(－∞，2)上单调递减，(2，＋∞)上单调递增，由图可知，m∈[2，4]，所以实数m的取值范围是[2，4]，故选ABC.
ABC
∴f(x)在[2，＋∞)上是减函数.
(2)若不等式(a＋x)(x－1)>2对x∈[2，＋∞)恒成立，求实数a的取值范围.
解　∵(a＋x)(x－1)>2对x∈[2，＋∞)恒成立，
14.设二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c在区间[－2，2]上的最大值、最小值分别为M，m，集合A＝{x|f(x)＝x}. (1)若A＝{1，2}，且f(0)＝2，求f(x)； 解　∵f(0)＝2，∴c＝2. ∵A＝{1，2}，∴ax2＋(b－1)x＋2＝0有两根为1，2.
三、创新拓展
解　若A＝{2}，则方程ax2＋(b－1)x＋c＝0有两相等实根x1＝x2＝2，
(2)若A＝{2}，且a≥1，记g(a)＝M＋m，求g(a)的最小值.