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所属成套资源：2023学年人教版数学九年级上册 全套同步能力提升测试卷
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人教版 九上 第24章24.2同步测试卷A卷（原卷+答案）
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这是一份人教版 九上 第24章24.2同步测试卷A卷（原卷+答案），文件包含A答案docx、A原卷docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共36页， 欢迎下载使用。
24.2点与圆、直线和圆的位置关系同步测试卷A卷
答案解析
1．【答案】C
【知识点】等腰三角形的判定；勾股定理；圆周角定理；三角形的内切圆与内心；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：延长ID到M，使DM=ID，连接CM．
∵I是△ABC的内心，
∴∠IAC=∠IAB，∠ICA=∠ICB，
∵∠DIC=∠IAC+∠ICA，∠DCI=∠BCD+∠ICB，
∴∠DIC=∠DCI，
∴DI=DC=DM，
∴∠ICM=90°，
∴CM=IM2−IC2=8，
∵AI=2CD=10，
∴AI=IM，
∵AE=EC，
∴IE是△ACM的中位线，
∴IE=12CM=4
故答案为：C.
【分析】延长ID到M，使DM=ID，连接CM，根据内心的概念可得∠IAC=∠IAB，∠ICA=∠ICB，由外角的性质可得∠DIC=∠IAC+∠ICA，根据角的和差关系可得∠DCI=∠BCD+∠ICB，结合圆周角定理得∠DIC=∠DCI，推出DI=DC=DM，进而得到∠ICM=90°，利用勾股定理可得CM，进而推出IE为△ACM的中位线，据此求解.
2．【答案】B
【知识点】圆周角定理；切线的性质
【解析】【解答】解：∵CD是⊙O的切线，
∴∠OCD=90°，
∵∠D=40°，
∴∠COD=50°，
∵AB是⊙O直径，
∴∠A和∠COD分别为 BC 所对的圆周角和圆心角，
∴∠A= 12 ∠COD=25°，
故答案为：B.
【分析】由切线的性质可得∠OCD=90°，利用三角形的内角和求出∠COD=50°，根据圆周角定理可得∠A= 12 ∠COD=25°.
3．【答案】D
【知识点】勾股定理；切线的性质
【解析】【解答】解：连接OA、OC，如图，
∵AB为小圆的切线，
∴OC⊥AB，
∴AC＝BC，
在Rt△OAC中，∵OA＝13，OC＝5，
∴AC＝132−52＝12，
∴AB＝2AC＝24．
故答案为：D．
【分析】连接OA、OC，先利用勾股定理求出AC的长，再利用垂径定理可得AB＝2AC＝24．
4．【答案】65
【知识点】角的运算；切线的性质；角平分线的判定；角平分线的定义
【解析】【解答】解：如图所示：连接OA，OC，OB，
∵PA、PB、DE与圆相切于点A、B、E，
∴OA⊥PA ， OB⊥PB ， OC⊥DE ，
∵∠P=50° ，
∴∠AOB=180°−∠P=130° ，
∵OA=OB=OC ，
∴DO平分 ∠ADC ，EO平分 ∠BEC ，
∴∠ADO=∠CDO ， ∠CEO=∠BEO ，
∴∠AOD=∠COD ， ∠COE=∠BOE ，
∴∠DOE=∠COD+∠COE=12∠AOC+12∠BOC=12∠AOB=65° ，
故答案为：65.
【分析】连接OA，OC，OB，根据切线的性质可得OA⊥PA，OB⊥PB，OC⊥DE，根据∠P的度数求出∠AOB的度数，推出DODO平分∠ADC，EO平分∠BEC，根据角平分线的概念可得∠AOD=∠COD，∠COE=∠BOE，据此计算.
5．【答案】80
【知识点】等边三角形的判定与性质；切线的性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：连接O'O，如下图：
∵⊙O与 △OAB的边AB相切，切点为B
∴∠OBA=90°
又∵∠A=20°
∴∠AOB=70°
由旋转的性质可得：OB=O'B，∠ABO=∠A'BO'=90°
又∵OO'=OB
∴ △OO'B为等边三角形
∴∠OBO'=60°
∴∠OBC=∠A'BO'−∠OBO'=30°
∴∠OCB=180°−∠COB−∠OBC=80°
故答案为：80.
【分析】连接OO′，利用切线的性质可证得∠OBA=90°，利用三角形的内角和定理求出∠AOB的度数；再利用旋转的性质可证得OB=O′B，∠ABO=∠ABO′，由此可证得△OO′B是等边三角形，利用等边三角形的性质可证得∠OBO′=60°；然后求出∠OBC的度数，利用三角形的内角和定理求出∠OCB的度数.
6．【答案】（1）证明：如图：连接 OC
∵AC=BC 、 OA=OB
∴OC⊥AB
∵OE=BE ， ∠OEC=∠BEF ， CE=EF ，
∴△OCE≌△BFE
∴∠OBF=∠COE=90°
∴BF⊥OB
又∵BF 经过半径 OB 的外端点B
∴BF 是 ⊙O 的切线；
（2）解：设 ⊙O 的半径为r，则 AB=2r ， BF=OC=r
在 Rt△ABF 中有： (2r)2+r2=(52)2
∴只取 r=10 ，即 ⊙O 的半径为 10 .
∵AB 是 ⊙O 的直径、即 AB=210 ，
∴BD⊥AF
∴BF=AF2−AB2=(52)2−(210)2=10 ，
∵AB为直径，
∴∠ADB=90°，
∴sΔABF=12AB×BF=12AF×BD ，
∴12×210×10=12×52×BD ，解得 BD=22 .
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；圆周角定理；切线的判定；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】（1）连接 OC，由等腰三角形性质得OC⊥AB，证明△OCE≌△BFE，得∠OBF=∠COE=90°，据此证明；
（2）设⊙O的半径为r，则AB=2r，BF=OC=r，根据勾股定理可得r的值，进而利用勾股定理求出BF，根据圆周角定理可得∠ADB=90°，然后根据△ABF的面积公式就可求出BD.
7．【答案】（1）解：连接OC，
∵CD⊥AB，
∴CE＝DE，
∴OC＝OB＝OE＋BE＝3＋2＝5，
在Rt△OCE中，∠OEC＝90°，由勾股定理得：CE2＝OC2－OE2，
∴CE2＝52－32，
∴CE＝4，
∴CD＝2CE＝8.
（2）解：连接OD，
∵CF与⊙O相切，
∴∠OCF＝90°，
∵CE＝DE，CD⊥AB，
∴CF＝DF，
又OF＝OF，OC＝OD，
∴△OCF≌△ODF，
∴∠ODF＝∠OCF＝90°，即OD⊥DF.
又D在⊙O上，
∴DF与⊙O相切.
【知识点】勾股定理；垂径定理；切线的判定与性质；三角形全等的判定（SSS）
【解析】【分析】（1）连接OC，根据垂径定理可得CE＝DE，则OC＝OB＝OE＋BE＝5，在Rt△OCE中，由勾股定理可得CE，据此求解；
（2）连接OD，根据切线的性质可得∠OCF＝90°，推出CF＝DF，证明△OCF≌△ODF，得到∠ODF＝∠OCF＝90°，据此证明.
8．【答案】（1）解：如图，连接OE.
∵BC=BE ，
∴∠BCE=∠BEC .
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90° ，
∴∠BAC+∠BCA=90° ，即 ∠OAE+∠BCE=90° .
∵∠OAE=∠OEA ，
∴∠OEA+∠BEC=90° ，
∴∠OEB=180°−(∠OEA+∠BEC)=90° ，即 OE⊥BE ，
∴BE为⊙O的切线；
（2）解：∵点E为AC的中点，
∴点E为矩形ABCD对角线的交点，
∴BE=AE=CE=12AC ，
∴BE=BC=CE ，
∴△BCE 为等边三角形，
∴∠CBE=60° ，
∴∠OBE=90°−∠CBE=30° .
∵在 △OBE 中， ∠OEB=90° ，
∴OB=2OE=2 ，
∴AB=AO+OB=1+2=3 ， BE=OB2−OE2=22−12=3 ，
∴BC=BE=3 ，
∴S矩形ABCD=AB⋅BC=33 .
【知识点】等腰三角形的性质；等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；矩形的性质；切线的判定
【解析】【分析】（1）连接OE，根据等腰三角形的性质可得∠BCE=∠BEC，∠OAE=∠OEA，根据矩形的性质可得∠ABC=90°，推出∠OEA+∠BEC=90°，利用平角的概念可得∠OEB=90°，据此证明；
（2）根据矩形的性质可得BE=AE=CE= 12AC，结合已知条件可得BE=BC=CE，推出△BCE为等边三角形，得到∠CBE=60°，则∠OBE=30°，OB=2OE=2，AB=3，利用勾股定理求出BE，然后借助矩形的面积公式进行计算.
