高中人教A版 (2019)5.5 三角恒等变换精品第3课时学案

5.5.1 三角恒等变换

第3课时 二倍角的正弦、余弦、正切公式

【学习目标】

【自主学习】

一．二倍角公式

解读：倍角公式中的“倍角”是相对的，对于两个角的比值等于2的情况都成立，如4α是2α的二倍，α是的二倍等.

二．正弦的二倍角公式的变形

1.sin αcos α＝sin 2α；2.1±sin 2α＝(sin α±cos α)2.

三．余弦的二倍角公式的变形

1.cos 2α＝1－2sin2α＝2cos2α－1；2.cos2α＝；3.sin2α＝.

【小试牛刀】

1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)二倍角的正弦、余弦公式的适用范围是任意角．(　　)

(2)存在角α，使得sin2α＝2sinα成立．(　　)

(3)对任意角α，总有tan2α＝.(　　)

(4)cos2α－sin2α＝1－2sin2α.(　　)

2.已知cos x＝，则cos 2x等于(　　)

A.      B．－     C.  D．－

3.sin 15°cos 15°＝        .

4.已知tanα＝－，则tan2α＝________．

【经典例题】

题型一  　给角求值　　　　　　　　　　　　　　　　

例1　求下列各式的值：

(1)sin2π－cos2π；(2)sincos；(3)；(4)cos20°·cos40°·cos80°.

【跟踪训练】1 求下列各式的值．

(1)sinsin；(2)－cos215°；(3)cos415°－sin415°；(4)－.

题型二  条件求值

例2 (1)已知tan α＝2，则tan 2α＝________；

(2)已知0<α<，cos＝，则sin＝________.

【跟踪训练】2 (1)若cos (＋α)＝，则sin (－2α)＝ (　　)

A．－       B．－         C．         D．

(2)设α为锐角，若cos＝，则sin的值为________．

题型三  利用二倍角公式化简证明

例3 证明：(1)＝tanθ； (2) 3＋cos4α－4cos2α＝8sin4α.

【跟踪训练】3 (1)若θ∈()，化简的结果为(　　)

A．2sinθ      B．2cosθ     C．－2sinθ     D．－2cosθ

(2)已知α∈(0，π)，化简：＝________.

【当堂达标】

1.设α是第四象限角，已知sinα＝－，则sin2α，cos2α和tan2α的值分别为(　　)

A．－，，－                 B.，，

C．－，－，                 D.，－，－

2.已知sin α＝3cos α，那么tan 2α的值为(　　)

A．2　　　    　B．－2　　       C.　　       D．－

3.已知cos (α－)＝，则cos2α＝(　　)

A．－          B．              C．－     D．

4.函数（）的最大值为（    ）

A． B．1 C．3 D．4

5.已知sin ＋cos ＝，那么sin θ＝        ，cos 2θ＝        .

6.已知sin (－x)＝，0＜x＜，则cos2x＝________．

7.化简：(1)＋；(2).

8.已知sin＝，0<x<，求的值．

【课堂小结】

1.二倍角余弦公式的重要变形——升幂公式和降幂公式

(1)升幂公式

1＋cos2α＝2cos2α，1－cos2α＝2sin2α，

1＋cosα＝2cos2，1－cosα＝2sin2.

(2)降幂公式

cos2α＝，sin2α＝.

2.要牢记二倍角公式的几种变形

(1)sin2x＝cos＝cos＝2cos2－1＝1－2sin2；

(2)cos2x＝sin＝sin＝2sincos；

(3)cos2x＝sin＝sin＝2sincos.

【参考答案】

【自主学习】

2sinαcosα  cos2α－sin2α 

【小试牛刀】

1.(1)√　(2)√　(3)×　(4)√

2.B

3. 解析：sin 15°cos 15°＝×2sin 15°cos 15°＝sin 30°＝.

4. －  解析：因为tanα＝－，所以tan2α＝＝＝－.

【经典例题】

例1　解：(1)原式＝－(cos2π－sin2π)＝－cosπ

＝－cos (π－)＝cos＝.

(2)原式＝＝＝.

(3)原式＝＝2×＝＝.

(4)原式＝

＝

＝

＝＝＝.

【跟踪训练】1  解：(1) 原式＝sinsin＝sinsin＝sincos＝·2sincos

＝sin＝.

(2)原式＝(1－2cos215°)＝－cos30°＝－.

(3) 原式＝(cos215°－sin215°)·(cos215°＋sin215°)＝cos215°－sin215°＝cos 30°＝.

(4) 原式＝

＝

＝

＝＝4.

例2 解：(1)∵tan α＝2，

∴tan 2α＝＝＝－.

(2)∵0<α<，∴<α＋<.

∵cos＝，

∴sin＝.

∴sin＝sin

＝2sincos＝2××＝.

【跟踪训练】2 解：(1)A 解析：因cos (＋α)＝，则sin (－2α)＝sin [－(＋2α)]＝cos2(＋α)＝2cos2(＋α)－1＝2×()2－1＝－.

 (2)∵α为锐角，

∴α＋∈.

又∵cos＝，

∴sin＝，

∴sin＝2sincos＝，

cos＝2cos2－1＝，

∴sin＝sin

＝sincos －cossin

＝×－×

＝.

例3 证明：

(1)左边＝

＝

＝tanθ＝右边

所以等式成立．

(2)左边＝3＋2cos22α－1－4cos2α

＝2(cos22α－2cos2α＋1)

＝2(cos2α－1)2

＝2(1－2sin2α－1)2

＝8sin4α

＝右边

所以等式成立．

【跟踪训练】3 (1) C 解析：∵θ∈()，∴0>cosθ>sinθ，

∴

＝

＝

＝|sinθ＋cosθ|＋|sinθ－cosθ|

＝－(cosθ＋sinθ)＋cosθ－sinθ

＝－2sinθ.

(2) cos α 解析：原式＝.

因为α∈(0，π)，所以cos＞0，

所以原式＝

＝·

＝cos2－sin2＝cos α.

【当堂达标】

1.A 解析：因为α是第四象限角，且sinα＝－，所以cosα＝，所以sin2α＝2sinαcosα＝－，cos2α＝2cos2α－1＝，tan2α＝＝－.

2.D 解析：因为sin α＝3cos α，所以tan α＝3，所以tan 2α＝＝＝－.

3.A 解析：∵cos(α－)＝sinα＝，∴cos2α＝1－2sin2α＝－.

4.C 解析：，

当时，取得最大值为3.故选：C.

5.　　解析：因为sin ＋cos ＝，

所以2＝，

即1＋2sin cos ＝，

所以sin θ＝，

所以cos 2θ＝1－2sin2θ＝1－2×＝.]

6. 解析：因为x∈(0，)，所以－x∈(0，)，

又因为sin(－x)＝，所以cos (－x)＝，

所以cos2x＝sin (－2x)＝2sin (－x)cos (－x)

＝2×＝.

7.解：(1)原式＝＋

＝＋

＝|sin10°＋cos10°|＋|sin10°－cos10°|

＝sin10°＋cos10°＋cos10°－sin10°

＝2cos10°.

(2)原式＝

＝

＝＝.

8.解：∵0<x<，∴0<－x<.

又∵sin＝，

∴cos＝.

∵cos 2x＝sin

＝2sincos

＝2coscos

＝2coscos，

∴＝2cos＝.