高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.5 三角恒等变换优质学案

5.5.2  简单的三角恒等变换

【学习目标】

【自主学习】

一．半角公式

1.sin＝            ，   2.cos＝            ，  3.tan＝            ，

4.tan＝＝＝           ，tan＝＝＝          .

注意：符号由所在象限决定．

二．积化和差公式

.

.

.

.

三．和差化积公式

.

.

.

.

【小试牛刀】

1.已知180°＜α＜360°，则cos的值等于(　　)

A．－　　 B．      C．－   D．

2.已知cos α＝，α∈，则sin 等于(　　)

A.　　　           B．－             C.　   D．

3.已知π＜θ＜2π，且cosθ＝－，则tan的值等于(　　)

A．－3               B．3                 C．－            D．

4.函数y＝cosx＋sinx的最小正周期为____________．

【经典例题】

题型 1　应用半角公式求值

例1 已知sinθ＝，且<θ<3π，求sin，cos，tan.

【跟踪训练】1 已知α为钝角，β为锐角，且sin α＝，sin β＝，求cos 的值．

题型二  三角函数化简与证明

点拨：三角函数化简与证明的常见方法

1.从复杂的一端向简单一端化简，即化繁为简．

2.两边化简，使其都等于中间某个式子，即左右归一．

3.把式子中的切函数化为弦函数，即化切为弦．

4.利用分析法、综合法找与原式等价的式子，即等价化归．

例2 已知π<α<，化简：＋.

【跟踪训练】2 求证：＝sin 2α.

题型三  辅助角公式的应用

点拨：对于形如asin x＋bcos x(a，b不同时为零)的式子可以引入辅助角变形为Asin(x＋φ)的形式．即asin x＋bcos x＝.

令cos φ＝，sin φ＝，原式＝(sin xcos φ＋cos xsin φ)＝sin(x＋φ)，其中tan φ＝.

运用辅助角公式，必须满足三个条件：同角（均为x）；齐一次（均为一次的）；正余全（一个是sinx，一个是cosx）。

常见基本形式如下：

1.

2.

3.

4.

例3-1化简：(1)(cosx－sinx)；(2)3sinx＋3cosx.

例3-2  当－≤x≤时，函数f(x)＝sin x＋cos x的最大值为_______，最小值为________．

例3-3 已知函数f(x)＝4cosxsin (x＋)－1.

(1)求f(x)的最小正周期；

(2)求f(x)在区间[－]上的最大值和最小值．

【跟踪训练】3 已知函数f(x)＝sin＋2sin2(x∈R)．

(1)求函数f(x)的最小正周期；

(2)求使函数f(x)取得最大值的x的集合．

【当堂达标】

1.若sin(π－α)＝－且α∈，则sin等于(　　)

A．－　　　 B．－　 　 C.　     D．

2.设5π＜θ＜6π，cos＝a，则sin等于(　　)

A.　　    B．       C．－     D．－

3.函数f(x)＝sinx－cos的值域为(　　)

A．[－2,2]      B．[－，]   C．[－1,1]    D．[－，]

4.函数f(x)＝sin2x的最小正周期为        ．

5.已知cos θ＝－，且180°<θ<270°，求tan .

6.求证：＝.

7.已知函数f(x)＝cos－2sin xcos x.

(1)求f(x)的最小正周期．

(2)求证：当x∈时，f(x)≥－.

8.已知函数f(x)＝2sin(x－3π)·sin＋2sin2－1，x∈R.

(1)求函数f(x)的最小正周期及在区间上的最大值和最小值；

(2)若f(x0)＝，x0∈，求cos2x0的值．

【参考答案】

【自主学习】

±   ±    ±    

【小试牛刀】

1.C 解析：∵180°＜α＜360°，∴90°＜＜180°，又cos2＝，∴cos α＝－.

2.A 解析：由题知∈，∴sin >0，sin ＝＝.

3.A 解析：因为π＜θ＜2π，所以＜＜π,所以tan＝－＝－＝－3.