9．【答案】（1）解：∵OA=OC，
∴∠A=∠ACO，
∴∠COD=∠A+∠ACO=2∠A，
∵∠D=2∠A，
∴∠D=∠COD，
∵PD切⊙O于C，
∴∠OCD=90°，
∴∠D=∠COD=45°；
（2）解：∵∠D=∠COD，CD=1，
∴OC=OB=CD=1，
在Rt△OCD中，由勾股定理得：OD=12+12=2
∴BD=OD-OB=2−1．
【知识点】勾股定理的应用；圆周角定理；切线的性质
【解析】【分析】（1）先证明∠D=∠COD，利用切线的性质可求出∠D；
（2）由（1）可得OC=OB=CD，利用勾股定理得出OD ，即可求出BD．
10．【答案】（1）证明：连结OC，如图，
∵FC=BC∴∠FAC=∠BAC∵OA=OC∴∠OAC=∠OCA
∴∠FAC=∠OCA∴OC∥AF∵CD⊥AF∴OC⊥CD∴CD是⊙O的切线
（2）解：连结BC，如图
∵AB为直径∴∠ACB=90°∵AF=FC=BC∴∠BOC=13×180°=60°
∴∠BAC=30°∴∠DAC=30°在Rt△ADC中，CD=23∴AC=2CD=43
在Rt△ACB中，BC=33AC=33×43=4∴AB=2BC=8∴⊙O的半径为4.
【知识点】等腰三角形的性质；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；切线的判定
【解析】【分析】（1） 连结OC，根据圆周角定理和等腰三角形的性质得∠FAC=∠OCA，得出OC∥AF，从而得出OC⊥CD，即可得出CD是⊙O的切线；
（2）连结BC，根据圆周角定理得出∠ACB=90°，∠BOC=60°，得出∠BAC=∠DAC=30°，从而得出AC，BC，AB的长，即可得出⊙O的半径.
11．【答案】（1）证明：连接OD，
∵∠ACB＝90°，AC＝BC，
∴∠ABC＝45°，
∴∠COD＝2∠ABC＝90°，
∵四边形GDEC是平行四边形，
∴DE∥CG，
∴∠ODE+∠COD＝180°，
∴∠ODE＝90°，即OD⊥DE，
∵OD是半径，
∴直线DE是⊙O的切线
（2）解：设⊙O的半径为r，
∵四边形GDEC是平行四边形，
∴CG＝DE＝7，DG＝CE＝5，
∵∠GOD＝90°，
∴OD2+OG2＝DG2，即r2+（7﹣r）2＝52，
解得：r1＝3，r2＝4，
当r＝3时，OG＝4＞3，此时点G在⊙O外，不合题意，舍去，
∴r＝4，即⊙O的半径4．
【知识点】勾股定理；切线的判定
【解析】【分析】（1）连接OD，根据题意和平行四边形的性质可得DE∥CG，得出OD⊥DE，即可求解；
（2）设⊙O的半径为r，因为∠GOD＝90°，根据勾股定理求解得出r的值，当r＝3时，OG＝4＞3，此时点G在⊙O外，不合题意，舍去，可求解。
12．【答案】（1）证明：∵BD=AD，
∴∠B=∠BAD=36°，
∴∠ADC=72°，
∵∠DAC=12∠BAD=18°，
∴∠ADC+∠DAC=90°，
∴∠C=90°，
∴AD是圆O的直径
（2）证明：连接OE，
∵EF⊥BC，
∴∠EFC=90°，
∵OE=OA，
∴∠OEA=∠BAD=36°，
∴∠OEA=∠B，
∴OE∥BC，
∴∠OEF+∠EFC=180°，
∴∠OEF=90°，
∴OE⊥EF，
∵OE为圆O的半径，
∴EF与圆O相切．
【知识点】圆周角定理；切线的判定
【解析】【分析】（1）先求出 ∠ADC=72°， 再求出 ∠C=90°， 最后证明即可；
（2）先求出 ∠OEA=∠B， 再求出 OE⊥EF， 最后作答即可。
13．【答案】（1）证明：∵点D为弦BC中点
∴OD⊥BC，CD=DB
∴∠CDE=∠BDE
在Rt△CDE和Rt△BDE
CD=BD， ∠CDE=∠BDE，DE=DE
∴Rt△CDE≌Rt△BDE
∴EC=EB.
（2）证明：∵EC=EB，OC=OB
∴∠ECB=∠EBC， ∠OCB=∠OBC，
∵CE是⊙O切线
∴∠OCE=90°，即∠OCB+∠BCE=90°
∴∠OBC+∠EBC=90°，即BE⊥AB
∴BE是⊙O的切线.
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；等腰三角形的性质；垂径定理；切线的判定与性质
【解析】【分析】（1）由垂径定理可得OD⊥BC，CD=DB，再证明Rt△CDE≌Rt△BDE，可得EC=EB；
（2）由等腰三角形的性质可得 ∠ECB=∠EBC， ∠OCB=∠OBC， 由切线的性质可得 ∠OCE=90° ，
从而得出∠OCB+∠BCE=∠OBC+∠EBC=∠OBC=90°，根据切线的判定定理即证.
14．【答案】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E
∴BC=BD
∴∠CAB=∠DAB
∵AM是∠DAF的平分线
∴∠DAM=12∠DAF
∵∠CAD+∠DAF=180°
∴∠DAB+∠DAM=90°
即∠BAM=90°，AB⊥AM
∴AM是⊙O的切线
（2）解：∵AB⊥CD，AB⊥AM
∴CD//AM
∴∠ANC=∠OCE=30°
在Rt△OCE中，OC=2
∴OE=1，CE=3
∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E
∴CD=2CE=23．
【知识点】含30°角的直角三角形；切线的判定
【解析】【分析】(1)要证明AM是⊙O的切线，只要求出∠BAM=90°即可；
（2）根据已知得出OE=1，CE=3，再证明CD=2CE即可。
15．【答案】（1）证明：由圆周角定理得：∠A＝∠C，
在△AED和△CEB中，∠A=∠CAE=CE∠AED=∠CEB，∴△AED≌△CEB（ASA）
（2）证明：∵AB⊥CD，∴∠AED＝∠CEB＝90°，∴∠C+∠B＝90°，
∵点F是BC的中点，∴EF＝12BC＝BF，∴∠FEB＝∠B，
∵∠A＝∠C，∠AEG＝∠FEB＝∠B，∴∠A+∠AEG＝∠C+∠B＝90°，
∴∠AGE＝90°，∴FG⊥AD；
（3）解：直线l是圆O的切线，理由如下：作OH⊥AB于H，连接OB，如图所示：
∵AE＝1，BE＝3，∴AB＝AE+BE＝4，
∵OH⊥AB，∴AH＝BH＝12AB＝2，∴EH＝AH﹣AE＝1，
∴OH＝OE2−EH2＝(2)2−12＝1，∴OB＝BH2+OH2＝22+12＝5，
即⊙O的半径为5，
∵一条直线l到圆心O的距离d＝5＝⊙O的半径，∴直线l是圆O的切线．
【知识点】切线的判定；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【分析】（1）由圆周角定理可得到∠A=∠C，由ASA得出△AED≌△CEB；
（2）由直角三角形斜边上的中线性质得到EF＝12BC＝BF，由等腰三角形的性质得出∠FEB＝∠B，由圆周角定理和对顶角相等证出∠A+∠AEG＝∠C+∠B＝90°，进而得出结论；
（3）作OH⊥AB于H，连接OB，由垂径定理得出AH=BH=12AB=2，则EH=AH-AE=1，由勾股定理求出OH=1，OB=5，由一条直线l到圆心O的距离d＝5＝⊙O的半径，即可得出结论。
16．【答案】（1）解：如图，连接OA，
∵AC是⊙O的切线，OA是⊙O的半径，
∴OA⊥AC， ∴∠OAC=90°，
∵∠ADE=25°，
∴∠AOE=2∠ADE=50°，
∴∠C=90°-∠AOE=90°-50°=40°；
（2）解：∵AB=AC， ∴∠B=∠C，
∵OA=OB，
∴∠B=∠OAB，
∴ ∠AOC=2∠B，∴∠AOC=2∠C，
∵∠OAC=90°，∴∠AOC+∠C=90°，
∴3∠C=90°，∴∠C=30°，
∴OA=12OC，设⊙O的半径为r，
∵CE=2，
∴r=12(r+2)，解得：r=2，
∴OA=r=2，
∴AC=3OA=23．
【知识点】三角形内角和定理；圆周角定理；切线的性质
【解析】【分析】（1）根据圆周角定理求出∠AOC，结合切线的性质求出∠OAC，根据三角形的内角和定理求出答案即可；
（2）根据题意，求出圆的半径，结合圆周角定理计算得到AC即可。
17．【答案】（1）解：AC是⊙O的切线，理由如下：
连接AO，
∵AB=AC，∠BAC=120°，
∴∠B=∠C= 12 （180°-∠BAC）=30°，
∵AO=BO，
∴∠BAO=∠B=30°，
∴∠AOC=2∠B=60°，
∴∠OAC=180°-∠AOC-∠C=180°-60°-30°=90°，
∵AO是⊙O的半径，
∴AC是⊙O的切线；
（2）解：连接AD，
∵AO=OD，∠AOD=60°，
∴△AOD是等边三角形，
∴AD=OD，∠ADO=60°，
∴∠DAC=∠ADO-∠C=30°，
∴∠DAC=∠C=30°，
∴AD=CD=OD=5，
∴⊙D的半径为5.