4．2π 解析：y＝cosx＋sinx＝cosx＋sinx)＝sin (x＋)，所以最小正周期为2π.

【经典例题】

例1 解：∵sinθ＝<θ<3π，

∴cosθ＝－＝－.

∵<<，∴sin＝－＝－，

cos＝－＝－，tan＝＝2.

【跟踪训练】1 解：因为α为钝角，β为锐角，sin α＝，sin β＝，

所以cos α＝－，cos β＝，所以cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝－×＋×＝，

又因为<α<π，0<β<，所以0<α－β<π，所以0<<，

所以cos ＝ ＝ ＝.

例2 解：原式＝＋.

∵π＜α＜，∴＜＜，∴cos＜0，sin＞0，

∴原式＝＋

＝－＋＝－cos.

【跟踪训练】2 证明：方法1：左边＝

＝cos2α

＝cos2αtan α＝cos αsin α

＝sin 2α＝右边．

∴原式成立．

方法2：　

左边＝＝＝＝cos αsin cos

＝sin αcos α＝sin 2α＝右边．

所以原式成立．

例3-1 解：(1)(cosx－sinx)＝×

＝2＝2cos.

(2)3sinx＋3cosx

＝6

＝6

＝6cos.

例3-2 解：f(x)＝sin x＋cos x＝2

＝2

＝2sin.

∵－≤x≤，∴－≤x＋≤π，∴－≤sin≤1，即－1≤f(x)≤2.

例3-3 解：(1)因为f(x)＝4cosxsin (x＋)－1

＝4cosx·(sinx＋cosx)－1

＝sin2x＋2cos2x－1＝sin2x＋cos2x＝2sin (2x＋)，

故f(x)最小正周期为π.

(2)因为－≤x≤，所以－≤2x＋.

于是，当2x＋＝，即x＝时，f(x)取得最大值2；

当2x＋＝－，即x＝－时，f(x)取得最小值－1.

【跟踪训练】3  解：(1)∵f(x)＝sin＋2sin2

＝sin＋1－cos

＝2＋1

＝2sin＋1

＝2sin＋1，∴T＝＝π.

(2)当f(x)取得最大值时，sin＝1，

有2x－＝2kπ＋，即x＝kπ＋(k∈Z)，

∴所求x的集合为.

【当堂达标】

1.B 解析：由题意知sin α＝－，α∈，所以cos α＝－.

因为∈，所以sin＝cos＝－＝－.故选B.

2.D 解析：∵5π＜θ＜6π，∴∈，∈.

又cos＝a，∴sin＝－＝－.

3.B 解析：f(x)＝sinx－cos＝sinx－cosx＋sinx＝sinx－cosx＝sin，

所以函数f(x)的值域为[－，]，故选B.

4.π　解析：因为f(x)＝sin2x＝，所以f(x)的最小正周期T＝＝π.

5. 解：法一：∵180°<θ<270°，∴90°<<135°，即是第二象限角，∴tan <0，

∴tan ＝－＝－＝－2.

法二：∵180°<θ<270°，即θ是第三象限角，

∴sin θ＝－＝－＝－，

∴tan ＝＝＝－2.

6.证明：左边＝

＝＝

＝＝＝＝右边．

所以原等式成立.

7. 解：(1)f(x)＝cos－2sin xcos x＝cos 2x＋sin 2x－sin 2x＝sin 2x＋cos 2x＝sin，所以T＝＝π.

(2)证明：令t＝2x＋，因为－≤x≤，

所以－≤2x＋≤，

因为y＝sin t在上单调递增，在上单调递减，

所以f(x)≥sin＝－，得证．

8. 解： f(x)＝(2sinxcosx)＋(2cos2x－1)＝sin2x＋cos2x＝2sin.

(1)f(x)的最小正周期为π；最大值为2，最小值为－1.

(2)由(1)可知f(x0)＝2sin.

又∵f(x0)＝，∴sin＝.

由x0∈，得2x0＋∈，

∴cos＝－＝－，

cos2x0＝cos

＝coscos＋sinsin

＝.