【知识点】三角形的外角性质；等腰三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；圆周角定理；切线的判定
【解析】【分析】（1）连接AO，根据等腰三角形的性质以及内角和定理得∠B=∠C=30°，∠BAO=∠B=30°，由同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍得∠AOC=2∠B=60°，利用内角和定理可得∠OAC=90°，据此证明；
（2）连接AD，则△AOD是等边三角形，得到AD=OD，∠ADO=60°，由三角形外角的性质可得∠DAC=∠ADO-∠C=30°，则∠DAC=∠C=30°，推出AD=CD=OD=5，据此解答.
18．【答案】（1）证明：∵AC，DE是⊙O的两条切线，EF⊥AC于点F
∴∠EFC=∠EDC=∠FCD=90°，
∴四边形CDEF是矩形；
（2）解：∵四边形CDEF是矩形，
∴EF=CD=210，CF=DE=2，
∵AB，AC，DE是⊙O的两条切线，
∴AB=AC，BE=DE，
设AB=AC=x，则AE=x+2，AF=x-2，
在Rt△AEF中，(x−2)2+(210)2=(x+2)2，
解得：x=5，
∴AC=5+2=7．
【知识点】勾股定理；矩形的判定；切线的性质
【解析】【分析】（1）根据切线的性质得出∠EFC=∠EDC=∠FCD=90°，即可得出结论；
（2）根据AB，AC，DE是⊙O的两条切线，得出AB=AC，BE=DE，设AB=AC=x，则AE=x+2，AF=x-2，在Rt△AEF中，得出x的值，由此得出AC的值。
19．【答案】（1）证明：如图，连接OA，
∵AE⊥CD，
∴∠DAE+∠ADE=90°．
∵DA平分∠BDE，
∴∠ADE=∠ADO，
又∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ADO，
∴∠DAE+∠OAD=90°，
∴OA⊥AE，
∴AE是⊙O切线；
（2）解：如图，取CD中点F，连接OF，
∴OF⊥CD于点F．
∴四边形AEFO是矩形，
∵CD=6，
∴DF=FC=3．
在Rt△OFD中，OF=AE=4，
∴OD=OF2+DF2=42+32=5，
在Rt△AED中，AE=4，ED=EF-DF=OA-DF=OD-DF=5-3=2，
∴AD=AE2+DE2=42+22=25，
∴AD的长是25．
【知识点】勾股定理；圆内接四边形的性质；切线的判定
【解析】【分析】（1）连接OA，利用角平分线的性质得出∠ADE=∠ADO，再根据OA=OD，得出OA⊥AE，由此得出结论；
（2）取CD中点F，连接OF，得出四边形AEFO是矩形，在Rt△OFD中，OF=AE=4，利用勾股定理得出OD的值，在Rt△AED中，AE=4，ED=EF-DF=OA-DF=OD-DF=5-3=2，再利用勾股定理得出AD的值即可。
20．【答案】（1）证明：∵AB ＝ AC，
D是BC的中点，
∴AD⊥BD．
又∵BD是⊙O直径，
∴AD是⊙O的切线．
（2）解：连接OP.
∵点D是边BC的中点，BC ＝ 8，AB=AC，
∴BD ＝ DC＝4，
∵ OD＝OP ＝ 2．
∴OC ＝ 6.
∵PC是⊙O的切线，O为圆心，
∴∠OPC=90°．
在Rt△OPC中，
由勾股定理，得
OC2 ＝ OP2 + PC2
∴PC2 ＝ OC2－OP2
＝ 62－22
=32
∴PC=42．
【知识点】勾股定理；切线的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据等腰三角形的三线合一的性质可得AD⊥BD，再结合BD是⊙O直径，即可得到AD是⊙O的切线；
（2）连接OP，先求出OC的长，再利用切线的性质，可得∠OPC=90°，再利用三角形的勾股定理求出PC的长即可。
21．【答案】（1）证明：如图，连接OD，
∵⊙O与AB相切，
∴∠ODB=90°，
在Rt△BDO与Rt△BCO中，
DO=COBO=BO，
∴Rt△BDO≅Rt△BCO(HL)，
∴∠DBO=∠CBO，
∴BO平分∠ABC；
（2）解：设⊙O的半径为x，则OD=OE=OC=x，
在Rt△ADO中，∠A=30°，AE=1，
∴2x=1+x，
解得：x=1，
∴AC=1+1+1=3，
在Rt△ACB中，tanA=BCAC，即BC=AC⋅tan30°=3×33=3，
在Rt△BCO中，BO=CO2+BC2=12+(3)2=2．
【知识点】含30°角的直角三角形；切线的性质
【解析】【分析】（1）连接OD，利用HL证出Rt△BDO≅Rt△BCO，得出∠DBO=∠CBO，即可得出结论；
（2）设⊙O的半径为x，则OD=OE=OC=x，在Rt△ADO中，∠A=30°，AE=1，列出方程，解之得出x的值，在Rt△ACB中，tanA=BCAC，可得出BC的值，在Rt△BCO中，利用勾股定理即可得出BO的值。
22．【答案】（1）证明：连接OD，
∵D是AC的中点，
∴∠ABC=2∠ABD，
∵∠AOD=2∠ABD，
∴∠AOD=∠ABC，
∴OD∥BC，
∵DE⊥BC，
∴DE⊥OD，
∴DE是⊙O的切线；
（2）解：连接AC，交OD于点F，
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
∴AC=AB2−BC2=102−82=6，
∵D是AC的中点，
∴OD⊥AC，AF=CF=3，
∴OF=OA2−AF2=52−32=4，
∴DF=5-4=1，
∵∠E=∠EDF=∠DFC=90°，
∴四边形DFCE是矩形，
∴DE=CF=3，CE=DF=1，
∴CD=32+12=10，
∴AD=CD=10，
∵∠ADB=90°，
∴BD=AB2−AD2=102−(10)2=310
【知识点】垂径定理；切线的判定
【解析】【分析】（1）连接OD，根据垂径定理得出DE⊥OD，即可得出结论；
（2）连接AC，交OD于点F，根据勾股定理得出AC、OF的值，推出四边形DFCE是矩形，再利用勾股定理得出CD的值，由此得出结论。
23．【答案】（1）证明：如图，连接OC
∵AB是⊙O的直径
∴∠ACB=90°
∵OC=OB
∴∠B=∠BCO
∵∠DCA=∠B
∴∠BCO=∠DCA
∴∠BCO+∠ACO=∠DCA+∠ACO=90°
∴∠DCO=∠ACB=90°
∴OC⊥CD
又∵OC过圆心O
∴CD是⊙O的切线．
（2）证明：∵DE⊥AB
∴∠FEA=90°
∴∠A+∠EFA=90°=∠A+∠B
∴∠EFA=∠B=∠ACD=∠DFC
∴∠FCD=∠DFC
∴DC=DF
∴△DEF是等腰三角形．
【知识点】等腰三角形的判定；切线的判定
【解析】【分析】（1）连接OC，根据AB是⊙O的直径，∠DCA=∠B，得出 ∠BCO=∠DCA，再根据 OC过圆心O，即可得出答案；
（2）根据角垂直的性质得出∠FEA=90°，DC=DF，即可得出结论。
24．【答案】（1）证明：∵BA＝BP，
∴∠BPA＝∠BAP．
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA．
∵OP⊥OC，
∴∠COP＝90°．
∴∠OPC＋∠OCP＝90°．
∵∠APB＝∠OPC，
∴∠BAP＋∠OAC＝90°．即∠OAB＝90°，
∴OA⊥AB．
∵OA为半径，
∴AB为⊙O的切线；
（2）解：在Rt△OPC中，OC＝4，PC＝25，
∴OP＝PC2−OC2=2．
设AB＝x，则OB＝x＋2．
在Rt△AOB中，x2+42=(x+2)2，
∴x＝3，即AB＝3．
【知识点】勾股定理；切线的判定
【解析】【分析】（1）通过角的等量代换证明∠OAB＝90°，即可得到AB为⊙O的切线；
（2）先利用勾股定理求出OP的长，设AB＝x，则OB＝x＋2，再利用勾股定理列出方程x2+42=(x+2)2求解即可。
25．【答案】（1）证明：连接OC，
∴∠COB=2∠CAB，
又∵∠POE=2∠CAB．
∴∠COD=∠EOD，
又∵OC=OE，
∴∠ODC=∠ODE=90°，
即CE⊥AB；
（2）证明：∵CE⊥AB，∠P=∠E，
∴∠P+∠PCD=∠E+∠PCD=90°，
又∵∠OCD=∠E，
∴∠OCD+∠PCD=∠PCO=90°，
∴PC是⊙O的切线．
【知识点】圆周角定理；切线的判定
【解析】【分析】（1）先求出 ∠COD=∠EOD， 再求出 ∠ODC=∠ODE=90°， 最后证明求解即可；
（2）根据题意求出 ∠P+∠PCD=∠E+∠PCD=90°， 再求出 ∠OCD+∠PCD=∠PCO=90°， 最后证明求解即可。
26．【答案】（1）证明：连接OD，
∵OA=OD，
∴∠A=∠ADO．
∵BA=BC，
∴∠A=∠C，
∴∠ADO=∠C，
∴DO∥BC．
∵DE⊥BC，
∴DO⊥DE．
∵点D在⊙O上，
∴DE是⊙O的切线．
（2）解：∵∠DOF=∠A+∠ADO=60°，
在Rt△DOF中，OD=4，
∴DF=OD•sin∠DOF=4•sin60°=23．
∵直径AB⊥弦DG，
∴DF=FG．
∴DG=2DF=43．
【知识点】含30°角的直角三角形；切线的判定
【解析】【分析】（1）连接OD，根据AB=BC，可得∠A=∠C，再利用∠ADO=∠C，可得DO//BC，再利用平行线的性质可得DO⊥DE，即可证明DE是⊙O的切线；
（2）先求出∠DOF=60°，再利用锐角三角函数求出DF=OD•sin∠DOF=4•sin60°=23，最后利用垂径定理可得DG=2DF=43．
27．【答案】（1）证明：如图，连接OD
∵BC为直径
∴CD⊥AB
∴∠ODB+∠ODC=90°
∵E为AC的中点，CD⊥AB
∴DE=CE=AE
∴∠EDC=∠ECD
∵∠ACB=∠CDA=90°
∴∠ECD+∠A=∠A+∠B
∴∠ECD=∠B
∵OD=OB
∴∠ODB=∠B
∴∠EDC=∠ODB
∴∠ODC+∠EDC=90°
即∠ODE=90°
∴OD⊥DE
即DE是半圆O的切线
（2）解：∵AE=DE=6
∴AC=2AE=12
∵∠BAC=60°，CD⊥AB
∴∠ACD=30°
∴AD=12AC=6
由勾股定理得：CD=AC2−AD2=122−62=63
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；切线的判定
【解析】【分析】（1）连接OD，先根据直角三角形斜边上的中线的性质可得ED=EC，即可得到∠ECD=∠EDC，再利用OD=OC，可得∠ODC=∠OCD，再根据∠ACB=90°，利用等量代换可得∠ODC+∠EDC=∠OCD+∠ECD=∠ACB=90°，即可得到OD⊥DE，即可证明DE是半圆O的切线 ；
（2）利用含30°角的直角三角形的性质可得AD=12AC=6，再利用勾股定理可得CD=AC2−AD2=122−62=63。
28．【答案】（1）解： DC 是 ⊙O 的切线，理由如下：
连接 OC ．
∵CB=CD ， CO=CO ， OB=OD ，
∴ΔOCB≌ΔOCD ，
∴∠ODC=∠OBC=90° ，
∴OD⊥DC ，
∴DC 是 ⊙O 的切线．
（2）解：设 ⊙O 的半径为r．
在 RtΔOBE 中，∵OE2=EB2+OB2 ，
∴(8−r)2=r2+42 ，
∴r=3 ，
∴AB=2r=6 ，
∵tan∠E=OBEB=CDDE ，
∴34=CD8 ，
∴CD=BC=6 ，
在 RtΔABC 中， AC=AB2+BC2=62+62=62 ．
【知识点】切线的判定与性质
【解析】【分析】 (1)利用全等三角形证明OD⊥DC，即可判断DC是圆的切线；
(2)设 ⊙O 的半径为r，在 RtΔOBE 中根据OE2=EB2+OB2列方程求出r，由tan∠E=OBEB=CDDE可得CD=BC=6再利用勾股定理即可求得答案。
29．【答案】（1）证明：如图，连接OB，
∵cosA＝ 32，且cos30°＝ 32，
∴∠A＝30°，
∵∠A＝ 12∠BOC，
∴∠BOC＝2∠A＝60°，
∴∠BOD＝60°，
∵∠D＝30°，
∴∠OBD＝180°﹣60°﹣30°＝90°，
∵OB是⊙O的半径，且BD⊥OB，
∴BD是⊙O的切线.
（2）解：如图，∵OD⊥AB，
∴EB＝AE，
∴BC＝AC＝3，
∵OB＝OC，∠BOC＝60°，
∴△BOC是等边三角形，
∴OB＝BC＝3，
∵∠OBD＝90°，∠D＝30°，
∴OD＝2OB＝6，
∴BD＝ OD2−OB2＝ 62−32＝3 3，
∴BD的长为3 3.
【知识点】等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；垂径定理；圆周角定理；切线的判定
【解析】【分析】（1）连接OB，利用特殊角的三角函数值可求出∠A的度数，再利用圆周角定理求出∠BOD的度数，利用三角形的内角和定理求出∠OBD=90°，然后利用切线的判定定理可证得结论；
（2）利用垂径定理可证得EB=AE，再证明△BOC是等边三角形，利用等边三角形的性质可求出BC的长，利用30°角所对的直角边等于斜边的一半，可求出OD的长；然后利用勾股定理求出BD的长.
30．【答案】（1）解：连接CO，
∵∠D=26°，
∴∠COB=52°，
∵OB=OC，
∴∠BCO=180°−∠COB2=64°，
∵PC与⊙O相切，
∴∠PCO=90°，
∴∠PCB=∠PCO−∠BCO=26°；
（2）解：连接CO，AC，
∵四边形CDBP为平行四边形，
∴∠P=∠CDB，
∵AB为⊙O直径，
∴∠ACB=∠ADB=90°，即∠ACO+∠OCB=90°，
∵PC与⊙O相切，
∴∠PCO=90°，即∠BCP+∠OCB=90°，
∴∠ACO=∠BCP，
∵∠OAC=∠BDC，
∴∠OAC=∠OCA=∠BCP=∠P=∠CDB，
则∠COB=2∠OAC，∠OBC=2∠P，
∴∠COB=∠OBC，
∵OB=OC，
∴∠OCB=∠OBC，
∴∠OCB=∠OBC=∠COB=60°，
∴∠PCB=12∠CBO=30°，
∴∠OAC=∠OCA=∠BCP=∠P=∠CDB=30°，
∴∠ADC=∠ADB+∠BDC=90°+30°=120°；
∴∠PCB=30°，∠ADC=120°．
【知识点】等腰三角形的性质；平行四边形的性质；圆周角定理；切线的性质
【解析】【分析】（1） 连接CO， 由圆周角定理可得 ∠COB=2∠D=52°由OB=OC可得∠BCO=∠OBC=64°，由切线的性质可得∠PCO=90°，根据∠PCB=∠PCO−∠BCO即可求解；
（2）连接CO，AC， 由平行四边形的性质可得∠P=∠CDB， 根据圆周角定理、切线的性质及余角的性质可求出∠ACO=∠BCP ，∠OAC=∠BDC， 从而得出∠OAC=∠OCA=∠BCP=∠P=∠CDB， 由圆周角定理及三角形外角的性质可得∠COB=2∠OAC，∠OBC=2∠P， 即得∠COB=∠OBC，由OB=OC可得∠OCB=∠OBC=∠COB=60°即得∠PCB=12∠CBO=30°，继而得出∠ADC=∠ADB+∠BDC=120°.
24.2点与圆、直线和圆的位置关系同步测试卷A卷
答案解析
1．【答案】C
【知识点】等腰三角形的判定；勾股定理；圆周角定理；三角形的内切圆与内心；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：延长ID到M，使DM=ID，连接CM．
∵I是△ABC的内心，
∴∠IAC=∠IAB，∠ICA=∠ICB，
∵∠DIC=∠IAC+∠ICA，∠DCI=∠BCD+∠ICB，
∴∠DIC=∠DCI，
∴DI=DC=DM，
∴∠ICM=90°，
∴CM=IM2−IC2=8，
∵AI=2CD=10，
∴AI=IM，
∵AE=EC，
∴IE是△ACM的中位线，
∴IE=12CM=4
故答案为：C.
【分析】延长ID到M，使DM=ID，连接CM，根据内心的概念可得∠IAC=∠IAB，∠ICA=∠ICB，由外角的性质可得∠DIC=∠IAC+∠ICA，根据角的和差关系可得∠DCI=∠BCD+∠ICB，结合圆周角定理得∠DIC=∠DCI，推出DI=DC=DM，进而得到∠ICM=90°，利用勾股定理可得CM，进而推出IE为△ACM的中位线，据此求解.
2．【答案】B
【知识点】圆周角定理；切线的性质
【解析】【解答】解：∵CD是⊙O的切线，
∴∠OCD=90°，
∵∠D=40°，
∴∠COD=50°，
∵AB是⊙O直径，
∴∠A和∠COD分别为 BC 所对的圆周角和圆心角，
∴∠A= 12 ∠COD=25°，
故答案为：B.
【分析】由切线的性质可得∠OCD=90°，利用三角形的内角和求出∠COD=50°，根据圆周角定理可得∠A= 12 ∠COD=25°.
3．【答案】D
【知识点】勾股定理；切线的性质
【解析】【解答】解：连接OA、OC，如图，
∵AB为小圆的切线，
∴OC⊥AB，
∴AC＝BC，
在Rt△OAC中，∵OA＝13，OC＝5，
∴AC＝132−52＝12，
∴AB＝2AC＝24．
故答案为：D．
【分析】连接OA、OC，先利用勾股定理求出AC的长，再利用垂径定理可得AB＝2AC＝24．
4．【答案】65
【知识点】角的运算；切线的性质；角平分线的判定；角平分线的定义
【解析】【解答】解：如图所示：连接OA，OC，OB，
∵PA、PB、DE与圆相切于点A、B、E，
∴OA⊥PA ， OB⊥PB ， OC⊥DE ，
∵∠P=50° ，
∴∠AOB=180°−∠P=130° ，
∵OA=OB=OC ，
∴DO平分 ∠ADC ，EO平分 ∠BEC ，
∴∠ADO=∠CDO ， ∠CEO=∠BEO ，
∴∠AOD=∠COD ， ∠COE=∠BOE ，
∴∠DOE=∠COD+∠COE=12∠AOC+12∠BOC=12∠AOB=65° ，
故答案为：65.
【分析】连接OA，OC，OB，根据切线的性质可得OA⊥PA，OB⊥PB，OC⊥DE，根据∠P的度数求出∠AOB的度数，推出DODO平分∠ADC，EO平分∠BEC，根据角平分线的概念可得∠AOD=∠COD，∠COE=∠BOE，据此计算.
5．【答案】80
【知识点】等边三角形的判定与性质；切线的性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：连接O'O，如下图：
∵⊙O与 △OAB的边AB相切，切点为B
∴∠OBA=90°
又∵∠A=20°
∴∠AOB=70°
由旋转的性质可得：OB=O'B，∠ABO=∠A'BO'=90°
又∵OO'=OB
∴ △OO'B为等边三角形
∴∠OBO'=60°
∴∠OBC=∠A'BO'−∠OBO'=30°
∴∠OCB=180°−∠COB−∠OBC=80°
故答案为：80.
【分析】连接OO′，利用切线的性质可证得∠OBA=90°，利用三角形的内角和定理求出∠AOB的度数；再利用旋转的性质可证得OB=O′B，∠ABO=∠ABO′，由此可证得△OO′B是等边三角形，利用等边三角形的性质可证得∠OBO′=60°；然后求出∠OBC的度数，利用三角形的内角和定理求出∠OCB的度数.
6．【答案】（1）证明：如图：连接 OC
∵AC=BC 、 OA=OB
∴OC⊥AB
∵OE=BE ， ∠OEC=∠BEF ， CE=EF ，
∴△OCE≌△BFE
∴∠OBF=∠COE=90°
∴BF⊥OB
又∵BF 经过半径 OB 的外端点B
∴BF 是 ⊙O 的切线；
（2）解：设 ⊙O 的半径为r，则 AB=2r ， BF=OC=r
在 Rt△ABF 中有： (2r)2+r2=(52)2
∴只取 r=10 ，即 ⊙O 的半径为 10 .
∵AB 是 ⊙O 的直径、即 AB=210 ，
∴BD⊥AF
∴BF=AF2−AB2=(52)2−(210)2=10 ，
∵AB为直径，
∴∠ADB=90°，
∴sΔABF=12AB×BF=12AF×BD ，
∴12×210×10=12×52×BD ，解得 BD=22 .
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；圆周角定理；切线的判定；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】（1）连接 OC，由等腰三角形性质得OC⊥AB，证明△OCE≌△BFE，得∠OBF=∠COE=90°，据此证明；
（2）设⊙O的半径为r，则AB=2r，BF=OC=r，根据勾股定理可得r的值，进而利用勾股定理求出BF，根据圆周角定理可得∠ADB=90°，然后根据△ABF的面积公式就可求出BD.
7．【答案】（1）解：连接OC，
∵CD⊥AB，
∴CE＝DE，
∴OC＝OB＝OE＋BE＝3＋2＝5，
在Rt△OCE中，∠OEC＝90°，由勾股定理得：CE2＝OC2－OE2，
∴CE2＝52－32，
∴CE＝4，
∴CD＝2CE＝8.
（2）解：连接OD，
∵CF与⊙O相切，
∴∠OCF＝90°，
∵CE＝DE，CD⊥AB，
∴CF＝DF，
又OF＝OF，OC＝OD，
∴△OCF≌△ODF，
∴∠ODF＝∠OCF＝90°，即OD⊥DF.
又D在⊙O上，
∴DF与⊙O相切.
【知识点】勾股定理；垂径定理；切线的判定与性质；三角形全等的判定（SSS）
【解析】【分析】（1）连接OC，根据垂径定理可得CE＝DE，则OC＝OB＝OE＋BE＝5，在Rt△OCE中，由勾股定理可得CE，据此求解；
（2）连接OD，根据切线的性质可得∠OCF＝90°，推出CF＝DF，证明△OCF≌△ODF，得到∠ODF＝∠OCF＝90°，据此证明.
8．【答案】（1）解：如图，连接OE.
∵BC=BE ，
∴∠BCE=∠BEC .
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90° ，
∴∠BAC+∠BCA=90° ，即 ∠OAE+∠BCE=90° .
∵∠OAE=∠OEA ，
∴∠OEA+∠BEC=90° ，
∴∠OEB=180°−(∠OEA+∠BEC)=90° ，即 OE⊥BE ，
∴BE为⊙O的切线；
（2）解：∵点E为AC的中点，
∴点E为矩形ABCD对角线的交点，
∴BE=AE=CE=12AC ，
∴BE=BC=CE ，
∴△BCE 为等边三角形，
∴∠CBE=60° ，
∴∠OBE=90°−∠CBE=30° .
∵在 △OBE 中， ∠OEB=90° ，
∴OB=2OE=2 ，
∴AB=AO+OB=1+2=3 ， BE=OB2−OE2=22−12=3 ，
∴BC=BE=3 ，
∴S矩形ABCD=AB⋅BC=33 .
【知识点】等腰三角形的性质；等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；矩形的性质；切线的判定
【解析】【分析】（1）连接OE，根据等腰三角形的性质可得∠BCE=∠BEC，∠OAE=∠OEA，根据矩形的性质可得∠ABC=90°，推出∠OEA+∠BEC=90°，利用平角的概念可得∠OEB=90°，据此证明；
（2）根据矩形的性质可得BE=AE=CE= 12AC，结合已知条件可得BE=BC=CE，推出△BCE为等边三角形，得到∠CBE=60°，则∠OBE=30°，OB=2OE=2，AB=3，利用勾股定理求出BE，然后借助矩形的面积公式进行计算.
9．【答案】（1）解：∵OA=OC，
∴∠A=∠ACO，
∴∠COD=∠A+∠ACO=2∠A，
∵∠D=2∠A，
∴∠D=∠COD，
∵PD切⊙O于C，
∴∠OCD=90°，
∴∠D=∠COD=45°；
（2）解：∵∠D=∠COD，CD=1，
∴OC=OB=CD=1，
在Rt△OCD中，由勾股定理得：OD=12+12=2
∴BD=OD-OB=2−1．
【知识点】勾股定理的应用；圆周角定理；切线的性质
【解析】【分析】（1）先证明∠D=∠COD，利用切线的性质可求出∠D；
（2）由（1）可得OC=OB=CD，利用勾股定理得出OD ，即可求出BD．
10．【答案】（1）证明：连结OC，如图，
∵FC=BC∴∠FAC=∠BAC∵OA=OC∴∠OAC=∠OCA
∴∠FAC=∠OCA∴OC∥AF∵CD⊥AF∴OC⊥CD∴CD是⊙O的切线
（2）解：连结BC，如图
∵AB为直径∴∠ACB=90°∵AF=FC=BC∴∠BOC=13×180°=60°
∴∠BAC=30°∴∠DAC=30°在Rt△ADC中，CD=23∴AC=2CD=43
在Rt△ACB中，BC=33AC=33×43=4∴AB=2BC=8∴⊙O的半径为4.
【知识点】等腰三角形的性质；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；切线的判定
【解析】【分析】（1） 连结OC，根据圆周角定理和等腰三角形的性质得∠FAC=∠OCA，得出OC∥AF，从而得出OC⊥CD，即可得出CD是⊙O的切线；
（2）连结BC，根据圆周角定理得出∠ACB=90°，∠BOC=60°，得出∠BAC=∠DAC=30°，从而得出AC，BC，AB的长，即可得出⊙O的半径.
11．【答案】（1）证明：连接OD，
∵∠ACB＝90°，AC＝BC，
∴∠ABC＝45°，
∴∠COD＝2∠ABC＝90°，
∵四边形GDEC是平行四边形，
∴DE∥CG，
∴∠ODE+∠COD＝180°，
∴∠ODE＝90°，即OD⊥DE，
∵OD是半径，
∴直线DE是⊙O的切线
（2）解：设⊙O的半径为r，
∵四边形GDEC是平行四边形，
∴CG＝DE＝7，DG＝CE＝5，
∵∠GOD＝90°，
∴OD2+OG2＝DG2，即r2+（7﹣r）2＝52，
解得：r1＝3，r2＝4，
当r＝3时，OG＝4＞3，此时点G在⊙O外，不合题意，舍去，
∴r＝4，即⊙O的半径4．
【知识点】勾股定理；切线的判定
【解析】【分析】（1）连接OD，根据题意和平行四边形的性质可得DE∥CG，得出OD⊥DE，即可求解；
（2）设⊙O的半径为r，因为∠GOD＝90°，根据勾股定理求解得出r的值，当r＝3时，OG＝4＞3，此时点G在⊙O外，不合题意，舍去，可求解。
12．【答案】（1）证明：∵BD=AD，
∴∠B=∠BAD=36°，
∴∠ADC=72°，
∵∠DAC=12∠BAD=18°，
∴∠ADC+∠DAC=90°，
∴∠C=90°，
∴AD是圆O的直径
（2）证明：连接OE，
∵EF⊥BC，
∴∠EFC=90°，
∵OE=OA，
∴∠OEA=∠BAD=36°，
∴∠OEA=∠B，
∴OE∥BC，
∴∠OEF+∠EFC=180°，
∴∠OEF=90°，
∴OE⊥EF，
∵OE为圆O的半径，
∴EF与圆O相切．
【知识点】圆周角定理；切线的判定
【解析】【分析】（1）先求出 ∠ADC=72°， 再求出 ∠C=90°， 最后证明即可；
（2）先求出 ∠OEA=∠B， 再求出 OE⊥EF， 最后作答即可。
13．【答案】（1）证明：∵点D为弦BC中点
∴OD⊥BC，CD=DB
∴∠CDE=∠BDE
在Rt△CDE和Rt△BDE
CD=BD， ∠CDE=∠BDE，DE=DE
∴Rt△CDE≌Rt△BDE
∴EC=EB.
（2）证明：∵EC=EB，OC=OB
∴∠ECB=∠EBC， ∠OCB=∠OBC，
∵CE是⊙O切线
∴∠OCE=90°，即∠OCB+∠BCE=90°
∴∠OBC+∠EBC=90°，即BE⊥AB
∴BE是⊙O的切线.
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；等腰三角形的性质；垂径定理；切线的判定与性质
【解析】【分析】（1）由垂径定理可得OD⊥BC，CD=DB，再证明Rt△CDE≌Rt△BDE，可得EC=EB；
（2）由等腰三角形的性质可得 ∠ECB=∠EBC， ∠OCB=∠OBC， 由切线的性质可得 ∠OCE=90° ，
从而得出∠OCB+∠BCE=∠OBC+∠EBC=∠OBC=90°，根据切线的判定定理即证.
14．【答案】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E
∴BC=BD
∴∠CAB=∠DAB
∵AM是∠DAF的平分线
∴∠DAM=12∠DAF
∵∠CAD+∠DAF=180°
∴∠DAB+∠DAM=90°
即∠BAM=90°，AB⊥AM
∴AM是⊙O的切线
（2）解：∵AB⊥CD，AB⊥AM
∴CD//AM
∴∠ANC=∠OCE=30°
在Rt△OCE中，OC=2
∴OE=1，CE=3
∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E
∴CD=2CE=23．
【知识点】含30°角的直角三角形；切线的判定
【解析】【分析】(1)要证明AM是⊙O的切线，只要求出∠BAM=90°即可；
（2）根据已知得出OE=1，CE=3，再证明CD=2CE即可。
15．【答案】（1）证明：由圆周角定理得：∠A＝∠C，
在△AED和△CEB中，∠A=∠CAE=CE∠AED=∠CEB，∴△AED≌△CEB（ASA）
（2）证明：∵AB⊥CD，∴∠AED＝∠CEB＝90°，∴∠C+∠B＝90°，
∵点F是BC的中点，∴EF＝12BC＝BF，∴∠FEB＝∠B，
∵∠A＝∠C，∠AEG＝∠FEB＝∠B，∴∠A+∠AEG＝∠C+∠B＝90°，
∴∠AGE＝90°，∴FG⊥AD；
（3）解：直线l是圆O的切线，理由如下：作OH⊥AB于H，连接OB，如图所示：
∵AE＝1，BE＝3，∴AB＝AE+BE＝4，
∵OH⊥AB，∴AH＝BH＝12AB＝2，∴EH＝AH﹣AE＝1，
∴OH＝OE2−EH2＝(2)2−12＝1，∴OB＝BH2+OH2＝22+12＝5，
即⊙O的半径为5，
∵一条直线l到圆心O的距离d＝5＝⊙O的半径，∴直线l是圆O的切线．
【知识点】切线的判定；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【分析】（1）由圆周角定理可得到∠A=∠C，由ASA得出△AED≌△CEB；
（2）由直角三角形斜边上的中线性质得到EF＝12BC＝BF，由等腰三角形的性质得出∠FEB＝∠B，由圆周角定理和对顶角相等证出∠A+∠AEG＝∠C+∠B＝90°，进而得出结论；
（3）作OH⊥AB于H，连接OB，由垂径定理得出AH=BH=12AB=2，则EH=AH-AE=1，由勾股定理求出OH=1，OB=5，由一条直线l到圆心O的距离d＝5＝⊙O的半径，即可得出结论。
16．【答案】（1）解：如图，连接OA，
∵AC是⊙O的切线，OA是⊙O的半径，
∴OA⊥AC， ∴∠OAC=90°，
∵∠ADE=25°，
∴∠AOE=2∠ADE=50°，
∴∠C=90°-∠AOE=90°-50°=40°；
（2）解：∵AB=AC， ∴∠B=∠C，
∵OA=OB，
∴∠B=∠OAB，
∴ ∠AOC=2∠B，∴∠AOC=2∠C，
∵∠OAC=90°，∴∠AOC+∠C=90°，
∴3∠C=90°，∴∠C=30°，
∴OA=12OC，设⊙O的半径为r，
∵CE=2，
∴r=12(r+2)，解得：r=2，
∴OA=r=2，
∴AC=3OA=23．
【知识点】三角形内角和定理；圆周角定理；切线的性质
【解析】【分析】（1）根据圆周角定理求出∠AOC，结合切线的性质求出∠OAC，根据三角形的内角和定理求出答案即可；
（2）根据题意，求出圆的半径，结合圆周角定理计算得到AC即可。
17．【答案】（1）解：AC是⊙O的切线，理由如下：
连接AO，
∵AB=AC，∠BAC=120°，
∴∠B=∠C= 12 （180°-∠BAC）=30°，
∵AO=BO，
∴∠BAO=∠B=30°，
∴∠AOC=2∠B=60°，
∴∠OAC=180°-∠AOC-∠C=180°-60°-30°=90°，
∵AO是⊙O的半径，
∴AC是⊙O的切线；
（2）解：连接AD，
∵AO=OD，∠AOD=60°，
∴△AOD是等边三角形，
∴AD=OD，∠ADO=60°，
∴∠DAC=∠ADO-∠C=30°，
∴∠DAC=∠C=30°，
∴AD=CD=OD=5，
∴⊙D的半径为5.
【知识点】三角形的外角性质；等腰三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；圆周角定理；切线的判定
【解析】【分析】（1）连接AO，根据等腰三角形的性质以及内角和定理得∠B=∠C=30°，∠BAO=∠B=30°，由同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍得∠AOC=2∠B=60°，利用内角和定理可得∠OAC=90°，据此证明；
（2）连接AD，则△AOD是等边三角形，得到AD=OD，∠ADO=60°，由三角形外角的性质可得∠DAC=∠ADO-∠C=30°，则∠DAC=∠C=30°，推出AD=CD=OD=5，据此解答.
18．【答案】（1）证明：∵AC，DE是⊙O的两条切线，EF⊥AC于点F
∴∠EFC=∠EDC=∠FCD=90°，
∴四边形CDEF是矩形；
（2）解：∵四边形CDEF是矩形，
∴EF=CD=210，CF=DE=2，
∵AB，AC，DE是⊙O的两条切线，
∴AB=AC，BE=DE，
设AB=AC=x，则AE=x+2，AF=x-2，
在Rt△AEF中，(x−2)2+(210)2=(x+2)2，
解得：x=5，
∴AC=5+2=7．
【知识点】勾股定理；矩形的判定；切线的性质
【解析】【分析】（1）根据切线的性质得出∠EFC=∠EDC=∠FCD=90°，即可得出结论；
（2）根据AB，AC，DE是⊙O的两条切线，得出AB=AC，BE=DE，设AB=AC=x，则AE=x+2，AF=x-2，在Rt△AEF中，得出x的值，由此得出AC的值。
19．【答案】（1）证明：如图，连接OA，
∵AE⊥CD，
∴∠DAE+∠ADE=90°．
∵DA平分∠BDE，
∴∠ADE=∠ADO，
又∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ADO，
∴∠DAE+∠OAD=90°，
∴OA⊥AE，
∴AE是⊙O切线；
（2）解：如图，取CD中点F，连接OF，
∴OF⊥CD于点F．
∴四边形AEFO是矩形，
∵CD=6，
∴DF=FC=3．
在Rt△OFD中，OF=AE=4，
∴OD=OF2+DF2=42+32=5，
在Rt△AED中，AE=4，ED=EF-DF=OA-DF=OD-DF=5-3=2，
∴AD=AE2+DE2=42+22=25，
∴AD的长是25．
【知识点】勾股定理；圆内接四边形的性质；切线的判定
【解析】【分析】（1）连接OA，利用角平分线的性质得出∠ADE=∠ADO，再根据OA=OD，得出OA⊥AE，由此得出结论；
（2）取CD中点F，连接OF，得出四边形AEFO是矩形，在Rt△OFD中，OF=AE=4，利用勾股定理得出OD的值，在Rt△AED中，AE=4，ED=EF-DF=OA-DF=OD-DF=5-3=2，再利用勾股定理得出AD的值即可。
20．【答案】（1）证明：∵AB ＝ AC，
D是BC的中点，
∴AD⊥BD．
又∵BD是⊙O直径，
∴AD是⊙O的切线．
（2）解：连接OP.
∵点D是边BC的中点，BC ＝ 8，AB=AC，
∴BD ＝ DC＝4，
∵ OD＝OP ＝ 2．
∴OC ＝ 6.
∵PC是⊙O的切线，O为圆心，
∴∠OPC=90°．
在Rt△OPC中，
由勾股定理，得
OC2 ＝ OP2 + PC2
∴PC2 ＝ OC2－OP2
＝ 62－22
=32
∴PC=42．
【知识点】勾股定理；切线的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据等腰三角形的三线合一的性质可得AD⊥BD，再结合BD是⊙O直径，即可得到AD是⊙O的切线；
（2）连接OP，先求出OC的长，再利用切线的性质，可得∠OPC=90°，再利用三角形的勾股定理求出PC的长即可。
21．【答案】（1）证明：如图，连接OD，
∵⊙O与AB相切，
∴∠ODB=90°，
在Rt△BDO与Rt△BCO中，
DO=COBO=BO，
∴Rt△BDO≅Rt△BCO(HL)，
∴∠DBO=∠CBO，
∴BO平分∠ABC；
（2）解：设⊙O的半径为x，则OD=OE=OC=x，
在Rt△ADO中，∠A=30°，AE=1，
∴2x=1+x，
解得：x=1，
∴AC=1+1+1=3，
在Rt△ACB中，tanA=BCAC，即BC=AC⋅tan30°=3×33=3，
在Rt△BCO中，BO=CO2+BC2=12+(3)2=2．
【知识点】含30°角的直角三角形；切线的性质
【解析】【分析】（1）连接OD，利用HL证出Rt△BDO≅Rt△BCO，得出∠DBO=∠CBO，即可得出结论；
（2）设⊙O的半径为x，则OD=OE=OC=x，在Rt△ADO中，∠A=30°，AE=1，列出方程，解之得出x的值，在Rt△ACB中，tanA=BCAC，可得出BC的值，在Rt△BCO中，利用勾股定理即可得出BO的值。
22．【答案】（1）证明：连接OD，
∵D是AC的中点，
∴∠ABC=2∠ABD，
∵∠AOD=2∠ABD，
∴∠AOD=∠ABC，
∴OD∥BC，
∵DE⊥BC，
∴DE⊥OD，
∴DE是⊙O的切线；
（2）解：连接AC，交OD于点F，
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
∴AC=AB2−BC2=102−82=6，
∵D是AC的中点，
∴OD⊥AC，AF=CF=3，
∴OF=OA2−AF2=52−32=4，
∴DF=5-4=1，
∵∠E=∠EDF=∠DFC=90°，
∴四边形DFCE是矩形，
∴DE=CF=3，CE=DF=1，
∴CD=32+12=10，
∴AD=CD=10，
∵∠ADB=90°，
∴BD=AB2−AD2=102−(10)2=310
【知识点】垂径定理；切线的判定
【解析】【分析】（1）连接OD，根据垂径定理得出DE⊥OD，即可得出结论；
（2）连接AC，交OD于点F，根据勾股定理得出AC、OF的值，推出四边形DFCE是矩形，再利用勾股定理得出CD的值，由此得出结论。
23．【答案】（1）证明：如图，连接OC
∵AB是⊙O的直径
∴∠ACB=90°
∵OC=OB
∴∠B=∠BCO
∵∠DCA=∠B
∴∠BCO=∠DCA
∴∠BCO+∠ACO=∠DCA+∠ACO=90°
∴∠DCO=∠ACB=90°
∴OC⊥CD
又∵OC过圆心O
∴CD是⊙O的切线．
（2）证明：∵DE⊥AB
∴∠FEA=90°
∴∠A+∠EFA=90°=∠A+∠B
∴∠EFA=∠B=∠ACD=∠DFC
∴∠FCD=∠DFC
∴DC=DF
∴△DEF是等腰三角形．
【知识点】等腰三角形的判定；切线的判定
【解析】【分析】（1）连接OC，根据AB是⊙O的直径，∠DCA=∠B，得出 ∠BCO=∠DCA，再根据 OC过圆心O，即可得出答案；
（2）根据角垂直的性质得出∠FEA=90°，DC=DF，即可得出结论。
24．【答案】（1）证明：∵BA＝BP，
∴∠BPA＝∠BAP．
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA．
∵OP⊥OC，
∴∠COP＝90°．
∴∠OPC＋∠OCP＝90°．
∵∠APB＝∠OPC，
∴∠BAP＋∠OAC＝90°．即∠OAB＝90°，
∴OA⊥AB．
∵OA为半径，
∴AB为⊙O的切线；
（2）解：在Rt△OPC中，OC＝4，PC＝25，
∴OP＝PC2−OC2=2．
设AB＝x，则OB＝x＋2．
在Rt△AOB中，x2+42=(x+2)2，
∴x＝3，即AB＝3．
【知识点】勾股定理；切线的判定
【解析】【分析】（1）通过角的等量代换证明∠OAB＝90°，即可得到AB为⊙O的切线；
（2）先利用勾股定理求出OP的长，设AB＝x，则OB＝x＋2，再利用勾股定理列出方程x2+42=(x+2)2求解即可。
25．【答案】（1）证明：连接OC，
∴∠COB=2∠CAB，
又∵∠POE=2∠CAB．
∴∠COD=∠EOD，
又∵OC=OE，
∴∠ODC=∠ODE=90°，
即CE⊥AB；
（2）证明：∵CE⊥AB，∠P=∠E，
∴∠P+∠PCD=∠E+∠PCD=90°，
又∵∠OCD=∠E，
∴∠OCD+∠PCD=∠PCO=90°，
∴PC是⊙O的切线．
【知识点】圆周角定理；切线的判定
【解析】【分析】（1）先求出 ∠COD=∠EOD， 再求出 ∠ODC=∠ODE=90°， 最后证明求解即可；
（2）根据题意求出 ∠P+∠PCD=∠E+∠PCD=90°， 再求出 ∠OCD+∠PCD=∠PCO=90°， 最后证明求解即可。
26．【答案】（1）证明：连接OD，
∵OA=OD，
∴∠A=∠ADO．
∵BA=BC，
∴∠A=∠C，
∴∠ADO=∠C，
∴DO∥BC．
∵DE⊥BC，
∴DO⊥DE．
∵点D在⊙O上，
∴DE是⊙O的切线．
（2）解：∵∠DOF=∠A+∠ADO=60°，
在Rt△DOF中，OD=4，
∴DF=OD•sin∠DOF=4•sin60°=23．
∵直径AB⊥弦DG，
∴DF=FG．
∴DG=2DF=43．
【知识点】含30°角的直角三角形；切线的判定
【解析】【分析】（1）连接OD，根据AB=BC，可得∠A=∠C，再利用∠ADO=∠C，可得DO//BC，再利用平行线的性质可得DO⊥DE，即可证明DE是⊙O的切线；
（2）先求出∠DOF=60°，再利用锐角三角函数求出DF=OD•sin∠DOF=4•sin60°=23，最后利用垂径定理可得DG=2DF=43．
27．【答案】（1）证明：如图，连接OD
∵BC为直径
∴CD⊥AB
∴∠ODB+∠ODC=90°
∵E为AC的中点，CD⊥AB
∴DE=CE=AE
∴∠EDC=∠ECD
∵∠ACB=∠CDA=90°
∴∠ECD+∠A=∠A+∠B
∴∠ECD=∠B
∵OD=OB
∴∠ODB=∠B
∴∠EDC=∠ODB
∴∠ODC+∠EDC=90°
即∠ODE=90°
∴OD⊥DE
即DE是半圆O的切线
（2）解：∵AE=DE=6
∴AC=2AE=12
∵∠BAC=60°，CD⊥AB
∴∠ACD=30°
∴AD=12AC=6
由勾股定理得：CD=AC2−AD2=122−62=63
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；切线的判定
【解析】【分析】（1）连接OD，先根据直角三角形斜边上的中线的性质可得ED=EC，即可得到∠ECD=∠EDC，再利用OD=OC，可得∠ODC=∠OCD，再根据∠ACB=90°，利用等量代换可得∠ODC+∠EDC=∠OCD+∠ECD=∠ACB=90°，即可得到OD⊥DE，即可证明DE是半圆O的切线 ；
（2）利用含30°角的直角三角形的性质可得AD=12AC=6，再利用勾股定理可得CD=AC2−AD2=122−62=63。
28．【答案】（1）解： DC 是 ⊙O 的切线，理由如下：
连接 OC ．
∵CB=CD ， CO=CO ， OB=OD ，
∴ΔOCB≌ΔOCD ，
∴∠ODC=∠OBC=90° ，
∴OD⊥DC ，
∴DC 是 ⊙O 的切线．
（2）解：设 ⊙O 的半径为r．
在 RtΔOBE 中，∵OE2=EB2+OB2 ，
∴(8−r)2=r2+42 ，
∴r=3 ，
∴AB=2r=6 ，
∵tan∠E=OBEB=CDDE ，
∴34=CD8 ，
∴CD=BC=6 ，
在 RtΔABC 中， AC=AB2+BC2=62+62=62 ．
【知识点】切线的判定与性质
【解析】【分析】 (1)利用全等三角形证明OD⊥DC，即可判断DC是圆的切线；
(2)设 ⊙O 的半径为r，在 RtΔOBE 中根据OE2=EB2+OB2列方程求出r，由tan∠E=OBEB=CDDE可得CD=BC=6再利用勾股定理即可求得答案。
29．【答案】（1）证明：如图，连接OB，
∵cosA＝ 32，且cos30°＝ 32，
∴∠A＝30°，
∵∠A＝ 12∠BOC，
∴∠BOC＝2∠A＝60°，
∴∠BOD＝60°，
∵∠D＝30°，
∴∠OBD＝180°﹣60°﹣30°＝90°，
∵OB是⊙O的半径，且BD⊥OB，
∴BD是⊙O的切线.
（2）解：如图，∵OD⊥AB，
∴EB＝AE，
∴BC＝AC＝3，
∵OB＝OC，∠BOC＝60°，
∴△BOC是等边三角形，
∴OB＝BC＝3，
∵∠OBD＝90°，∠D＝30°，
∴OD＝2OB＝6，
∴BD＝ OD2−OB2＝ 62−32＝3 3，
∴BD的长为3 3.
【知识点】等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；垂径定理；圆周角定理；切线的判定
【解析】【分析】（1）连接OB，利用特殊角的三角函数值可求出∠A的度数，再利用圆周角定理求出∠BOD的度数，利用三角形的内角和定理求出∠OBD=90°，然后利用切线的判定定理可证得结论；
（2）利用垂径定理可证得EB=AE，再证明△BOC是等边三角形，利用等边三角形的性质可求出BC的长，利用30°角所对的直角边等于斜边的一半，可求出OD的长；然后利用勾股定理求出BD的长.
30．【答案】（1）解：连接CO，
∵∠D=26°，
∴∠COB=52°，
∵OB=OC，
∴∠BCO=180°−∠COB2=64°，
∵PC与⊙O相切，
∴∠PCO=90°，
∴∠PCB=∠PCO−∠BCO=26°；
（2）解：连接CO，AC，
∵四边形CDBP为平行四边形，
∴∠P=∠CDB，
∵AB为⊙O直径，
∴∠ACB=∠ADB=90°，即∠ACO+∠OCB=90°，
∵PC与⊙O相切，
∴∠PCO=90°，即∠BCP+∠OCB=90°，
∴∠ACO=∠BCP，
∵∠OAC=∠BDC，
∴∠OAC=∠OCA=∠BCP=∠P=∠CDB，
则∠COB=2∠OAC，∠OBC=2∠P，
∴∠COB=∠OBC，
∵OB=OC，
∴∠OCB=∠OBC，
∴∠OCB=∠OBC=∠COB=60°，
∴∠PCB=12∠CBO=30°，
∴∠OAC=∠OCA=∠BCP=∠P=∠CDB=30°，
∴∠ADC=∠ADB+∠BDC=90°+30°=120°；
∴∠PCB=30°，∠ADC=120°．
【知识点】等腰三角形的性质；平行四边形的性质；圆周角定理；切线的性质
【解析】【分析】（1） 连接CO， 由圆周角定理可得 ∠COB=2∠D=52°由OB=OC可得∠BCO=∠OBC=64°，由切线的性质可得∠PCO=90°，根据∠PCB=∠PCO−∠BCO即可求解；
（2）连接CO，AC， 由平行四边形的性质可得∠P=∠CDB， 根据圆周角定理、切线的性质及余角的性质可求出∠ACO=∠BCP ，∠OAC=∠BDC， 从而得出∠OAC=∠OCA=∠BCP=∠P=∠CDB， 由圆周角定理及三角形外角的性质可得∠COB=2∠OAC，∠OBC=2∠P， 即得∠COB=∠OBC，由OB=OC可得∠OCB=∠OBC=∠COB=60°即得∠PCB=12∠CBO=30°，继而得出∠ADC=∠ADB+∠BDC=120°.
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